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专题09 三角函数的图象与性质的综合应用
目录
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03 知识梳理·方法技巧 4
04 真题研析·精准预测 6
05 核心精讲·题型突破 13
题型一：齐次化模型 13
题型二：辅助角与最值问题 15
题型三：与三角函数有关的最值问题 18
题型四：绝对值与三角函数综合模型 24
题型五：三角函数的综合性质 29
题型六：换元法配凑角 35
题型七：三倍角公式 37
重难点突破：ω的取值与范围问题 40
三角函数的图象与性质在高考中占据重要地位，是考查的重点和热点。高考对这部分内容的考查主要集中在两个方面：
1、三角函数的图象方面，这包括图象的变换问题以及根据图象来确定三角函数的解析式。这类问题通常以选择题和填空题的形式出现，考查学生对图象变换和解析式确定的理解和掌握。
2、三角函数的性质应用方面，这涉及利用三角函数的性质来求解三角函数的值、参数、最值、值域以及单调区间等问题。这类问题通常以解答题的形式出现，要求学生能够灵活运用三角函数的性质来解决问题。
此外，三角恒等变换的求值和化简也是高考命题的热点之一。这部分内容既可以单独命题，以选择题或填空题的形式呈现，难度相对较低；也可以作为工具，与三角函数及解三角形相结合，求解最值、范围等问题，这时多以解答题的形式出现，难度适中。
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
同角三角函数基本关系式 理解同角关系，熟练运用解题 2024年甲卷第8题，5分 2023年甲卷第7题，5分 2023年乙卷第14题，5分 2021年I卷第6题，5分 2025年高考三角函数考查重点：一是同角三角函数基本关系及诱导公式，需复习三角函数定义，题型为选择或填空，难度适中；二是三角恒等变换，注重公式变形、应用及最值问题，同样以选择或填空形式出现，难度为基础至中档；三是三角函数的图像、性质及变换，组合考查为热点，题型灵活，既可为基础或中档题，也可能成为压轴题。考生需全面掌握三角函数相关知识，灵活运用，以应对高考挑战。
三角恒等变换 掌握恒等变换，提高解题技巧与灵活性 2024年I卷第4题，5分 2024年II卷第13题，5分 2024年北京卷第12题，5分 2023年II卷第7题，5分 2023年I卷第8题，5分 2022年II卷第6题，5分 2022年浙江卷第13题，6分 2021年甲卷第9题，5分
三角函数的图像与性质 理解三角图像性质，提升函数应用能力 2024年I卷第7题，5分 2024年II卷第6、9题，11分 2024年天津卷第7题，5分 2024年北京卷第6题，5分 2023年天津卷第5题，5分 2023年甲卷第10题，5分 2023年乙卷第6题，5分 2023年I卷第15题，5分 2023年II卷第16题，5分
1、三角函数图象的变换
（1）将的图象变换为的图象主要有如下两种方法：
（2）平移变换
函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对作的变换；
（3）伸缩变换
①沿轴伸缩时，横坐标伸长或缩短为原来的（倍）（纵坐标不变）；
②沿轴伸缩时，纵坐标伸长或缩短为原来的（倍）（横坐标不变）．
（4）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移．
2、三角函数的单调性
（1）三角函数的单调区间
的单调递增区间是，
单调递减区间是；
的单调递增区间是，
单调递减区间是；
的单调递增区间是．
（2）三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合，，
，的图象进行判断会很快得到正确答案．
3、求三角函数最值的基本思路
（1）将问题化为的形式，结合三角函数的图象和性质求解.
（2）将问题化为关于或的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解.
（3）利用导数判断单调性从而求解.
4、对称性及周期性常用结论
（1）对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.
（2）与三角函数的奇偶性相关的结论
若为偶函数，则有；若为奇函数，则有.
若为偶函数，则有；若为奇函数，则有.
若为奇函数，则有．
5、已知三角函数的单调区间求参数取值范刪的三种方法
（1）子集法：求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解．
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解．
（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过个周期列不等式（组）求解.
1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为，
所以，，
所以，
故选：B.
2．（2024年北京高考数学真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点，
则，即，
且，所以.
故选：B.
3．（2024年天津高考数学真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【解析】因为函数的最小正周期为，则，所以，
即，当时，，
所以当，即时，
故选：D
4．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】解法一：令，即，可得，
令，
原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因为，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
所以符合题意；
综上所述：.
解法二：令，
原题意等价于有且仅有一个零点，
因为，
则为偶函数，
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，
即，解得，
若，则，
又因为当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
即有且仅有一个零点0，所以符合题意；
故选：D.
5．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】因为函数的最小正周期为，
函数的最小正周期为，
所以在上函数有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
6．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
而，所以，
故即，
从而，故，
故选：A.
7．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【解析】A选项，令，解得，即为零点，
令，解得，即为零点，
显然零点不同，A选项错误；
B选项，显然，B选项正确；
C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，
的对称轴满足，
显然图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
8．（2024年北京高考数学真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ．
【答案】/
【解析】由题意，从而，
因为，所以的取值范围是，的取值范围是，
当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为.
故答案为：.
9．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）函数在上的最大值是 ．
【答案】2
【解析】，当时，，
当时，即时，.
故答案为：2
10．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
【答案】
【解析】法一：由题意得，
因为，，
则，，
又因为，
则，，则，
则，联立 ，解得.
法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则,
，，
则
故答案为：.
11．（2023年北京高考数学真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
【答案】
【解析】因为在上单调递增，若，则，
取，
则，即，
令，则，
因为，则，
即，则.
不妨取，即满足题意.
故答案为：.
12．（2023年北京高考数学真题）设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）因为
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以,所以,,
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．
题型一：齐次化模型
【典例1-1】（2024·高三·江西宜春·期末）已知，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】由题意若，则，不符合题意，
所以，
即，解得，
故选：D
【典例1-2】（2024·高三·河北沧州·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，故.
故选：D
齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：
（一次显型齐次化）
或者（二次隐型齐次化）
这种类型题，分子分母同除以（一次显型）或者（二次隐型），构造成的代数式，这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.
【变式1-1】（2024·陕西安康·三模）已知，则（ ）
A．6 B． C． D．2
【答案】C
【解析】
故选：C.
【变式1-2】若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以 ，
，
故选：A
1．设，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解法一：因为，，
所以，即，
又，，
所以，
解法二：因为
，
故选：D．
题型二：辅助角与最值问题
【典例2-1】若函数在处取得最大值，则 .
【答案】
【解析】因为，
设，，
则，，
当，时，
即当，函数取最大值，最大值为，
所以，
所以.
故答案为：.
【典例2-2】（2024·高三·江西萍乡·期中）设，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】，
令，则，且，
所以，
因为是上的减函数，所以，
即．
故答案为：
第一类：一次辅助角:=．（其中）
第二类：二次辅助角
【变式2-1】（2024·高三·山东临沂·期中）已知关于x的方程有解，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】由，其中，
则，可得，即，
两边平方化简可得，因此，
由，则，当且仅当时，等号成立.
故答案为：.
【变式2-2】已知，求的最大值 .
【答案】
【解析】∵，且，
∴，即，
所以，
设，
由.
故的最大值为.
故答案为：
1．[新考法]（2024·高三·江苏苏州·开学考试）设角、均为锐角，则的范围是 ．
【答案】
【解析】因为角、均为锐角，所以的范围均为，
所以，
所以
因为，
所以，
，
当且仅当时取等，
令，，，
所以.
则的范围是：.
故答案为：
题型三：与三角函数有关的最值问题
【典例3-1】已知函数，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】［方法一］： 【通性通法】导数法
．
令，得，即在区间内单调递增；
令，得，即在区间内单调递减．
则．
故答案为：.
［方法二］： 三元基本不等式的应用
因为，
所以
．
当且仅当，即时，取等号．
根据可知，是奇函数，于是，此时．
故答案为：.
［方法三］： 升幂公式＋多元基本不等式
，
，
当且仅当，即时，．
根据可知，是奇函数，于是．
故答案为：.
［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放缩
，当且仅当时等号成立．
故答案为：.
［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值
设，则可化为，
当时，；当时，，对分母求导后易知，
当时，有最小值．
故答案为：.
［方法六］： 配方法
，
当且仅当即时，取最小值．
故答案为：.
［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法
因为，所以，
即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值．
当时，，
当时， 因为
，令，解得或，由，，，所以的最小值为．
故答案为：.
【典例3-2】函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知，
整理得，
令，易知，
所以知在时是单调递减函数，
因为，
整理得，
解得，代入中有的最大值为，
即的最大值为.
故选：D.
三角函数最值问题，一直是高考中的难点与重点。这类题目常融合三角恒等变换，结合函数、导数与不等式，求解不易。通常，处理三角函数最值问题，可采用以下策略：化一简化法、变量替换法（换元）、主元突出法、图形与数值结合法，以及导数求极值法。
【变式3-1】已知，则的最大值为
【答案】
【解析】，设，，
，其中，
可知当时，.
故答案为：
【变式3-2】在中，的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】根据题意，令所求代数式为M，则
，
等号当，且，即时取得．
因此所求代数式的最大值为2．
故选：C
1．已知函数（），则函数的最大值为 .
【答案】
【解析】因为
因为，，
所以，
即
根据基本不等式取等条件得，
当时取最大值，即,
即，解得，
所以，
即的最大值为．
故答案为：.
2．函数的值域是 ．
【答案】
【解析】令，则，
，
不妨设，
则，
由，得，
由，得，
所以函数在上为增函数，在上为减函数，
且，，，
，即，
，
故答案为：
题型四：绝对值与三角函数综合模型
【典例4-1】已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的最小值为
C． D．在上有解
【答案】D
【解析】，
是以为周期的函数，
当时，，
则，
，
∴函数的最小正周期为，函数的最小值为1，故AB错误，
由，故C错误；
由，∴在上有解，故D正确.
故选：D.
【典例4-2】（2024·高三·上海宝山·开学考试）已知，给出下述四个结论:
①是偶函数; ②在上为减函数;
③在上为增函数; ④的最大值为.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④
【答案】D
【解析】对于①，易得的定义域为，关于原点对称，
因为，所以是偶函数，故正确；
对于②和③，因为，
，
且，所以在不是减函数，在也不是增函数，故②，③错误；
对于④，当时，，
因为，所以，
所以，所以；
当时，，
因为，
所以，所以；
当时，；
当时，，
因为，
所以，所以，
所以，综上所述，当时，的最大值为，由于为偶函数，所以当时，的最大值也为，故的最大值为，故④正确；
故选：D
关于和，如图，将图像中轴上方部分保留，轴下方部分沿着轴翻上去后得到，故是最小正周期为的函数，同理是最小正周期为的函数；是将图像中轴右边的部分留下，左边的删除，再将轴右边图像作对称至左边，故不是周期函数.我们可以这样来表示：
，
【变式4-1】关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上单调；
③函数的最大值为M，最小值为m，则；
④若，则函数在上有4个零点．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③
【答案】A
【解析】由，可知为偶函数，①对.
由，得关于对称；
由，得的周期为；当时，
其中且；作出在上的图象，并根据的对称性及周期性作出的大致图象.
由图可知，在上单调递增，在上单调递减，所以在上不单调，②错；
的最大值，最小值，故，③错；
若，则在上有4个零点，④对，
故选：A.
【变式4-2】关于函数，其中有下述四个结论：
①是偶函数； ②在区间上是严格增函数；
③在有3个零点； ④的最小正周期为．
其中所有正确结论的编号是（ ）．
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
【答案】A
【解析】的定义域为，
，所以是偶函数，①正确.
当时，是严格增函数，②正确.
当时，，
所以在有无数个零点，则③错误.
，
所以不是的最小正周期，④错误.
综上所述，正确的为①②.
故选：A
1．（多选题）已知函数，则（ ）
A．是的一个周期 B．是的一条对称轴
C．的值域为 D．在上单调递减
【答案】BCD
【解析】，图像如图所示：
由图像可得，函数的最小正周期为，故选项A错误，不符合题意；
是的一条对称轴，故选项B正确，符合题意；
的值域为，故选项C正确，符合题意；
在上单调递减，选项D正确，符合题意；
故选：BCD.
题型五：三角函数的综合性质
【典例5-1】（多选题）已知函数，若及其导函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数在上单调递减
C．的图象关于点中心对称
D．的最大值为
【答案】AB
【解析】因为，所以，根据图象可知，当时，，所以单调递增，故，从而．
又，所以，由得，
故，．
选项A：的最小正周期为，故，A正确．
选项B：令，解得，
故函数在上单调递减，B正确．
选项C：由于，，
故的图象不关于点中心对称，故C错误．
选项D：，
其中为锐角，且，（辅助角公式的应用）,所以的最大值为，D错误．
故选：AB
【典例5-2】（多选题）已知函数，若，且，则函数的最小正周期可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】的解析式经过辅助角公式变换可转化为正弦型，因为，
所以当时函数取得最小值，即直线是函数图象的一条对称轴，
又，所以，根据图象的对称性得到，
即，所以，
所以．
所以，解得，
则的最小正周期，，
当时，；当时，．验证得AD不符合题意，
故选：BC．
三角函数的综合性质解题，关键在于掌握其基本关系、图像变换及周期性。解题时，先识别函数类型，利用诱导公式化简，再结合图像分析性质，如单调性、最值等。最后，灵活运用三角函数公式求解，注意计算准确性。
【变式5-1】（多选题）已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，且对于恒成立，则（ ）
A．函数为偶函数
B．当时，的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度后可得函数的图象
D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
【答案】ACD
【解析】由题意的最小正周期为，
得：，
对于恒成立，则，
图象关于直线对称，代入，得到，
由于，取，则，
所以为偶函数，
当时，，所以，
所以的值域为，故B错误；
将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；
将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
得到的图象.
因为当时，，
所以得到的函数图象关于点对称，故D正确.
故选：ACD.
【变式5-2】（多选题）已知函数（，）图象的两条对称轴间距离的最小值为，且为的一个零点，则（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．在上单调递增
D．当时，曲线与直线的所有交点的横坐标之和为
【答案】AB
【解析】对于A，因图象的两条对称轴间距离的最小值为，则的最小正周期为，故A正确；
对于B，由A分析可得，，因为的一个零点，
则，因，取，则.
得，故B正确；
对于C，，因在上不单调，故C错误；
对于D，由AB分析可画出在上的图象如图所示，则与有4个交点，设其横坐标从左到右依次为，，，，
令，，得，，
所以函数的对称轴方程为，，
当时，，当时，，
数形结合可知，故D错误．
故选：AB．
1．[新考法]（多选题）已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的最大值为
C．在上单调递增
D．方程在上最多有4个解
【答案】BD
【解析】当时，；
当时，，画出函数的大致图象，如图．
由图象可知，函数的图象不关于直线对称，故A错误；
的最大值为，故B正确；
在上单调递增，在上单调递减，故C错误；
当时，方程在上有4个解，故D正确．
故选：BD．
2．[新考法]（多选题）设函数的最小正零点为，则（ ）
A．的图象过定点 B．的最小正周期为
C．是等比数列 D．的前项和为
【答案】AC
【解析】对于A，因为，
所以，故A正确；
对于B，的最小正周期为，故B错误；
对于C，令，得，所以，
整理得，即的零点为，
而是的最小正零点，则，，
显然，，，
所以是，的等比数列，故C正确；
对于D，的前项和为，故D错误.
故选：AC.
题型六：换元法配凑角
【典例6-1】[新考法]若，则 .
【答案】/0.5
【解析】由得：
，
所以
化简得到：
，
所以；
所以.
故答案为：.
【典例6-2】已知，且，则 .
【答案】
【解析】由于，，故.
而，故.
所以.
故答案为：
三角函数“凑角拆角”问题，常规配凑解法繁琐。采用换元法，可简化步骤，快速求解。
【变式6-1】已知，则 .
【答案】
【解析】所以.
故答案为：.
【变式6-2】设，若，则的值为 ．
【答案】
【解析】，若，，
，
，，
．
故答案为：.
1．已知，，则 .
【答案】/
【解析】由可得，则，
因为，所以，
则
.
故答案为：
题型七：三倍角公式
【典例7-1】著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用．黄金分割比，现给出三倍角公式和二倍角角公式，则t与的关系式正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，即，令，
则，，，
即，
因为，所以，
即，整理得，
解得，
因为，所以，
故．
故选：B
【典例7-2】（多选题）（2024·高三·浙江宁波·期末）已知为坐标原点，曲线：，，为曲线上动点，则（ ）
A．曲线关于y轴对称 B．曲线的图象具有3条对称轴
C． D．的最大值为
【答案】ABC
【解析】对于选项A:将用替换代入方程，方程不变，故曲线关于y轴对称，A正确；
对于选项B:由
，
令，，
代入整理可得，
其中，为点所在终边对应的角度，且，
因为，故，
因为曲线关于y轴对称，
故对应的图象关于轴（即y轴对称）对称，
注意到关于的周期为，
故曲线也关于和（即）对称，
故B选项正确；
对于选项C:，C正确；
对于选项D:，D错误；
故选：ABC．
C另，
该方程关于有解，令，则在上有根，
由，
则， 或，
解得；或
综上：．
D另，
解得．
三倍角公式: (1) .
(2) .
(3) .
【变式7-1】若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，所以原不等式可变形为
令，则，
.当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以.又，所以.
故答案为：．
1．已知为锐角，且.则 .
【答案】
【解析】由题设及三倍角的余弦公式，得
，即.
故.
故答案为:
重难点突破：w的取值与范围问题
【典例8-1】已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数的图象关于原点对称，并且在区间上是增函数，所以，所以，
又，得，
令，得，
所以在上的图象与直线的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为，
所以，解得，
综上所述，.
故选：.
【典例8-2】（2024·高三·河北石家庄·期中）已知函数在上恰有2个零点，则的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，
令，即，；
又因为，所以，
令，有，则问题转化为，如图所示，
因为函数在上恰有2个零点，所以，
所以，解得.
故选：C.
1、在区间内没有零点
同理，在区间内没有零点
2、在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
3、在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．
5、已知单调区间，则.
【变式8-1】（2024·新疆阿勒泰·三模）已知，若函数在区间上有且只有个零点，则的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵在区间上有且只有个零点，
∴令，当时，，
∴在区间上有且只有个零点，即在区间上有且只有个零点，
又∵的零点（即对称中心的横坐标）为，，
∴当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，
∴，解得.
故选：D.
【变式8-2】（2024·高三·福建厦门·期中）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．15
【答案】C
【解析】因直线是一条对称轴，所以，.
整理可得：，即，.
由，得.
则函数在上单调递增.
因为函数在区间上不单调，所以.
解得.因为，且，所以的最小值为11.
故选：C.
1．若函数在内存在最小值但无最大值，则的范围是
【答案】
【解析】函数，，
所以当时，，
又在内存在最小值但无最大值，
结合图象可得，
解得.
故答案为：
2．已知（其中），其函数图像关于直线对称，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为 ．
【答案】
【解析】函数关于直线对称，
所以，所以，
因为，所以，所以，
当，则，
要使函数在区间上有且只有三个零点，所以，
所以的范围为：.
故答案为：
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题09 三角函数的图象与性质的综合应用
目录
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03 知识梳理·方法技巧 4
04 真题研析·精准预测 6
05 核心精讲·题型突破 8
题型一：齐次化模型 8
题型二：辅助角与最值问题 9
题型三：与三角函数有关的最值问题 9
题型四：绝对值与三角函数综合模型 10
题型五：三角函数的综合性质 12
题型六：换元法配凑角 14
题型七：三倍角公式 15
重难点突破：ω的取值与范围问题 16
三角函数的图象与性质在高考中占据重要地位，是考查的重点和热点。高考对这部分内容的考查主要集中在两个方面：
1、三角函数的图象方面，这包括图象的变换问题以及根据图象来确定三角函数的解析式。这类问题通常以选择题和填空题的形式出现，考查学生对图象变换和解析式确定的理解和掌握。
2、三角函数的性质应用方面，这涉及利用三角函数的性质来求解三角函数的值、参数、最值、值域以及单调区间等问题。这类问题通常以解答题的形式出现，要求学生能够灵活运用三角函数的性质来解决问题。
此外，三角恒等变换的求值和化简也是高考命题的热点之一。这部分内容既可以单独命题，以选择题或填空题的形式呈现，难度相对较低；也可以作为工具，与三角函数及解三角形相结合，求解最值、范围等问题，这时多以解答题的形式出现，难度适中。
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
同角三角函数基本关系式 理解同角关系，熟练运用解题 2024年甲卷第8题，5分 2023年甲卷第7题，5分 2023年乙卷第14题，5分 2021年I卷第6题，5分 2025年高考三角函数考查重点：一是同角三角函数基本关系及诱导公式，需复习三角函数定义，题型为选择或填空，难度适中；二是三角恒等变换，注重公式变形、应用及最值问题，同样以选择或填空形式出现，难度为基础至中档；三是三角函数的图像、性质及变换，组合考查为热点，题型灵活，既可为基础或中档题，也可能成为压轴题。考生需全面掌握三角函数相关知识，灵活运用，以应对高考挑战。
三角恒等变换 掌握恒等变换，提高解题技巧与灵活性 2024年I卷第4题，5分 2024年II卷第13题，5分 2024年北京卷第12题，5分 2023年II卷第7题，5分 2023年I卷第8题，5分 2022年II卷第6题，5分 2022年浙江卷第13题，6分 2021年甲卷第9题，5分
三角函数的图像与性质 理解三角图像性质，提升函数应用能力 2024年I卷第7题，5分 2024年II卷第6、9题，11分 2024年天津卷第7题，5分 2024年北京卷第6题，5分 2023年天津卷第5题，5分 2023年甲卷第10题，5分 2023年乙卷第6题，5分 2023年I卷第15题，5分 2023年II卷第16题，5分
1、三角函数图象的变换
（1）将的图象变换为的图象主要有如下两种方法：
（2）平移变换
函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对作的变换；
（3）伸缩变换
①沿轴伸缩时，横坐标伸长或缩短为原来的（倍）（纵坐标不变）；
②沿轴伸缩时，纵坐标伸长或缩短为原来的（倍）（横坐标不变）．
（4）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移．
2、三角函数的单调性
（1）三角函数的单调区间
的单调递增区间是，
单调递减区间是；
的单调递增区间是，
单调递减区间是；
的单调递增区间是．
（2）三角函数的单调性有时也要结合具体的函数图象如结合，，
，的图象进行判断会很快得到正确答案．
3、求三角函数最值的基本思路
（1）将问题化为的形式，结合三角函数的图象和性质求解.
（2）将问题化为关于或的二次函数的形式，借助二次函数的图象和性质求解.
（3）利用导数判断单调性从而求解.
4、对称性及周期性常用结论
（1）对称与周期的关系
正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.
（2）与三角函数的奇偶性相关的结论
若为偶函数，则有；若为奇函数，则有.
若为偶函数，则有；若为奇函数，则有.
若为奇函数，则有．
5、已知三角函数的单调区间求参数取值范刪的三种方法
（1）子集法：求出原函数相应的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式（组）求解．
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正弦、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式（组）求解．
（3）周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过个周期列不等式（组）求解.
1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024年北京高考数学真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024年天津高考数学真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
4．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当时，曲线与的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
6．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
8．（2024年北京高考数学真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ．
9．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）函数在上的最大值是 ．
10．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
11．（2023年北京高考数学真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
12．（2023年北京高考数学真题）设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
题型一：齐次化模型
【典例1-1】（2024·高三·江西宜春·期末）已知，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【典例1-2】（2024·高三·河北沧州·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
齐次分式：分子分母的正余弦次数相同，例如：
（一次显型齐次化）
或者（二次隐型齐次化）
这种类型题，分子分母同除以（一次显型）或者（二次隐型），构造成的代数式，这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.
【变式1-1】（2024·陕西安康·三模）已知，则（ ）
A．6 B． C． D．2
【变式1-2】若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
1．设，若，则（ ）
A． B． C． D．
题型二：辅助角与最值问题
【典例2-1】若函数在处取得最大值，则 .
【典例2-2】（2024·高三·江西萍乡·期中）设，且，则实数的取值范围是 ．
第一类：一次辅助角:=．（其中）
第二类：二次辅助角
【变式2-1】（2024·高三·山东临沂·期中）已知关于x的方程有解，则的最小值为 .
【变式2-2】已知，求的最大值 .
1．[新考法]（2024·高三·江苏苏州·开学考试）设角、均为锐角，则的范围是 ．
题型三：与三角函数有关的最值问题
【典例3-1】已知函数，则的最小值是 ．
【典例3-2】函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
三角函数最值问题，一直是高考中的难点与重点。这类题目常融合三角恒等变换，结合函数、导数与不等式，求解不易。通常，处理三角函数最值问题，可采用以下策略：化一简化法、变量替换法（换元）、主元突出法、图形与数值结合法，以及导数求极值法。
【变式3-1】已知，则的最大值为
【变式3-2】在中，的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．
1．已知函数（），则函数的最大值为 .
2．函数的值域是 ．
题型四：绝对值与三角函数综合模型
【典例4-1】已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的最小值为
C． D．在上有解
【典例4-2】（2024·高三·上海宝山·开学考试）已知，给出下述四个结论:
①是偶函数; ②在上为减函数;
③在上为增函数; ④的最大值为.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①④
关于和，如图，将图像中轴上方部分保留，轴下方部分沿着轴翻上去后得到，故是最小正周期为的函数，同理是最小正周期为的函数；是将图像中轴右边的部分留下，左边的删除，再将轴右边图像作对称至左边，故不是周期函数.我们可以这样来表示：
，
【变式4-1】关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上单调；
③函数的最大值为M，最小值为m，则；
④若，则函数在上有4个零点．
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．①③ C．②④ D．①②③
【变式4-2】关于函数，其中有下述四个结论：
①是偶函数； ②在区间上是严格增函数；
③在有3个零点； ④的最小正周期为．
其中所有正确结论的编号是（ ）．
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
1．（多选题）已知函数，则（ ）
A．是的一个周期 B．是的一条对称轴
C．的值域为 D．在上单调递减
题型五：三角函数的综合性质
【典例5-1】（多选题）已知函数，若及其导函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数在上单调递减
C．的图象关于点中心对称
D．的最大值为
【典例5-2】（多选题）已知函数，若，且，则函数的最小正周期可能是（ ）
A． B． C． D．
三角函数的综合性质解题，关键在于掌握其基本关系、图像变换及周期性。解题时，先识别函数类型，利用诱导公式化简，再结合图像分析性质，如单调性、最值等。最后，灵活运用三角函数公式求解，注意计算准确性。
【变式5-1】（多选题）已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，且对于恒成立，则（ ）
A．函数为偶函数
B．当时，的值域为
C．将函数的图象向右平移个单位长度后可得函数的图象
D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
【变式5-2】（多选题）已知函数（，）图象的两条对称轴间距离的最小值为，且为的一个零点，则（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．在上单调递增
D．当时，曲线与直线的所有交点的横坐标之和为
1．[新考法]（多选题）已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的最大值为
C．在上单调递增
D．方程在上最多有4个解
2．[新考法]（多选题）设函数的最小正零点为，则（ ）
A．的图象过定点 B．的最小正周期为
C．是等比数列 D．的前项和为
题型六：换元法配凑角
【典例6-1】[新考法]若，则 .
【典例6-2】已知，且，则 .
三角函数“凑角拆角”问题，常规配凑解法繁琐。采用换元法，可简化步骤，快速求解。
【变式6-1】已知，则 .
【变式6-2】设，若，则的值为 ．
1．已知，，则 .
题型七：三倍角公式
【典例7-1】著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用．黄金分割比，现给出三倍角公式和二倍角角公式，则t与的关系式正确的为（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】（多选题）（2024·高三·浙江宁波·期末）已知为坐标原点，曲线：，，为曲线上动点，则（ ）
A．曲线关于y轴对称 B．曲线的图象具有3条对称轴
C． D．的最大值为
三倍角公式: (1) .
(2) .
(3) .
【变式7-1】若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 .
1．已知为锐角，且.则 .
重难点突破：w的取值与范围问题
【典例8-1】已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例8-2】（2024·高三·河北石家庄·期中）已知函数在上恰有2个零点，则的范围为（ ）
A． B．
C． D．
1、在区间内没有零点
同理，在区间内没有零点
2、在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
3、在区间内有个零点
同理在区间内有个零点
4、已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．
5、已知单调区间，则.
【变式8-1】（2024·新疆阿勒泰·三模）已知，若函数在区间上有且只有个零点，则的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】（2024·高三·福建厦门·期中）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．15
1．若函数在内存在最小值但无最大值，则的范围是
2．已知（其中），其函数图像关于直线对称，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为 ．
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