资源简介

第六章 一次方程组
6.4 实践与探索
本节课《实践与探索》是华师版初中数学七年级下册第六章第四节的内容．本课在学生学习了二元一次方程组和它的解、二元一次方程组的解法和三元一次方程组及其解法的知识之后，作为本章最后一个小结，主要内容是培养学生学会建立二元一次方程组模型解决问题．通过在解决实际问题的过程中，同伴之间的讨论、交流与合作，体会与他人合作的重要性，逐步形成积极参与讨论、敢于发表见解并尊重与理解他人见解的意识．
在本节课的学习中，学生已经掌握了二元一次方程组的相关知识，但在解决不同问题时学生对解题使用方法还不能准确判断．因此，在本节课中通过学生积极思考、互相讨论，探索事物之间的数量关系，形成方程模型．学生学好本节知识，不仅可以解决本章基础问题还能培养学生对数学知识在教学过程中，要采用学生多练，多思考，教师要主动引导学生总结归纳解题的方法和规律．
1．通过对实际问题的探索与解决，逐步形成结合具体的事例发现并提出数学问题的能力．
2．学会用二元一次方程组解决简单的实际问题．
3．通过学生积极思考、互相讨论，探索事物之间的数量关系，形成方程模型．
4．通过在解决实际问题的过程中，同伴之间的讨论、交流与合作，体会与他人合作的重要性，逐步形成积极参与讨论、敢于发表见解并尊重与理解他人见解的意识．
重点：学生积极参与讨论和探究问题．
难点：用二元一次方程组解决简单的实际问题．
复习回顾
通过前面的学习，你能说出列二元一次方程组解决实际问题的步骤吗？其中什么是关键？
师生活动：采用教师问学生答．
设计意图：让学生对列二元一次方程组解决实际问题的步骤进行复习，为本节课作铺垫．
探究新知
活动一：建立二元一次方程组模型解决几何问题
问题1：要用20张白卡纸做长方体的包装盒，准备把这些白卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面，已知每张白卡纸可以做2个侧面，或者3个底面．如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，那么如何分才能使做成的侧面和底面正好配套？
师生活动：请同学们独立思考，试解上面的问题,然后与你的同伴讨论、交流，探索解题进行方法.
追问：
1.本题有哪些已知量？
(1)共有白卡纸20张；
(2)一张白卡纸可以做盒身2个或盒底盖3个；
(3)1个盒身与2个盒底盖配成一套．
2.求什么？
用几张白卡纸做盒身？几张白卡纸做盒底盖？
3.若设用x张白卡纸做盒身，y张白卡纸做盒底盖，那么可做盒身多少个？盒底盖多少个？（2x个盒身，3y个盒底盖）
4.找出2个等量关系.
(1)用做盒身的白卡纸张数＋用做盒底盖的白卡纸张数＝20；
(2)由已知(3)可知盒底盖的个数应该是盒身的2倍，才能使盒身与盒底盖正好配套．
根据题意，得
解这个方程组，得
由于解为分数，所以如果不允许剪开，则只能做成16个包装盒，无法全部利用；如果允许剪开，则分法很多，例如可以将一张白卡纸一分为二，用8张半做盒身，11张半做盒底盖，可以做成盒身17个，盒底盖34个，正好配套成17个包装盒，较充分地利用了材料．
问题2：小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如下图所示的一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试”，结果小红七拼八凑，拼成如下图所示的正方形，咳，怎么中间还留有一个洞，恰好是边长为2 mm的小正方形！
你能求出这些长方形的长和宽吗？
1.观察小明的拼图你能发现小长方形的长x mm与宽y mm之间的数量关系吗？
（根据矩形的对边相等，得）
2.再观察小红的拼图，你能写出表示小长方形的长x mm与宽y mm之间的另一个关系式吗？
(显然有)
这样就得到方程组
解这个方程组，得
8个小矩形的面积和()；
大正方形的面积()；
()()
因此小红拼出的大正方形中间还留下了一个恰好是边长为2 mm的小正方形．
师生活动：在学生探索解题方法的过程中，教师要鼓励学生多角度地思考，只要学生的方法有道理，就要给予肯定和鼓励．鼓励学生进行质疑和大胆创新．
设计意图：引导学生认真审题，并找出等量关系．
应用新知
活动二：建立二元一次方程组模型解决实际问题
例1：某商场购进甲、乙两种商品后，甲种商品加价50%、乙种商品加价40%作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲种商品打八折销售，乙种商品打八五折销售，某顾客购买甲、乙两种商品各1件，共付款538元，已知商场共盈利88元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元．
解：设甲种商品的进价为x元，乙种商品的进价为y元．根据题意，得
化简，得
解得
答：甲种商品的进价为250元，乙种商品的进价为200元．
例2：如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？
解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米．
解这个方程组，得
答：小长方形的长是36厘米，宽是12厘米．
师生活动：学生先独立思考
设计意图：通过学生参与活动，激发学生参与课堂教学的热情，使学生进入问题情境，让学生加深对知识点印象．激发学生的求知欲望，感受数学的魅力．
课堂练习
【教材练习】
1．为了更有效地利用水资源，鼓励居民节约用水，某市规定，居民生活用水按三档分段计价． 第一段：每户每月用水不超过A ，水价为2.91元/；第二段：每户每月用水超过A 但不超过B ，超过部分水价按3.71元/计算；第三段：每户每月用水超过B ，超过部分水价按6.11元/计算．
已知小红家上月用水20 ，并没有超过B ，缴纳水费59.80元．问：该市规定的用水标准A 是多少？小红家按第二段超量部分计费的用水量是多少？
解：，
所以小红家上月用水量超过A ，
设该市规定的用水标准A是x ，小红家按第二段超量部分计费的用水量是y ．
根据题意，得
解这个方程组，得
答：设该市规定的用水标准A是18 ，小红家按第二段超量部分计费的用水量是2 ．
2．某山区盛产一种野果，极具市场前景，一家经销公司一次收购23 t．经市场预测，若直接销售，则每吨可获利500元；若经过粗加工并包装，则每吨可获利2500元；若制成罐头出售，则每吨可获利4000元．该公司每天可粗加工并包装4 t或制罐头1.5 t．同一天两种加工方式不能同时进行，且全部原料必须不超过7天全部销售或加工完毕．为此，公司研究了三种方案：
（1）全部进行粗加工并包装；
（2）尽可能多地制作罐头，余下的直接销售；
（3）部分制作罐头，其余进行粗加工并包装，且正好7天完成。
请你探究一下，为公司做决策．
（1）全部进行粗加工并包装，
可获利（元）．
（2）尽可能多地制作罐头，余下的直接销售，可获利
（元）．
（3）设制作罐头x天，进行粗加工并包装y天．
根据题意，得
解这个方程组，得
此时获利（元）．
因为，
所以公司应选择方案（3）：安排2天制作罐头，5天进行粗加工并包装获利最大．
师生活动：学生先独立思考再作答．
分析：转换后利用代入法解二元一次方程组．
【限时训练】
1．一个长方形，它的长减少1 cm，宽增加3 cm，可得到一个正方形，其面积比原来的长方形面积大21 ．求原来长方形的长与宽各是多少厘米？
分析：本题要求原来长方形的长与宽，可利用题中的条件找出相等关系，列出方程组来解决，由于原来长方形的长减少1 cm，宽增加3 cm，就可得到一个正方形，据此有相等关系“原长方形的长原长方形的宽”，而所得的正方形比原来的长方形面积大21 ．据此又可以得相等关系“所得正方形的面积－原来的长方形的面积”．
解：设原来长方形的长为x cm，宽为y cm，根据题意，得
化简得
解这个方程组，得
答：原来长方形的长与宽分别是10 cm，6 cm．
2.有两个长方形，第一个长方形的长与宽之比为5：4，第二个长方形的长与宽之比为3：2，第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大112 cm，第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2倍还大6 cm，求这两个长方形的面积．
解：设第一个长方形的长与宽分别为5x cm和4x cm，第二个长方形的长与宽分别为3y cm和2y cm，根据题意，得
解这个方程组，得
因为，0
答：这两个长方形的面积分别为1620 ，150 ．
3.某纸品厂为了制作甲、乙两种长方形无盖小盒(图1)，利用边角料裁出长方形和正方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等(图2)．现用300张长方形硬纸片和150张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可做甲、 乙两种小盒各多少个？
【教学说明】 通过练习使学生掌握如何从几何问题中抽象出数学模型.
解：设可做甲种小盒x个，可做乙种小盒y个．根据题意可得：
解这个方程组，得
答：可做甲种小盒30个可做乙种小盒60个．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．怎样建立二元一次方程组模型解决问题？
设计意图：通过小结让学生进一步加深并巩固本节课所学的知识．
实践作业
在日常生活中解决实际问题一般采用什么样的方法呢？
和小伙伴们一起进行方案设计吧！
本节课通过师生交流，对学生的解法给予鼓励，并引导学生比较用一元一次方程和用二元一次方程组来解的感受，从中体会到什么时候应用一元一次方程，什么时候应用二元一次方程组来解决实际问题比较方便.再通过练习使学生掌握如何从几何问题中抽象出数学模型,教学效果较好．

展开更多......

收起↑