资源简介

第五章 一元一次方程
5.3 实践与探索
第3课时 工程、行程和配套问题
本节课是华东师大版初中数学七年级下册第五章第三节《实践与探索》第三课时的内容．本课在学生学习了一元一次方程的概念、解一元一次方程的解法后，进一步探究利用一元一次方程解决实际问题．通过本课的学习，学生将学会列一元一次方程解决日常生活中的工程问题、行程问题和配套问题．
到了七年级下册，学生已经具备了一定的数学基础和方程知识，对一元一次方程的基本概念有了初步的了解．然而，由于学生之间存在个体差异，部分学生从实际问题中找出等量关系，列出一元一次方程可能会遇到困难．因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，采取因材施教的教学策略．
1.通过学习列方程解决日常生活中的工程问题、行程问题和配套问题，进一步感知数学在生活中的作用．
2.通过分析工程问题、行程问题和配套问题中的数量关系，建立方程解决实际问题，进一步发展分析问题，解决问题的能力．
3.经历由实际问题抽象、建立方程模型的过程，能抓住等量关系列出方程，并能解方程．
4.进一步熟悉列方程解应用题的解题步骤，学会从实际问题中抽象出数学模型．
重点：解决日常生活中的工程问题、行程问题和配套问题．
难点：找等量关系列一元一次方程解决实际问题．
复习回顾
1.一件工作，如果甲单独做2小时完成，那么甲单独做1小时，完成全部工作量的多少？
2.一件工作，如果甲单独做3小时完成，那么甲单独做1小时，完成全部工作量的多少？
3.工作量、工作效率、工作时间之间有怎样的关系？
答案：1. ；2. ；3.工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率．
设计意图：复习回顾已学知识，为新课的学习做准备．
探究新知
活动一：工程问题
问题1 某工厂需制作一块广告牌，请来两名工人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天．
（1）两人合作需几天完成？
（2）如果师傅先工作了2天，然后与徒弟合作，问还需几天完成？
（3）现由徒弟先做1天，再两人合作，完成后共得报酬900元．如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？
试解答这一系列问题，并和同学们一起交流各自的做法．
解：（1）设两人合作完成需要x天．
列表分析：
可列方程：
解得x＝2.4
答：两人合作完成需要2.4天．
（2）设还需y天完成．
列表分析：
可列方程：
解得y＝1.2．
答：还需1.2天完成．
（3）设完成这项工作总共用了z天．
列表分析：
可列方程：
解得z＝3
徒弟完成工作量的，师傅完成工作量的．
所以徒弟与师傅平分报酬，每人分得450元．
应用新知
经典例题
例1 一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天．如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？
分析 把工作量看作单位“1”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，根据工作效率×工作时间＝工作量，列方程．
解：设要x天可以铺好这条管线，由题意得
．
解得 x＝8
答：要8天可以铺好这条管线．
小结：工程问题
工程问题中的三个基本量：工作量、工作效率、工作时间，它们之间的关系是：工作量＝工作效率×工作时间
若把工作量看作1，则工作效率＝1÷工作时间
(1)按工作时间，各时间段的工作量之和＝完成的工作量，
(2)按工作者，若一项工作有甲、乙两人参与，则甲的工作量＋乙的工作量＝完成的工作量．
设计意图：引导学生自己动手，如何用一元一次方程解决工程问题，提高读题审题的能力，并规范答题的步骤．体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力．
活动二：行程问题
例2 小明与小红的家相距20 km，小明从家里出发骑自行车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明．已知小明骑车的速度为13 km/h，小红骑车的速度是12 km/h．
（1）如果两人同时出发，那么他们经过多少小时相遇？
分析 由于小明与小红都从家里出发，相向而行，所以相遇时，他们走的路程的和等于两家之间的距离．即小明走的路程＋小红走的路程＝两家之间的距离(20 km)．
解：（1）设小明与小红骑车走了x h后相遇，
则根据等量关系，得
13x＋12x＝20．
解得 x＝0.8．
答：经过0.8 h他们两人相遇．
（2）如果小明先走30min，那么小红骑车要走多少小时才能与小明相遇？
解：（2）设小红骑车走了t h后与小明相遇，则根据等量关系，得
13(0.5＋t)＋12t＝20．
解得 t＝0.54．
答：小红骑车走0.54 h后与小明相遇．
小结：相遇问题
(1)路程＝速度×时间，
(2)甲走的路程＋乙走的路程＝甲、乙间的距离．
注意相向而行的始发时间和地点．
设计意图：引导学生自己动手，如何用一元一次方程解决行程问题，提高读题审题的能力，并规范答题的步骤．体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力．
活动三：配套问题
例3 某种仪器由1个A部件和1个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件1 000个或者加工B部件600个．现有工人16人，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？
分析：本题中设安排x人生产A部件，相等关系是“每天生产A部件的数量＝每天生产B部件的数量”．列表如下：
解：设安排x人生产A部件，则安排（16－x）人生产B部件．
根据题意，得1000x＝600(16－x)，
解方程，得x＝6．
经检验，符合题意，
所以16－x＝16－6＝10．
答：应安排6人生产A部件，10人生产B部件，才能使每天生产的A部件和B部件配套．
小结：配套问题
在现实生活和生产中常见“产品配套”问题，解决这类题的基本相等关系是加工（或生产）的各种零配件的总数量比等于一套组合件中各种零配件的数量比．
设计意图：引导学生自己动手，如何用一元一次方程解决行程问题，提高读题审题的能力，并规范答题的步骤．体会利用一元一次方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力．
课堂练习
1.一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果两人合做8天后，余下的工作再由甲独做x天完成，那么所列方程为________________．
答：．
2.一艘轮船在同一河道中航行，顺流而下每小时航行23 km，逆流而上每小时航行15 km，则轮船在平静的河面航行的速度是______km/h，河水的流速是_______km/h．
答：19，4．
3.某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺柱或2000个螺母．1个螺柱需要配2个螺母，为使每天生产的螺柱和螺母刚好配套，应安排生产螺柱和螺母的工人各多少名？
等量关系：每天生产的螺柱数量：生产的螺母数量＝1：2
解：设应安排x名工人生产螺柱，则(22－x)名工人生产螺母
解方程，得 x＝10
检验，x＝10符合题意，22－x＝12．
答：应安排10名工人生产螺柱，12名工人生产螺母．
师生活动：学生先独立思考再作答．
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深学生对一元一次方程的理解和应用能力．通过解决具体的工程问题、行程问题和配套问题，巩固一元一次方程的应用．
【课堂检测】
1.甲、乙两人相距280米，相向而行，甲从A地出发每秒走8米，乙从B地出发每秒走6米，那么甲出发几秒后与乙相遇？
分析：甲的行程＋乙的行程＝A、B两地间的距离
解：设甲出发t秒与乙相遇．
根据题意，得 8t＋6t＝280．
解得 t＝20．
所以，甲出发20秒后与乙相遇．
2.某车间每天能生产甲种零件120个，或乙种零件100个，甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套产品，现要在45天内生产最多的成套产品，怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？最多可以生产多少套产品？
解：设安排x天生产甲种零件，则(45－x)天生产乙种零件．
解方程，得 x＝25
45－x＝20，20×1000÷2＝1000(套)
答：安排20天生产甲种零件，安排20天生产乙种零件，共生产1000套产品．
3.整理一批数据，假设每个人单位时间内完成工作量一样，单独一个人做需要80 h完成所有任务．现在先由几个人先做2 h，再增加5人做8 h后，共完成这项工作的四分之三，问先安排参与整理数据的具体的人数是多少人？
解：先安排参与整理数据的具体的人数是x人．
根据题意，得
解方程，得 x＝2
检验，x＝2符合题意．
答：先安排2人参与整理数据．
设计意图：通过课堂检测，学生能够在短时间内快速回顾和巩固本堂课所学相关知识．同时，也锻炼了学生的解题速度和对题目的理解能力，同时培养他们的时间管理意识和学习兴趣．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
本节课你学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识．
实践作业
根据自己家到学校的距离，步行时间和骑车时间编一道利用一元一次方程解决实际问题的题.
本节课是第七章“一元一次方程”的第三节《实践与探索》中的第三课时《工程问题、行程问题和配套问题》，本节课是代数学习中的重要组成部分．本课在学生学习了一元一次方程的概念、解一元一次方程的解法后，进一步探究利用一元一次方程解决日常生活中的工程问题、行程问题和配套问题．七年级的学生正处于青春期，思维活跃，好奇心强，但注意力容易分散．因此，教师在设计教学活动时，应注重激发学生的学习兴趣，通过生动的实例和有趣的练习，引导学生积极参与课堂活动，提高教学效果．
针对学生的学情，教师在备课时应充分准备，设计多样化的教学活动，如小组讨论、动手操作、游戏竞赛等，以激发学生的学习兴趣和主动性．同时，教师还应关注学生的学习过程，及时给予指导和帮助，确保每位学生都能在课堂上有所收获．

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