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第五章 一元一次方程
5.3 实践与探索
第1课时 体积和面积问题
本节课是华东师大版初中数学七年级下册第五章第三节《实践与探索》第一课时的内容．本课在学生学习了一元一次方程的概念、解一元一次方程的解法后，进一步探究利用一元一次方程解决实际问题．通过本课的学习，学生将学会借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系，建立方程，解决实际问题．
到了七年级下册，学生已经具备了一定的数学基础和方程知识，对一元一次方程的基本概念及解法有了一定的理解．然而，由于学生之间存在个体差异，部分学生从实际问题中找出等量关系，列出一元一次方程可能会遇到困难．因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，采取因材施教的教学策略．
1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系，建立方程，解决实际问题
2.通过具体问题的解决，体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系．
3.通过分析图形问题中的数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力．
4.通过对实际问题的探讨，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望．
重点：借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系．
难点：找等量关系列一元一次方程解决实际问题．
复习回顾
填空：
长方形的周长=__________，面积=_______．
正方形的周长=__________，面积=_______．
长方体的体积=______，正方体的体积=____．
圆的周长=_______，面积=___________．
圆柱的体积=_______________．
预设答案：
2(a+b)；ab；4a；a2；abc；a3；2πr；πr2；πr2h．
情境导入
从一个水杯向另一个水杯倒水
思考：在这个过程中什么没有发生变化？
设计意图：复习回顾已学知识，为新课的学习做准备.让学生观察倒水的过程中体会等体积变化的现象中蕴涵的不变量.同时分析出不变量与变量间的等量关系．
探究新知
活动一：与平面图形有关的实际问题
问题1 用一根长60 cm的铁丝围成一个长方形．
(1)如果长方形的宽是长的，求这个长方形的长和宽；
(2)如果长方形的宽比长少4 cm，求这个长方形的面积；
(3)比较小题(1)(2)所得的两个长方形面积的大小，还能围出面积更大的长方形吗？
教师活动：在这个过程中什么没有发生变化？
分析：由题意知，长方形的周长始终是不变的，即长与宽的和为：(cm)．
解：（1）如图所示：
设此时长方形的长为x cm，则它的宽为 cm．
根据题意，得 ．
解这个方程， 得 ．
．
此时长方形的长为18 cm，宽为12 cm．
（2）如图所示：
设此时长方形的长为x cm，则它的宽为 cm．
根据题意，得 ．
解这个方程，得 ．
．
此时长方形的长为17 cm，宽为13 cm，
所以，长方形的面积为17×13=221(cm2)．
（3）(1)中长方形的面积为18×12=216(cm2)，
∵221＞216，
∴(2)中长方形的面积比(1)中长方形的面积大．
讨论：每小题中如何设未知数？在小题(2)中，能不能直接设长方形的面积为x cm ？若不能，该怎么办？
答：在每小题中均可设长方形的长或宽为未知数；小题（2）中，因为已知长与宽的关系，而不是面积的关系，所以不能直接设出长方形的面积．只能间接地设出长方形的长或宽，待求出长方形的长或宽后，再进一步计算这个长方形的面积．
探索：将小题(2)中的宽比长少4 cm改为少3 cm、2 cm、1 cm、0 cm(即变为正方形)，长方形的面积有什么变化？
答：同理，可计算当宽比长少2 cm时，S=224 cm2；
当宽比长少1 cm时，S=224.75 cm2；
当宽与长相等时，S=225 cm2；
所以，还可以围出面积更大的长方形．
小结：由此可以得到：当长与宽相差越小时，长方形的面积越大，当长与宽相等(相差为0)时，长方形的面积最大．
设计意图：鼓励学生通过独立思考发现：围成的长方形的长和宽在发生变化，但在围的过程中，长方形的周长不变，由此便可建立“等量关系”．同时，根据计算，发现随着长方形长与宽的变化，长方形的面积也在发生变化．培养学生数学思考的严谨性，语言表述的准确性．
活动二：立体图形的等积变形问题
某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6 cm，12 cm的圆柱形易拉罐饮料．经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6 cm．那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？
教师活动：想一想，什么发生了变化？什么没有发生变化？
问题1：在这个问题中有一个怎样的等量关系？
预设答案：旧包装的容积 = 新包装的容积
问题2：设易拉罐的高度为x cm，填写下表：
预设答案：
问题3：根据等量关系，列出方程：________．
解得x =________．
因此，易拉罐的高变成了________cm．
预设答案：
π×3.32×12=π×32×x；14.52；14.52
教师活动：列方程时，关键是找出问题中的等量关系．
设计意图：通过几个问题，寻找图形问题中的等量关系，激发学生的求知欲望，培养学生的积极性.此时要注意提醒学生π的取值相关细节问题.此类题目中的π值由等式的基本性质就已约去，无须带具体值；若是题目中的π值约不掉，也要看题目中对近似数有什么要求，再确定精确程度.
应用新知
经典例题
例1 用两根等长的铁丝分别绕成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长比圆的半径长2(π－2) m，求这两根等长的铁丝的长度，并通过计算说明谁的面积大．
分析 比较两图形的面积大小，关键是通过题中的等量关系列方程求得圆的半径和正方形的边长，本题的等量关系为：正方形的周长＝圆的周长．
解：设圆的半径为r m，则正方形的边长为[r＋2(π－2)] m．
根据题意，得2πr＝4(r＋2π－4)，
解得r＝4．
∴铁丝的长为2πr＝8π(m)．
∴圆的面积是π×42＝16π(m2)，
正方形的面积为[4＋2(π－2)]2＝4π2(m2)．
∵4π×4＞4π×π，所以16π＞4π2，∴圆的面积大．
答：铁丝的长为8π m，圆的面积较大．
小结：等长变形
1.线段长度不变时，不管围成怎样的图形，周长不变．即C前=C后．
2.当长方形周长不变时，长方形的面积随着长与宽的变化而变化，当长与宽相等时，面积最大．
例2 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4 m变为多少米？
解：如果设水箱的高变为x m，填写下表：
根据旧水箱的容积 = 新水箱的容积，列方程得
π×22×4=π×1.62×x
解得x=6.25
因此，水箱的高度变成了6.25 m．
小结：等积变形
1.形状变了，体积没变；原材料的体积＝成品的体积．
2.解决等积变形的问题时，通常利用体积相等建立方程．
【思考交流】
在上面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量？列方程的思路是什么？与同伴进行交流．
预设答案：相等的量；
方程的思路：审，设，列，解，检，答．
①审：通过审题找出等量关系；
②设：设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称；
③列：依据找到的等量关系，列出方程；
④解：求出方程的解；
⑤检：检验所得的解是否符合题意；
⑥答：回答题目中要解决的问题，注意单位名称．
设计意图：明确如何根据等积变形和等长变形找等量关系，以及列一元一次方程解决实际问题的步骤．
课堂练习
【教材练习】
1.一块长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5 cm的圆柱，圆柱的高是多少？(精确到0.1 cm，π取3.14)
解：设圆柱的高是x cm．
根据题意，得
4×3×2＝π×1.5 ×x，
解得x≈3.4．
答：圆柱的高是3.4 cm．
2.在一个底面直径5 cm、高18 cm的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6 cm、高10 cm的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离．
解：圆柱形瓶内的体积为π×(5÷2) ×18＝112.5π(cm )，
圆柱形玻璃杯的体积为π×(6÷2) ×10＝90π(cm )，
因为112.5π＞90π，
所以不能完全装下，
设将圆柱形玻璃杯装满后，圆柱形瓶内水面还有x cm高，
根据题意列方程，得112.5π－90π＝π×(5÷2) ×x，
解得x＝3.6，经检验，符合题意，
所以底面直径6 cm、高10 cm的玻璃杯完全装不下，瓶内水面还有3.6 cm高．
师生活动：学生先独立思考再作答．
3.墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如下图虚线所示(单位：cm)．小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如下图实线所示．小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？
【分析】等量关系是变形前后周长相等．
解：设长方形的长是 x cm．
根据题意，得x + x + 10 + 10 =10 + 10 + 10 + 10 + 6 + 6
解得 x = 16
答：小颖所钉长方形的长为16 cm，宽为10 cm．
师生活动：学生先独立思考再作答．
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深学生对一元一次方程的理解和应用能力．通过解决具体的体积和面积问题，巩固一元一次方程的应用．
【课堂检测】
1.某工厂要制造直径长为120 mm，高为20 mm的圆钢毛坯，现有的原料是直径长为60 mm的圆钢若干米，则应取原料的长为( )
A.50 mm B.60 mm C.70 mm D.80 mm
答案：D
2. 一种牙膏出口处直径为5 mm，小明每次刷牙都挤出1 cm长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为6 mm，小明还是按习惯每次挤出1 cm的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？
【分析】等量关系是变形前后体积相等．
解：设这一支牙膏能用x次，根据题意得
．
解这个方程，得x＝25．
答：这一支牙膏能用25次．
教师活动：注意单位要统一哦！
3.把一块长、宽、高分别为5 cm、3 cm、3 cm的长方体铁块，浸入半径为4 cm的圆柱形玻璃杯中(盛有水)，水面将增高多少？(结果保留两位小数)
【分析】等量关系是水面增高体积=长方体体积．
解：设水面增高 x 厘米，则
解得 ．
因此，水面增高约为0.90厘米．
设计意图：通过课堂检测，学生能够在短时间内快速回顾和巩固本堂课所学相关知识．同时，也锻炼了学生的解题速度和对题目的理解能力，同时培养他们的时间管理意识和学习兴趣．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1.本节课你学到了什么？
2.列方程解决实际问题的思路是什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识．
实践作业
用两个等体积的橡皮泥捏两个底面不同的圆柱，测量出其中一个圆柱的高，再通过列方程解决问题求出另一个圆柱的高．
本节课是第七章“一元一次方程”的第三节《实践与探索》中的第一课时《体积和面积问题》，本节课是代数学习中的重要组成部分．本课在学生学习了一元一次方程的概念、解一元一次方程的解法后，进一步探究利用一元一次方程解决生活中的实际问题．七年级的学生正处于青春期，思维活跃，好奇心强，但注意力容易分散．因此，教师在设计教学活动时，应注重激发学生的学习兴趣，通过生动的实例和有趣的练习，引导学生积极参与课堂活动，提高教学效果．
针对学生的学情，教师在备课时应充分准备，设计多样化的教学活动，如小组讨论、动手操作、游戏竞赛等，以激发学生的学习兴趣和主动性．同时，教师还应关注学生的学习过程，及时给予指导和帮助，确保每位学生都能在课堂上有所收获．

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