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第六章 一次方程组
6.2.1 用代入消元法解二元一次方程组
本节课《用代入消元法解二元一次方程组》是华师版初中数学七年级下册第六章第二节《二元一次方程组的解法》第一课时的内容．本课在学生学习了二元一次方程、二元一次方程组及二元一次方程组的解的基本概念后，进一步深入学习关于解二元一次方程组的解法，特别是学生在审题之后判断解方程使用的方法．通过本课的学习，学生掌握代入消元的方法，感受“消元”的思想，并能迅速的判断遇到不同题型使用的方法．
在本节课的学习中，学生已经具备了一定的基础知识，对方程组的概念有了初步的了解．然而，在解决问题时学生对解题方法的最简性还不能很快的做出判断．因此，在教学过程中，要采用学生多练，多思考，教师要主动引导学生总结归纳解题的方法和规律．
1．会用代入消元法解简单的二元一次方程组．
2．通过探索代入消元法解二元一次方程的过程，理解代入消元法的基本思想所体现的化归思想方法．
3．通过提供适当的情境资料，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣；在合作讨论中学会交流与合作，培养良好的数学思想，逐步渗透类比、化归的意识．
重点：用代入消元法解二元一次方程组．
难点：探索如何用代入消元法解二元一次方程组，感受“消元”思想．
情境导入
根据篮球比赛规则：赢一场得2分，输一场得1分，已知某次中学生篮球联赛中，某球队共赛了12场，积20分．求该球队赢了几场？输了几场？
解：设该球队赢了x场，输了y场，
根据题意得
怎么求x、y的值呢？
师生活动：学生独立思考，再小组交流，最后呈现答案．
设计意图：培养学生独立思考问题的能力．
复习回顾
思考：什么叫做二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解？
答：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．
共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．
（注意：方程组各方程中同一字母必须代表同一个量）
使二元一次方程组中两个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做这个二元一次方程组的解．
师生活动：采用教师问学生答．
设计意图：通过提前布置预习作业，培养学生建立清晰的知识体系，不仅回顾了知识点也为学生接下来学习新课做铺垫．
探究新知
活动一：二元转换为一元解决问题
问题1：回顾上节课中的问题：
设应拆除x 旧校舍, 建造y 新校舍，那么根据题意，可列出方程组：
怎样求出这个二元一次方程组的解
我们知道此题可以用一元一次方程来求解, 即设应拆除旧校舍x, 则建造新校舍4x, 根据题意可得到4x－x＝20000×30%．
追问：对于一元一次方程的解法我们是非常熟悉的．那么我们如果能将解二元一次方程组转化为解一元一次方程，我们的问题不就可以解决了吗 可是如何来转化呢
设计意图：引导学生观察方程组和相应的一元一次方程间的联系．
在方程组中的方程②y＝4x, 把它代入方程①中y的位置，我们就可以得到一元一次方程4x－x＝20000×30%．通过“代入”，我们消去了未知数y，得到了一元一次方程，这样就可以求解了．
解方程得：x＝2000，把x＝2000代入②得y＝8000．所以．
答：应拆除旧校舍2000 ，建造新校舍8000 ．
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
概念归纳：前面解方程组是将其中一个方程的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法．
解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”．
活动二：直接利用代入法解二元一次方程组
问题2：解方程组
解：由①得
y＝12－x ③
将③代入②, 得
2x＋12－x＝20
解得 x＝8，
将x＝8代入③, 得
y＝4．
所以．
师生活动：学生先独立思考，再小组交流．
活动三：转换后利用代入法解二元一次方程组
问题3：解方程组．
分析：观察分析此方程组与上题中的方程组在形式上的差别． 可知上题的方程组中有未知数系数的绝对值是1的方程, 而此方程组中两个方程未知数的系数都不是1, 这时怎么办呢
能不能将两个方程先化简，并将其中一个方程适当变形, 用一个未知数来表示另一个未知数
我们有两个办法, 一个是某个方程两边同除以某个未知数的系数，使这个未知数的系数化1, 化成1题的形式；另一个是将某个方程的某一个未知数移到方程的一边，其他各项移到另一边，再把这个未知数的系数化1，从而达到“用一个未知数来表示另一个未知数”的目的．
解：原方程组化简得：
由①得 ③
把③代入②得
4x－3×＝18
解得 x＝9
把x＝9代入③，得
y＝6
所以原方程组的解为 ．
师生活动：这里是先消去x，得到关于y的一元一次方程，可不可以先消去y呢 (让学生试一试, 并比较两种解法的优劣．易知先消去x使变形后的方程比较简单且代入后化简比较容易)．
设计意图：通过让学生操作，培养学生动手的能力，并引发学生的思考，加深对本节概念的印象．
概念归纳：代入法解二元一次方程组的方法：
1．将方程组中的一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示．
2．把得到的式子代入另一个方程，得到一元一次方程，并求解．
3．把求得的解代入方程，求另一未知数的解．
应用新知
经典例题：
例1：解方程组：
解：由①得
③
将③代入②, 得
解得
将代入③，得
．
所以原方程组的解为．
解析：可以再依据二元一次方程组的定义来验证得出的解是否正确．
例2：解方程组：
解：由①, 得
x＝4＋y ③
将③代入②, 得
3(4＋y)－8y－10＝0
解得 y＝－0.8．
将y＝－0.8代入③, 得
x＝4＋×(－0.8)
即 x＝1.2
所以原方程组的解为．
师生活动：学生先独立思考．
设计意图：通过学生参与活动，激发学生参与课堂教学的热情，使学生进入问题情境，让学生加深对知识点印象．激发学生的求知欲望，感受数学的魅力．
课堂练习
【教材练习】
1．（1） （2）
（3） （4）
(1)解：把①代入②,得
解得
把代入①
得
所以原方程组的解为．
(2)解：把②代入①,得
解得
把代入②
得
所以原方程组的解为．
(3)解：由①得
③
把③代入②，得
解得
把代入③
得
所以原方程组的解为．
(4)解：由②得
③
把③代入①，得
解得
把代入③
得
所以原方程组的解为．
分析：直接利用代入法解二元一次方程组．
2．把下列各方程变形为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式．
（1）．
（2）．
解：（1）或．
（2）或．
师生活动：学生先独立思考再作答．
分析：即将方程作适当的变形, 把其中系数容易化为1的一项放在方程的一边, 其他的项移到方程另一边．
3．解下列方程组
（2）
（3） （4）
(1)解：由①得
③
把③代入②，得
解得
把代入③
得
所以原方程组的解为．
（2）解：由①得
③
把③代入②，得
解得
把代入③
得
所以原方程组的解为．
（3）解：由①得
③
把③代入②，得
解得
把代入③
得
所以原方程组的解为．
(4)解：由①得
③
把③代入②，得
解得
把代入③
得
所以原方程组的解为．
分析：转换后利用代入法解二元一次方程组．
【限时训练】
1．已知方程下面是用含y的代数式表示x是（ ）
A． B．
C． D．
答：C
师生活动：老师提问学生举手回答问题．
2．将代入可得（ ）
A． B．
C． D．
答：B
3．用代入法解方程组有以下过程：
（1）由①得 ③；
（2）把③代入②得；
（3）去分母得；
（4）解之得，再由③得，其中错误的一步是（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
答：C
4．把下列方程写成用含x的代数式表示y的形式:
(1)；
(2)．
分析：即将方程作适当的变形, 把含有y的项放在方程的一边, 其他的项移到方程另一边, 再把y的系数化1．
解：(1)；(2)．
5．在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到错解，而小亮却把方程②抄错了，得到错解，你能求出正确答案吗？原方程组到底是怎样的？
解：把代入方程②，得．
把代入方程①，得．
解方程组, 得 ．
所以原方程组为, 解得．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．解二元一次方程组的基本思路是什么？
3．代入消元法的基本步骤是什么？
设计意图：通过小结让学生进一步加深并巩固本节课所学的知识．
实践作业
你还会解什么样的二元一次方程呢？
你还有其他的方法吗？
和小伙伴们一起讨论并实施验算一下吧！
本课按照“身边的数学问题引入——寻求一元一次方程的解法——探索二元一次方程组的代入消元法——典型例题——归纳代入法的一般步骤”的思路进行设计．在教学过程中，充分调动学生的主观能动性和发挥教师的主导作用，坚持启发式教学．教师创设有趣的情境，引发学生自觉参与学习活动的积极性，使知识发现过程融于有趣的活动中．重视知识的发生过程．将设未知数列一元一次方程的求解过程与二元一次方程组相比较，从而得到二元一次方程组的代入（消元）解法，这种比较，可使学生在复习旧知识的同时，使新知识得以掌握，这对于学生体会新知识的产生和形成过程是十分重要的．

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