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第七章 一元一次不等式
7.2 不等式的基本性质
本节内容是在学习和掌握了不等式的相关概念的基础上，来探究不等式的性质，掌握运用不等式性质对不等式进行适当的变形．通过分析例题，学生能够理解不等式的性质，并且能够运用性质说明一些结论的正确性；在经历各式各样的生活情境后，使学生体会不等式与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，感受数学在解决实际问题中的价值，培养学生严谨的数学态度和合作精神．
在教学中，通过小组合作、讨论交流的方式，探索不等式的基本性质，提高学生的团队协作能力和解决问题的能力．培养学生严谨、细致的学习态度，为后续学习打下良好的基础．
七年级下册的学生已经具备了一定的数学基础，通过上节课的学习，学生掌握了不等式的概念，能够解决一些简单的不等式问题．然而，对于不等式性质的认识和解题能力尚需加强．在学习本章节时，学生可能会在以下几个方面遇到困难：首先，对于不等式的性质理解不够深入，难以将其与实际问题相结合；其次，不等式变形过程中，可能会对符号处理不当，导致解题错误．
为此，在教学过程中，教师应关注学生的这些难点，通过设置一些利用不等式的基本性质进行变形的题，引导学生逐步掌握不等式的基本性质，并在解题过程中给予适当的提示和指导．此外，教师要注重激发学生的学习兴趣，鼓励他们积极参与课堂讨论，发挥学生的主体作用，帮助他们克服困难，提高解题能力时，针对学生的个体差异，教师应制定有针对性的教学策略，使每个学生都能在本章节的学习中取得进步．
1．理解掌握不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质对不等式进行适当的变形．
2．通过等式的基本性质引出对不等式的基本性质的探究，并通过实例学习利用不等式基本性质对不等式进行适当变形．
3．培养类比思想，分析问题、解决问题的能力，逻辑推理能力，从实践中总结规律及解题技巧的能力．
4．学习所需的数学知识和技能，激发学生学习数学的兴趣．
重点：理解掌握不等式的基本性质．
难点：利用不等式的基本性质对不等式进行适当的变形．
复习回顾
问题：等式有哪些性质？
答：（1）等式两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．
如果，那么．
（2）等式两边都乘以(或都除以)同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式．
如果，那么，()．
提问：不等式有类似的性质吗？
设计意图：通过复习等式的基本性质，为接下来探究不等式的基本性质做准备．
探究新知
活动一：不等式的性质1
你能用不等式表示这个不等关系吗？
答：．
如果在两边盘中分别加上等质量的砝码c，天平的倾斜方向会改变吗？
怎样用不等式表示这个不等关系呢？
答：．
如果在两边盘中分别减去等质量的砝码c，天平的倾斜方向会改变吗？
怎样用不等式表示这个不等关系呢？
答：．
总结：不等式的性质1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．如果，那么．
设计意图：通过探究在天平上同时增加（或减少）等质量的砝码，得到新的不等式，从而总结归纳得到不等式的性质1．
思考：不等式的两边都乘以(或都除以)同一个正数，不等号的方向是否也不变呢
活动二：不等式的基本性质2
将不等式的两边都乘以或除以同一个非负数，比较所得结果的大小，用“＜”、“＞”或“＝”填空：
从中你能发现什么？
师生活动：教师提出问题，学生独立思考，直接作答填空．然后小组讨论，选代表回答问题，教师补充总结学生的结论．
答：，，，，，1．
总结：不等式的性质2 不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．如果，那么（或）．
设计意图：通过作答填空，小组讨论得到基本规律，得到不等式的性质2．
思考：不等式的两边都乘以(或都除以)同一个负数，不等号的方向是否也不变呢？
活动三：不等式的基本性质3
将不等式的两边都乘以或除以同一个非负数，比较所得结果的大小，用“＜”、“＞”或“＝”填空：
从中你能发现什么？
师生活动：教师提出问题，学生独立思考，直接作答填空．然后小组讨论，选代表回答问题，教师补充总结学生的结论．
答：，；，；，．
总结：不等式的性质3 不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．如果， 那么（或）．
设计意图：通过作答填空，小组讨论得到基本规律，得到不等式的性质3．
想一想：不等式的基本性质2和基本性质3有什么区别？
答：对于乘法（或除法）运算，不等式性质要乘（或除）的数正负不同，结果也不同．
应用新知
经典例题
例1 利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性：
（1）如果，那么；
（2）如果，那么．
解：（1）因为，将不等式的两边都加上b，由不等式的基本性质1，可得
，．
（2）因为，将不等式的两边都加上b，由不等式的基本性质1，可得
，．
归纳：
例2 利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性：
（1）如果，，那么；
（2）如果a、b、c、d都是正数，且，，那么．
解：（1）因为，所以． ①
又因为，所以． ②
由①②，可得．
（2）因为，c是正数，所以． ①
又因为，b是正数，所以． ②
由①②，可得．
归纳：不等式的基本性质与等式的基本性质的不同点和相同点．
相同点：1．两边加（或减）同一个数（或整式），不等式和等式仍成立；
2．两边乘（或除以）同一个正数，不等式和等式仍成立．
不同点：不等式：两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；等式：两边乘（或除以）同一个负数，结果仍相等．
设计意图：通过具体的例题，让学生巩固不等式的基本性质，培养学生分析问题、解决问题的能力，逻辑推理能力．
课堂练习
【教材练习】
1．说出下列不等式变形的依据：
（1）由，得；
（2）由，得．
答：（1）不等式的基本性质1．
（2）不等式的基本性质1和不等式的基本性质3．
2．利用不等式的基本性质说明下列结论的正确性：
（1）一个数加上一个正数比这个数大；
（2）一个数加上一个负数比这个数小．
答：（1）因为正数大于0，由不等式的基本性质1可得，一个数加上一个正数大于这个数．
（2）因为负数小于0，由不等式的基本性质1可得，一个数加上一个负数小于这个数．
3．一个正数乘以一个数，一定比这个正数大吗？为什么？
答：不一定．
理由：一个正数乘以一个负数时，结果是负数，
这个结果比这个正数小．
师生活动：学生先独立思考再作答．
设计意图：通过具体的题目巩固和深化学生对不等式的基本性质的理解，培养解题技能和逻辑思维能力，增强学习兴趣，并促进知识迁移．
【课堂检测】
1．若，则下列四个选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
答：C．
2．下列说法不一定成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
答：C．
3．如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
答：B．
4．已知，用“>”或“<”填空：
（1）___；
（2）___ ．
答：(1)＜；（2）＞．
5．若，则______．（填“>或“=”或“<”）
答：＞．
6．若，则_____．（填“>或“=”或“<”）
答：＜．
设计意图：通过本次活动，学生能够在短时间内快速回顾和巩固本堂课所学相关知识．锻炼了学生的解题速度和对题目的理解能力，同时培养他们的时间管理意识和学习兴趣．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．不等式的基本性质有哪些？
3．如何利用不等式的基本性质对不等式进行变形？
设计意图：本节课的课堂总结活动通过三个关键问题，引导学生全面回顾了本节课的学习内容．这种总结方式不仅帮助学生巩固了知识，还提高了他们的自我反思和总结能力．同时，通过师生互动，教师也能及时了解学生的学习情况，为后续的教学提供有针对性的指导．通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识．
实践作业
试着让同桌说一说今天所学的不等式的基本性质，并试着举例验证．
本节课不等式的性质是在学生掌握了不等式的基本概念的基础上开展的教学，通过这一节知识的学习进一步培养学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的不等式思想，养成仔细读题、认真审题、细心解答的良好习惯．
在课程中，学生的参与度较高，小组各成员合作十分配合，课堂作业完成较好，学生对于本节课知识有扎实的了解，且在具体题目中可以灵活运用所学知识，但仍然会有小部分学生会在细节方面出错，尤其是符号转化方面容易出现问题．
总之，学生在解题过程中出错很正常，做的题多了，就会知道自己容易在什么地方出错，改正即可，作为老师必须要有训练意识，培养学生严谨的思路和方法，同时提供足够的练习时间和练习量．

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