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第六章 一元一次方程
6.2.4 列二元一次方程组解决实际问题
本节课《列二元一次方程组解决实际问题》是华师版初中数学七年级下册第六章第四节的内容．在学生学习了用一元一次方程解决实际问题、解二元一次方程组之后，能根据实际问题中的数量关系列出方程组．通过本节课的学习，让学生明白解决实际问题就是把“未知”化为“已知”的过程，其关键是把已知量和未知量联系起来，找出题中的等量关系，列出方程．
学生现阶段已经具备一定的知识储备，通过第五章的学习对等量关系已经有了初步的了解．然而，由于学生之间存在个体差异，部分学生在数学知识分析、解决实际问题、体会数学知识在现实生活中的运用中存在理解偏差．因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，采取因材施教的教学策略．
1．通过实际问题使学生感受二元一次方程组的广泛应用，体会列二元一次方程组是解决某些实际问题的一种有效的数学模型，增强应用意识．
2．能够由题意找出等量关系，列出二元一次方程组并检验所得结果是否符合实际意义．
3．使学生体验数学活动充满探索与创造，体会到经济社会中数学的应用价值，培养学生探索的精神．
重点：把应用问题转化为数学问题的过程，即对实际问题的数学模型的建立．
难点：在实践探索中寻找解题方案．
情境导入
在现实生活中，有很多问题都跟数学有关，例如下面的问题：
经典例题：小刚买了3 kg苹果，2 kg梨，共花了18.8元，小玲买了2 kg苹果，3 kg梨，共花了18.2元．你能算出苹果和梨各自的单价吗？
这是一个大家熟悉的购物问题，你会用所学到的知识来解决吗(学生讨论)？
复习回顾
1．一元一次方程解实际问题的过程是什么？
2．分析和抽象的过程包括哪些？
（1）弄清题意，设未知数；
（2）找等量关系；
（3）列方程．
设计意图：通过对用一元一次方程解决实际问题的复习，为本节课的继续学习做好铺垫．
探究新知
活动一：列方程组解决简单实际问题
问题1：题中有哪些未知量，你如何设未知数？
未知量：苹果的单价，梨的单价；
设未知数：设苹果的单价为x元/千克，梨的单价为y元/千克．
问题2：题中有哪些等量关系？
解：设苹果的单价为x元/千克，梨的单价为y元/千克．
根据题意，得
解这个方程组得
答：苹果的单价为4元/千克，梨的单价为3.4元/千克．
我们可以发现在实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们可借助列方程或方程组的方法来处理这些问题．
活动二：列方程组解决实际问题
教材例题：
问题3. 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140 t，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以粗加工16 t或者精加工6 t．现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？
分析：问题的关键是解答前一个问题，即先求出安排粗加工和精加工的天数．
从题目的信息中我们可以得到这样的等量关系：
设粗加工和精加工的天数分别为x，y，将两个等量关系直接“翻译”就可列出方程组.
解：设应安排x天粗加工，y天精加工．根据题意得，得
解这个方程组，得
出售这些加工后的蔬菜共可获利
（元）
答：应安排5天粗加工，10天精加工，加工后出售共可获利200000元．
师生活动：小组形式汇报．
活动三：二元一次方程组解决实际问题的步骤
【归纳结论】
(1)审题：分析题目中的已知量与未知量；
(2)设元：用字母表示题目中的未知量；
(3)列方程组：根据题中的2个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用代入消元法或加减消元法解出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答．
在第5章中，我们通过列一元一次方程解决了一些简单的实际题．在这里，又通过列二元一次方程组解决了另一些实际问题．实际上，有很多问题都存在着一些等量关系，我们可以通过列方程或方程组的方法来处理．列方程（或方程组）解决实际问题的过程可以概括为：
要注意的是，解决实际问题的方法往往是多种多样的，应该根据具体问题灵活选用．
设计意图：感受方程模型思想的必要性和优越性，并从列一元一次方程和列二元一次方程组的方法中，领会列二元一次方程组思维方式的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性．
应用新知
例1：某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分．市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，共得27分，试问该队胜几场，平几场？
分析：题中的未知量有胜的场数和平的场数，等量关系有：
胜的场数＋平的场数；
胜场得分＋平场得分．
胜场 平场 合计
场数 x y 11
得分 3x y 27
解：设市第二中学足球队胜x场，平y场．
根据题意，得
解这个方程组得
答：该市第二中学足球队胜8场，平3场．
例2：某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2 m的某种布料可做衣身3个或衣袖5只，现计划用132 m这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
分析：
本题的第一个相等关系较易得出：
衣身、衣袖所用布料的长度和为132 m；
第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎样配套的，
即衣袖的数量等于衣身数量的2倍．
解：设用x m布料做衣身，用y m布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套．
根据题意，得
解这个方程组得
答：用60 m布料做衣身，用72 m布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套．
例3：二果问价：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？又问各该几个钱？
分析：这首古诗词翻译成白话文，即：九百九十九文钱可买一千个甜果和苦果，已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买多少个？买甜果、苦果各需多少文钱？
解：设甜果x个，苦果y个，根据题意，得
解这个方程组得
因为，，
所以甜果657个需803文钱，苦果343个需196文钱．
课堂练习
【教材练习】
1．22名工人按定额完成了3400件产品，其中熟练工每人定额200件，学徒工每人定额150件．问：这22名工人中熟练工和学徒工各有多少名？
解：设熟练工有x名，学徒工有y名．
根据题意，得
解这个方程组，得
答：这22名工人中熟练工2名，学徒工20名．
2．为了改善富春河的周围环境，践行“绿水青山就是金山银山”理念，县政府决定，将该河上游A地的一部分牧场改林场．改变后，预计林场和牧场共有162 ，牧场面积是林场面积的20%．请你算一算：改变后林场和牧场的面积各为多少公顷？
解：设改变后林场的面积为x公顷，牧场面积为y公顷．
根据题意，得
解这个方程组，得
答：改变后林场的面积各为135公顷，牧场面积各为27公顷．
3．某船的载重为200 t，容积为500 ．现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为4 ，乙种货物每吨体积为1.5 ．若要充分利用这艘船的载重与容积，则甲、乙两种货物应各装多少吨？（设装运货物时不留空隙）
解：设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨．
根据题意，得
解这个方程组，得
答：甲种货物装80吨，乙种货物装120吨．
师生活动：老师提问学生代表展示问题答案．
设计意图：通过学生参与活动，激发学生参与课堂教学的热情，使学生进入问题情境，让学生加深对等量关系的认知．激发学生的求知欲望，感受数学的魅力．
【限时训练】
1．某工厂去年的总产值比总支出多500万元．由于今年总产值比去年增加15%，总支出比去年节约10%，因此，今年总产值比总支出多950万元．今年的总产值和总支出各是多少万元？
解：设去年的总产值是x万元，总支出是y万元．
根据题意，得
解这个方程组，得
，．
答：今年的总产值是2300万元，总支出是1350万元．
2．甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
解：设甲服装的成本x元，乙服装的成本y元．
根据题意，得
解这个方程组，得
答：甲服装的成本300元，乙服装的成本200元．
3．甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就可以追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，求两人每秒钟各跑多少米？
解：设甲每秒跑x米，乙每秒跑y米．
根据题意，得
解这个方程组，得
答：甲每秒跑6米，乙每秒跑4米．
4．某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？
解：设订做的工作服是x套，要求的期限是y天．
根据题意，得
解这个方程组，得
答：订做的工作服是3375套，要求的期限是18天．
师生活动：老师提问学生举手回答问题．
设计意图：让学生通过练习巩固列二元一次方程组解应用题的技能．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．怎么利用二元一次方程组解决实际问题？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识．
实践作业
在日常生活中方程组还可以运用到哪些情况中？快跟小伙伴们去一起去探索吧！
列二元一次方程组和列一元一次方程解同一个实际问题，是用两种不同的表达形式揭示问题中的相等关系；反过来，求解实际问题的实质是把问题中的相等关系翻译成数学表达式，从而把实际问题转化为数学问题.学习各类实际问题,不仅要熟悉各类问题的基本数量关系,而且还要弄清各类问题之间的本质联系．

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