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专题16 直线与圆几何问题题型深度剖析与总结
目录
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03 知识梳理·方法技巧 4
04 真题研析·精准预测 6
05 核心精讲·题型突破 15
题型一：直线的方程 15
题型二：圆的方程 19
题型三：直线、圆的位置关系 23
题型四：圆的动点与距离问题 27
题型五：阿氏圆 30
题型六：米勒定理与角度问题 35
题型七：圆的数形结合 39
重难点突破：与距离问题有关的最值 43
直线与圆是高考数学的重点内容。考查形式多为选择题、填空题，难度中档。常考求直线（圆）方程、点到直线距离、判断直线与圆位置关系，以及简单弦长与切线问题。其中，直线方程、圆的方程、两直线平行与垂直关系等是基础考点，需熟练掌握相关公式和判定方法 ，注重数形结合解题.
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
直线与方程 掌握直线方程，运用数形结合解题 2024年北京卷第3题，4分 2023年I卷第6题，5分 2025年高考数学可能会涉及直线与圆的方程，包括直线方程的一般形式、圆方程的标准形式等。同时，可能会考察直线与圆的位置关系，如相交、相切、相离等，以及相关的计算和应用。
直线与圆的位置关系 理解位置关系，渗透数学思想方法 2024年甲卷（理）第12题，5分 2023年甲卷（理）第8题，5分 2023年II卷第15题，5分 2022年II卷第15题，5分
圆与圆的圆的位置关系 掌握判定方法及应用 2022年II卷第14题，5分
1、直线与圆的位置关系
（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心到直线的距离，则：
直线与圆相交，交于两点，；
直线与圆相切；
直线与圆相离
（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由，
消元得到一元二次方程，判别式为，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
2、圆与圆的位置关系
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：
两圆相交；
两圆外切；.
302
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
3、关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆上一点的圆的切线方程为．
（2）过圆上一点的圆的切线方程为
（3）过圆上一点的圆的切线方程为
（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】因为直线，即，令，
则，所以直线过定点，设，
将圆化为标准式为，
所以圆心，半径，
当时，的最小，
此时.
故选：C
2．（2024年北京高考数学真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，即，
则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.
故选：D.
3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】C
【解析】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得
，即，令得，
故直线恒过，设，圆化为标准方程得：，
设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小，
，此时.
故选：C
4．（2024年天津高考数学真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ．
【答案】/
【解析】圆的圆心为，故即，
由可得，故或（舍），
故，故直线即，
故原点到直线的距离为，
故答案为：
5．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
【答案】（中任意一个皆可以）
【解析】设点到直线的距离为，由弦长公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案为：（中任意一个皆可以）．
6．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
【答案】C
【解析】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C.
7．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为区域表示以圆心，外圆半径，内圆半径的圆环，
则直线的倾斜角不大于的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角，
结合对称性可得所求概率.
故选：C.
8．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】方法一：因为，即，可得圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，
因为，则，
可得，
则，
，
即为钝角，
所以；
法二：圆的圆心，半径，
过点作圆C的切线，切点为，连接，
可得，则，
因为
且，则，
即，解得，
即为钝角，则，
且为锐角，所以；
方法三：圆的圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为，即，
则，整理得，且
设两切线斜率分别为，则，
可得，
所以，即，可得，
则，
且，则，解得.
故选：B.
9．（2022年新高考天津数学高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ．
【答案】
【解析】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理可得，因为，解得.
故答案为：.
10．（2022年新高考全国II卷数学真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；
故答案为：
11．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
【答案】
【解析】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线上，
∴设点M为，又因为点和均在上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程为.
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为.
故答案为：
12．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
【答案】或或或．
【解析】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为，
（1）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（2）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（3）若过，，，则，解得，
所以圆的方程为，即；
（4）若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；
故答案为：或 或 或．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为，
则，所以圆的方程为；
（2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为；
（3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为；
（4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为．
故答案为：或 或 或．
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
题型一：直线的方程
【典例1-1】已知，，若的平分线方程为，则所在直线的一般方程为 .
【答案】
【解析】直线的斜率，其方程为，即，
由，解得，令，
依题意，的平分线为直线，
由正弦定理得，
由于，由此整理得，
则，设，则，
整理得，解得，则，，
直线的方程为，即.
故答案为：
【典例1-2】光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为 .
【答案】
【解析】如图，入射角，设折射角为，，，
则，，
所以，则，，
所以，且.
该光线再次返回空气中时，其所在直线的倾斜角为，
则其所在直线的斜率为
，
直线的方程为，整理得.
故答案为：
1、已知直线，直线，则，且(或)，.
2、点到直线(A，B不同时为零)的距离.
3、两条平行直线，(A，B不同时为零)间的距离.
【变式1-1】已知过原点的直线与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ．
【答案】
【解析】圆的圆心，半径
直线截圆所得弦长，则弦心距
当过原点的直线斜率不存在时，的方程为，圆心到直线的距离为1，不符合题意要求；
当过原点的直线斜率存在时，的方程可设为，
由，可得，此时的方程为
综上，直线的方程为.
故答案为：.
【变式1-2】一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ．
【答案】
【解析】设点关于直线的对称点为，则解得
所以．又点，
所以，直线的方程为，
由图可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为．
故答案为：.
1.过定点A的直线与圆交于B，C两点，点B恰好为AC的中点，写出满足条件的一条直线的方程 ．
【答案】或
【解析】由直线，整理可得，当时，故直线过定点，
设，则，
由在圆，则，整理可得，
联立可得，消去可得：，解得或，
当点的坐标为，由两点式方程，可得，整理可得，
当点的坐标为，由两点式方程，可得，整理可得，
故答案为：或
题型二：圆的方程
【典例2-1】如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为米，门在地面处的宽度为米.现将其截面图放置在直角坐标系中，以地面所在的直线为轴，过圆心的竖直直线为轴，则门的轮廓所在圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设该圆的半径为，如图，
由题意知：，，，
由勾股定理得：，即，解得：，
，即圆的圆心为，则圆的方程为.
故选：A.
【典例2-2】过点引圆：的两条切线，切点分别为，．若，则过，，三点的圆的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】由，得，可得圆心，半径．
由，得，所以，
故，即，
解得或，则或，
根据，，故四点共圆，且为直径，
所以线段的中点为或，且，
所以过，，三点的圆的方程为或．
故选：C．
1、圆的方程
（1）圆的定义
在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆
（2）圆的标准方程
设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为：
（3）圆的一般方程
圆方程为，圆心坐标：，半径：
【变式2-1】已知直线l与抛物线交于A，B两点（B在第一象限），C是抛物线的准线与直线l的交点，F是抛物线G的焦点，若，则以AB为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得抛物线的焦点为，焦准距，
设准线与x轴交与点D，设，
设的中点为，
过点作准线的垂线，垂足为，
设，由可得，
由抛物线定义得，
由于，故，则,
则直线AB的倾斜角为，
故，即，故，
设，则，
则，故，
则，即，
又由可知直线l过抛物线焦点，
故l方程为，将代入得，
即的中点，，
故以AB为直径的圆的方程为，
故选：D
【变式2-2】“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为椭圆：的离心率为，则，解得，即椭圆的方程为，
于是椭圆的上顶点，右顶点，经过两点的椭圆切线方程分别为，，
则两条切线的交点坐标为，显然这两条切线互相垂直，因此点在椭圆的蒙日圆上，
圆心为椭圆的中心O，椭圆的蒙日圆半径，
所以椭圆的蒙日圆方程为.
故选：B
1.已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由题可知，，半径，圆心，所以，要使的面积最小，即最小，的最小值为点到直线的距离，即当点运动到时，最小，直线的斜率为，此时直线的方程为，由，解得，所以，因为是直角三角形，所以斜边的中点坐标为，而，所以的外接圆圆心为，半径为，所以的外接圆的方程为.
故选：C.
题型三：直线、圆的位置关系
【典例3-1】若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由知直线过定点，
由曲线，两边平方得，
则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点），
当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点，
此时，解得，
当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点，
圆心到直线的距离，解得，
要使直线与曲线恰有两个交点，
则直线夹在两条直线之间，因此，
即实数的取值范围为.
故选：B.
【典例3-2】在平面直角坐标系中，满足不等式组的点表示的区域面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，，
所以不等式组表示的区域是圆与圆公共的内部区域，
画出图象如下图所示，，两圆半径都是，
设两个圆相交于两点，则，
由于，，
所以是圆的切线，是圆的切线，
同理是圆的切线，是圆的切线，
，所以四边形是正方形，
所以区域面积为.
故选：D
1、直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.
2、圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.
【变式3-1】设圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线的距离均为2，则实数（ ）
A． B．1 C．21 D．31
【答案】D
【解析】的圆心为，半径为
若圆上恰有三点到直线的距离均为2，则圆心到直线的距离为
解得或，
由于直线不经过第三象限，则直线与轴的交点，
故，
故选：D
【变式3-2】已知圆与圆交于、两点，则（为圆的圆心）面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得：，所以圆心，半径，
由两圆相交于、两点可知：，
所以的面积，
因为是半径为的圆，所以，
当时，，
又，
此时由，解得，，故可以取最大值，
所以当时，最大，且是锐角，
根据函数的单调性可知：当时，最大，
在中由余弦定理可得：，
所以，所以，
故选：C.
1.设有一组圆，若圆上恰有两点到原点的距离为1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆，其圆心为，半径为．
因为圆上恰有两点到原点的距离为1，所以圆与圆有两个交点．
因为圆心距为，所以，解得．
故选：B
题型四：圆的动点与距离问题
【典例4-1】若实数、满足条件，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，可得，
则直线与圆有公共点，
所以，，解得，
即的取值范围是.
故选：B.
【典例4-2】已知点，，若圆上存在点P满足，则实数a的取值的范围是 ．
【答案】
【解析】设点，则，而，
则，整理得，即点的轨迹是原点为圆心，2为半径的圆，
因为点在圆，即圆与圆有公共点，
而圆的圆心为，半径为1，
因此，即，解得或，
所以实数a的取值的范围是.
故答案为：
解决与圆相关的长度或距离的最值问题，通常的策略是根据所涉及的长度或距离的几何定义，借助圆的几何特性，通过数形结合的方法来寻找解答。
【变式4-1】已知点是圆上一点，则的范围是 ．
【答案】
【解析】由，得，
所以圆心，半径为1，
表示圆上的点到直线的距离的2倍，
因为圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到直线的距离的最小值为1，最大值为3，
所以的最小值为2，最大值为6，
所以的范围为，
故答案为：.
【变式4-2】已知点P(m，n)在圆上运动，则的最大值为 ，最小值为 ，的范围为 ．
【答案】 64 4
【解析】由圆C的圆心为，半径为3，且P在圆上，
则表示在圆上点到距离的平方，
而圆心到的距离为，
所以在圆上点到距离的最大值为8，最小值为2，
故的最大值为64，最小值为4；
又表示在圆上点到原点的距离，而圆心到原点距离为，
所以的范围为.
故答案为：64，4，
1.已知实数x，y满足，则的最小值为 ．
【答案】1
【解析】联想数量积公式，
得，
记，，则z为向量，的夹角余弦值的倍，
且由题意点B在以为圆心，1为半径的圆上，
如图所示，
若与的夹角余弦值要取得最小值，
则与的夹角需取得最大值，
由图像可知，当时，与的夹角最大，
代入上式可得，此时．
故答案为：1.
题型五：阿氏圆
【典例5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得 阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】设，不妨取，使得，
则，
整理得，
此方程与相同，
所以有，解得，
所以，
所以，当且仅当在线段上时，取等号.
因为，所以在圆内；
，所以在圆外；
所以线段与圆必有交点（记为），
当重合时，，为其最小值，
故选：C.
【典例5-2】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为 .
【答案】
【解析】设，
则，
化简整理得，
所以点的轨迹为以为圆心为半径的圆，
抛物线的焦点，准线方程为，
则
，
当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
一般地，平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”．特殊地，当时，点P的轨迹是线段AB的中垂线．
【变式5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为 .若点Р在圆上，则的最小值是 .
【答案】
【解析】设，则，
整理得（或）.
设，则，
故
.
令，则=.
故答案为：；
.
【变式5-2】已知实数满足，则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为，
所以
，
则，
相当于圆上的任一点到点与的距离之和，如图，
因为，当在线段与圆的交点处时，即为所求，
所以所求最小值为.
故答案为：.
1.阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得 阿基米德并称亚历山大时期数学三巨匠.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆.”人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点P是满足的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的方程为 ；若Q为抛物线上的动点，Q在y轴上的射影为M，则的最小值为 .
【答案】 或（）
【解析】设，由得，
化简得，
抛物线的焦点为，，
，
，
易知当四点共线时，取得最小值为，
所以的最小值是．
故答案为：；．
题型六：米勒定理与角度问题
【典例6-1】（多选题）已知点在圆：上，点，，则下列说法中正确的是（ ）
A．点到直线的距离小于6 B．点到直线的距离大于2
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】BCD
【解析】，，所以线段的中点为，，所以线段的垂直平分线为，即，因为圆：，圆心，半径，
又点恰在直线上，所以点到直线的距离最小值为，最大值为，故A错误，B正确；
由正弦定理可知，当的外接圆与圆相内切时，最小，此时最大，此时恰在与的一个交点上，由解得或，所以，所以，，所以且，当的外接圆与圆相外切时，最大，此时，故C、D正确；
故选：BCD
【典例6-2】德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理”）：若点是的边上的两个定点，C是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点C时，最大．在平面直角坐标系中，已知点，，点F是y轴负半轴的一个动点，当最大时，的外接圆的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由米勒定理知当最大时，的外接圆与轴负半轴相切，此时圆心位于第四象限，
因为点，，
所以圆心在直线上，
又圆与轴负半轴相切，
所以圆的半径为3，
设圆心为，，
则，解得，
又，
所以
所以的外接圆的方程是，
故选：A．
米勒定理：已知点，是的边上的两个定点，点是边上的一动点，则当且仅当三角形的外接圆与边相切于点时，最大．
【变式6-1】已知为坐标原点，点，圆，点为圆上的一动点，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为（如图）.
由图可知，当与圆相切，且位于第一象限时最小，
此时，即，所以，
故的最小值为.
故答案为：.
【变式6-2】已知圆C：，点P是圆C上的动点，点，当最大时，所在直线的方程是 .
【答案】
【解析】设，则，在中，由余弦定理，得
，当且仅当时，等号成立，此时最大，且，
故，又，所以，故所在直线的方程为
，即.
故答案为：.
1.已知，，是圆上的一个动点，则的最大值为 .
【答案】/
【解析】设，则，其中.
因为，，所以.
由余弦定理得：，因为，所以.
所以.
记.
则
所以令，解得：，函数递增；令，解得：，函数递减；
所以.
故答案为：．
题型七：圆的数形结合
【典例7-1】过直线上一点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由圆的圆心为，
由图知，当直线关于直线对称时，与直线垂直.
(理由：设直线切圆于点，易得平分，
又直线关于直线对称，故直线平分的邻补角，故可得)
故直线的方程为，即，
由解得：，即点的坐标为.
故选：B.
【典例7-2】已知是圆上一动点，若直线上存在两点，使得能成立，则线段的长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆的圆心，半径，
由直线上存在两点，使得成立，
得以为直径的圆与圆有公共点，当长度最小时，两圆外切，且两圆连心线与垂直，如图，
圆心到直线的距离，
所以.
故选：A
利用几何意义转化
【变式7-1】已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】直线的方程可化为，由可得，
所以，直线过定点，
直线的方程可化为，由可得，
所以，直线过定点，
对于直线、，因为，则，即，
设线段的中点为，设点，
由直角三角形的几何性质可得，
即，化简可得，
所以，点的轨迹为圆，
因为，所以，圆与圆外离，
所以，，，
因此，的取值范围是.
故选：B.
【变式7-2】过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将圆化为标准方程为，
所以圆心为，半径为1，
根据题意及图形可知切线的斜率存在，
设切线的方程为，即，
则有，整理可得，
则，
设两切线的斜率分别为、，
则、为关于的方程的两根，
由韦达定理可得，，
所以，
所以，
由题意可知，所以，
由，解得．
故选：D．
1.在平面直角坐标系xOy中，已知直线与直线交于点P，则对任意实数a，的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】由题意知直线与直线，满足，
故两直线垂直，
直线过定点，直线过定点，
故两直线的交点P在以AB为直径的圆上（不含点），
该圆方程为，设其圆心为，半径为3，
则，当且仅当共线时，即位于B点时，等号成立，
故的最小值为，
故选：C
重难点突破：与距离问题有关的最值
【典例8-1】已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设点为直线上的动点，
由，
则其几何意义为与的距离和与的距离之和，
设点，
则点关于直线的对称点为点，
故，且，
所以，
当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为.
故选：C.
【典例8-2】，，函数的最小值为 .
【答案】
【解析】设点，和直线，
，到的距离分别为，，易知，
如图，
显然.
故答案为：
利用几何意义转化
【变式8-1】已知，则的最小值为 .
【答案】
【解析】由，得，
即，解得.
，
表示点与点的距离之和.
如图，点关于x轴的对称点为，连接，
则，
当且仅当三点共线时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
1.著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】
相当于动点到的距离之和，
因为四边形为矩形，所以，
所以当为矩形对角线交点时，，
此时最小，最小为，
故答案为：.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题16 直线与圆几何问题题型深度剖析与总结
目录
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03 知识梳理·方法技巧 4
04 真题研析·精准预测 6
05 核心精讲·题型突破 8
题型一：直线的方程 8
题型二：圆的方程 9
题型三：直线、圆的位置关系 10
题型四：圆的动点与距离问题 11
题型五：阿氏圆 12
题型六：米勒定理与角度问题 13
题型七：圆的数形结合 14
重难点突破：与距离问题有关的最值 15
直线与圆是高考数学的重点内容。考查形式多为选择题、填空题，难度中档。常考求直线（圆）方程、点到直线距离、判断直线与圆位置关系，以及简单弦长与切线问题。其中，直线方程、圆的方程、两直线平行与垂直关系等是基础考点，需熟练掌握相关公式和判定方法 ，注重数形结合解题.
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
直线与方程 掌握直线方程，运用数形结合解题 2024年北京卷第3题，4分 2023年I卷第6题，5分 2025年高考数学可能会涉及直线与圆的方程，包括直线方程的一般形式、圆方程的标准形式等。同时，可能会考察直线与圆的位置关系，如相交、相切、相离等，以及相关的计算和应用。
直线与圆的位置关系 理解位置关系，渗透数学思想方法 2024年甲卷（理）第12题，5分 2023年甲卷（理）第8题，5分 2023年II卷第15题，5分 2022年II卷第15题，5分
圆与圆的圆的位置关系 掌握判定方法及应用 2022年II卷第14题，5分
1、直线与圆的位置关系
（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心到直线的距离，则：
直线与圆相交，交于两点，；
直线与圆相切；
直线与圆相离
（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由，
消元得到一元二次方程，判别式为，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
2、圆与圆的位置关系
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：
两圆相交；
两圆外切；.
302
两圆相离
两圆内切；
两圆内含（时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
3、关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆上一点的圆的切线方程为．
（2）过圆上一点的圆的切线方程为
（3）过圆上一点的圆的切线方程为
（4）求过圆外一点的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于的方程，求出值．若求出的值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．
1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
2．（2024年北京高考数学真题）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
4．（2024年天津高考数学真题）已知圆的圆心与抛物线的焦点重合，且两曲线在第一象限的交点为，则原点到直线的距离为 ．
5．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ．
6．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
7．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A．1 B． C． D．
9．（2022年新高考天津数学高考真题）若直线被圆截得的弦长为，则的值为 ．
10．（2022年新高考全国II卷数学真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是 ．
11．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ．
12．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）过四点中的三点的一个圆的方程为 ．
题型一：直线的方程
【典例1-1】已知，，若的平分线方程为，则所在直线的一般方程为 .
【典例1-2】光从介质1射入介质2发生折射时，入射角与折射角的正弦之比叫作介质2相对介质1的折射率.如图，一个折射率为的圆柱形材料，其横截面圆心在坐标原点，一束光以的入射角从空气中射入点，该光线再次返回空气中时，其所在直线的方程为 .
1、已知直线，直线，则，且(或)，.
2、点到直线(A，B不同时为零)的距离.
3、两条平行直线，(A，B不同时为零)间的距离.
【变式1-1】已知过原点的直线与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ．
【变式1-2】一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 ．
1.过定点A的直线与圆交于B，C两点，点B恰好为AC的中点，写出满足条件的一条直线的方程 ．
题型二：圆的方程
【典例2-1】如图是一个中国古典园林建筑中常见的圆形过径门，已知该门的最高点到地面的距离为米，门在地面处的宽度为米.现将其截面图放置在直角坐标系中，以地面所在的直线为轴，过圆心的竖直直线为轴，则门的轮廓所在圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-2】过点引圆：的两条切线，切点分别为，．若，则过，，三点的圆的方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
1、圆的方程
（1）圆的定义
在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆
（2）圆的标准方程
设圆心的坐标，半径为，则圆的标准方程为：
（3）圆的一般方程
圆方程为，圆心坐标：，半径：
【变式2-1】已知直线l与抛物线交于A，B两点（B在第一象限），C是抛物线的准线与直线l的交点，F是抛物线G的焦点，若，则以AB为直径的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
1.已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型三：直线、圆的位置关系
【典例3-1】若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】在平面直角坐标系中，满足不等式组的点表示的区域面积为（ ）
A． B． C． D．
1、直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.
2、圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.
【变式3-1】设圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线的距离均为2，则实数（ ）
A． B．1 C．21 D．31
【变式3-2】已知圆与圆交于、两点，则（为圆的圆心）面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
1.设有一组圆，若圆上恰有两点到原点的距离为1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型四：圆的动点与距离问题
【典例4-1】若实数、满足条件，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】已知点，，若圆上存在点P满足，则实数a的取值的范围是 ．
解决与圆相关的长度或距离的最值问题，通常的策略是根据所涉及的长度或距离的几何定义，借助圆的几何特性，通过数形结合的方法来寻找解答。
【变式4-1】已知点是圆上一点，则的范围是 ．
【变式4-2】已知点P(m，n)在圆上运动，则的最大值为 ，最小值为 ，的范围为 ．
1.已知实数x，y满足，则的最小值为 ．
题型五：阿氏圆
【典例5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得 阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【典例5-2】古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为抛物线上的动点，在直线上的射影为，则的最小值为 .
一般地，平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，此圆被叫做“阿波罗尼斯圆”．特殊地，当时，点P的轨迹是线段AB的中垂线．
【变式5-1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为 .若点Р在圆上，则的最小值是 .
【变式5-2】已知实数满足，则的最小值为 .
1.阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得 阿基米德并称亚历山大时期数学三巨匠.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆.”人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点P是满足的阿氏圆上的任意一点，则该阿氏圆的方程为 ；若Q为抛物线上的动点，Q在y轴上的射影为M，则的最小值为 .
题型六：米勒定理与角度问题
【典例6-1】（多选题）已知点在圆：上，点，，则下列说法中正确的是（ ）
A．点到直线的距离小于6 B．点到直线的距离大于2
C．的最大值为 D．的最大值为
【典例6-2】德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定理”（也称“米勒定理”）：若点是的边上的两个定点，C是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点C时，最大．在平面直角坐标系中，已知点，，点F是y轴负半轴的一个动点，当最大时，的外接圆的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
米勒定理：已知点，是的边上的两个定点，点是边上的一动点，则当且仅当三角形的外接圆与边相切于点时，最大．
【变式6-1】已知为坐标原点，点，圆，点为圆上的一动点，则的最小值为 .
【变式6-2】已知圆C：，点P是圆C上的动点，点，当最大时，所在直线的方程是 .
1.已知，，是圆上的一个动点，则的最大值为 .
题型七：圆的数形结合
【典例7-1】过直线上一点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】已知是圆上一动点，若直线上存在两点，使得能成立，则线段的长度的最小值是（ ）
A． B． C． D．
利用几何意义转化
【变式7-1】已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
1.在平面直角坐标系xOy中，已知直线与直线交于点P，则对任意实数a，的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
重难点突破：与距离问题有关的最值
【典例8-1】已知，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例8-2】，，函数的最小值为 .
利用几何意义转化
【变式8-1】已知，则的最小值为 .
1.著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决．已知，则的最小值为 ．
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