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第六章 一次方程组
6.2.3 选择恰当的方法解二元一次方程组
本节课《选择恰当的方法解二元一次方程组》是人教版初中数学七年级下册第六章第二节《二元一次方程组的解法》延伸内容．本课在学生学习了代入消元和加减消元法后，进一步探究解二元一次方程组的其他方法．通过本课的学习，学生将掌握解方程的多种方法，从而提高做题的高效率．
在本节课的学习中，学生已经具备了解二元一次方程组的基础方法．然而，在解决多种情况时，如果采用以上学习的两种方法可能会加大计算量，不能做到快而准．因此在教学过程中，教师一定要鼓励学生多尝试、多练习、多思考，并引导学生主动总结归纳解题的多种方法和技巧．
1．会根据方程组的具体情况选择适合的消元法．
2．通过对具体的二元一次方程组的观察、分析，选择恰当的方法解二元一次方程组，培养学生的观察、分析能力．
3．通过学生比较两种解法的差别与联系，体会透过现象抓住事物本质的这一认识方法．
重点：会根据方程组的具体情况选择合适的消元法．
难点：在解题过程中进一步体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想．
复习回顾
1．代入法解二元一次方程组的步骤是什么？
将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法．
2．加减法解二元一次方程组的步骤是什么？
当方程组中同一未知数的系数互为相反数时，我们可以把两方程相加，当方程组中同一未知数的系数相等时，我们可以把两方程相减，从而达到消元的目的，进而求得二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法，叫做加减消元法．
3．代入法、加减法的基本思想是什么？
将“二元”化“一元”
4．我们在解二元一次方程组时，该选取何种方法呢？
【归纳结论】 ①关于二元一次方程组的两种解法：代入消元法和加减消元法，通过比较，我们发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”．
②只有当方程组的某一方程中某一未知数的系数的绝对值是1时，用代入消元法较简单，其他的用加减消元法较简单．
通过学生自学、对比、讨论、互帮互助，既巩固了已学的用代入法解二元一次方程组的知识，又在此过程中学会根据方程组的具体情况选择适合的消元法．
师生活动：学生先独立思考,再以小组形式汇报．
设计意图： 既复习了旧知识，又引出了新课题，最后设置悬念，增强了学生的学习兴趣．
探究新知
活动一：判断方程组解的情况
问题1：计算下列方程组
（1）
解得
（2）
解：①×2＋②得
（3）
解：①×2＋②得
让学生根据前面二元一次组方程的解的情况，讨论出上述三个方程组的解的情况：
（1）有唯一解；
（2）无解；
（3）有无穷多解．
让学生小组讨论：分别在什么样的情况下方程组有唯一解、无解、有无数个解？
（在学生讨论时教师给予提示：注意观察上述三个方程组中，每个方程组中的对应未知数的系数之间的关系，必要时把它们乘一乘或者除一除．）
（1）中；
（2）中；
（3）中．
由上我们可以猜想：若方程组中x,y两个未知数的系数比不相等，则方程组有唯一解；若方程组中x,y两个未知数的系数比相等但与常数项的比值不等，则方程组无解；若方程组中x,y两个未知数的系数比以及常数项的比值都相等，则方程组有无穷多解．
【归纳结论】对于一般的二元一次方程组
我们有
（1），二元一次方程组有唯一解；
（2），二元一次方程组无解；
（3），二元一次方程组有无穷多解．
设计意图：通过提前布置预习作业，培养学生检索整理信息的能力，并引发学生的思考，为学习新课做铺垫．
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
活动二：整体代入法解二元一次方程组
问题2：解方程组
解：由①得 ③
把③代入②，得，解得
把代入③，得，解得
所以原方程组的解为．
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．像这样的方法被称为“整体代入法”．
设计意图：通过让学生操作，培养学生动手的能力，并引发学生的思考，加深对本节概念的印象．
活动三：换元法解二元一次方程组
问题3：解方程组
解：设，，则原方程组可变形为
解得，所以，解得
所以原方程组的解为．
我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去替代它，这种解方程的方法叫“换元法”．
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
设计意图：通过让学生思考，培养学生探究并发现新知的习惯，从而激发学生的学习兴趣．
活动四：解未知数的系数交叉相等方程组
问题4：解方程组
解：①＋②，得，即 ③
②－①，得，即 ④
③＋④，得，即．
把代入③，得
所以原方程组的解为
对于形如的方程，可通过将两个方程相加减，得到系数简单的新方程组再运用加减法求解．
应用新知
经典例题：
例1：解方程组
解：把②代入①，得，解得
把代入②，解得
所以原方程组的解为
例2：解方程组
解：设，，则原方程组可变形为整理得
解得，所以，解得
所以原方程组的解为
例3：解方程组
解：①＋②，得，即 ③
①－②，得，即 ④
③＋④，得，即．
把代入③，得
所以原方程组的解为
师生活动：学生先独立思考再作答，老师提问学生代表展示问题答案．
设计意图：通过学生参与活动，激发学生参与课堂教学的热情，激发学生的求知欲．
课堂练习
【限时训练】
（3）
(1)解：由①得 ③
把③代入②，得
解得
把代入③
解得
所以原方程组的解为
(2)解：设，，
则原方程组可变形为
化简得
解得
所以，
解得
所以原方程组的解为
(3)解：①＋②，得 ③
③×9，得 ④
④－①，得
解得
④－②，得
解得
所以原方程组的解为
(4)解：①＋②，得，即 ③
②－①，得，即 ④
③＋④，得
解得
把代入③，得
所以原方程组的解为
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深理解二元一次方程组的解法．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．二元一次方程组的多种解法有哪些？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识．
实践作业
二元一次方程组的多种解法能否应用到日常生活中吗？
本节课是让学生学会根据方程组的具体情况选择合适的消元法．在学习二元一次方程组的解法中，关键是领会其本质思想——消元，体会“化未知为已知”的化归思想．因而在教学过程中教师应通过问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，并通过精心设计的问题，引导学生在已有知识的基础上，自己比较、分析总结出在解二元一次方程组时，根据方程组的特点选择恰当的方法．

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