资源简介

第五章 一元一次方程
5.3 实践与探索
第2课时 和差倍分、销售和储蓄问题
本节课是华东师大版初中数学七年级下册第五章第三节《实践与探索》第二课时的内容．本课在学生学习了一元一次方程的概念、解一元一次方程的解法后，进一步探究利用一元一次方程解决实际问题．通过本课的学习，学生将学会列一元一次方程解决日常生活中的和差倍分、销售问题和储蓄问题．
到了七年级下册，学生已经具备了一定的数学基础和方程知识，对一元一次方程的基本概念及解法有了一定的理解．然而，由于学生之间存在个体差异，部分学生从实际问题中找出等量关系，列出一元一次方程可能会遇到困难．因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，采取因材施教的教学策略．
1.通过学习列方程解决日常生活中的和差倍分、销售问题和储蓄问题，进一步感知数学在生活中的作用．
2.通过分析和差倍分、销售问题和储蓄问题中的数量关系，建立方程解决实际问题，进一步发展分析问题，解决问题的能力．
3.经历由实际问题抽象、建立方程模型的过程，能抓住等量关系列出方程，并能解方程．
4.进一步熟悉列方程解应用题的解题步骤，学会从实际问题中抽象出数学模型．
重点：解决日常生活中的和差倍分、销售问题和储蓄问题．
难点：找等量关系列一元一次方程解决实际问题．
复习回顾
列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？
答：步骤：审，设，列，解，检，答．
①审：通过审题找出等量关系；
②设：设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称；
③列：依据找到的等量关系，列出方程；
④解：求出方程的解；
⑤检：检验所得的解是否符合题意；
⑥答：回答题目中要解决的问题，注意单位名称．
设计意图：复习回顾已学知识，为新课的学习做准备．
探究新知
活动一：和差倍分问题
问题1 新学年开始，某校三个年级为地震灾区捐款，经统计，七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的，八年级捐款数是全校三个年级捐款数的平均数，九年级捐款数为1964元．求七、八年级的捐款数．
思考：题目中的等量关系是什么？
答：七年级捐款数+八年级捐款数+九年级捐款数=总捐款数．
解：设总捐款数为x元，则七年级捐款数为x元，
八年级捐款数为x元．根据题意，得
，
解得 x＝7365，
所以，七年级七年级捐款数：×7365＝2946(元)，
八年级捐款数为×7365＝2455(元)．
活动二：销售问题
问题2 某商场将某种商品按原价的8折出售，此时商品的利润率是10%．已知这种商品的进价为1800元，那么这种商品的原价是多少？
分析：利润率＝利润÷成本×100%＝(售价－成本)÷成本×100%．
在解决这类问题过程中，要抓住这个等量关系．由于本例中只提到原价、进价和利润率，这里的“进价”看作是“成本”．
解：设商品的原价是x元，根据题意，得
解这个方程，得x＝2475．
因此，这种商品的原价为2475元．
活动三：储蓄问题
问题3 某银行一年定期储蓄的年利率是2.25%，小明爸爸取出一年到期的本利和共计10225元．小明爸爸存入银行的本金是多少元？
分析 设小明爸爸存入银行的本金为x元，则一年后的利息为2.25%x．
等量关系：本利和＝本金＋利息
解：设小明爸爸存入银行的本金为x元，根据题意，得
x＋2.25%x＝10225
解得 x＝10000．
经检验，符合题意．
答：小明爸爸存入银行的本金为10000元．
设计意图：引导学生自己动手，如何用一元一次方程解决和差倍分、销售问题和储蓄问题，提高读题审题的能力，并规范答题的步骤.体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力．
应用新知
经典例题
例1 今年小亮11岁，小亮的爸爸39岁，多少年后爸爸的年龄是小亮年龄的3倍？
分析 设x年后爸爸的年龄是小亮年龄的3倍．
等量关系：x年后爸爸的年龄＝x年后小亮年龄的3倍
解：设x年后爸爸的年龄是小亮年龄的3倍．
依题意，得
39＋x＝3(11＋x)
解得 x＝3
答：3年后爸爸的年龄是小亮年龄的3倍．
小结：和差倍分
倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增加率…”来体现．
多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余…”来体现．
比例问题：全部数量＝各种成分的数量之和．
设计意图：引导学生自己动手，如何用一元一次方程解决和差倍分问题，提高读题审题的能力，并规范答题的步骤．体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力．
例2 一件夹克按成本价提高50%后标价，后因季节关系按标价的8折出售，每件以60元卖出，这批夹克每件成本是多元？老板是亏了还是赚了？赚了多少？利润率是多少？
分析：先用成本价表示出标价，然后根据等量关系式“标价×0.8＝售价”列方程．
利润率＝利润÷成本价×100%
解：设成本价为x元，
则标价为(1＋50%) x元，根据题意，
得 (1＋50%)x 80%＝60
解得 x＝50
60－50＝10(元)，利润率：10÷50×100%＝20%
答：老板赚了10元，利润率为20%．
小结：利用一元一次方程确定商品的利润
(1)确定商品的打折数
等量关系：标价×打折数－进价＝利润，利润＝进价×利润率．
(2)确定商品的利润
等量关系：进价×(1＋利润率)＝售价．
(3)优惠问题中的打折销售
商场中的优惠一般是购买数量超过一定的范围才打折或超过的部分打折．要分段分情况计算不同的利润．
设计意图：引导学生自己动手，如何用一元一次方程解决销售问题，提高读题审题的能力，并规范答题的步骤．体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力．
例3 爸爸为小明存了一个3年期的教育储蓄（3年期的年利率为2.7％），3年后能取5405元，他开始存入了多少元？
分析：5405元是什么量？要求的是什么量？等量关系是什么？
解：设他开始存入x元，根据题意，可列方程：x(1＋2.7%×3)＝5405
解得：x＝5000．
所以他开始存入5000元．
小结：利息的计算方法
利息＝本金×利率×期数
本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)
利息税＝利息×税率
税后利息＝利息－利息税＝利息－利息×税率＝利息×(1－税率)＝本金×利率×期数×(1－税率)
设计意图：引导学生自己动手，如何用一元一次方程解决储蓄问题，提高读题审题的能力，并规范答题的步骤.体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力．
课堂练习
【教材练习】
1.填空：
(1)学校图书馆原有图书a册，最近增加了20%，现在有图书________册；
(2)某煤矿预计今年比去年增产15%，达到年产煤60万吨，设去年产煤x万吨，则可列方程_____________；
(3)某商品按定价的八折出售，售价为14.80元，则原定价是______元．
答：（1）1.2a；(2)(1＋15%)x＝60；(3)18.5．
2.一个角的余角比这个角的补角的一半小 40°，求这个角的度数．
解：设这个角的度数为x°．
根据题意，得
，
解得x＝80．
答：这个角的度数为80°．
师生活动：学生先独立思考再作答．
3.小明的爸爸前年存了一个2年期存款，年利率是4.40%，今年到期后得到利息176元，小明爸爸前年存了多少钱？
解：设小明的爸爸前年存了x元钱，
根据题意可得：
x×4.40%×2＝176，
解得：x＝2000．
答：小明的爸爸前年存了2000元钱．
师生活动：学生先独立思考再作答．
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深学生对一元一次方程的理解和应用能力．通过解决具体的和差倍分、销售问题和储蓄问题，巩固一元一次方程的应用．
【课堂检测】
1.某文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖960元，以成本计算，其中一台赢利20%，另一台亏本20%，则本次出售中商场( )．
A．不赔不赚 B．赚160元 C．赚80元 D．赔80元
答案：D
2.王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是5%，若到期后取出得到本息和共33825元，设王先生存入的本金为x 元，则下面所列方程正确的是（ ）
A.x＋3×5%x＝33825 B.x＋5%x＝33825
C.3×5%x＝33825 D.3(x＋5x)＝33825
答案：A
3.现在父亲和女儿的年龄和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍的时候，女儿的年龄是父亲现在年龄的三分之一，求女儿现在的年龄？
解：设女儿今年x岁，那么爸爸今年（91－x）岁
由题意可得：
解得： x＝28．
答：女儿现在的年龄是28岁．
4.一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
解：①设盈利25%的衣服进价是 x 元，
依题意得 x＋0.25x＝60
解得 x＝48
②设亏损25%的衣服进价是 y元，
依题意得 y－0.25y＝60
解得 y＝80
两件衣服总成本：48＋80＝128(元)
因为120－128＝－8(元)
所以卖这两件衣服共亏损了8元．
设计意图：通过课堂检测，学生能够在短时间内快速回顾和巩固本堂课所学相关知识．同时，也锻炼了学生的解题速度和对题目的理解能力，同时培养他们的时间管理意识和学习兴趣．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
本节课你学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
请同学们，根据自己的年龄编一道利用一元一次方程解决实际问题的题．
本节课是第七章“一元一次方程”的第三节《实践与探索》中的第二课时《和差倍分、销售和储蓄问题》，本节课是代数学习中的重要组成部分．本课在学生学习了一元一次方程的概念、解一元一次方程的解法后，进一步探究利用一元一次方程解决生活中的和差倍分、销售和储蓄问题．七年级的学生正处于青春期，思维活跃，好奇心强，但注意力容易分散．因此，教师在设计教学活动时，应注重激发学生的学习兴趣，通过生动的实例和有趣的练习，引导学生积极参与课堂活动，提高教学效果．
针对学生的学情，教师在备课时应充分准备，设计多样化的教学活动，如小组讨论、动手操作、游戏竞赛等，以激发学生的学习兴趣和主动性．同时，教师还应关注学生的学习过程，及时给予指导和帮助，确保每位学生都能在课堂上有所收获．

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