资源简介

1.因数和倍数的意义：在 a×b＝c(a、b、c均是非0自然数)中，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。
2.求一个数的因数的方法：
(1)找一个数的因数的方法：①列乘法算式。有序地写出两个整数相乘得这个数的所有乘法算式，相乘的两个数都是这个数的因数。②列除法算式。有序地写出用这个数分别除以大于或等于1且小于或等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数的所有除法算式，这些除数和商都是这个数的因数。(2)表示一个数的因数的方法： ①列举法。②集合法。
3.一个数的因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。3.求一个数的倍数的方法：
(1)找一个数的倍数的方法：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积都是这个数的倍数。
(2)表示一个数的倍数的方法：①列举法。②集合法。
(3)一个数的倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
1.个位上是5或0的数是5的倍数；个位上是2，4，6，8或0的数是2的倍数。
2.个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。
3.是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数。
1.3的倍数特征：一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就一定是3的倍数。
1.一个数只有1和它本身两个因数，像这样的数叫作质数(或素数)；一个数除了1和它本身还有别的因数，像这样的数叫作合数。
2.1既不是质数，也不是合数。
3.判断一个数是质数还是合数，只需要看这个数除了1和它本身两个因数外，是否还有其他因数。如果没有，这个数就是质数；如果有，这个数就是合数。
1.如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。
2.把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。
3.分解质因数的方法：枝状图分解法和短除法。
4.分解质因数的书写方法：把要分解的数写在等号的左边，把分解得到的质数用连乘的形式写在等号的右边。
1.公因数的意义：
（1）几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。
（2）因为一个数的因数的个数是有限的，所以几个数的公因数的个数也是有限的，它们既有最小的公因数，也有最大的公因数。
2.求两个数的公因数和最大公因数的方法：
（1）几个数公有的因数，叫作它们的公因数，其中最大的公因数叫作这几个数的最大公因数。
（2）求两个数的公因数，可以用列举法分别找出每个数的因数，再找出两个数的公因数；也可以先找出一个数的因数，再从这些因数中找出另一个数的因数，从而找出这两个数的公因数。
1.求两个数的公倍数和最小公倍数，可以分别列举出这两个数的若干个倍数，再从中找出这两个数的公倍数，其中最小的就是它们的最小公倍数；也可以先列举出较大数的若干个倍数，再从这些倍数中找出较小数的倍数，从而找出这两个数的公倍数，其中最小的就是它们的最小公倍数。
1.两个自然数相加：偶数＋偶数＝偶数　奇数＋奇数＝偶数　奇数＋偶数＝奇数
2.几个自然数相加，当加数中奇数的个数是奇数时，和是奇数；当加数中奇数的个数是偶数时，和是偶数。
3.几个自然数相乘，乘数都是奇数，积也是奇数；乘数中只要有一个偶数，积就是偶数。
1、因数和倍数是两个相互依存的概念，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，因数和倍数不能单独存在。
2、一个数的倍数都大于或等于它本身，而因数都小于或等于它本身。
3、3的倍数也可以是偶数。
4、如果a是自然数，偶数可用2a来表示，a+2并不能表示偶数。
5、1既不是质数，也不是合数。
6.、最小的质数是2，最小的合数是4。
7、2是唯一的一个偶质数。
8、分解质因数时，除数和商都不能是1，因为1不是质数。
9、如果两个数只有公因数1，那么1就是这两个数的最大公因数。
10、只有两个数成倍数关系时，较小的数才是这两个数的最大公因数。
11、几个数的公倍数的个数是无限的。
12、当两个数成倍数关系时，较大的数就是它们的最小公倍数。
【考点精讲一】（23-24五年级下·江苏淮安·期中）用尽可能少的小正方形纸片把下面的长方形铺满。可以选择边长是多少厘米的正方形？需要多少张小正方形纸片？（小正方形的边长是整厘米数）
【答案】6厘米；6张
【分析】小正方形纸片的边长必须既是12的因数，又是18的因数，要尽可能少的小正方形纸片把长方形铺满，那么选择小正方形的边长就是求12和18的最大公因数；需要的张数＝长方形的面积÷正方形纸片的面积；结合长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，代入相应数值计算，据此解答。
【详解】12＝2×2×3
18＝2×3×3
2×3＝6，所以12和18的最大公因数是6，即可以选择边长是6厘米的小正方形。
（18×12）÷（6×6）
＝216÷36
＝6（张）
答：可以选择边长是6厘米的正方形，需要6张小正方形纸片。
【考点精讲二】（23-24五年级下·江苏盐城·期中）用长20厘米、宽16厘米的长方形，照下图的样子拼成正方形。拼成的正方形的边长最小是多少厘米？需要几个长方形？
【答案】80厘米；20个
【分析】拼成的正方形的边长既是20的倍数也是16的倍数，且边长还要最小，所以正方形的边长就是20和16的最小公倍数，先把20和16分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。根据求出的正方形的边长进行分析：看能放几排，几列，然后相乘即可。
【详解】20＝2×2×5
16＝2×2×2×2
所以20和16的最小公倍数是2×2×5×2×2＝80
所以正方形的边长最小是80厘米。
（80÷20）×（80÷16）
＝4×5
＝20（个）
答：拼成的正方形的边长最小是80厘米，需要20个长方形。
【考点精讲三】（22-23五年级下·江苏淮安·期中）在本学期的因数和倍数的学习中，我们了解过像6、28等这样的完全数（6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是1＋2＋3＝6），这是古希腊的数学家毕达哥拉斯在对数的研究过程中发现的。其实他在研究的过程中还发现了有趣的“亲和数”。例如：A的所有因数除去本身外，其它的因数加起来等于B；而B的所有因数除去本身外，所有的因数加起来等于A。那么A和B这两个数字就被称为“亲和数”。人类发现的最小的一对“亲和数”是220和（ ）。你知道括号里的数字是多少吗？请写出你的计算过程。
【答案】284，过程见详解
【分析】根据“亲和数”的意义，先找出220的所有因数，再将除了它本身以外的其他因数相加，即可解答。
【详解】220＝1×220＝2×110＝4×55＝5×44＝10×22＝11×20
220的因数有：1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110、220
1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110＝284
答：最小的一对”亲和数“是220和284。
【点睛】解答本题需准确理解”亲和数“的意义和计算方法。
【考点精讲四】（22-23五年级下·江苏徐州·期中）摆一摆：从0、1、3、8这4个数字卡片中选出3个，按要求组成一个三位数，并说说你的想法。
（1）组成的数是3的倍数。
（2）组成的数是偶数，同时有因数3和5。
【答案】（1）138、183、318、381、831、813、801、810、180、108；
（2）810、180
【分析】（1）3的倍数特征：一个数各个数位上的数的和是3的倍数；
（2）要求组成的数是偶数，同时有因数3和5，也就是组成的数同时是2、3、5的倍数，同时是2、3、5的倍数特征：个位是0，各个数位上的数字之和是3的倍数，据此解答。
【详解】故分析可知，
（1）组成的数是3的倍数有：138、183、318、381、831、813、801、810、180、108；
（2）组成的数是偶数，同时有因数3和5的数有：810、180；
【点睛】熟练掌握2、3、5的倍数的特征是解题的关键。
【考点精讲五】（22-23五年级下·江苏徐州·期中）想一想：9的倍数有什么特征？
说一说：9的倍数一定是3的倍数吗？3的倍数一定是9的倍数吗？说明你的理由。
【答案】见详解
【详解】答：根据找一个倍数的方法，用这个数分别乘自然数1、2、3、4、5……，所得积就是这个数的倍数，进行解答即可。如：
9的倍数的特征：各个位上的数字之和是9的倍数。
本题考查的目的是理解掌握3、9的倍数的特征及应用，明确：是9的倍数一定是3的倍数，3的倍数不一定是9的倍数。
例如：3是3的倍数，但3不是9的倍数。
【考点精讲六】（23-24五年级下·广西防城港·期中）200多年前，德国数学家哥德巴赫提出了一个命题：“凡是大于4的偶数都可以表示成两个奇质数的和。”这就是著名的“哥德巴赫猜想”，你能举出四个例子验证这个猜想吗？
【答案】见详解
【分析】非零自然数中除了1和它本身外没有其他的因数的数是质数；假设这个偶数是6，找出小于6的质奇数，列加法算式验证6是否可以用两个积质数的和表示。
【详解】根据“凡是大于4的偶数都可以表示成两个奇质数的和”举例：
6＝3＋3
8＝3＋5
10＝3＋7
12＝7＋5
答：经举例验证，凡是大于4的偶数都可以表示成两个奇质数的和。
（答案不唯一）
【考点精讲七】（23-24五年级下·山西大同·期中）张奶奶家门前有一个长20米，宽12米的长方形池塘，张奶奶要在池塘四周围一圈挡板，为了美观张奶奶要求所用每块挡板的长度相同。至少需要几块长度相等的挡板？
【答案】16块
【分析】根据题意，要求所用每块挡板的长度相同，那么挡板的长度是20和12的公因数；
求至少需要几块长度相等的挡板，那么每块挡板的长度要最大，也就是求20和12的最大公因数；
把20和12分解质因数后，把它们公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，即可得出挡板的最大长度。
然后根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，求出长方形池塘一周的长度，再除以每块挡板的长度，即是至少需要挡板的总块数。
【详解】20＝2×2×5
12＝2×2×3
20和12的最大公因数是：2×2＝4
即每块挡板最长是4米。
（20＋12）×2
＝32×2
＝64（米）
64÷4＝16（块）
答：至少需要16块长度相等的挡板。
【考点精讲八】（23-24五年级下·江苏徐州·期中）为了展示少先队员的风采，我校举行了“淳美小歌手”才艺大赛，五年级参赛选手在20～30人之间，正好是3的倍数，也是4的倍数。担任评委的有学生代表、家长代表和教师代表，学生代表人数是最小的质数，家长代表人数是3的最大因数，教师代表人数是最小的合数。
（1）五年级参赛选手有（ ）人；担任评委的有（ ）人。
（2）五年级参赛选手中女生人数是男生人数的1.4倍，参加比赛的男、女生各有多少人？（列方程解答）
（3）在这次比赛中，女选手平均得分9.6分，女选手总得分比男选手高40.4分，男选手平均得分是多少分？（列方程解答）
（4）比赛时，每位选手平均用时3.2分钟，每两位选手上、下场平均耗时0.8分钟。这次比赛从第一位选手表演开始，到最后一位选手表演结束为止。一共用时多少分钟？
【答案】（1）24；9
（2）男生：10人；女生：14人
（3）9.4分
（4）95.2分
【分析】（1）根据求最小公倍数的方法：两个数的最小公倍数是两个数的公有质因数与每一个独有质因数的连乘积；如果两个数为倍数关系，最小公倍数是较大的数；如果两个数为互质数；最小公倍数是两个数的乘积；据此求出3和4的最小公倍数，再找出在20～30之间3和4的倍数，就是五年级参赛的人数；
一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身，还有其他因数，这样的数叫做合数；最小的质数是2，最小的合数是4；一个是最大的因数是它本身；据此解答。
（2）设男生人数有x人，女生人数是男生人数的1.4倍，则女生人数有1.4x人，男生人数＋女生人数＝五年级参赛人数，据此列方程，解方程即可。
（3）设男选手平均得分是x分，用男生人数×男选手平均分，求出男选手获得分数；用女生人数×女选手平均分，求出女选手获得分数，再用女选手获得分数－男选手活动分数＝40.4，据此列方程，解方程，即可解答。
（4）用每位选手平均用时乘选手人数，求出表演时间；用每两位选手上下场平均消耗时乘选手人数减1，求出上下场耗时，最后把表演时间＋上下场耗时，即可解答。
【详解】（1）3和4是互质数，3和4的最小公倍数是3×4＝12；
12×2＝24；12×3＝36；……
五年级参赛选手有24人。
最小的质数是2；最小的合数是4；3的最小因数是3；
学生代表人数是2人，家长代表人数是3人，教师代表人数4人。
2＋3＋4
＝5＋4
＝9（人）
五年级参赛选手有24人；担任评委的有9人。
（2）解：设男生人数有x人，则女生人数是1.4x人。
x＋1.4x＝24
2.4x＝24
2.4x÷2.4＝24÷2.4
x＝10
女生：10×1.4＝14（人）
答：男生有10人，女生有14人。
（3）解：设男选手平均得分是x分。
9.6×14－10x＝40.4
134.4－10x＝40.4
134.4－10x＋10x＋40.4＝40.4－40.4＋10x
10x＝94
10x÷10＝94÷10
x＝9.4
答：男选手平均得分是9.4分。
（4）3.2×24＋0.8×（24－1）
＝76.8＋0.8×23
＝76.8＋18.4
＝95.2（分）
答：一共用时95.2分。
【考点精讲九】（23-24五年级下·江苏盐城·期中）在校园“读写节”活动中，学校准备把54本科普书和36本文艺书平均分给一些班级，且每个班分得的科普书数量相同，文艺书数量也相同。
（1）最多可以分给几个班级？
（2）这时每个班级分得多少本？
【答案】（1）18个
（2）5本
【分析】（1）由题意可知，最多可以分给的班级数量就是54和36的最大公因数，据此解答即可；
（2）用54和36分别除以它们的最大公因数，再相加即可。
【详解】（1）54＝2×3×3×3
36＝2×2×3×3
54和36的最大公因数为：2×3×3＝18
答：最多可以分给18个班级。
（2）54÷18＋36÷18
＝3＋2
＝5（本）
答：这时每个班级分得5本。
【考点精讲十】（23-24五年级下·江苏·期中）用长4厘米、宽3厘米的长方形，照下图的样子接着拼，拼成正方形。拼成的正方形边长最小是多少厘米？
【答案】12厘米
【分析】正方形的四条边长度相等。用长方形拼成正方形，则正方形的边长是长方形的长与宽的公倍数。求拼成的正方形边长最小是多少厘米，也就是求4和3的最小公倍数是多少。据此解答即可。
【详解】3和4的最小公倍数：3×4＝12
答：拼成的正方形边长最小是12厘米。
一、解答题
1．（22-23五年级下·安徽蚌埠·期末）某学校艺术团为庆祝建校80周年编排节目，需要用彩带制作花篮。如果把图中两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共可以剪成这样的短彩带多少根？
2．（23-24五年级下·安徽合肥·期末）在城市较高建筑物的顶端应当设置航空障碍灯，通过间隔一段时间闪光的方式提醒过往飞机。一天晚上，小兰观察高楼上的障碍灯，发现第一盏灯每2秒闪一次，第二盏灯每3秒闪一次，第三盏灯每5秒闪一次，从某次三盏灯同时闪了之后开始计时，到2分钟结束时，三盏灯同时又闪了多少次？
3．（23-24五年级下·河南平顶山·期末）给一个长40分米，宽32分米的房间铺正方形地砖，如果要让使用的地砖必须都是整块，选择的地砖边长最大是多少分米？至少需要几块？
4．（23-24五年级下·江苏宿迁·期末）纵桨飞舟，粽叶飘香，赛龙舟是端午佳节的重要组成部分，是中华文化的传承。为弘扬中华传统文化，彰显“水润之城”的城市内涵，6月10日，有38支来自各县区的代表队在市区古黄河金鹰段举办2024宿迁端午龙舟赛。赛道上原来有21个浮漂（首尾各有一个），每两个浮漂之间距离是15米。现在每两个浮漂之间距离改为20米，不需要重新替换的浮漂有多少个？
5．（23-24五年级下·山西大同·期末）五（1）班的同学分组合作学习，每4人一组多1人，每5人一组多1人，每8人一组也多1人。五（1）班至少有多少人？
6．（23-24五年级下·江苏淮安·期末）工地上有两根钢管，一根长36分米，另一根长63分米。因施工需要，把它们都锯成长度相等的小段，每段要尽可能长，且没有剩余。每段钢管长多少分米？一共能锯成多少段？
7．（23-24五年级下·江苏淮安·期末）小张和小李在同一家公司上班。小张每5天值一次夜班，小李每4天值一次夜班。5月13日他们同时值夜班，下一次他们值班的是几月几日？
8．（23-24五年级下·江苏淮安·期末）李明家客厅长7.5米，宽6米，用正方形的地砖铺地正好铺满（不需要切割），正方形的地砖边长最大是多少分米？一共需要多少块这样的地砖？
9．（23-24五年级下·江苏扬州·期末）有一筐桃，数量不超过100个，平均分给5个小朋友，还剩2个，平均分给7个小朋友，也剩2个，这筐桃最多有多少个？
10．（23-24五年级下·贵州毕节·期末）体育课上，为了使队形整齐，要求站队时每行人数都相等。五一班有32名同学，可以排几行？共有几种站队的方法？（每行或每列不少于2人）
11．（23-24五年级下·安徽滁州·期末）去年暑假期间，小林每4天游泳一次，小军每3天游泳一次，7月31日两人在游泳馆相遇，八月份他们一共相遇了几次？
12．（23-24五年级下·江苏·期末）把一些苹果分给小朋友们，每人分3个或每人分5个都能正好分完。已知苹果个数在80~100个之间，一共有多少个苹果？
13．（22-23五年级下·江苏盐城·期中）一筐苹果在40~50个之间，丁丁6个6个地数，或8个8个地数，都余1个。这筐苹果一共有多少个？
14．（22-23五年级下·江苏泰州·期中）一张长方形的纸片长28厘米，宽22厘米。如下图，在纸的四边留2厘米的空白，然后把中间的长方形平均分成若干个相同的正方形，正方形的边长最大是多少厘米（边长是整厘米数）？至少可以分成多少个正方形？
15．（22-23五年级下·江苏淮安·期中）大赛组委会把46本编程图书和37个益智玩具分别平均分给一等奖获得者，结果编程图书少2本，益智玩具剩1个，那么最多有多少位同学获得一等奖？
16．（23-24五年级下·江苏常州·期中）学校买来了若干只篮球。如果把这些篮球平均分给3个班，则余1只；如果平均分给4个班，则余1只；如果平均分给5个班，则余1只。学校至少买来多少只篮球？
17．（23-24五年级下·江苏淮安·期中）某小学五年级组成腰鼓队，人数在60－80之间，他们无论是站成8人一行还是站成12人一行，都正好没有剩余。这支腰鼓队一共有多少人？
18．（23-24五年级下·江苏淮安·期中）用长8分米、宽6分米的长方形地砖铺地，至少用多少块可以铺成一个正方形？
19．（23-24五年级下·江苏淮安·期中）在一条长72米的长廊的一边摆花，原来每隔9米放一盆花，现在每隔6米放一盆花，一共有多少盆花不需要移动？（长廊两端各放一盆）
20．（23-24五年级下·江苏徐州·期中）甲、乙两人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，如果4月7日两人在图书馆相遇，那么他们下一次在图书馆相遇是几月几日？
21．（23-24五年级下·江苏徐州·期中）园林工人在长60米的小路两边每隔6米栽一棵树（首尾都栽），现在要改成每隔4米栽一棵树，那么不用移栽的树有多少棵？
22．（23-24五年级下·江苏盐城·期中）用96朵红花和72朵黄花扎成花束，要求每束花里红花的朵数相同，黄花的朵数也相同，且所有的花正好分完且没有剩余，最多可以扎多少束花？每束花中红花和黄花各有多少朵？
23．（23-24五年级下·山西大同·期中）今年1月份，小军和小丁去参加读书分享会。小军每6天去一次，小丁每8天去一次。1月2日两人在读书会上相遇，1月几日他们会再次相遇？
24．（23-24五年级下·江苏徐州·期中）有两根钢丝，长度分别是16米和20米，现在要把它们截成长度相同的小段，但每一根都不许剩余，每小段最长是多少米？一共可以截成多少段？
25．（23-24五年级下·江苏南京·期中）（1）探索：6和9的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。6和9的最大公因数与最小公倍数的乘积（ ）6×9。（填“＞”“小于”或“＝”）。
（2）发现：再找两组数继续研究一下，并写下你的发现。
（3）应用：如果两个数的最大公因数是a，最小公因数是b。已知其中一个数是24，那么另一个数是（ ）。
26．（23-24五年级下·江苏南京·期中）实践园的朱爷爷要把长24米、宽16米的长方形菜地分割成相同的正方形菜地，要使菜地全部用上没有剩余，所分割的正方形菜地边长最大是多少米？能分割成多少块这样的菜地？
27．（23-24五年级下·江苏南京·期中）你们听说过“韩信点兵——多多益善”这句歇后语吗？其实在数学中也有“韩信点兵”这一说法，它指代的是一种类型的数学问题，下面我们就来试着解答吧。
韩信带领1500名士兵去打仗，战死了四五百人。还未来得及清点人数，敌军已经追来，韩信急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，多出2人；5人一排，多出4人；7人一排，多出6人。韩信马上向将士们宣布：我军还有1049名勇士。
同学们，你知道韩信是怎么算出来的吗？尝试说一说。
28．（23-24五年级下·广西防城港·期中）一种长方形木块的长是12厘米，宽是10厘米，用这种木块铺成一个正方形（不允许切割），这个正方形的边长最少是多少厘米？至少要用多少块这样的木块？
29．（23-24五年级下·江苏盐城·期中）王老师每4天去图书馆一次，李老师每6天去图书馆一次，如果今年3月23日，他们两人在图书馆相遇，下一次他们俩在图书馆相遇应是几月几日？
30．（23-24五年级下·江苏·期中）用长12厘米、宽8厘米的长方形，照下图的样子拼成正方形。拼成的正方形边长最小是多少厘米？至少要用多少个这样的长方形才能拼成一个正方形？
31．（23-24五年级下·江苏徐州·期中）先在图中画一画，再填空。把一张长15厘米，宽9厘米的长方形纸裁成同样大的正方形。如果要求纸没有剩余，裁出的正方形边长最大是（ ）厘米，一共可以裁出（ ）个这样的正方形。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.因数和倍数的意义：在 a×b＝c(a、b、c均是非0自然数)中，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。
2.求一个数的因数的方法：
(1)找一个数的因数的方法：①列乘法算式。有序地写出两个整数相乘得这个数的所有乘法算式，相乘的两个数都是这个数的因数。②列除法算式。有序地写出用这个数分别除以大于或等于1且小于或等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数的所有除法算式，这些除数和商都是这个数的因数。(2)表示一个数的因数的方法： ①列举法。②集合法。
3.一个数的因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。3.求一个数的倍数的方法：
(1)找一个数的倍数的方法：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积都是这个数的倍数。
(2)表示一个数的倍数的方法：①列举法。②集合法。
(3)一个数的倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
1.个位上是5或0的数是5的倍数；个位上是2，4，6，8或0的数是2的倍数。
2.个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。
3.是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数。
1.3的倍数特征：一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就一定是3的倍数。
1.一个数只有1和它本身两个因数，像这样的数叫作质数(或素数)；一个数除了1和它本身还有别的因数，像这样的数叫作合数。
2.1既不是质数，也不是合数。
3.判断一个数是质数还是合数，只需要看这个数除了1和它本身两个因数外，是否还有其他因数。如果没有，这个数就是质数；如果有，这个数就是合数。
1.如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。
2.把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。
3.分解质因数的方法：枝状图分解法和短除法。
4.分解质因数的书写方法：把要分解的数写在等号的左边，把分解得到的质数用连乘的形式写在等号的右边。
1.公因数的意义：
（1）几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。
（2）因为一个数的因数的个数是有限的，所以几个数的公因数的个数也是有限的，它们既有最小的公因数，也有最大的公因数。
2.求两个数的公因数和最大公因数的方法：
（1）几个数公有的因数，叫作它们的公因数，其中最大的公因数叫作这几个数的最大公因数。
（2）求两个数的公因数，可以用列举法分别找出每个数的因数，再找出两个数的公因数；也可以先找出一个数的因数，再从这些因数中找出另一个数的因数，从而找出这两个数的公因数。
1.求两个数的公倍数和最小公倍数，可以分别列举出这两个数的若干个倍数，再从中找出这两个数的公倍数，其中最小的就是它们的最小公倍数；也可以先列举出较大数的若干个倍数，再从这些倍数中找出较小数的倍数，从而找出这两个数的公倍数，其中最小的就是它们的最小公倍数。
1.两个自然数相加：偶数＋偶数＝偶数　奇数＋奇数＝偶数　奇数＋偶数＝奇数
2.几个自然数相加，当加数中奇数的个数是奇数时，和是奇数；当加数中奇数的个数是偶数时，和是偶数。
3.几个自然数相乘，乘数都是奇数，积也是奇数；乘数中只要有一个偶数，积就是偶数。
1、因数和倍数是两个相互依存的概念，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，因数和倍数不能单独存在。
2、一个数的倍数都大于或等于它本身，而因数都小于或等于它本身。
3、3的倍数也可以是偶数。
4、如果a是自然数，偶数可用2a来表示，a+2并不能表示偶数。
5、1既不是质数，也不是合数。
6.、最小的质数是2，最小的合数是4。
7、2是唯一的一个偶质数。
8、分解质因数时，除数和商都不能是1，因为1不是质数。
9、如果两个数只有公因数1，那么1就是这两个数的最大公因数。
10、只有两个数成倍数关系时，较小的数才是这两个数的最大公因数。
11、几个数的公倍数的个数是无限的。
12、当两个数成倍数关系时，较大的数就是它们的最小公倍数。
【考点精讲一】（23-24五年级下·江苏淮安·期中）用尽可能少的小正方形纸片把下面的长方形铺满。可以选择边长是多少厘米的正方形？需要多少张小正方形纸片？（小正方形的边长是整厘米数）
【答案】6厘米；6张
【分析】小正方形纸片的边长必须既是12的因数，又是18的因数，要尽可能少的小正方形纸片把长方形铺满，那么选择小正方形的边长就是求12和18的最大公因数；需要的张数＝长方形的面积÷正方形纸片的面积；结合长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，代入相应数值计算，据此解答。
【详解】12＝2×2×3
18＝2×3×3
2×3＝6，所以12和18的最大公因数是6，即可以选择边长是6厘米的小正方形。
（18×12）÷（6×6）
＝216÷36
＝6（张）
答：可以选择边长是6厘米的正方形，需要6张小正方形纸片。
【考点精讲二】（23-24五年级下·江苏盐城·期中）用长20厘米、宽16厘米的长方形，照下图的样子拼成正方形。拼成的正方形的边长最小是多少厘米？需要几个长方形？
【答案】80厘米；20个
【分析】拼成的正方形的边长既是20的倍数也是16的倍数，且边长还要最小，所以正方形的边长就是20和16的最小公倍数，先把20和16分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。根据求出的正方形的边长进行分析：看能放几排，几列，然后相乘即可。
【详解】20＝2×2×5
16＝2×2×2×2
所以20和16的最小公倍数是2×2×5×2×2＝80
所以正方形的边长最小是80厘米。
（80÷20）×（80÷16）
＝4×5
＝20（个）
答：拼成的正方形的边长最小是80厘米，需要20个长方形。
【考点精讲三】（22-23五年级下·江苏淮安·期中）在本学期的因数和倍数的学习中，我们了解过像6、28等这样的完全数（6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是1＋2＋3＝6），这是古希腊的数学家毕达哥拉斯在对数的研究过程中发现的。其实他在研究的过程中还发现了有趣的“亲和数”。例如：A的所有因数除去本身外，其它的因数加起来等于B；而B的所有因数除去本身外，所有的因数加起来等于A。那么A和B这两个数字就被称为“亲和数”。人类发现的最小的一对“亲和数”是220和（ ）。你知道括号里的数字是多少吗？请写出你的计算过程。
【答案】284，过程见详解
【分析】根据“亲和数”的意义，先找出220的所有因数，再将除了它本身以外的其他因数相加，即可解答。
【详解】220＝1×220＝2×110＝4×55＝5×44＝10×22＝11×20
220的因数有：1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110、220
1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110＝284
答：最小的一对”亲和数“是220和284。
【点睛】解答本题需准确理解”亲和数“的意义和计算方法。
【考点精讲四】（22-23五年级下·江苏徐州·期中）摆一摆：从0、1、3、8这4个数字卡片中选出3个，按要求组成一个三位数，并说说你的想法。
（1）组成的数是3的倍数。
（2）组成的数是偶数，同时有因数3和5。
【答案】（1）138、183、318、381、831、813、801、810、180、108；
（2）810、180
【分析】（1）3的倍数特征：一个数各个数位上的数的和是3的倍数；
（2）要求组成的数是偶数，同时有因数3和5，也就是组成的数同时是2、3、5的倍数，同时是2、3、5的倍数特征：个位是0，各个数位上的数字之和是3的倍数，据此解答。
【详解】故分析可知，
（1）组成的数是3的倍数有：138、183、318、381、831、813、801、810、180、108；
（2）组成的数是偶数，同时有因数3和5的数有：810、180；
【点睛】熟练掌握2、3、5的倍数的特征是解题的关键。
【考点精讲五】（22-23五年级下·江苏徐州·期中）想一想：9的倍数有什么特征？
说一说：9的倍数一定是3的倍数吗？3的倍数一定是9的倍数吗？说明你的理由。
【答案】见详解
【详解】答：根据找一个倍数的方法，用这个数分别乘自然数1、2、3、4、5……，所得积就是这个数的倍数，进行解答即可。如：
9的倍数的特征：各个位上的数字之和是9的倍数。
本题考查的目的是理解掌握3、9的倍数的特征及应用，明确：是9的倍数一定是3的倍数，3的倍数不一定是9的倍数。
例如：3是3的倍数，但3不是9的倍数。
【考点精讲六】（23-24五年级下·广西防城港·期中）200多年前，德国数学家哥德巴赫提出了一个命题：“凡是大于4的偶数都可以表示成两个奇质数的和。”这就是著名的“哥德巴赫猜想”，你能举出四个例子验证这个猜想吗？
【答案】见详解
【分析】非零自然数中除了1和它本身外没有其他的因数的数是质数；假设这个偶数是6，找出小于6的质奇数，列加法算式验证6是否可以用两个积质数的和表示。
【详解】根据“凡是大于4的偶数都可以表示成两个奇质数的和”举例：
6＝3＋3
8＝3＋5
10＝3＋7
12＝7＋5
答：经举例验证，凡是大于4的偶数都可以表示成两个奇质数的和。
（答案不唯一）
【考点精讲七】（23-24五年级下·山西大同·期中）张奶奶家门前有一个长20米，宽12米的长方形池塘，张奶奶要在池塘四周围一圈挡板，为了美观张奶奶要求所用每块挡板的长度相同。至少需要几块长度相等的挡板？
【答案】16块
【分析】根据题意，要求所用每块挡板的长度相同，那么挡板的长度是20和12的公因数；
求至少需要几块长度相等的挡板，那么每块挡板的长度要最大，也就是求20和12的最大公因数；
把20和12分解质因数后，把它们公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，即可得出挡板的最大长度。
然后根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，求出长方形池塘一周的长度，再除以每块挡板的长度，即是至少需要挡板的总块数。
【详解】20＝2×2×5
12＝2×2×3
20和12的最大公因数是：2×2＝4
即每块挡板最长是4米。
（20＋12）×2
＝32×2
＝64（米）
64÷4＝16（块）
答：至少需要16块长度相等的挡板。
【考点精讲八】（23-24五年级下·江苏徐州·期中）为了展示少先队员的风采，我校举行了“淳美小歌手”才艺大赛，五年级参赛选手在20～30人之间，正好是3的倍数，也是4的倍数。担任评委的有学生代表、家长代表和教师代表，学生代表人数是最小的质数，家长代表人数是3的最大因数，教师代表人数是最小的合数。
（1）五年级参赛选手有（ ）人；担任评委的有（ ）人。
（2）五年级参赛选手中女生人数是男生人数的1.4倍，参加比赛的男、女生各有多少人？（列方程解答）
（3）在这次比赛中，女选手平均得分9.6分，女选手总得分比男选手高40.4分，男选手平均得分是多少分？（列方程解答）
（4）比赛时，每位选手平均用时3.2分钟，每两位选手上、下场平均耗时0.8分钟。这次比赛从第一位选手表演开始，到最后一位选手表演结束为止。一共用时多少分钟？
【答案】（1）24；9
（2）男生：10人；女生：14人
（3）9.4分
（4）95.2分
【分析】（1）根据求最小公倍数的方法：两个数的最小公倍数是两个数的公有质因数与每一个独有质因数的连乘积；如果两个数为倍数关系，最小公倍数是较大的数；如果两个数为互质数；最小公倍数是两个数的乘积；据此求出3和4的最小公倍数，再找出在20～30之间3和4的倍数，就是五年级参赛的人数；
一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身，还有其他因数，这样的数叫做合数；最小的质数是2，最小的合数是4；一个是最大的因数是它本身；据此解答。
（2）设男生人数有x人，女生人数是男生人数的1.4倍，则女生人数有1.4x人，男生人数＋女生人数＝五年级参赛人数，据此列方程，解方程即可。
（3）设男选手平均得分是x分，用男生人数×男选手平均分，求出男选手获得分数；用女生人数×女选手平均分，求出女选手获得分数，再用女选手获得分数－男选手活动分数＝40.4，据此列方程，解方程，即可解答。
（4）用每位选手平均用时乘选手人数，求出表演时间；用每两位选手上下场平均消耗时乘选手人数减1，求出上下场耗时，最后把表演时间＋上下场耗时，即可解答。
【详解】（1）3和4是互质数，3和4的最小公倍数是3×4＝12；
12×2＝24；12×3＝36；……
五年级参赛选手有24人。
最小的质数是2；最小的合数是4；3的最小因数是3；
学生代表人数是2人，家长代表人数是3人，教师代表人数4人。
2＋3＋4
＝5＋4
＝9（人）
五年级参赛选手有24人；担任评委的有9人。
（2）解：设男生人数有x人，则女生人数是1.4x人。
x＋1.4x＝24
2.4x＝24
2.4x÷2.4＝24÷2.4
x＝10
女生：10×1.4＝14（人）
答：男生有10人，女生有14人。
（3）解：设男选手平均得分是x分。
9.6×14－10x＝40.4
134.4－10x＝40.4
134.4－10x＋10x＋40.4＝40.4－40.4＋10x
10x＝94
10x÷10＝94÷10
x＝9.4
答：男选手平均得分是9.4分。
（4）3.2×24＋0.8×（24－1）
＝76.8＋0.8×23
＝76.8＋18.4
＝95.2（分）
答：一共用时95.2分。
【考点精讲九】（23-24五年级下·江苏盐城·期中）在校园“读写节”活动中，学校准备把54本科普书和36本文艺书平均分给一些班级，且每个班分得的科普书数量相同，文艺书数量也相同。
（1）最多可以分给几个班级？
（2）这时每个班级分得多少本？
【答案】（1）18个
（2）5本
【分析】（1）由题意可知，最多可以分给的班级数量就是54和36的最大公因数，据此解答即可；
（2）用54和36分别除以它们的最大公因数，再相加即可。
【详解】（1）54＝2×3×3×3
36＝2×2×3×3
54和36的最大公因数为：2×3×3＝18
答：最多可以分给18个班级。
（2）54÷18＋36÷18
＝3＋2
＝5（本）
答：这时每个班级分得5本。
【考点精讲十】（23-24五年级下·江苏·期中）用长4厘米、宽3厘米的长方形，照下图的样子接着拼，拼成正方形。拼成的正方形边长最小是多少厘米？
【答案】12厘米
【分析】正方形的四条边长度相等。用长方形拼成正方形，则正方形的边长是长方形的长与宽的公倍数。求拼成的正方形边长最小是多少厘米，也就是求4和3的最小公倍数是多少。据此解答即可。
【详解】3和4的最小公倍数：3×4＝12
答：拼成的正方形边长最小是12厘米。
一、解答题
1．（22-23五年级下·安徽蚌埠·期末）某学校艺术团为庆祝建校80周年编排节目，需要用彩带制作花篮。如果把图中两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？一共可以剪成这样的短彩带多少根？
【答案】12厘米；7根
【分析】把图中两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，就是找到一个数既能被48整除，也能被36整除。最长的长度就是找出36和48的最大公因数。再分别除以最大公因数，算出两根彩带可以剪几根，相加即可。
【详解】
2×2×3＝12（厘米）
36÷12＝3（根）
48÷12＝4（根）
3＋4＝7（根）
答：每根短彩带最长是12厘米，一共可以剪成这样的短彩带7根。
2．（23-24五年级下·安徽合肥·期末）在城市较高建筑物的顶端应当设置航空障碍灯，通过间隔一段时间闪光的方式提醒过往飞机。一天晚上，小兰观察高楼上的障碍灯，发现第一盏灯每2秒闪一次，第二盏灯每3秒闪一次，第三盏灯每5秒闪一次，从某次三盏灯同时闪了之后开始计时，到2分钟结束时，三盏灯同时又闪了多少次？
【答案】4次
【分析】2，3，5的最小公倍数是30，也就是说每30秒三盏灯同时闪动1次；2分钟＝120秒，因为从某次三盏灯同时闪了之后开始计时，所以到下一次同时闪动需要30秒；用120除以30，求出120里面有几个30就是三盏灯又同时闪动了几次。
【详解】2，3，5的最小公倍数是2×3×5＝30，所以这三盏灯每隔30秒同时闪动一次。
2分＝120秒
120÷30＝4（次）
答：到2分钟结束时，三盏灯同时又闪了4次。
3．（23-24五年级下·河南平顶山·期末）给一个长40分米，宽32分米的房间铺正方形地砖，如果要让使用的地砖必须都是整块，选择的地砖边长最大是多少分米？至少需要几块？
【答案】8分米；20块
【分析】先求出40和32的最大公因数，即为正方形地砖的边长；据此分别求出房间的长边、宽边含有的正方形地砖的块数，再把两个数相乘即可求出可以需要的正方形地砖的块数
【详解】40＝2×2×2×5
32＝2×2×2×2×2
所以40和32的最大公因数是2×2×2＝8，即地砖边长最大是8分米。
（40÷8）×（32÷8）
＝5×4
＝20（块）
答：选择的地砖边长最大是8分米，至少需要20块。
4．（23-24五年级下·江苏宿迁·期末）纵桨飞舟，粽叶飘香，赛龙舟是端午佳节的重要组成部分，是中华文化的传承。为弘扬中华传统文化，彰显“水润之城”的城市内涵，6月10日，有38支来自各县区的代表队在市区古黄河金鹰段举办2024宿迁端午龙舟赛。赛道上原来有21个浮漂（首尾各有一个），每两个浮漂之间距离是15米。现在每两个浮漂之间距离改为20米，不需要重新替换的浮漂有多少个？
【答案】6个
【分析】赛道上原来有21个浮漂，首尾各有一个，所以赛道总长是（21－1）个15米，即300米。现在每两个浮漂之间距离改为20米，不需要重新替换的浮漂就是15和20的公倍数，15和20的最小公倍数是60，所以不需要重新替换的浮漂有（300÷60＋1）个。
【详解】21－1＝20（个）
20×15＝300（米）
15＝3×5
20＝2×2×5
所以15和20的最小公倍数是：5×3×2×2＝60
300÷60＋1
＝5＋1
＝6（个）
答：不需要重新替换的浮漂有6个。
5．（23-24五年级下·山西大同·期末）五（1）班的同学分组合作学习，每4人一组多1人，每5人一组多1人，每8人一组也多1人。五（1）班至少有多少人？
【答案】41人
【分析】每4人一组多1人，每5人一组多1人，每8人一组也多1人，说明五（1）班的总人数比4、5、8的公倍数多1。求五（1）班至少有多少人，求出4、5、8的最小公倍数，再加上1即可解答。
用质因数分解法可以求几个数的最小公倍数。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。
【详解】4＝2×2
5的质因数只有5。
8＝2×2×2
则4、5、8的最小公倍数是2×2×5×2＝40。
40＋1＝41（人）
答：五（1）班至少有41人。
6．（23-24五年级下·江苏淮安·期末）工地上有两根钢管，一根长36分米，另一根长63分米。因施工需要，把它们都锯成长度相等的小段，每段要尽可能长，且没有剩余。每段钢管长多少分米？一共能锯成多少段？
【答案】9分米；11段
【分析】已知两根钢管要把它们剪成同样长的小段，每段长要尽可能长，且没有剩余，求每段钢管长多少米，就是求36和63的最大公因数；然后分别用36和63除以它们的最大公因数，即可求出两根钢管各自剪成的段数，最后相加即可。
【详解】36＝2×2×3×3
63＝3×3×7
36和63的最大公因数3×3＝9
36÷9＋63÷9
＝4＋7
＝11（段）
答：每段钢管长9分米，一共能锯成11段。
7．（23-24五年级下·江苏淮安·期末）小张和小李在同一家公司上班。小张每5天值一次夜班，小李每4天值一次夜班。5月13日他们同时值夜班，下一次他们值班的是几月几日？
【答案】6月2日
【分析】由小张每5天值一次夜班，小李每4天值一次夜班，可知：他们从5月13日到下一次都值夜班之间的天数是5和4的最小公倍数的数，最小公倍数是20，因此再求出5月里还有几天，最后用20减去5月里剩下的天数，得数是几就是6月几日。据此解答。
【详解】5和4互质，所以5和4的最小公倍数：5×4＝20；
5月是大月有31天，所以5月里还有：31－13＝18（天）；
还剩下：20－18＝2（天）；
答：下一次都值班是6月2日。
8．（23-24五年级下·江苏淮安·期末）李明家客厅长7.5米，宽6米，用正方形的地砖铺地正好铺满（不需要切割），正方形的地砖边长最大是多少分米？一共需要多少块这样的地砖？
【答案】15分米；20块
【分析】先统一单位，根据1米＝10分米，7.5米＝75分米，6米＝60分米。
根据题意，给长7.5米，宽6米的客厅的地面辅设同样大小的正方形地砖，正好辅满，那么地砖的边长是75和60的公因数；当正方形地砖的边长最大时，边长为75和60的最大公因数；把75和60分解质因数后，把公有的质因数乘起来就是它们的最大公因数；用客厅总面积除以一块地砖的面积，就是一共需要的地砖块数。
【详解】7.5米＝75分米
6米＝60分米
75＝3×5×5
60＝2×2×3×5
75和60的最大公因数是：3×5＝15
即正方形地砖边长最大是15分米；
75×60÷（15×15）
＝75×60÷225
＝4500÷225
＝20（块）
答：正方形的地砖边长最大是15分米，一共需要20块这样的地砖。
9．（23-24五年级下·江苏扬州·期末）有一筐桃，数量不超过100个，平均分给5个小朋友，还剩2个，平均分给7个小朋友，也剩2个，这筐桃最多有多少个？
【答案】72个
【分析】根据题意，要求这筐桃子最多有多少个，先求出5和7的最小公倍数，再找出100以内5和7的最小公倍数的倍数，再加上2，即可解答。
【详解】5和7的最小公倍数是5×7＝35
100以内35的倍数有：35，70；
70＋2＝72（个）
72＜100，最多有72个。
答：这筐桃最多有72个。
10．（23-24五年级下·贵州毕节·期末）体育课上，为了使队形整齐，要求站队时每行人数都相等。五一班有32名同学，可以排几行？共有几种站队的方法？（每行或每列不少于2人）
【答案】4行或8行；2种
【分析】根据题意可知，每行人数×行数＝32，据此将32拆分成2个因数相乘，已知每行或每列不少于2人，据此判断有几种方法即可。
【详解】32＝1×32＝2×16＝4×8
因为每行或每列不少于2人，所以1×32、2×16不符合题意，所以有两种站队方法：①4行8列，②8行4列。
答：可以排4行或8行，共有2种站队的方法。
11．（23-24五年级下·安徽滁州·期末）去年暑假期间，小林每4天游泳一次，小军每3天游泳一次，7月31日两人在游泳馆相遇，八月份他们一共相遇了几次？
【答案】2次
【分析】已知小林每4天游泳一次，小军每3天游泳一次，那么两人同时去游泳的间隔天数就是4和3的公倍数。4和3是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积12。用八月的总天数除以它们的最小公倍数得到的整数商就是两人相遇的次数。
【详解】4和3的最小公倍数是：4×3＝12
即每12天他们相遇了一次。
8月份有31天。
31÷12＝2（次）……7（天）
答：八月份他们一共相遇了2次。
12．（23-24五年级下·江苏·期末）把一些苹果分给小朋友们，每人分3个或每人分5个都能正好分完。已知苹果个数在80~100个之间，一共有多少个苹果？
【答案】90个
【分析】一些苹果分给小朋友们吃，每人分3个或每人分5个都能正好分完，苹果的个数应是3和5的公倍数，先根据求最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数为两个数的乘积；求出3和5的最小公倍数；已知苹果在80～100个之间，所以这个公倍数应是在80和100之间的3和5的公倍数。据此解答。
【详解】3和5的最小公倍数：3×5＝15
苹果个数在80和100之间；
15×5＝75；75＜80；
15×6＝90；80＜90＜100，所以一共有90个苹果。
答：一共有90个苹果。
13．（22-23五年级下·江苏盐城·期中）一筐苹果在40~50个之间，丁丁6个6个地数，或8个8个地数，都余1个。这筐苹果一共有多少个？
【答案】49个
【分析】根据题意可知，如果将苹果总数减去1，则苹果总数是6和8的公倍数，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，先求出6和8的最小公倍数，再求出对应的公倍数；已知苹果在40~50个之间，则求出在40~50之间的6和8的公倍数再加1，即可求出苹果的总个数。
【详解】6＝2×3
8＝2×2×2
2×2×2×3＝24
24×2＝48
48＋1＝49
49在40~50之间。
答：这筐苹果一共有49个。
【点睛】本题考查了最小公倍数的求法和应用。
14．（22-23五年级下·江苏泰州·期中）一张长方形的纸片长28厘米，宽22厘米。如下图，在纸的四边留2厘米的空白，然后把中间的长方形平均分成若干个相同的正方形，正方形的边长最大是多少厘米（边长是整厘米数）？至少可以分成多少个正方形？
【答案】6厘米；12个
【分析】根据题意可知，中间长方形的长为（28－2－2）厘米，宽为（22－2－2）厘米，把中间的长方形平均分成若干个相同的正方形，求正方形的边长最大是多少厘米，就是求24和18的最大公因数，最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，也就是6厘米，然后根据长方形的面积公式，用24×18即可求出中间的长方形的面积，根据正方形的面积公式，用6×6即可求出一个正方形的面积，最后用中间的长方形的面积除以一个正方形的面积，即可求出正方形的个数。
【详解】中间长方形的长为：28－2－2＝24（厘米）
宽为：22－2－2＝18（厘米）
24＝2×2×2×3
18＝2×3×3
2×3＝6
24和18的最大公因数是6，
（24×18）÷（6×6）
＝432÷36
＝12（个）
答：正方形的边长最大是6厘米；至少可以分12个正方形。
【点睛】本题考查了最大公因数的求法和应用。
15．（22-23五年级下·江苏淮安·期中）大赛组委会把46本编程图书和37个益智玩具分别平均分给一等奖获得者，结果编程图书少2本，益智玩具剩1个，那么最多有多少位同学获得一等奖？
【答案】12位
【分析】由题意可知，图书和益智玩具如果分的没有剩余，则图书有46＋2＝48（套），益智玩具有37－1＝36（个），要想每人分得的数量相等，最多有多少位同学获得一等奖，就是求48和36的最大公因数。据此解答。
【详解】46＋2＝48（套）
37－1＝36（个）
48＝2×2×2×2×3
36＝2×2×3×3
48和36的最大公因数是：2×2×3＝12
答：最多有12位同学获得一等奖。
【点睛】此题考查的是最大公因数的应用，求两个数的最大公因数的方法是把两个数共有的因数相乘。
16．（23-24五年级下·江苏常州·期中）学校买来了若干只篮球。如果把这些篮球平均分给3个班，则余1只；如果平均分给4个班，则余1只；如果平均分给5个班，则余1只。学校至少买来多少只篮球？
【答案】61只
【分析】平均分给3个班，则余1只；如果平均分给4个班，则余1只；如果平均分给5个班，则余1只。说明篮球的数量比3、4、5的公倍数多1，求出3、4、5的最小公倍数，加1即可。
【详解】3×4×5＝60（只）
60＋1＝61（只）
答：学校至少买来61只篮球。
17．（23-24五年级下·江苏淮安·期中）某小学五年级组成腰鼓队，人数在60－80之间，他们无论是站成8人一行还是站成12人一行，都正好没有剩余。这支腰鼓队一共有多少人？
【答案】72人
【分析】根据题意可知腰鼓队的人数是8和12的公倍数，且人数在60到80之间，求出8和12的最小公倍数并在限定范围内找出合适的公倍数即可解答。
【详解】
8和12的最小公倍数是
8和12的公倍数有24、48、72、96……而在60和80之间的是72。
答：这支腰鼓队的人数是72人。
18．（23-24五年级下·江苏淮安·期中）用长8分米、宽6分米的长方形地砖铺地，至少用多少块可以铺成一个正方形？
【答案】12块
【分析】铺成的正方形的边长应是6和8的最小公倍数，计算求出6和8的最小公倍数，也就是铺成正方形的边长；要求至少用多少块长方形地砖，用铺成的正方形面积除以每块长方形的面积；结合正方形面积＝边长×边长，长方形面积＝长×宽，代入相应数值计算，据此解答。
【详解】6＝2×3
8＝2×2×2
2×3×2×2＝24，6和8的最小公倍数是24，也就是铺成的正方形的边长是24分米。
24×24÷（8×6）
＝576÷48
＝12（块）
答：至少用12块可以铺成一个正方形。
19．（23-24五年级下·江苏淮安·期中）在一条长72米的长廊的一边摆花，原来每隔9米放一盆花，现在每隔6米放一盆花，一共有多少盆花不需要移动？（长廊两端各放一盆）
【答案】5盆
【分析】原来每隔9米放一盆花，现在每隔6米放一盆花，先求出9和6的最小公倍数，9和6的最小公倍数就是不需要移动的花盆的间隔距离；根据盆数＝全长÷间隔距离＋1，代入数值计算现在一共需要放的盆数，也就是不需要移动的花盆数。
【详解】9＝3×3
6＝2×3
3×3×2＝18，9和6的最小公倍数是18。
72÷18＋1
＝4＋1
＝5（盆）
答：一共有5盆花不需要移动。
20．（23-24五年级下·江苏徐州·期中）甲、乙两人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，如果4月7日两人在图书馆相遇，那么他们下一次在图书馆相遇是几月几日？
【答案】5月1日
【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。求出两人间隔时间的最小公倍数是两人同时去借书的间隔时间。根据起点时间＋经过时间＝终点时间，结合4月有30天，推算出他们下一次在图书馆相遇的日期即可。
【详解】6＝2×3
8＝2×2×2
2×3×2×2＝24（天）
他俩再过24天就能都到图书馆，4月7日＋24天＝5月1日
答：他们下一次在图书馆相遇是5月1日。
21．（23-24五年级下·江苏徐州·期中）园林工人在长60米的小路两边每隔6米栽一棵树（首尾都栽），现在要改成每隔4米栽一棵树，那么不用移栽的树有多少棵？
【答案】12棵
【分析】不用移栽的树的间隔距离应是4和6的公倍数，用60除以4和6的公倍数，再加上1，就是一边不用移栽的树；因为在路两边都栽树，计算出结果再乘2即可。
【详解】4＝2×2
6＝2×3
因为4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12
60÷12＝5（棵）
5＋1＝6（棵）
6×2＝12（棵）
答：不用移栽的树有12棵。
22．（23-24五年级下·江苏盐城·期中）用96朵红花和72朵黄花扎成花束，要求每束花里红花的朵数相同，黄花的朵数也相同，且所有的花正好分完且没有剩余，最多可以扎多少束花？每束花中红花和黄花各有多少朵？
【答案】24束；红花4朵，黄花3朵
【分析】要使每束花里红花的朵数相同，黄花的朵数也相同，且所有的花正好分完且没有剩余，则扎成的花束的数量是96和72的公因数，最多扎的束数就是96和72的最大公因数。用质因数分解法可以求两个数的最大公因数，全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这两个数的最大公因数。
分别用96和72除以求得的最大公因数，即最多扎的束数，即可求出每束花中红花和黄花各有多少朵。
【详解】96＝2×2×2×2×2×3
72＝2×2×2×3×3
96和72的最大公因数是2×2×2×3＝24，则最多可以扎24束花。
红花：96÷24＝4（朵）
黄花：72÷24＝3（朵）
答：最多可以扎24束花。每束花中红花有4朵，黄花有3朵。
23．（23-24五年级下·山西大同·期中）今年1月份，小军和小丁去参加读书分享会。小军每6天去一次，小丁每8天去一次。1月2日两人在读书会上相遇，1月几日他们会再次相遇？
【答案】1月26日
【分析】还需要经过6和8的最小公倍数的天数，两人会再次相遇。将6和8分别分解质因数，公有质因数和独有质因数的乘积是这两个数的最小公倍数。据此解题。
【详解】6＝2×3
8＝2×2×2
所以，6和8的最小公倍数是2×3×2×2＝24。
1月2日＋24日＝1月26日
答：1月26日他们会再次相遇。
24．（23-24五年级下·江苏徐州·期中）有两根钢丝，长度分别是16米和20米，现在要把它们截成长度相同的小段，但每一根都不许剩余，每小段最长是多少米？一共可以截成多少段？
【答案】4米，9段
【分析】要把它们截成长度相同的小段，但每一根都不许剩余，求每小段最长的米数就是求两根钢丝米数的最大公因数；可以截成的段数＝两根钢丝的长度之和÷每段的长度，据此解答。
【详解】16＝2×2×2×2
20＝2×2×5
2×2＝4（米）
（16＋20）÷4
＝36÷4
＝9（段）
答：每小段最长是4米，一共可以截成9段。
25．（23-24五年级下·江苏南京·期中）（1）探索：6和9的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。6和9的最大公因数与最小公倍数的乘积（ ）6×9。（填“＞”“小于”或“＝”）。
（2）发现：再找两组数继续研究一下，并写下你的发现。
（3）应用：如果两个数的最大公因数是a，最小公因数是b。已知其中一个数是24，那么另一个数是（ ）。
【答案】（1）3；18；＝；
（2）两个不为0的不同的自然数，它们的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这个两个数的乘积。
（3）
【分析】（1）可先将6和9分解质因数，将相同因数相乘得到最大公因数，最大公因数再乘不同的因数得到最小公倍数。据此可得出答案。
（2）可找出6和8、4和6两组数，分别运用质因数法求出最大公因数及最小公倍数，据此可发现规律。
（3）根据找到的规律，则最大公因数a与最小公因数b的乘积等于这两个数的乘积，可计算得出答案。
【详解】（1）6＝2×3，9＝3×3，即6和9的最大公因数是3；最小公倍数是：2×3×3＝18。
3×18＝54，6×9＝54，即6和9的最大公因数与最小公倍数的乘积＝6×9。
（2）6和8，6＝2×3，8＝2×2×2，即6和8的最大公因数是2；最小公倍数是2×3×2×2＝24
2×24＝48，6×8＝48，即6和8的最大公因数与最小公倍数的乘积＝6×8。
4和6，4＝2×2，6＝2×3，即4和6的最大公因数是2；4和6最小公倍数是：2×2×3＝12。
2×12＝24，4×6＝24，即4和6的最大公因数与最小公倍数的乘积＝4×6。
我的发现：两个不为0的不同的自然数，它们的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这个两个数的乘积。
（3）根据规律得，另一个数为：ab÷24＝
26．（23-24五年级下·江苏南京·期中）实践园的朱爷爷要把长24米、宽16米的长方形菜地分割成相同的正方形菜地，要使菜地全部用上没有剩余，所分割的正方形菜地边长最大是多少米？能分割成多少块这样的菜地？
【答案】8米；6块
【分析】要把长24米、宽16米的长方形菜地分割成相同的正方形菜地，要使菜地全部用上没有剩余，就是求24和16的最大公因数。用24除以这个最大公因数，就得到它的长可以平均分成几段，再用16除以这个最大公因数，就可以得到它的宽可以平均分成几段，最后把这两个数相乘，就得到分割多少块这样的菜地。据此解答即可。
【详解】24＝3×2×2×2
16＝2×2×2×2
24和16的最大公因数是2×2×2＝8。
（24÷8）×（16÷8）
＝3×2
＝6（块）
答：所分割的正方形菜地边长最大是8米，能分割成6块这样的菜地。
27．（23-24五年级下·江苏南京·期中）你们听说过“韩信点兵——多多益善”这句歇后语吗？其实在数学中也有“韩信点兵”这一说法，它指代的是一种类型的数学问题，下面我们就来试着解答吧。
韩信带领1500名士兵去打仗，战死了四五百人。还未来得及清点人数，敌军已经追来，韩信急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，多出2人；5人一排，多出4人；7人一排，多出6人。韩信马上向将士们宣布：我军还有1049名勇士。
同学们，你知道韩信是怎么算出来的吗？尝试说一说。
【答案】见详解
【分析】根据题意可知，士兵3人一排，多出2人；5人排，多出4人；7人一排，多出6人，说明士兵的人数是3、5、7的公倍数少1，先求出3、5、7的最小公倍数，再根据士兵的人数在1000－1100之间，据此解答即可。
【详解】3、5、7的最小公倍数是：3×5×7＝105
105×10＝1050（名）
1050－1＝1049（名）
即还有1049名勇士。
28．（23-24五年级下·广西防城港·期中）一种长方形木块的长是12厘米，宽是10厘米，用这种木块铺成一个正方形（不允许切割），这个正方形的边长最少是多少厘米？至少要用多少块这样的木块？
【答案】60厘米；30块
【分析】求正方形的边长最小是多少厘米，即求12和10的最小公倍数，先把12和10进行分解质因数，这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积即是最小公倍数，再用除法计算正方形的边长包含几个木块的长边、几个木块的短边，据此解答。
【详解】12＝2×2×3
10＝2×5
12和10的最小公倍数是2×2×3×5＝60
（60÷12）×（60÷10）
＝5×6
＝30（块）
答：这个正方形的边长最少是60厘米，至少要用30块这样的木块。
【点睛】本题考查的是求最小公倍数应用题，掌握求最小公倍数的方法是解答关键。
29．（23-24五年级下·江苏盐城·期中）王老师每4天去图书馆一次，李老师每6天去图书馆一次，如果今年3月23日，他们两人在图书馆相遇，下一次他们俩在图书馆相遇应是几月几日？
【答案】4月4日
【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。
从题意可知：王老师每4天去图书馆一次，李老师每6天去图书馆一次。求出4和6的最小公倍数就是两人同时去借书的间隔时间。根据起点时间＋经过时间＝终点时间，结合3月有23日，推算出他们下一次在图书馆相遇的日期即可。
【详解】4＝2×2 6＝2×3
4和6的最小公倍数：2×2×3＝12
再过12天，两人在图书馆再一次相遇，3月23日＋12天＝4月4日。
答：下一次他们俩在图书馆相遇应是4月4日。
30．（23-24五年级下·江苏·期中）用长12厘米、宽8厘米的长方形，照下图的样子拼成正方形。拼成的正方形边长最小是多少厘米？至少要用多少个这样的长方形才能拼成一个正方形？
【答案】24厘米；6个
【分析】拼成正方形的边长是12厘米、8厘米的公倍数，拼成的最小边长是这两个数的最小公倍数；根据求两个数最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每一个独有质因数的连乘积；如果两个数为倍数关系：最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数为两个数的乘积；据此求出正方形最小边长，再分别利用除法求出需要几行几列的小长方形，从而利用乘法求出一共需要多少个长方形，据此解答。
【详解】12＝2×2×3
8＝2×2×2
12和8的最小公倍数为2×2×2×3＝24；正方形最小边长是24厘米。
（24÷12）×（24÷8）
＝2×3
＝6（个）
答：拼成的正方形边长最小是24厘米，至少要用6个这样的长方形才能拼成一个正方形。
31．（23-24五年级下·江苏徐州·期中）先在图中画一画，再填空。把一张长15厘米，宽9厘米的长方形纸裁成同样大的正方形。如果要求纸没有剩余，裁出的正方形边长最大是（ ）厘米，一共可以裁出（ ）个这样的正方形。
【答案】画图见详解；3；15
【分析】在图中画正方形时，要保证正方形边长最大，且没有剩余。
把一张长15厘米，宽9厘米的长方形纸裁成同样大的正方形且没有剩余，说明小正方形的边长是长、宽的公因数，求裁出的正方形的最大边长，就是求长、宽的最大公因数；用分解质因数的方法求出长、宽的最大公因数，再分别求出长、宽各可以剪几个，最后相乘就是至少剪的个数。
【详解】如图：
15＝3×5
9＝3×3
15和9的最大公因数是3；
即裁出的正方形边长最大是3厘米。
15÷3＝5（个）
9÷3＝3（个）
一共：5×3＝15（个）
裁出的正方形边长最大是3厘米，一共可以裁出15个这样的正方形。
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