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1.因数和倍数的意义：在 a×b＝c(a、b、c均是非0自然数)中，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。
2.求一个数的因数的方法：
(1)找一个数的因数的方法：①列乘法算式。有序地写出两个整数相乘得这个数的所有乘法算式，相乘的两个数都是这个数的因数。②列除法算式。有序地写出用这个数分别除以大于或等于1且小于或等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数的所有除法算式，这些除数和商都是这个数的因数。(2)表示一个数的因数的方法： ①列举法。②集合法。
3.一个数的因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。3.求一个数的倍数的方法：
(1)找一个数的倍数的方法：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积都是这个数的倍数。
(2)表示一个数的倍数的方法：①列举法。②集合法。
(3)一个数的倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
1.个位上是5或0的数是5的倍数；个位上是2，4，6，8或0的数是2的倍数。
2.个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。
3.是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数。
1.3的倍数特征：一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就一定是3的倍数。
1.一个数只有1和它本身两个因数，像这样的数叫作质数(或素数)；一个数除了1和它本身还有别的因数，像这样的数叫作合数。
2.1既不是质数，也不是合数。
3.判断一个数是质数还是合数，只需要看这个数除了1和它本身两个因数外，是否还有其他因数。如果没有，这个数就是质数；如果有，这个数就是合数。
1.如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。
2.把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。
3.分解质因数的方法：枝状图分解法和短除法。
4.分解质因数的书写方法：把要分解的数写在等号的左边，把分解得到的质数用连乘的形式写在等号的右边。
1.公因数的意义：
（1）几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。
（2）因为一个数的因数的个数是有限的，所以几个数的公因数的个数也是有限的，它们既有最小的公因数，也有最大的公因数。
2.求两个数的公因数和最大公因数的方法：
（1）几个数公有的因数，叫作它们的公因数，其中最大的公因数叫作这几个数的最大公因数。
（2）求两个数的公因数，可以用列举法分别找出每个数的因数，再找出两个数的公因数；也可以先找出一个数的因数，再从这些因数中找出另一个数的因数，从而找出这两个数的公因数。
1.求两个数的公倍数和最小公倍数，可以分别列举出这两个数的若干个倍数，再从中找出这两个数的公倍数，其中最小的就是它们的最小公倍数；也可以先列举出较大数的若干个倍数，再从这些倍数中找出较小数的倍数，从而找出这两个数的公倍数，其中最小的就是它们的最小公倍数。
1.两个自然数相加：偶数＋偶数＝偶数　奇数＋奇数＝偶数　奇数＋偶数＝奇数
2.几个自然数相加，当加数中奇数的个数是奇数时，和是奇数；当加数中奇数的个数是偶数时，和是偶数。
3.几个自然数相乘，乘数都是奇数，积也是奇数；乘数中只要有一个偶数，积就是偶数。
1、因数和倍数是两个相互依存的概念，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，因数和倍数不能单独存在。
2、一个数的倍数都大于或等于它本身，而因数都小于或等于它本身。
3、3的倍数也可以是偶数。
4、如果a是自然数，偶数可用2a来表示，a+2并不能表示偶数。
5、1既不是质数，也不是合数。
6.、最小的质数是2，最小的合数是4。
7、2是唯一的一个偶质数。
8、分解质因数时，除数和商都不能是1，因为1不是质数。
9、如果两个数只有公因数1，那么1就是这两个数的最大公因数。
10、只有两个数成倍数关系时，较小的数才是这两个数的最大公因数。
11、几个数的公倍数的个数是无限的。
12、当两个数成倍数关系时，较大的数就是它们的最小公倍数。
【考点精讲一】（23-24五年级下·江苏·期中）把6和9的倍数（60以内）、16和24的因数分别填在下面的圈里，再按要求填空。

6和9的最小公倍数是（ ）。 16和24的最大公因数是（ ）。
【答案】见详解
【分析】（1）根据题意，先分别找出60以内6的倍数和9的倍数，把它们的公倍数写在中间，各自的倍数写在两边，再从它们的公倍数中找出最小的数就是6和9的最小公倍数；
（2）先分别找出16和24的因数，再把它们的公因数写在中间，各自的因数写在两边，最后找出它们公因数中最大的数就是16和24的最大公因数。
【详解】60以内6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48，54；
60以内9的倍数有：9，18，27，36，45，54；
6和9的公倍数（60以内）有：18，36，54；
6和9的最小公倍数是：18。
16的因数有：1，2，4，8，16；
24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24；
16和24的公因数有：1，2，4，8；
16和24的最大公因数是：8。
6和9的最小公倍数是18，16和24的最大公因数8。
【考点精讲二】（23-24五年级下·江苏盐城·期中）暑假期间，明明和军军都去参加乒乓球训练。明明每2天去一次，军军每3天去一次。7月26日两人同时参加训练，( )月( )日他们又再次相遇。
【答案】 8 1
【分析】根据题意，2和3的最小公倍数就是两个人多少天相遇一次，用7月26日加上这个时间就是他们俩再次相遇的时间。
【详解】2和3的最小公倍数是2×3＝6。
26＋6＝32（天）
7月份有31天，所以他们再次相遇的时间是8月1日。
即他们8月1日又再次相遇。
【考点精讲三】（22-23五年级下·江苏宿迁·期中）在3×9＝27中，( )和( )都是27的因数，其中( )是27的质因数。把18分解质因数( )。
【答案】 3 9 3 18＝2×3×3
【分析】一个整数（a）能被另一个整数（b）整除，此时，b就是a的因数。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。据此解答。
【详解】在3×9＝27中，3和9都是27的因数，其中3是27的质因数。把18分解质因数18＝2×3×3。
【考点精讲四】（23-24五年级下·广西防城港·期中）一个两位数，既是2和5的倍数，又是3的倍数，这个两位数最小是( )，把它分解质因数是( )。
【答案】 30 30＝2×3×5
【分析】同时是2、3、5的倍数：个位是0且各个数位上数字之和能被3整除；每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。据此解答即可。
【详解】因为是2和5的倍数，所以个位是0；因为3＋0＝3、6＋0＝6、9＋0＝9、都是3的倍数，所以这个数十位可以是3、6、9，又因为这个数最小，所以这个数十位为3，因此这个数是30；把30分解质因数：30＝2×3×5。
因此，一个两位数，既是2和5的倍数，又是3的倍数，这个两位数最小是30，把它分解质因数是：30＝2×3×5。
【点睛】本题主要考查了2、3、5的倍数特征及合数分解质因数的应用。
【考点精讲五】（23-24五年级下·江苏盐城·期中）在下边的计数器上至少再添上( )颗算珠就能拨出3的倍数。这个三位数最大是( )，最小是( )。
【答案】 2 321 123
【分析】目前计数器上表示的数是121。各位数字之和是1＋2＋1＝4，不是3的倍数。一个数是3的倍数，其各位数字之和必须是3的倍数。离4最近且大于4的3的倍数是6，所以需要增加算珠使得各位数字之和为6。要使组成的三位数最大，应优先考虑在百位增加算珠；要使组成的三位数最小，应优先考虑在个位增加算珠。
【详解】至少再添上2颗算珠就能拨出3的倍数。
要使这个三位数最大，应优先在百位添珠，可得到321。
要使这个三位数最小，应优先在个位添珠，可得到123。
至少再添上2颗算珠；这个三位数最大是321，最小是123。
【考点精讲六】（23-24五年级下·江苏盐城·期中）在1、8、9、2、57、39、91中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )，合数有( )。
【答案】 1、9、57、39、91 8、2 2 8、9、57、39、91
【分析】不能被2整除的数叫做奇数，奇数的个位上是1，3，5，7或9；能被2整除的数叫做偶数，偶数个位上的数是0，2，4，6或8。
只有1和它本身两个因数的数叫做质数；除了1和它本身，还有其它因数的数叫做合数；1既不是质数，也不是合数。据此解答。
【详解】通过分析可得：
在1、8、9、2、57、39、91中，奇数有1、9、57、39、91，偶数有8、2；
8的因数有1、2、4、8，9的因数有1、3、9，2的因数有1、2，57的因数有1、3、19、57，39的因数有1、3、13、39，91的因数有1、7、13、91，则质数有2，合数有8、9、57、39、91。
【考点精讲七】（22-23五年级下·山西大同·期中）在27＝3×9中，( )和( )都是( )的因数，( )是( )的质因数。
【答案】 3 9 27 3 27
【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。
【详解】因为27＝3×9，所以3和9都是27的因数，3是27的质因数。
【点睛】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
【考点精讲八】（23-24五年级下·江苏盐城·期中）一个自然数，它的最大因数与最小倍数的和是48，这个自然数是( )，把它分解质因数是( )。
【答案】 24 24＝2×2×2×3
【分析】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身；所以这个自然数的2倍就是48，据此求出这个自然数；分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。
【详解】48÷2＝24
24＝2×2×2×3
一个自然数，它的最大因数与最小倍数的和是48，这个自然数是24，把它分解质因数是24＝2×2×2×3。
【考点精讲九】（23-24五年级下·江苏徐州·期中）一个数，既是30的因数，又是5的倍数。这样的数有( )个。
【答案】4
【分析】个位上是0或5的数是5的倍数。据此，先利用等积式先找出30的所有因数，再找出其中5的倍数，统计个数即可得解。
【详解】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6
30的所有因数有：1、2、3、5、6、10、15和30，其中5、10、15和30是5的倍数。
所以，既是30的因数，又是5的倍数。这样的数有4个。
【考点精讲十】（23-24五年级下·贵州毕节·期末）生活中的数学，110是报警电话，120是急救电话，119是火警电话，12315是消费申诉举报电话。在这些电话号码中，2的倍数有( )，3的倍数有( )，同时是2、3、5的倍数有( )。
【答案】 110；120 120；12315 120
【分析】2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。据此解答。
【详解】2的倍数有：110，120；
110；1＋1＋0＝2；2不能被3整除，110不是3的倍数；
120；1＋2＋0＝3；3能被3整除，120是3的倍数；
119；1＋1＋9＝11；11不能被3整除，119不是3的倍数；
12315；1＋2＋3＋1＋5＝12；12能被3整除，12315是3的倍数；
3的倍数有：120，12315；
同时是2，3，5的倍数有120。
活中的数学，110是报警电话，120是急救电话，119是火警电话，12315是消费申诉举报电话。在这些电话号码中，2的倍数有110，120，3的倍数有120，12315，同时是2、3、5的倍数有120。
【考点精讲十一】（23-24五年级下·江苏扬州·期末）23、30、85、47、63、19、57里面有( )个质数，将其中最小的合数分解质因数表示为( )。
【答案】 3 30＝2×3×5
【分析】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；分解质因数的定义：把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。分解质因数只针对合数；据此解答。
【详解】23、30、85、47、63、19、57，质数有：23、47、19，一个有3个质数。
最小的合数是30；
30＝2×3×5
23、30、85、47、63、19、57里面有3个质数，将其中最小的合数分解质因数表示为30＝2×3×5。
【考点精讲十二】（23-24五年级下·山西临汾·期末）把两条丝带剪成同样长的小段且没有剩余（取整厘米），一根长36cm，另一根长48cm，每段最长( )cm，一共能剪( )段。
【答案】 12 7
【分析】求每段最长，就是求36和48的最大公因数，根据求最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积；再用每条丝带的长度÷最大公因数，求出每条丝带剪多少段，再相加，即可解答。
【详解】36＝2×2×3×3
48＝2×2×2×2×3
36和48的最大公因数是2×2×3＝12，每段最长是12cm。
36÷12＋48÷12
＝3＋4
＝7（段）
把两条丝带剪成同样长的小段且没有剩余（取整厘米），一根长36cm，另一根长48cm，每段最长12cm，一共能剪7段。
【考点精讲十三】（23-24五年级下·安徽滁州·期末）妈妈端来一盘糖果，平均分给6个人，正好分完；平均分给10个人，也正好分完。这盘糖果最少有( )个。
【答案】30
【分析】根据题意，糖果的个数能同时被6和10整除，想要得出这盘糖果的最少的个数就是找出6和10的 最小公倍数。
【详解】
[6，10]＝2×3×5＝30
这盘糖果最少有30个。
一、填空题
1．（23-24五年级下·江苏·期末）5和10的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
2．（23-24五年级下·江苏南京·期中）如果M＝2×2×3×5，N＝2×3×3×5，那么M和N的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
3．（23-24五年级下·广西防城港·期中）3×5＝15，( )和( )是( )的因数，( )是5和3的倍数。
4．（23-24五年级下·广西防城港·期中）在2、7、12、15、20中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )，合数有( )。
5．（22-23五年级下·贵州贵阳·期末）一个三位数37□，当它既是2的倍数又是5的倍数时，□里填( )。当它是3的倍数时，□里可以填的数是( )。
6．（22-23五年级下·贵州贵阳·期末）一个四位数，千位上既不是质数也不是合数，百位上是最小的合数，十位上是最大的一位数，个位上是10以内最大的质数，这个数是( )。
7．（23-24五年级下·山西临汾·期末）一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，这盒围棋子在80颗至90颗之间。这盒围棋子有( )颗。
8．（23-24五年级下·江苏扬州·期末）a、b是非零自然数，如果a÷7＝b，a和b的最大公因数是( )；如果a＋1＝b，a和b的最小公倍数是( )。
9．（23-24五年级下·山西临汾·期末）如果a、b是两个非零自然数，且a＝10b，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
10．（23-24五年级下·山西临汾·期末）甲、乙两人到图书馆去借书，甲每4天去一次，乙每5天去一次，如果7月12日他们两人在图书馆相遇，那么他们下一次同时去图书馆借书是( )月( )日。
11．（23-24五年级下·贵州毕节·期末）52至少减去( )是3的倍数，至少加上( )有因数9。
12．（23-24五年级下·安徽滁州·期末）一个数的最小倍数是36，把这个数分解质因数是( )，这个数的因数一共有( )。
13．（23-24五年级下·江苏连云港·期末）2、3、5三个数的最小公倍数是( )，把它分解质因数是( )。
14．（23-24五年级下·江苏·期末）如果a＝4b（a、b为非零自然数），那么a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。
15．（22-23五年级下·江苏无锡·期中）14和42的最大公因数是( )；10和25的最小公倍数是( )。
16．（22-23五年级下·江苏无锡·期中）小明和小芳是图书馆志愿者，小明每4天去一次图书馆，小芳每5天去一次图书馆。3月19日两人同时去图书馆，下一次两人同时去图书馆是( )月( )日。
17．（23-24五年级下·江苏淮安·期中）甲、乙两人3月10日一起到图书馆借书，甲每4天去一次，乙每6天去一次。下一次他们一起到图书馆的日期是( )月( )日。
18．（23-24五年级下·江苏淮安·期中）在一个长42米、宽28米的长方形花坛的四周以最大的间距等距离地栽树（长方形每个顶点处都栽），相邻两棵树的间隔是( )米，一共栽了( )棵树。
19．（23-24五年级下·江苏盐城·期中）有五个连续偶数的和是60，其中最大的一个偶数是( )。
20．（23-24五年级下·山西大同·期中）三个连续的偶数，最小的数是a，这三个数的和是( )。
21．（23-24五年级下·江苏徐州·期中）12和42的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
22．（23-24五年级下·江苏淮安·期中）在既是2，3的倍数，又是5的倍数的数中，最大的两位数是( )，最大的三位数是( )。
23．（23-24五年级下·江苏盐城·期中）在a÷b＝3中（a、b≠0），a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
24．（23-24五年级下·江苏盐城·期中）把长是24厘米，宽是18厘米的长方形分成大小相等的小正方形，且没有剩余，最少可以分成( )个，每个小正方形的边长是( )厘米。
25．（23-24五年级下·江苏淮安·期中）如果a的最大因数是17，b的最小倍数是2，那么a×b的积的所有因数有( )个。
26．（23-24五年级下·江苏淮安·期中）100以内，17的最大倍数是( )，把24分解质因数是( )。
27．（23-24五年级下·山西大同·期中）若a，b都是大于0的自然数，a＝9b，则a与b的最大公因数是( )，a与b的最小公倍数是( )，若a＝b＋1，则a与b的最小公倍数是( )。
28．（23-24五年级下·江苏徐州·期中）陶小帅笔记本的密码是由ABCD四个数字组成。A是质数也是偶数，B是最小的合数，C是10以内既是奇数又是合数的数，D是10以内最大的质数，陶小帅笔记本的密码是( )。
29．（23-24五年级下·江苏南京·期中）求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
13和7( )( ) 14和21( )( )
26和39( )( ) 17和85( )( )
30．（23-24五年级下·江苏南京·期中）从图可以看出a表示的数是( )，a与b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
31．（23-24五年级下·江苏徐州·期中）在（ ）里各填一个合适的数字。
(1)48( )，25( )，是5的倍数又是2的倍数。
(2)24( )，37( )，是2的倍数又是3的倍数。
(3)10( )，2( )( )，是5的倍数又是3的倍数。
32．（23-24五年级下·广西防城港·期中）在括号里写出每组数的最大公因数，在括号里写出每组数的最小公倍数。
10和15( )( )；7和9( )( )；12和4( )( )。
33．（23-24五年级下·广西防城港·期中）有两根绳子，一根长16米，另一根长24米。现在要将它们剪成同样长的短绳，不能有剩余，每根短绳最长是( )米，一共可以剪成( )根。
34．（23-24五年级下·广西防城港·期中）A＝2×3×5，B＝2×2×5，A和B的最大公因数数是( )，最小公倍数是( )。
35．（23-24五年级下·江苏徐州·期中）小华和小军都按照不同的天数轮流值日，小华每隔5天值日一次，小军每隔4天值日一次，5月20日两人同时值日，( )月( )日他们会再次同时值日。
36．（23-24五年级下·江苏盐城·期中）爸爸、妈妈在体育场跑步，爸爸每8分钟跑一圈，妈妈每12分钟跑一圈。他们同时从起点出发后，至少经过( )分钟又能在起点相遇。
37．（23-24五年级下·江苏盐城·期中）五一节快到了，盐渎公园里AC这条路的一边等距离挂灯笼（如图），要求在A、B、C处都要挂一个灯笼，一共至少需要挂( )个。
38．（23-24五年级下·江苏盐城·期中）东方小学五年级学生参加植树活动。五（1）班每6人一组或8人一组都刚好分完而无剩余，已知这个班的人数在40～60之间，那么五（1）班有学生( )人；五（2）班学生每组10人或每组8人都剩1人，那么五（2）班最少有( )名学生。
39．（23-24五年级下·江苏盐城·期中）有一个三位数53□，要使它是3的倍数，方框里可以填( )；要使它既是2的倍数又是3的倍数，方框里可以填( )；要使它既是2的倍数，又有因数5，方框里可以填( )。
40．（23-24五年级下·江苏南京·期中）大雪后的某一天，豆豆和爸爸从同一点出发沿着同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。豆豆每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。请问：花圃的周长是( )米。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.因数和倍数的意义：在 a×b＝c(a、b、c均是非0自然数)中，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。
2.求一个数的因数的方法：
(1)找一个数的因数的方法：①列乘法算式。有序地写出两个整数相乘得这个数的所有乘法算式，相乘的两个数都是这个数的因数。②列除法算式。有序地写出用这个数分别除以大于或等于1且小于或等于它本身的所有整数，所得的商是整数且没有余数的所有除法算式，这些除数和商都是这个数的因数。(2)表示一个数的因数的方法： ①列举法。②集合法。
3.一个数的因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。3.求一个数的倍数的方法：
(1)找一个数的倍数的方法：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积都是这个数的倍数。
(2)表示一个数的倍数的方法：①列举法。②集合法。
(3)一个数的倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
1.个位上是5或0的数是5的倍数；个位上是2，4，6，8或0的数是2的倍数。
2.个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。
3.是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇数。
1.3的倍数特征：一个数各位上数的和是3的倍数，这个数就一定是3的倍数。
1.一个数只有1和它本身两个因数，像这样的数叫作质数(或素数)；一个数除了1和它本身还有别的因数，像这样的数叫作合数。
2.1既不是质数，也不是合数。
3.判断一个数是质数还是合数，只需要看这个数除了1和它本身两个因数外，是否还有其他因数。如果没有，这个数就是质数；如果有，这个数就是合数。
1.如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。
2.把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。
3.分解质因数的方法：枝状图分解法和短除法。
4.分解质因数的书写方法：把要分解的数写在等号的左边，把分解得到的质数用连乘的形式写在等号的右边。
1.公因数的意义：
（1）几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。
（2）因为一个数的因数的个数是有限的，所以几个数的公因数的个数也是有限的，它们既有最小的公因数，也有最大的公因数。
2.求两个数的公因数和最大公因数的方法：
（1）几个数公有的因数，叫作它们的公因数，其中最大的公因数叫作这几个数的最大公因数。
（2）求两个数的公因数，可以用列举法分别找出每个数的因数，再找出两个数的公因数；也可以先找出一个数的因数，再从这些因数中找出另一个数的因数，从而找出这两个数的公因数。
1.求两个数的公倍数和最小公倍数，可以分别列举出这两个数的若干个倍数，再从中找出这两个数的公倍数，其中最小的就是它们的最小公倍数；也可以先列举出较大数的若干个倍数，再从这些倍数中找出较小数的倍数，从而找出这两个数的公倍数，其中最小的就是它们的最小公倍数。
1.两个自然数相加：偶数＋偶数＝偶数　奇数＋奇数＝偶数　奇数＋偶数＝奇数
2.几个自然数相加，当加数中奇数的个数是奇数时，和是奇数；当加数中奇数的个数是偶数时，和是偶数。
3.几个自然数相乘，乘数都是奇数，积也是奇数；乘数中只要有一个偶数，积就是偶数。
1、因数和倍数是两个相互依存的概念，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，因数和倍数不能单独存在。
2、一个数的倍数都大于或等于它本身，而因数都小于或等于它本身。
3、3的倍数也可以是偶数。
4、如果a是自然数，偶数可用2a来表示，a+2并不能表示偶数。
5、1既不是质数，也不是合数。
6.、最小的质数是2，最小的合数是4。
7、2是唯一的一个偶质数。
8、分解质因数时，除数和商都不能是1，因为1不是质数。
9、如果两个数只有公因数1，那么1就是这两个数的最大公因数。
10、只有两个数成倍数关系时，较小的数才是这两个数的最大公因数。
11、几个数的公倍数的个数是无限的。
12、当两个数成倍数关系时，较大的数就是它们的最小公倍数。
【考点精讲一】（23-24五年级下·江苏·期中）把6和9的倍数（60以内）、16和24的因数分别填在下面的圈里，再按要求填空。

6和9的最小公倍数是（ ）。 16和24的最大公因数是（ ）。
【答案】见详解
【分析】（1）根据题意，先分别找出60以内6的倍数和9的倍数，把它们的公倍数写在中间，各自的倍数写在两边，再从它们的公倍数中找出最小的数就是6和9的最小公倍数；
（2）先分别找出16和24的因数，再把它们的公因数写在中间，各自的因数写在两边，最后找出它们公因数中最大的数就是16和24的最大公因数。
【详解】60以内6的倍数有：6，12，18，24，30，36，42，48，54；
60以内9的倍数有：9，18，27，36，45，54；
6和9的公倍数（60以内）有：18，36，54；
6和9的最小公倍数是：18。
16的因数有：1，2，4，8，16；
24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24；
16和24的公因数有：1，2，4，8；
16和24的最大公因数是：8。
6和9的最小公倍数是18，16和24的最大公因数8。
【考点精讲二】（23-24五年级下·江苏盐城·期中）暑假期间，明明和军军都去参加乒乓球训练。明明每2天去一次，军军每3天去一次。7月26日两人同时参加训练，( )月( )日他们又再次相遇。
【答案】 8 1
【分析】根据题意，2和3的最小公倍数就是两个人多少天相遇一次，用7月26日加上这个时间就是他们俩再次相遇的时间。
【详解】2和3的最小公倍数是2×3＝6。
26＋6＝32（天）
7月份有31天，所以他们再次相遇的时间是8月1日。
即他们8月1日又再次相遇。
【考点精讲三】（22-23五年级下·江苏宿迁·期中）在3×9＝27中，( )和( )都是27的因数，其中( )是27的质因数。把18分解质因数( )。
【答案】 3 9 3 18＝2×3×3
【分析】一个整数（a）能被另一个整数（b）整除，此时，b就是a的因数。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。据此解答。
【详解】在3×9＝27中，3和9都是27的因数，其中3是27的质因数。把18分解质因数18＝2×3×3。
【考点精讲四】（23-24五年级下·广西防城港·期中）一个两位数，既是2和5的倍数，又是3的倍数，这个两位数最小是( )，把它分解质因数是( )。
【答案】 30 30＝2×3×5
【分析】同时是2、3、5的倍数：个位是0且各个数位上数字之和能被3整除；每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。据此解答即可。
【详解】因为是2和5的倍数，所以个位是0；因为3＋0＝3、6＋0＝6、9＋0＝9、都是3的倍数，所以这个数十位可以是3、6、9，又因为这个数最小，所以这个数十位为3，因此这个数是30；把30分解质因数：30＝2×3×5。
因此，一个两位数，既是2和5的倍数，又是3的倍数，这个两位数最小是30，把它分解质因数是：30＝2×3×5。
【点睛】本题主要考查了2、3、5的倍数特征及合数分解质因数的应用。
【考点精讲五】（23-24五年级下·江苏盐城·期中）在下边的计数器上至少再添上( )颗算珠就能拨出3的倍数。这个三位数最大是( )，最小是( )。
【答案】 2 321 123
【分析】目前计数器上表示的数是121。各位数字之和是1＋2＋1＝4，不是3的倍数。一个数是3的倍数，其各位数字之和必须是3的倍数。离4最近且大于4的3的倍数是6，所以需要增加算珠使得各位数字之和为6。要使组成的三位数最大，应优先考虑在百位增加算珠；要使组成的三位数最小，应优先考虑在个位增加算珠。
【详解】至少再添上2颗算珠就能拨出3的倍数。
要使这个三位数最大，应优先在百位添珠，可得到321。
要使这个三位数最小，应优先在个位添珠，可得到123。
至少再添上2颗算珠；这个三位数最大是321，最小是123。
【考点精讲六】（23-24五年级下·江苏盐城·期中）在1、8、9、2、57、39、91中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )，合数有( )。
【答案】 1、9、57、39、91 8、2 2 8、9、57、39、91
【分析】不能被2整除的数叫做奇数，奇数的个位上是1，3，5，7或9；能被2整除的数叫做偶数，偶数个位上的数是0，2，4，6或8。
只有1和它本身两个因数的数叫做质数；除了1和它本身，还有其它因数的数叫做合数；1既不是质数，也不是合数。据此解答。
【详解】通过分析可得：
在1、8、9、2、57、39、91中，奇数有1、9、57、39、91，偶数有8、2；
8的因数有1、2、4、8，9的因数有1、3、9，2的因数有1、2，57的因数有1、3、19、57，39的因数有1、3、13、39，91的因数有1、7、13、91，则质数有2，合数有8、9、57、39、91。
【考点精讲七】（22-23五年级下·山西大同·期中）在27＝3×9中，( )和( )都是( )的因数，( )是( )的质因数。
【答案】 3 9 27 3 27
【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。
【详解】因为27＝3×9，所以3和9都是27的因数，3是27的质因数。
【点睛】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
【考点精讲八】（23-24五年级下·江苏盐城·期中）一个自然数，它的最大因数与最小倍数的和是48，这个自然数是( )，把它分解质因数是( )。
【答案】 24 24＝2×2×2×3
【分析】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身；所以这个自然数的2倍就是48，据此求出这个自然数；分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。
【详解】48÷2＝24
24＝2×2×2×3
一个自然数，它的最大因数与最小倍数的和是48，这个自然数是24，把它分解质因数是24＝2×2×2×3。
【考点精讲九】（23-24五年级下·江苏徐州·期中）一个数，既是30的因数，又是5的倍数。这样的数有( )个。
【答案】4
【分析】个位上是0或5的数是5的倍数。据此，先利用等积式先找出30的所有因数，再找出其中5的倍数，统计个数即可得解。
【详解】30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6
30的所有因数有：1、2、3、5、6、10、15和30，其中5、10、15和30是5的倍数。
所以，既是30的因数，又是5的倍数。这样的数有4个。
【考点精讲十】（23-24五年级下·贵州毕节·期末）生活中的数学，110是报警电话，120是急救电话，119是火警电话，12315是消费申诉举报电话。在这些电话号码中，2的倍数有( )，3的倍数有( )，同时是2、3、5的倍数有( )。
【答案】 110；120 120；12315 120
【分析】2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。2，3，5的倍数的特征：个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。据此解答。
【详解】2的倍数有：110，120；
110；1＋1＋0＝2；2不能被3整除，110不是3的倍数；
120；1＋2＋0＝3；3能被3整除，120是3的倍数；
119；1＋1＋9＝11；11不能被3整除，119不是3的倍数；
12315；1＋2＋3＋1＋5＝12；12能被3整除，12315是3的倍数；
3的倍数有：120，12315；
同时是2，3，5的倍数有120。
活中的数学，110是报警电话，120是急救电话，119是火警电话，12315是消费申诉举报电话。在这些电话号码中，2的倍数有110，120，3的倍数有120，12315，同时是2、3、5的倍数有120。
【考点精讲十一】（23-24五年级下·江苏扬州·期末）23、30、85、47、63、19、57里面有( )个质数，将其中最小的合数分解质因数表示为( )。
【答案】 3 30＝2×3×5
【分析】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；分解质因数的定义：把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。分解质因数只针对合数；据此解答。
【详解】23、30、85、47、63、19、57，质数有：23、47、19，一个有3个质数。
最小的合数是30；
30＝2×3×5
23、30、85、47、63、19、57里面有3个质数，将其中最小的合数分解质因数表示为30＝2×3×5。
【考点精讲十二】（23-24五年级下·山西临汾·期末）把两条丝带剪成同样长的小段且没有剩余（取整厘米），一根长36cm，另一根长48cm，每段最长( )cm，一共能剪( )段。
【答案】 12 7
【分析】求每段最长，就是求36和48的最大公因数，根据求最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积；再用每条丝带的长度÷最大公因数，求出每条丝带剪多少段，再相加，即可解答。
【详解】36＝2×2×3×3
48＝2×2×2×2×3
36和48的最大公因数是2×2×3＝12，每段最长是12cm。
36÷12＋48÷12
＝3＋4
＝7（段）
把两条丝带剪成同样长的小段且没有剩余（取整厘米），一根长36cm，另一根长48cm，每段最长12cm，一共能剪7段。
【考点精讲十三】（23-24五年级下·安徽滁州·期末）妈妈端来一盘糖果，平均分给6个人，正好分完；平均分给10个人，也正好分完。这盘糖果最少有( )个。
【答案】30
【分析】根据题意，糖果的个数能同时被6和10整除，想要得出这盘糖果的最少的个数就是找出6和10的 最小公倍数。
【详解】
[6，10]＝2×3×5＝30
这盘糖果最少有30个。
一、填空题
1．（23-24五年级下·江苏·期末）5和10的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
【答案】 5 10
【分析】两数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大的数，据此分析。
【详解】
10是5的2倍，所以5和10的最大公因数是5，最小公倍数是10。
2．（23-24五年级下·江苏南京·期中）如果M＝2×2×3×5，N＝2×3×3×5，那么M和N的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
【答案】 30 180
【分析】用分解质因数的方法求最大公因数和最小公倍数。M和N全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是M和N的最大公因数。全部公有的质因数和各自独有的质因数的乘积就是M和N的最小公倍数。据此解答。
【详解】M＝2×2×3×5
N＝2×3×3×5
所以M和N的最大公因数是2×3×5＝30，最小公倍数是2×3×5×2×3＝180。
3．（23-24五年级下·广西防城港·期中）3×5＝15，( )和( )是( )的因数，( )是5和3的倍数。
【答案】 3 5 15 15
【分析】若整数a能够被b整除，a叫作b的倍数，b就叫作a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。
【详解】由分析可知：
3×5＝15，3和5是15的因数，15是5和3的倍数。
4．（23-24五年级下·广西防城港·期中）在2、7、12、15、20中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )，合数有( )。
【答案】 7、15 2、12、20 2、7 12、15、20
【分析】根据奇数与偶数的意义，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数，由此可判断一个数是奇数还是偶数；
根据质数与合数的意义，一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数如果除了1和它本身外还有别的因数，这样的数叫做合数，据此可判断一个数是质数还是合数。
【详解】在2、7、12、15、20中，奇数有7、15，偶数有2、12、20，质数有2、7，合数有12、15、20。
【点睛】本题主要考查了奇数、偶数、质数和合数的认识。
5．（22-23五年级下·贵州贵阳·期末）一个三位数37□，当它既是2的倍数又是5的倍数时，□里填( )。当它是3的倍数时，□里可以填的数是( )。
【答案】 0 2、5或8
【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。
5的倍数特征：个位上是0或5的数。
2、5的倍数特征：个位上是0的数。
3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
【详解】个位数字是0，这样的数既是2的倍数又是5的倍数，370既是2的倍数又是5的倍数；
3＋7＋2＝12，12是3的倍数，372是3的倍数；
3＋7＋5＝15，15是3的倍数，375是3的倍数；
3＋7＋8＝18，18是3的倍数，378是3的倍数。
一个三位数37□，当它既是2的倍数又是5的倍数时，□里填0。当它是3的倍数时，□里可以填的数是2、5或8。
6．（22-23五年级下·贵州贵阳·期末）一个四位数，千位上既不是质数也不是合数，百位上是最小的合数，十位上是最大的一位数，个位上是10以内最大的质数，这个数是( )。
【答案】1497
【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
【详解】一个四位数，千位上既不是质数也不是合数，即1；
百位上是最小的合数，即4；
十位上是最大的一位数，即9；
个位上是10以内最大的质数，即7；
这个数是1497。
7．（23-24五年级下·山西临汾·期末）一盒围棋子，4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，这盒围棋子在80颗至90颗之间。这盒围棋子有( )颗。
【答案】83
【分析】4颗4颗数多3颗，6颗6颗数多5颗，说明棋子数量比4和6的公倍数少1，求出4和6的最小公倍数，再通过最小公倍数找到80和90之间的公倍数，减1即可。全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。
【详解】4＝2×2
6＝2×3
2×2×3＝12（颗）
12×2＝24（颗）
12×3＝36（颗）
12×5＝60（颗）
12×7＝84（颗）
80＜84＜90
84－1＝83（颗）
这盒围棋子有83颗。
8．（23-24五年级下·江苏扬州·期末）a、b是非零自然数，如果a÷7＝b，a和b的最大公因数是( )；如果a＋1＝b，a和b的最小公倍数是( )。
【答案】 b ab
【分析】根据题意，如果a÷7＝b，说明a和b是倍数关系，且a＞b；根据“当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数”进行解答；
如果a＋1＝b，说明a和b是相邻的两个自然数，它们是互质数；根据“两个数是互质数时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积”进行解答。
【详解】a、b是非零自然数，如果a÷7＝b，说明a和b是倍数关系，那么a和b的最大公因数是b；
如果a＋1＝b，说明a和b是互质数，那么a和b的最小公倍数是ab。
9．（23-24五年级下·山西临汾·期末）如果a、b是两个非零自然数，且a＝10b，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
【答案】 b a
【分析】两数成倍数关系，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数，据此分析。
【详解】如果a、b是两个非零自然数，且a＝10b，根据分析，那么a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。
10．（23-24五年级下·山西临汾·期末）甲、乙两人到图书馆去借书，甲每4天去一次，乙每5天去一次，如果7月12日他们两人在图书馆相遇，那么他们下一次同时去图书馆借书是( )月( )日。
【答案】 8 1
【分析】求两个数的最小公倍数，如果这两个数互质，则这两个数的最小公倍数是这两个数的乘积；根据题意，先求出4和5的最小公倍数，已知7月12日他们两人在图书馆相遇，所以7月12日再加上4和5的最小公倍数，算出来即为两人下次同时去了图书馆的时间，已知7月份有31天，据此推断出具体时间，据此解答。
【详解】4和5的最小公倍数：4×5＝20
12＋20＝32（天）
32－31＝1（天）
他们下一次同时去图书馆借书是8月1日。
11．（23-24五年级下·贵州毕节·期末）52至少减去( )是3的倍数，至少加上( )有因数9。
【答案】 1 2
【分析】各位上数的和是3的倍数的数，是3的倍数。要使这个数有因数9，也就是这个数是9的倍数，据此解答。
【详解】5＋2＝7；7－1＝6，6是3的倍数，所以52至少减去1是3的倍数；
54是9的倍数，54－52＝2，至少加上2有因数9。
52至少减去1是3的倍数，至少加上2有因数9。
12．（23-24五年级下·安徽滁州·期末）一个数的最小倍数是36，把这个数分解质因数是( )，这个数的因数一共有( )。
【答案】 36＝2×2×3×3 9个
【分析】分解质因数：把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。分解质因数只针对合数。再根据求一个数的因数的方法，求出36的因数，即可解答。
【详解】36＝2×2×3×3
36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36；一共有9个。
一个数的最小倍数是36，把这个数分解质因数是36＝2×2×3×3，这个数的因数一共有9个。
13．（23-24五年级下·江苏连云港·期末）2、3、5三个数的最小公倍数是( )，把它分解质因数是( )。
【答案】 30 30＝2×3×5
【分析】根据找一个数倍数的方法，分别找出2、3、5的倍数，并且找出它们3个共有的一个倍数，并且是第一个倍数，也就是它们三个的公倍数；分解质因数：把一个数分解成几个质数相乘的形式，据此即可填空。
【详解】2的倍数：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30……；
3的倍数：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30……；
5的倍数：5、10、15、20、25、30
所以2、3、5三个数的最小公倍数是30；把它分解质因数是：30＝2×3×5。
14．（23-24五年级下·江苏·期末）如果a＝4b（a、b为非零自然数），那么a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。
【答案】 a b
【分析】两数成倍数关系，最小公倍数是较大数，最大公因数是较小数，据此分析。
【详解】如果a＝4b（a、b为非零自然数），说明a是b的4倍，根据分析，那么a和b的最小公倍数是a，最大公因数是b。
15．（22-23五年级下·江苏无锡·期中）14和42的最大公因数是( )；10和25的最小公倍数是( )。
【答案】 14 50
【分析】把14和42分解质因数，其中全部公有质因数相乘的积就是14和42的最大公因数；把10和25分解质因数，全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是10和25的最小公倍数；据此解答。
【详解】14＝2×7，42＝2×3×7
14和42的公有质因数是2和7，2×7＝14，因此14和42的最大公因数是14。
10＝2×5，25＝5×5
10和25的公有质因数是5，10分解质因数后去掉公有质因数5，剩下独立质因数2；25分解质因数后去掉公有质因数5，剩下独立质因数5，5×2×5＝50，因此10和25的最小公倍数是50。
因此14和42的最大公因数是14；10和25的最小公倍数是50。
16．（22-23五年级下·江苏无锡·期中）小明和小芳是图书馆志愿者，小明每4天去一次图书馆，小芳每5天去一次图书馆。3月19日两人同时去图书馆，下一次两人同时去图书馆是( )月( )日。
【答案】 4 8
【分析】小明每隔4天去一次图书馆，小芳每隔5天去一次图书馆，他们同时去图书馆的时间是4和5的最小公倍数，找出4和5的最小公倍数也就是他们经过多少天同时去图书馆，从3月19日过这些天就是他们下一次同时去图书馆的日期。
【详解】4和5是互质数，所以4和5的最小公倍数是4×5＝20。
从3月19日再过20天是4月8日。
因此下一次两人同时去图书馆是4月8日。
17．（23-24五年级下·江苏淮安·期中）甲、乙两人3月10日一起到图书馆借书，甲每4天去一次，乙每6天去一次。下一次他们一起到图书馆的日期是( )月( )日。
【答案】 3 22
【分析】甲每4天去一次图书馆，乙每6天去一次图书馆，他们同时去图书馆的时间是4和6的最小公倍数，找出4和6的最小公倍数也就是他们经过多少天同时去图书馆，从3月10日过这些天就是他们下一次同时去图书馆的日期。
【详解】4＝2×2
6＝2×3
2×2×3＝12，4和6的最小公倍数是12。
从3月10日起再过12天是3月22日。
因此下一次他们一起到图书馆的日期是3月22日。
18．（23-24五年级下·江苏淮安·期中）在一个长42米、宽28米的长方形花坛的四周以最大的间距等距离地栽树（长方形每个顶点处都栽），相邻两棵树的间隔是( )米，一共栽了( )棵树。
【答案】 14 10
【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。求出长和宽的最大公因数是最大间距。根据长方形周长＝（长＋宽）×2，求出花坛周长，花坛周长÷间距＝栽的棵数。
【详解】42＝2×3×7
28＝2×2×7
2×7＝14（米）
（42＋28）×2÷14
＝70×2÷14
＝140÷14
＝10（棵）
相邻两棵树的间隔是14米，一共栽了10棵树。
19．（23-24五年级下·江苏盐城·期中）有五个连续偶数的和是60，其中最大的一个偶数是( )。
【答案】16
【分析】五个连续偶数，中间的偶数就是它们的平均数，据此用60除以5，即可求出中间的偶数。连续偶数中，后面的偶数比前一个偶数多2，那么，用中间的偶数加上4，即可求出最大的偶数。
【详解】60÷5＋4
＝12＋4
＝16
则最大的一个偶数是16。
20．（23-24五年级下·山西大同·期中）三个连续的偶数，最小的数是a，这三个数的和是( )。
【答案】3a＋6/6＋3a
【分析】2的倍数是偶数，相邻的两个偶数的差是2。这三个连续偶数最小的是a，那么较大的是（a＋2），最大的是（a＋4），利用加法求出三个数的和。
【详解】a＋（a＋2）＋（a＋4）＝3a＋6
所以，这三个数的和是（3a＋6）。
21．（23-24五年级下·江苏徐州·期中）12和42的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
【答案】 6 84
【分析】分别将12和42分解质因数，最大公因数就是把共有的质因数相乘；最小公倍数是把共有的质因数、各自独有的质因数连乘，据此解答。
【详解】
12和42的最大公因数：
12和42的最小公倍数：
故12和42的最大公因数是6，最小公倍数是84。
22．（23-24五年级下·江苏淮安·期中）在既是2，3的倍数，又是5的倍数的数中，最大的两位数是( )，最大的三位数是( )。
【答案】 90 990
【分析】个位上是0，2，4，6或8的数，都是2的倍数。个位上是0或5的数，都是5的倍数。一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。既是2和3的倍数，又是5的倍数，这个数的个位上的数字是0，各个数位上的数字的和是3的倍数。
【详解】在既是2，3的倍数，又是5的倍数的数中，最大的两位数是90，最大的三位数是990。
23．（23-24五年级下·江苏盐城·期中）在a÷b＝3中（a、b≠0），a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
【答案】 b a
【分析】成倍数关系的两个数，较大数是这两个数的最小公倍数，较小数是这两个数的最大公因数。据此解题。
【详解】a÷b＝3（a、b≠0），那么a是b的倍数，b是a的因数，a＞b。所以，a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。
24．（23-24五年级下·江苏盐城·期中）把长是24厘米，宽是18厘米的长方形分成大小相等的小正方形，且没有剩余，最少可以分成( )个，每个小正方形的边长是( )厘米。
【答案】 12 6
【分析】根据题意可知，小正方形的边长既是长方形长的因数，也是长方形宽的因数，那么正方形的边长是长方形长和宽的公因数。最少可以分成几个小正方形，那么小正方形的边长应取最大，即为长方形长和宽的最大公因数。将长和宽分别分解质因数，公有质因数的乘积即为长和宽的最大公因数，即正方形的边长。
利用除法，求出长这条边上有几个小正方形，同理求出宽这条边上有几个小正方形。将长和宽边上的小正方形的个数相乘，即可求出最少可以分成几个小正方形。
【详解】24＝2×2×2×3
18＝2×3×3
所以，24和18的最大公因数是2×3＝6。
（24÷6）×（18÷6）
＝4×3
＝12（个）
所以，最少可以分成12个，每个小正方形的边长是6厘米。
25．（23-24五年级下·江苏淮安·期中）如果a的最大因数是17，b的最小倍数是2，那么a×b的积的所有因数有( )个。
【答案】4
【分析】根据一个数的最大因数和最小倍数都等于它本身，因此a的最大因数是17，则a就是17；b的最小倍数是2，则b就是2；先计算出（17×2）的积，找出所得积的所有因数即可。
【详解】a的最大因数是17，b的最小倍数是2，则a＝17，b＝2。
则a×b＝17×2＝34
34的因数有：1，2，17，34，一共有4个。
因此a×b的积的所有因数有4个。
26．（23-24五年级下·江苏淮安·期中）100以内，17的最大倍数是( )，把24分解质因数是( )。
【答案】 85 24＝2×2×2×3
【分析】根据求一个数倍数的方法，求出100以内17的最大倍数；把一个合数写成几个质数相乘的形式即是分解质因数，据此解答。
【详解】100以内17的倍数：17、34、51、68、85；100以内17的最大倍数是85。
24＝2×2×2×3
100以内，17的最大倍数是85，把24分解质因数是24＝2×2×2×3。
27．（23-24五年级下·山西大同·期中）若a，b都是大于0的自然数，a＝9b，则a与b的最大公因数是( )，a与b的最小公倍数是( )，若a＝b＋1，则a与b的最小公倍数是( )。
【答案】 b a ab
【分析】成倍数关系的两个数，较大数是这两个数的最小公倍数，较小数是这两个数的最大公因数。互质的两个数的最小公倍数是它们的乘积。据此解题。
【详解】a＝9b，那么a是b的倍数，所以a与b的最大公因数是b，a与b的最小公倍数是a；
若a＝b＋1，那么a和b是相邻的两个自然数，a和b互质，所以a与b的最小公倍数是ab。
28．（23-24五年级下·江苏徐州·期中）陶小帅笔记本的密码是由ABCD四个数字组成。A是质数也是偶数，B是最小的合数，C是10以内既是奇数又是合数的数，D是10以内最大的质数，陶小帅笔记本的密码是( )。
【答案】2497
【分析】能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数；一个数，只要1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数除了1和它本身还有其他因数，这样的数叫做合数；最小的质数是2，最小的合数是4，据此解答。
【详解】A是质数也是偶数，A是2；
B是最小的合数，B是4；
C是10以内既是奇数又是合数，C是9；
D是10以内最大的质数，D是7。
笔记本的密码是2497。
29．（23-24五年级下·江苏南京·期中）求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
13和7( )( ) 14和21( )( )
26和39( )( ) 17和85( )( )
【答案】 1 91 7 42 13 78 17 85
【分析】根据质因数分解法，将两个数分别分解质因数，相同因数相乘得到最大公因数，最大公因数再乘不同因数得到最小公倍数。特别注意的是：两个数互质时，它们的最大公因数是1，最小公倍数是两个数的乘积；当一个数是另一个数的倍数时，这两个数的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。据此可得出答案。
【详解】13和7互质，所以13和7的最大公因数是1，最小公倍数是13×7＝91；
14＝2×7，21＝3×7，所以14和21的最大公因数是7，最小公倍数是2×3×7＝42；
26＝2×13，39＝3×13，所以26和39的最大公因数是13，最小公倍数是2×3×13＝78；
85是17的5倍，所以17和85的最大公因数是17，最小公倍数是85。
30．（23-24五年级下·江苏南京·期中）从图可以看出a表示的数是( )，a与b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
【答案】 12 4 48
【分析】a的因数有1、2、3、4、6、a，所以a；由集合圈可知；对a和b进行分解质因数，求出它们的最大公因数和最小公倍数即可。
【详解】根据图，可知：
a＝2×6＝3×4＝12
b＝2×8＝4×4＝16
12＝2×2×3
16＝2×2×2×2
所以a表示的数是12，a与b的最大公因数是2×2＝4，最小公倍数是2×2×2×2×3＝48。
【点睛】本题考查最大公因数与最小公倍数，解答本题的关键是掌握求最大公因数与最小公倍数的计算方法。
31．（23-24五年级下·江苏徐州·期中）在（ ）里各填一个合适的数字。
(1)48( )，25( )，是5的倍数又是2的倍数。
(2)24( )，37( )，是2的倍数又是3的倍数。
(3)10( )，2( )( )，是5的倍数又是3的倍数。
【答案】(1) 0 0
(2) 0 2或8
(3) 5 2 5
【分析】（1）既是2的倍数又是5的倍数的数的特征是个位上是0，由此解答。
（2）是2的倍数又是3的倍数的数的特征是个位是偶数，且各位数字和是3的整数倍或者这个数一定是2和3的最小公倍数6的整数倍，由此解答。
（3）是5的倍数又是3的倍数的数个位上要首先满足是5或0，然后分析是不是3的倍数，由此解答。
【详解】（1）根据题意，既是2的倍数又是5的倍数的数的特征是个位上是0，即480，250。
（2）由是2的倍数又是3的倍数的数的特征是个位是偶数，且各位数字和是3的整数倍，或者这个数一定是2和3的最小公倍数6的整数倍可得，240，372或378，由此可得。
（3）是5的倍数又是3的倍数的数个位上要满足是5或0，并且各位数字之和是3的倍数，分析可得105，225，255或者285。
32．（23-24五年级下·广西防城港·期中）在括号里写出每组数的最大公因数，在括号里写出每组数的最小公倍数。
10和15( )( )；7和9( )( )；12和4( )( )。
【答案】 5 30 1 63 4 12
【分析】求两数的最大公因数和最小公倍数，就看两个数之间的关系。若两个数互质，则最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的乘积；若两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数；一般情况，先把两个数分别分解质因数，它们公有的质因数连乘的积就是它们的最大公因数，它们公有的质因数和各自独有的质因数连乘的积是它们的最小公倍数，据此解答。
【详解】10＝2×5，15＝3×5，所以10和15的最大公因数是5，最小公倍数是2×3×5＝30
7和9互为质数，所以7和9的最大公因数是1，最小公倍数是7×9＝63
12是4的3倍，所以12和4的最大公因数是4，最小公倍数是12
故10和15（5）（30）；7和9（1）（63）；12和4（4）（12）。
【点睛】熟练掌握求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法是解题的关键。
33．（23-24五年级下·广西防城港·期中）有两根绳子，一根长16米，另一根长24米。现在要将它们剪成同样长的短绳，不能有剩余，每根短绳最长是( )米，一共可以剪成( )根。
【答案】 8 5
【分析】从“剪成同样长的短绳，不能有剩余，每根短绳最长”可知，短绳的长度是16和24的最大公因数。先将16和24分解质因数，16和24全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是16和24的最大公因数。再用16和24分别除以最大公因数，再相加，即可解答。
【详解】16＝2×2×2×2
24＝2×2×2×3
16和24的最大公因数是2×2×2＝8。
16÷8＋24÷8
＝2＋3
＝5（根）
每根短绳最长是8米，一共可以剪成5根。
34．（23-24五年级下·广西防城港·期中）A＝2×3×5，B＝2×2×5，A和B的最大公因数数是( )，最小公倍数是( )。
【答案】 10 60
【分析】求两个数的最大公因数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可。
【详解】A＝2×3×5，B＝2×2×5
2×5＝10
2×3×2×5＝60
所以，A＝2×3×5，B＝2×2×5，A和B的最大公因数是10，最小公倍数是60。
35．（23-24五年级下·江苏徐州·期中）小华和小军都按照不同的天数轮流值日，小华每隔5天值日一次，小军每隔4天值日一次，5月20日两人同时值日，( )月( )日他们会再次同时值日。
【答案】 6 19
【分析】根据题意，小华每隔5天值日一次，小军每隔4天值日一次，即小华每6天值日一次，小军每5天值日一次；
要求下次两人同时值日的日期，就是求6和5的最小公倍数，也就是经过的天数；
已知5月20日两人同时值日，加上经过的天数，即是两人再次同时值日的日期。
【详解】5＋1＝6（天）
4＋1＝5（天）
6和5的最小公倍数是：6×5＝30
即每30天两人再次同时值日。
5月20日＋30天＝6月19日
即6月19日他们会再次同时值日。
36．（23-24五年级下·江苏盐城·期中）爸爸、妈妈在体育场跑步，爸爸每8分钟跑一圈，妈妈每12分钟跑一圈。他们同时从起点出发后，至少经过( )分钟又能在起点相遇。
【答案】24
【分析】已知爸爸每8分钟跑一圈，妈妈每12分钟跑一圈，求他们同时从起点出发后，至少经过多少分钟又能在起点相遇，就是求8和12的最小公倍数。
先把8和12分解质因数，再把它们的公有质因数和各自独有质因数的连乘积就是它们的最小公倍数，据此得解。
【详解】8＝2×2×2
12＝2×2×3
8和12的最小公倍数：2×2×2×3＝24
至少经过24分钟又能在起点相遇。
37．（23-24五年级下·江苏盐城·期中）五一节快到了，盐渎公园里AC这条路的一边等距离挂灯笼（如图），要求在A、B、C处都要挂一个灯笼，一共至少需要挂( )个。
【答案】18
【分析】由于A、B都要挂，所以相邻灯笼距离是63的因数，由于B、C都要挂，所以相邻灯笼距离也是56的因数，63和56最大公因数为7，AB路段需要挂（63÷7＋1）个，即10个，BC路段需要挂：（56÷7＋1）个，即9个，由于B点计算重复，所以路的一边至少需要挂：（10＋9－1）个；由此解答即可。
【详解】63＝3×3×7
56＝2×2×2×7
63和56最大公因数为7，
63÷7＋1
＝9＋1
＝10（个）
56÷7＋1
＝8＋1
＝9（个）
10＋9－1＝18（个）
一共至少需要挂18个。
38．（23-24五年级下·江苏盐城·期中）东方小学五年级学生参加植树活动。五（1）班每6人一组或8人一组都刚好分完而无剩余，已知这个班的人数在40～60之间，那么五（1）班有学生( )人；五（2）班学生每组10人或每组8人都剩1人，那么五（2）班最少有( )名学生。
【答案】 48 41
【分析】已知五（1）班每6人一组或8人一组都刚好分完而无剩余，说明五（1）班总人数是6和8的公倍数，先求出6和8的最小公倍数，再翻倍求出40～60之间的6和8的公倍数；已知五（2）班学生每组10人或每组8人都剩1人，说明五（2）班学生的总人数比10和8的公倍数多1，求五（2）班最少有多少人，就是求10和8的最小公倍数多1；求两个数的最小公倍数，先将这两个数分别分解质因数，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积。据此解答。
【详解】6＝2×3
8＝2×2×2
6和8的最小公倍数：2×2×2×3＝24
24×2＝48
40＜48＜60
五（1）班有学生48人；
10＝2×5
10和8的最小公倍数：2×2×2×5＝40
40＋1＝41（名）
五（2）班最少有41名学生。
39．（23-24五年级下·江苏盐城·期中）有一个三位数53□，要使它是3的倍数，方框里可以填( )；要使它既是2的倍数又是3的倍数，方框里可以填( )；要使它既是2的倍数，又有因数5，方框里可以填( )。
【答案】 1、4、7 4 0
【分析】一个数，各个数位上的数字之和是3的倍数，那这个数就是3的倍数；一个数，个位上是0、2、4、6、8，那这个数就是2的倍数；一个数，个位上是0，那这个数就是2和5的倍数，据此解答。
【详解】5＋3＋1＝9
5＋3＋4＝12
5＋3＋7＝15
□里填1、4、7，则这个三位数是3的倍数。
□里填4，这个三位数就是2的倍数也是3的倍数。
□里填0，那这个数既是2的倍数，又有因数5。
40．（23-24五年级下·江苏南京·期中）大雪后的某一天，豆豆和爸爸从同一点出发沿着同一方向分别步测一个圆形花圃的周长。豆豆每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两个人的脚印有重合，所以雪地上只留下60个脚印。请问：花圃的周长是( )米。
【答案】21.6
【分析】已知豆豆每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，那么54和72的最小公倍数就是他们步长的最小公倍数，即216厘米，用216除以豆豆和爸爸每步的长，即可得知豆豆走四步和爸爸走三步的距离是一样的。由于人的脚印有重合，所以平均每走216厘米，雪地上会留下（4＋3－1）＝6个脚印（因为是圆形，第一步的脚印，正好是最后一步的，所以是6个脚印）。每走216厘米，雪地上留下的脚印数＝6，又知雪地上留下60个脚印，所以他们走了60÷6＝10次的216厘米，所以周长＝216×10＝2160厘米，据此解答。
【详解】54＝2×3×3×3
72＝2×2×2×3×3
2×2×2×3×3×3
＝4×2×3×3×3
＝8×3×3×3
＝24×3×3
＝72×3
＝216
72与54的最小公倍数是216。
每走216厘米会留下的脚印为：216÷72＋216÷54－1
＝3＋4－1
＝7－1
＝6（个）
花圃的周长是：216×（60÷6）
＝216×10
＝2160（厘米）
2160厘米＝21.6米
这个花圃的周长是21.6米。
【点睛】本题主要通过求解豆豆和爸爸步长的最小公倍数，然后根据脚印数量推算出花圃的周长。
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