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小学奥数新定义运算专题讲义
一、知识点讲解.
1.新定义运算特点.
形式:用特殊符号（★、※、◎等）定义新计算规则.
核心:将陌生符号转化为常规运算（加减乘除、乘方等）.
步骤:
①仔细阅读定义,提取运算规则.
②将符号表达式转为数学表达式.
③按常规方法计算或解方程.
2.常见题型.
直接计算:根据定义进行数值计算.
逆向求解:已知运算结果反推未知数.
规律探索:通过案例总结通用公式.
复合应用:结合多个新定义符号解题.
二、例题精讲
例题1:定义★,求★.
解答:★.
例题2:定义※,求※.
解答:※.
例题3:定义◎,若◎,求.
解答:
例题4:定义 ,求 .
解答:
先算内层: .
再算外层: .
例题5:定义表示两个数中最大数减最小数,求.
解答:.
第一层:.
第二层:.
例题6:定义表示的因数个数,求.
解答:
12的因数:1,2,3,4,6,12→共6个,.
例题7:定义数列,求.
解答:.
.
.
.
例题8:定义★,※★★,求※.
解答:
★.
★.
※
例题9:定义「幸运数」为各位数字和是9的倍数,判断2023和2025是否为幸运数.
解答:.
2+0+2+3=7→7不是9的倍数,2023不是幸运数.
2+0+2+5=9→9是9的倍数,2025是幸运数.
例题10:定义表示的约数和,求.
解答:.
6的约数和:1+2+3+6=12.
8的约数和:1+2+4+8=15.
总和:12+15=27.
三、习题训练
习题1:定义◎,求◎.
习题2:定义 ,若4 ,求.
习题3:定义,求[2,3,4].
习题4:定义数列,求.
习题5:定义表示的倍与的倍之和,解方程.
习题6:定义「完美数」为其真因数之和等于自身,判断28是否为完美数.
习题7:定义★,求★.
习题8:定义※,求※.
习题9:定义◎,若◎,求.
习题10:定义 ,求 .
习题11:定义表示四个数的平均值,求.
习题12:定义表示的各位数字平方和,求.
习题13:定义数列,求.
习题14:定义★,※★★,求※.
习题15:定义「魔法数」为各位数字乘积是偶数,判断1357是否为魔法数.
习题16:定义表示n的最大奇约数,求.
习题17:定义,求.
习题18:定义数列,求.
习题19:定义,解方程.
习题20:定义「超完全数」为真因数之和是自身的3倍,判断24是否为超完全数.
小学奥数新定义运算专题讲义解析版
一、知识点讲解.
1.新定义运算特点.
形式:用特殊符号（★、※、◎等）定义新计算规则.
核心:将陌生符号转化为常规运算（加减乘除、乘方等）.
步骤:
①仔细阅读定义,提取运算规则.
②将符号表达式转为数学表达式.
③按常规方法计算或解方程.
2.常见题型.
直接计算:根据定义进行数值计算.
逆向求解:已知运算结果反推未知数.
规律探索:通过案例总结通用公式.
复合应用:结合多个新定义符号解题.
二、例题精讲
例题1:定义★,求★.
解答:★.
例题2:定义※,求※.
解答:※.
例题3:定义◎,若◎,求.
解答:
例题4:定义 ,求 .
解答:
先算内层: .
再算外层: .
例题5:定义表示两个数中最大数减最小数,求.
解答:.
第一层:.
第二层:.
例题6:定义表示的因数个数,求.
解答:
12的因数:1,2,3,4,6,12→共6个,.
例题7:定义数列,求.
解答:.
.
.
.
例题8:定义★,※★★,求※.
解答:
★.
★.
※
例题9:定义「幸运数」为各位数字和是9的倍数,判断2023和2025是否为幸运数.
解答:.
2+0+2+3=7→7不是9的倍数,2023不是幸运数.
2+0+2+5=9→9是9的倍数,2025是幸运数.
例题10:定义表示的约数和,求.
解答:.
6的约数和:1+2+3+6=12.
8的约数和:1+2+4+8=15.
总和:12+15=27.
三、习题训练
习题1:定义◎,求◎.
解答:.
习题2:定义 ,若4 ,求.
解答:.
习题3:定义,求[2,3,4].
解答:
习题4:定义数列,求.
解答:
.
.
.
习题5:定义表示的倍与的倍之和,解方程.
解答:.
习题6:定义「完美数」为其真因数之和等于自身,判断28是否为完美数.
解答:
28的真因数:1+2+4+7+14=28.
是.
习题7:定义★,求★.
解答:★.
习题8:定义※,求※.
解答:※.
习题9:定义◎,若◎,求.
解答:.
习题10:定义 ,求 .
解答:
先算内层: .
再算外层: .
.
习题11:定义表示四个数的平均值,求.
解答:.
习题12:定义表示的各位数字平方和,求.
解答:.
习题13:定义数列,求.
解答:,,.
习题14:定义★,※★★,求※.
解答:★,★,※.
习题15:定义「魔法数」为各位数字乘积是偶数,判断1357是否为魔法数.
解答:
乘积:（奇数）.
不是.
习题16:定义表示n的最大奇约数,求.
解答:（）.
总和:3+15=18
习题17:定义,求.
解答:.
习题18:定义数列,求.
解答:,,,.
习题19:定义,解方程.
解答:.
习题20:定义「超完全数」为真因数之和是自身的3倍,判断24是否为超完全数.
解答:
24的真因数:1+2+3+4+6+8+12=36.
≠3倍.
不是.小学奥数同余问题专题讲义
一、知识点讲解
1.同余基本概念
定义:若两数除以的余数相同,则称与模同余,记作.
性质:
若,则
若且,则
2.同余运算规则
加减法:若,,则
乘法:
幂运算:若,则
3.常用模数特性
模4:平方数
模9:数位和同余
模3:数位和同余
二、例题精讲
例题1:求的余数.
解答:
答案:2.
例题2:求.
解答:
答案:10.
例题3: 2023年元旦是星期日,问2025年元旦是星期几？
解答:
2023年:365天
2024年:366天
总余数:
星期日+3天=星期三
答案:2025年元旦是星期三.
例题4:解方程.
解答:
例题5:求.
解答:
答案:2
例题6:求最小正整数满足:
①;②.
解答:先满足条件②设
代入条件①,
当时,
答案:最小的正整数为8.
例题7:求的个位数字.
解答:
个位周期为4:7,9,3,1,……
2023÷4=505余3→对应第三位
答案:3.
例题8:解方程.
解答:
答案:.
例题9:工厂每天生产零件数,周一到周三共生产89个,是否可能？
解答:
设每天产量,三天总产量
而
答案:不可能.
三、习题训练.
习题1:求.
习题2:今天是星期五,100天后是星期几？
习题3:求.
习题4:求的余数.
习题5:今天是星期五,150天后是星期几？
习题6:解方程.
习题7:求.
习题8:求.
习题9:解方程组
.
习题10:求.
习题11:某数除以5余3,除以7余2,求最小正整数.
习题12:求.
习题13:证明:不存在整数使得.
习题14:解方程.
习题15:求.
习题16:求满足以下条件的最小自然数:
.
习题17:求的最后两位数字.
习题18:证明:对任意整数,.
习题19:数列,,求.
习题20:解方程组
.
小学奥数同余问题专题讲义解析版
一、知识点讲解
1.同余基本概念
定义:若两数除以的余数相同,则称与模同余,记作
性质:
若,则
若且,则
2.同余运算规则
加减法:若,,则
乘法:
幂运算:若,则
3.常用模数特性
模4:平方数
模9:数位和同余
模3:数位和同余
二、例题精讲
例题1:求的余数.
解答:
答案:2.
例题2:求.
解答:
答案:10.
例题3: 2023年元旦是星期日,问2025年元旦是星期几？
解答:
2023年:365天
2024年:366天
总余数:
星期日+3天=星期三
答案:2025年元旦是星期三.
例题4:解方程.
解答:
例题5:求.
解答:
答案:2
例题6:求最小正整数满足:
①;②.
解答:先满足条件②设
代入条件①,
当时,
答案:最小的正整数为8.
例题7:求的个位数字.
解答:
个位周期为4:7,9,3,1,……
2023÷4=505余3→对应第三位
答案:3.
例题8:解方程.
解答:
答案:.
例题9:工厂每天生产零件数,周一到周三共生产89个,是否可能？
解答:
设每天产量,三天总产量
而
答案:不可能.
三、习题训练.
习题1:求.
解答:


答案:.
习题2:今天是星期五,100天后是星期几？
解答:
星期五+2天=星期日
答案:星期日.
习题3:求.
解答:
当时,含因子12
只需计算
答案:9.
习题4:求的余数.
解答:
计算
答案:2.
习题5:今天是星期五,150天后是星期几？
解答:
星期五+3天=星期一
答案:星期一.
习题6:解方程.
解答:
答案:6
习题7:求.
解答:
逐步计算:
答案:5.
习题8:求.
解答:
答案:1.
习题9:解方程组
.
解答:
列奇数:3,5,7,9,11,13,15,17,...
验证:7÷5余2→符合条件
答案:7.
习题10:求.
解答:
答案:3.
习题11:某数除以5余3,除以7余2,求最小正整数.
解答:
列:8,13,18,23,28,...
验证:23÷7余2→符合条件
答案:23
习题12:求.
解答:
答案:2.
习题13:证明:不存在整数使得.
解答:平方数模3余0或1,2无法出现.
习题14:解方程.
解答:
答案:.
习题15:求.
解答:
,
答案:.
习题16:求满足以下条件的最小自然数:
.
解答:
1.先解前两个条件:
列偶数:8,18,28,38,48,...
验证:8÷5余3→8
2.解
→→
最小解:
答案:验证:18符合条件
习题17:求的最后两位数字.
解答:
答案:7.
习题18:证明:对任意整数,.
解答:
分三类讨论:
:
:
:
对任意整数,.
习题19:数列,,求.
解答:
观察周期:
周期为3→→
答案:.
习题20:解方程组
.
解答:
设,满足第三个条件
代入第二个条件:
设,则
当时,,不满足条件一
当时,,满足条件一
答案:23.小学奥数奇偶性分析专题讲义
一、知识点讲解.
1.奇偶性基本性质.
奇数：形如（为整数）
偶数：形如（为整数）
重要结论：
奇数＋奇数＝偶数
奇数＋偶数＝奇数
偶数＋偶数＝偶数
奇数×奇数＝奇数
奇数×偶数＝偶数
偶数×偶数＝偶数.
2.高阶应用技巧.
反证法：假设某种情况存在，导出奇偶矛盾
状态守恒：操作前后奇偶性不变
染色法：用黑白交替染色揭示奇偶规律.
二、例题精讲.
例题1：的和是奇数还是偶数？
解答：
总和包含50个奇数和49个偶数：
奇数个奇数相加结果为偶数，偶数总和的奇偶性由奇数的个数决定
奇数
例题2：证明不存在三个连续自然数乘积为奇数.
解答：
三个连续数中必有一个偶数，乘积必为偶数
不存在
例题3：数列，，求奇偶性.
解答：
为偶，为偶，为奇，为奇……，以4为周期.2023÷4=505……3，所以为偶数.
例题4：若和都是质数，且.求.
解答：
若都为奇质数，则为偶数，不成立。所以，其中必有一个为2，另一个为89.或.
例题5：黑板有数1－2023，每次擦去两数写其差，最终剩下的数奇偶性？
解答：
操作不改变全体数之和的奇偶性。初始和为偶数
偶数.
例题6：7个倒置杯子，每次翻转4个，能否全朝上？
解答：
每次翻转偶数次改变奇偶性，需奇数次操作使7奇→偶，矛盾
不能.
例题7：能否将1-15排成环形，使相邻两数和均为质数？
解答：
奇偶交替排列时，奇+偶=奇（可能为质数），但15个数中8奇7偶，无法完全交替
不能.
例题8：方程是否有整数解？
解答：
平方数模4余0或1。，而
无解.
例题9：【策略游戏】两堆石子分别有2022和2023颗，每次从一堆取1-3颗，先取完者胜。先手有必胜策略吗？
解答：
将两堆差调整为4的倍数：先手从2023取1颗，使两堆均为2022，后续镜像操作
先手取1颗.
三、习题训练.
习题1：判断的奇偶性.
答案：奇数（偶+奇=奇）.
习题2：能否找到5个奇数之和等于100？
答案：不能（5奇之和必奇）.
习题3：方程是否有都为奇数的解？
答案：无（奇+奇+奇=奇≠偶）.
习题4：15人握手，每人握奇数次，可能吗？
答案：不能（总握手次数必为偶数）.
习题5：证明：不存在整数使.
答案：模4分析，平方数模4余0或1，当n≥2时模4余3.
习题6：判断的奇偶性.
解答：
连乘式中含因数2，乘积为偶数
偶数+1=奇数
答案：奇数.
习题7：能否用11个奇数的和得到2024？
解答：
11个奇数之和为奇数，而2024是偶数
答案：不能.
习题8：证明：两个连续整数的乘积一定是偶数.
解答：
设数为和，必有一偶一奇
乘积=偶数奇数=偶数
答案：成立.
习题9：方程是否存在全奇数的解？
解答：
奇数平方
（2025）
答案：无解.
习题10：15盏灯排成环形，每次翻转相邻3盏，能否全亮？
解答：
每次翻转改变3盏状态→总改变次数为奇数次
初始状态全灭（偶次改变）
无法达到全亮（奇次改变）
答案：不能.
习题11：数列定义：，，求的奇偶性.
解答：
递推观察奇偶性：
（奇）→（奇）→所有项均为奇
答案：奇数.
习题12：证明：不存在整数使（）.
解答：
当时，
右边
平方数模8余0,1,4→矛盾
答案：无解.
习题13：两堆石子，每次从一堆取1-3颗，先取完胜。若初始为（9,10），先手有必胜策略吗？
解答：
将两堆差调整为4的倍数：先手从10取1→（9,9），后续镜像操作
答案：先手取1颗。.
习题14：数列，前40项是否全为质数？
解答：
当时，
答案：否（第40项为合数）.
习题15：能否找到5个不同奇数，平均数为偶数？
解答：
5个奇数之和为奇数，平均数必为奇数
答案：不能.
习题16：证明：不是整数.
解答：
考虑分母中2的最高幂次为.
通分后分子为奇数，分母为偶数
答案：非整数.
习题17：证明：方程无非零整数解.
解答：
若存在解，两边模3：
平方数模3余0或1→左边需满足
，代入后右边含因数9，无限递降矛盾
无解最大公因数与最小公倍数专题讲义
一、核心知识点
1.基本概念
最大公因数（GCD）：几个数公有的最大因数
最小公倍数（LCM）：几个数公有的最小倍数
2.求解方法
列举法：
GCD：列出所有公因数取最大
LCM：列出公倍数取最小
短除法：
用公因数连续除,直到商互质
GCD=所有除数乘积,LCM=除数与商的乘积
分解质因数法：
GCD=共有质因数的最低次幂乘积
LCM=所有质因数的最高次幂乘积
3.重要性质
两数乘积=GCD×LCM
若两数互质,则GCD=1,LCM=两数乘积
二、典型例题.
例题1：求36和48的最大公因数.
解析（短除法）
GCD=.
例题2：求15和28的最小公倍数.
解析：分解质因数：
LCM=.
例题3：三根木棍分别长24cm,36cm,60cm,截成等长小段的最长长度.
解析：分解质因数：
GCD=.
例题4：甲每6天值日,乙每8天值日,至少多少天后共同值日？
解析：短除法求LCM：
LCM=天.
例题5：用分解质因数法求GCD(72,90).
解析：
GCD=.
例题6：已知两个数GCD=12,LCM=72,求这两个数.
解析：设两数为和（互质）
可能组合：与或与.
例题7：一盒糖分给6人或8人都剩3颗,求糖数（不足50颗）.
解析：求LCM(6,8)=24
解为颗.
例题8：求12,18,30的LCM.
解析：分解质因数：
LCM=.
例题9：两数和为60,GCD=12,求这两个数.
解析：设两数为和,则
互质组合：→12与48；→24与36.
例题10：时钟A每18分钟响一次,B每24分钟响一次,现在A和B同时响起,问多少分钟后A和B再次同时响起.
解析：分解质因数：
LCM=分钟.
三、强化练习.
习题1：求GCD(54,81).
习题2：求LCM(9,12,15).
习题3：用36朵红花和48朵黄花扎花束,问最多能扎多少束花束.
习题4：已知两个数GCD=15,其中一数90,求另一数.
习题5：一筐苹果3个3个数剩2,5个5个数剩1,求最少数量.
习题6：求16,20,28的GCD.
习题7：已知两个数GCD=12,LCM=180,求这两个数.
习题8：甲每10天理一次发,乙每12天理一次发,丙每15天理一次发.求甲,乙,丙理发周期的最小公倍数.
习题9：一个数除以6余1,除以8余5的最小自然数.
习题10：一种地砖长和宽分别为28cm和20cm,现在用若干块这种地砖铺成正方形.问最少需要多少块砖.
习题11求GCD(105,140).
习题12：求LCM(16,24,36).
习题13：两个数GCD=8,和为72,求所有这样两位数的组合.
习题14：甲闪光灯每15秒闪一次,乙闪光灯每20秒闪光一次.求甲,乙闪光灯的最小同步时间.
习题15：用短除法求GCD(84,126).
习题16：三个齿轮齿数分别为30,45,60,首次同时回到原位需转多少圈？
习题17：一个数除以7余3,除以9余5,求该数的最小解.
习题18：用36个红球和60个蓝球装礼盒,每盒颜色分布相同,最多装几盒？
习题19：已知两个数GCD=6,LCM=210,求这两个数.
习题20：三个齿轮A,B,C齿数分别为24,36,48齿,A与B咬合,B与C咬合,问旋转多少圈后三者恢复初始位置关系.
最大公因数与最小公倍数专题讲义解析版
一、核心知识点
1.基本概念
最大公因数（GCD）：几个数公有的最大因数
最小公倍数（LCM）：几个数公有的最小倍数
2.求解方法
列举法：
GCD：列出所有公因数取最大
LCM：列出公倍数取最小
短除法：
用公因数连续除,直到商互质
GCD=所有除数乘积,LCM=除数与商的乘积
分解质因数法：
GCD=共有质因数的最低次幂乘积
LCM=所有质因数的最高次幂乘积
3.重要性质
两数乘积=GCD×LCM
若两数互质,则GCD=1,LCM=两数乘积
二、典型例题.
例题1：求36和48的最大公因数.
解析（短除法）
GCD=.
例题2：求15和28的最小公倍数.
解析：分解质因数：
LCM=.
例题3：三根木棍分别长24cm,36cm,60cm,截成等长小段的最长长度.
解析：分解质因数：
GCD=.
例题4：甲每6天值日,乙每8天值日,至少多少天后共同值日？
解析：短除法求LCM：
LCM=天.
例题5：用分解质因数法求GCD(72,90).
解析：
GCD=.
例题6：已知两个数GCD=12,LCM=72,求这两个数.
解析：设两数为和（互质）
可能组合：与或与.
例题7：一盒糖分给6人或8人都剩3颗,求糖数（不足50颗）.
解析：求LCM(6,8)=24
解为颗.
例题8：求12,18,30的LCM.
解析：分解质因数：
LCM=.
例题9：两数和为60,GCD=12,求这两个数.
解析：设两数为和,则
互质组合：→12与48；→24与36.
例题10：时钟A每18分钟响一次,B每24分钟响一次,现在A和B同时响起,问多少分钟后A和B再次同时响起.
解析：分解质因数：
LCM=分钟.
三、强化练习.
习题1：求GCD(54,81).
解析：
GCD=.
习题2：求LCM(9,12,15).
解析：短除法：
LCM=.
习题3：用36朵红花和48朵黄花扎花束,问最多能扎多少束花束.
解析：GCD(36,48)=12束.
习题4：已知两个数GCD=15,其中一数90,求另一数.
解析：
另一数可能为或.
习题5：一筐苹果3个3个数剩2,5个5个数剩1,求最少数量.
解析：试算得最小解11：,余1.
习题6：求16,20,28的GCD.
解析：分解质因数：
,,
GCD=.
习题7：已知两个数GCD=12,LCM=180,求这两个数.
解析：两数乘积=
可能组合：36与60（验证：GCD(36,60)=12,LCM=180）.
习题8：甲每10天理一次发,乙每12天理一次发,丙每15天理一次发.求甲,乙,丙理发周期的最小公倍数.
解析：分解质因数：
,,
LCM=天.
习题9：一个数除以6余1,除以8余5的最小自然数.
解析：设数=→试算得最小解13.
习题10：一种地砖长和宽分别为28cm和20cm,现在用若干块这种地砖铺成正方形.问最少需要多少块砖.
解析：LCM(28,20)=140cm→块.
习题11求GCD(105,140).
解析：短除法：
GCD=.
习题12：求LCM(16,24,36).
解析：分解质因数：
,,
LCM=.
习题13：两个数GCD=8,和为72,求所有这样两位数的组合.
解析：设数为和（且互质）.
解为：(8,64)和(16,56).
习题14：甲闪光灯每15秒闪一次,乙闪光灯每20秒闪光一次.求甲,乙闪光灯的最小同步时间.
解析：LCM(15,20)=60秒.
习题15用短除法求GCD(84,126).
解析：
GCD=.
习题16：三个齿轮齿数分别为30,45,60,首次同时回到原位需转多少圈？
解析：齿数30,45,60的LCM=180→转6圈,4圈,3圈.
习题17：一个数除以7余3,除以9余5,求该数的最小解.
解析：试算得最小解59：,.
习题18：用36个红球和60个蓝球装礼盒,每盒颜色分布相同,最多装几盒？
解析：GCD(36,60)=12盒.
习题19：已知两个数GCD=6,LCM=210,求这两个数.
解析：可能组合：42与30（验证：GCD=6,LCM=210）.
习题20：三个齿轮A,B,C齿数分别为24,36,48齿,A与B咬合,B与C咬合,问旋转多少圈后三者恢复初始位置关系.
解析：齿轮齿数24,36,48 → LCM=144齿小学奥数分解质因数专题讲义
一、知识点讲解
1.质数与合数
质数：一个大于1的自然数，除1和它本身外，没有其他因数。
例如：2,3,5,7,11...
合数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，还有其他因数。
例如：4,6,8,9,10...
2.分解质因数
将一个合数写成几个质数相乘的形式，称为分解质因数。
例如：.
3.分解方法：短除法
步骤：
①用最小的质数试除；
②若可整除，记录该质数，继续用商重复步骤①；
③若不可整除，换下一个更大的质数试除；
④直到商为1时停止。
二、例题精讲
例题1：将1008分解质因数.
解答：
.
例题2：已知，求的所有因数之和.
解答：
因数之和公式：.
例题3：一个数的质因数分解包含，已知它有18个因数且，求这个数的最小值.
解答：
①因数个数公式：
②联立方程：，解得或
③最小值取.
例题4：求1260、882和315的最大公约数.
解答：
①分解质因数：
②取公共质因数最小指数：.
例题5：指出的错误并修正.
解答：
错误：未完全分解（漏掉重复因数）
正确分解：
例题6：将1728分解质因数，并说明它是哪个数的立方.
解答：
，是12的立方.
例题7：若有60个因数，求的值.
解答：
.
例题8：两个数的最小公倍数是1260，它们的最大公约数是42，求这两个数.
解答：
设两数为和（互质）
互质组合：
可能解：
（最小的一组）.
例题9：判断323是否为质数，若不是则分解.
解答：
用17试除：
.
例题10：将分解质因数.
解答：
原式
三、习题训练.
习题1：分解420.
习题2：分解980.
习题3：已知某数的质因数分解为，求这个数.
习题4：若一个数的质因数分解为，它是哪个平方数的倍数？
习题5：用长24cm、宽36cm的长方形地砖铺正方形地面，最少需要多少块砖？
习题6：甲、乙、丙三人分别每4天、6天、8天去图书馆，今天同时相遇，至少几天后再相遇？
习题7：求360的因数个数.
习题8：将分解质因数
习题9：小明分解质因数得到，是否正确？
习题10：指出分解式的错误.
习题11：将999999分解质因数
习题12：求的因数中，末尾有两个0的因数个数.
习题13：一个数有12个因数，且质因数只有2和3，求最小可能的数.
习题14：若，且与的最大公约数是6，求和.
习题15：分解.
习题16：分解（由6个8组成的数,提示：)
习题17：判断437是否为质数，若不是则分解.
习题18：若，求n的最小值.
小学奥数分解质因数专题讲义解析版
一、知识点讲解
1.质数与合数
质数：一个大于1的自然数，除1和它本身外，没有其他因数。
例如：2,3,5,7,11...
合数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，还有其他因数。
例如：4,6,8,9,10...
2.分解质因数
将一个合数写成几个质数相乘的形式，称为分解质因数。
例如：.
3.分解方法：短除法
步骤：
①用最小的质数试除；
②若可整除，记录该质数，继续用商重复步骤①；
③若不可整除，换下一个更大的质数试除；
④直到商为1时停止。
二、例题精讲
例题1：将1008分解质因数.
解答：
.
例题2：已知，求的所有因数之和.
解答：
因数之和公式：.
例题3：一个数的质因数分解包含，已知它有18个因数且，求这个数的最小值.
解答：
①因数个数公式：
②联立方程：，解得或
③最小值取.
例题4：求1260、882和315的最大公约数.
解答：
①分解质因数：
②取公共质因数最小指数：.
例题5：指出的错误并修正.
解答：
错误：未完全分解（漏掉重复因数）
正确分解：
例题6：将1728分解质因数，并说明它是哪个数的立方.
解答：
，是12的立方.
例题7：若有60个因数，求的值.
解答：
.
例题8：两个数的最小公倍数是1260，它们的最大公约数是42，求这两个数.
解答：
设两数为和（互质）
互质组合：
可能解：
（最小的一组）.
例题9：判断323是否为质数，若不是则分解.
解答：
用17试除：
.
例题10：将分解质因数.
解答：
原式
三、习题训练.
习题1：分解420.
解答：
习题2：分解980.
解答：
习题3：已知某数的质因数分解为，求这个数.
解答：
习题4：若一个数的质因数分解为，它是哪个平方数的倍数？
解答：
提取偶数次幂：
的倍数
习题5：用长24cm、宽36cm的长方形地砖铺正方形地面，最少需要多少块砖？
解答：
①求最小公倍数：
，
LCM
②计算块数：
块
习题6：甲、乙、丙三人分别每4天、6天、8天去图书馆，今天同时相遇，至少几天后再相遇？
解答：
分解求LCM：，，
LCM
天
习题7：求360的因数个数.
因数个数：
习题8：将分解质因数
解答：
用平方差公式：.
习题9：小明分解质因数得到，是否正确？
解答：
验证：，正确.
习题10：指出分解式的错误.
解答：
重复书写，正确应为.
习题11：将999999分解质因数
解答：
.
习题12：求的因数中，末尾有两个0的因数个数.
解答：
末尾两个0需含，剩余因数自由组合：
.
习题13：一个数有12个因数，且质因数只有2和3，求最小可能的数.
解答：
设分解式为，满足
可能组合：
最小值：.
习题14：若，且与的最大公约数是6，求和.
解答：
设，（互质），则.
互质组合：，对应解或
或.
习题15：分解
解答：
原式
.
习题16：分解（由6个8组成的数,提示：)
解答：
即：.
习题17：判断437是否为质数，若不是则分解.
解答：
用19试除：
.
习题18：若，求n的最小值.
解答：
分析阶乘中质因数的幂次：.被7、11、13整除性质专题讲义
一、核心知识点.
1.三位分节法（通用方法）
操作步骤：
(1).将数从右向左每三位分一节，末节不足三位时补零
(2).交替加减各节数值（奇数节加，偶数节减）
(3).若结果能被7/11/13整除，则原数也能被整除
原理：基于7×11×13=1001的特性.
2.单独判定技巧
7的判定：
(1).末位截断：末位×2，用剩余数减去这个积
(2).重复操作直到容易判断（如得到7、0或负数）
11的判定：
(1).计算奇数位数字和与偶数位数字和的差
(2).若差是11的倍数（含0），则原数可被11整除.
13的判定：
(1).末位截断：末位×4，用剩余数加上这个积
(2).重复操作直到容易判断.
3.1001特性
7×11×13=1001→若数可被1001整除，则必能被7、11、13同时整除
二、典型例题.
例题1:判断37135能否被7整除.
解析：（截断法）
3713－5×2=3713－10=3703
370－3×2=370－6=364
36－4×2=28→28÷7=4
∴能被7整除.
例题2:验证123456789能否被11整除.
解析：（奇偶位差法）
奇数位和：9+7+5+3+1=25
偶数位和：8+6+4+2=20
差：25－20=5→非11倍数
∴不能被11整除.
例题3:判断1001能否被13整除.
解析：（1001特性）
1001=7×11×13→可直接被13整除.
例题4：用三位分节法判断31415926能否被7整除.
解析：
分节：031'415'926
计算：031－415+926=542
542÷7≈77.43→不能被7整除
例题5：求使4__56能被7整除的空格数字.
解析：当__=2时：4256
425－6×2=413→41－3×2=35→35÷7=5
当__=9时：4956
495－6×2=483→48－3×2=42→42÷7=6
∴填2或9.
例题6：证明任意连续六个相同数字组成的数必被7、11、13整除.
解析：设数为aaaaaa（如111111），分节为111'111
计算：111－111=0→0能被7、11、13整除.
例题7：判断987654321能否被13整除.
解析：（三位分节法）
分节：987'654'321
计算：987－654+321=654
654÷13≈50.3→不能被13整除
例题8：求能同时被7和11整除的最小三位数.
解析：
7×11=77→77的倍数
最小三位数为154（77×2）.
例题9：用截断法判断864192能否被13整除
解析：
86419+2×4=86419+8=86427
8642+7×4=8642+28=8670
867+0×4=867→867÷13=66.69
∴不能被13整除.
例题10：设数A=3717171，问A能否被11整除.
解析：（奇偶位差法）
奇数位和：1+1+1+3=6
偶数位和：7+7+7=21
差：21－6=15→非11倍数
∴不能整除.
三、强化练习.
习题1：判断666666能否被7整除.
习题2：用三位分节法验证999999能被13整除.
习题3：求使23_4能被11整除的空格数字.
习题4：找出能被7整除的最大三位数.
习题5：判断3141592653589793能否被11整除.
习题6：用截断法验证1001能被7整除.
习题7：求同时被7和13整除的最小四位数.
习题8：设数N=abcabc，证明N必被7、11、13整除.
习题9：判断2468013579能否被13整除.
习题10：求满足3_2_能被7和11整除的四位数.
习题11：用三位分节法判断20240601能否被7整除.
习题12：判断777777777能被13整除吗
习题13：用截断法验证105105能否被7整除.
习题14：求一个被7除余1且被11整除的最小两位数.
习题15：用奇偶位差法判断101010101能否被11整除.
习题16：使三位数2_8成为13的倍数，求空格数字.
习题17：判断123456789101112能否被1001整除.
习题18：用截断法验证142856能被7整除.
被7、11、13整除性质专题讲义解析版
一、核心知识点.
1.三位分节法（通用方法）
操作步骤：
(1).将数从右向左每三位分一节，末节不足三位时补零
(2).交替加减各节数值（奇数节加，偶数节减）
(3).若结果能被7/11/13整除，则原数也能被整除
原理：基于7×11×13=1001的特性.
2.单独判定技巧
7的判定：
(1).末位截断：末位×2，用剩余数减去这个积
(2).重复操作直到容易判断（如得到7、0或负数）
11的判定：
(1).计算奇数位数字和与偶数位数字和的差
(2).若差是11的倍数（含0），则原数可被11整除.
13的判定：
(1).末位截断：末位×4，用剩余数加上这个积
(2).重复操作直到容易判断.
3.1001特性
7×11×13=1001→若数可被1001整除，则必能被7、11、13同时整除
二、典型例题.
例题1:判断37135能否被7整除.
解析：（截断法）
3713－5×2=3713－10=3703
370－3×2=370－6=364
36－4×2=28→28÷7=4
∴能被7整除.
例题2:验证123456789能否被11整除.
解析：（奇偶位差法）
奇数位和：9+7+5+3+1=25
偶数位和：8+6+4+2=20
差：25－20=5→非11倍数
∴不能被11整除.
例题3:判断1001能否被13整除.
解析：（1001特性）
1001=7×11×13→可直接被13整除.
例题4：用三位分节法判断31415926能否被7整除.
解析：
分节：031'415'926
计算：031－415+926=542
542÷7≈77.43→不能被7整除
例题5：求使4__56能被7整除的空格数字.
解析：当__=2时：4256
425－6×2=413→41－3×2=35→35÷7=5
当__=9时：4956
495－6×2=483→48－3×2=42→42÷7=6
∴填2或9.
例题6：证明任意连续六个相同数字组成的数必被7、11、13整除.
解析：设数为aaaaaa（如111111），分节为111'111
计算：111－111=0→0能被7、11、13整除.
例题7：判断987654321能否被13整除.
解析：（三位分节法）
分节：987'654'321
计算：987－654+321=654
654÷13≈50.3→不能被13整除
例题8：求能同时被7和11整除的最小三位数.
解析：
7×11=77→77的倍数
最小三位数为154（77×2）.
例题9：用截断法判断864192能否被13整除
解析：
86419+2×4=86419+8=86427
8642+7×4=8642+28=8670
867+0×4=867→867÷13=66.69
∴不能被13整除.
例题10：设数A=3717171，问A能否被11整除.
解析：（奇偶位差法）
奇数位和：1+1+1+3=6
偶数位和：7+7+7=21
差：21－6=15→非11倍数
∴不能整除.
三、强化练习.
习题1：判断666666能否被7整除.
解析：
66666－6×2=66666－12=66654
6665－4×2=6665－8=6657
665－7×2=665－14=651
65－1×2=63→63÷7=9
∴能整除.
习题2：用三位分节法验证999999能被13整除.
解析：
分节：999'999
计算：999－999=0→0能被13整除.
习题3：求使23_4能被11整除的空格数字.
解析：
奇数位和：4+3=7
偶数位和：_+2
差：|7－(_+2)|是11倍数
解得_=5（7－7=0）.
习题4：找出能被7整除的最大三位数.
解析：
999÷7≈142.71→7×142=994.
习题5：判断3141592653589793能否被11整除.
解析：（快速法）
奇数位和：3+9+5+5+9+4+1=32
偶数位和：7+8+3+8+6+1+3=36
差：32－36=－4→不能整除.
习题6：用截断法验证1001能被7整除.
解析：
100－1×2=98→98÷7=14.
习题7：求同时被7和13整除的最小四位数.
解析：
7×13=91→91×11=1001.
习题8：设数N=abcabc，证明N必被7、11、13整除.
解析：
abcabc=abc×1001→1001=7×11×13.
习题9：判断2468013579能否被13整除.
解析：（分节法）
分节：2'468'013'579→补零为002'468'013'579
计算：002－468+013－579=－1032
1032÷13不能整除.
习题10：求满足3_2_能被7和11整除的四位数.
解析：
设数为3a2b
被11整除：奇数位和(3+2)=5，偶数位和(a+b)→|5－(a+b)|是11倍数，所以|5－(a+b)|=0或11
情况1：a+b=5
被7整除：末位b，前段3a2→300＋10a＋2－2b是7倍数，即3a-2b+1是7的倍数，即3a-2(5-a)+1是7的倍数，5a-9是7的倍数，5a-2是7的倍数，无解.
情况2：a+b=16
被7整除：末位b，前段3a2→300＋10a＋2－2b是7倍数，即3a-2b+1是7的倍数，即3a-2(16-a)+1是7的倍数，5a-31是7的倍数，5a＋4是7的倍数，a=2或9.
a=2时，b=14，不满足
a=9时，b=7，满足
最终解：3927.
习题11：用三位分节法判断20240601能否被7整除.
解析：
分节：020'240'601
计算：020－240+601=381
381÷7≈54.43→不能整除.
习题12：判断777777777能被13整除吗
解析：（三位分节法）
分节：777'777'777
计算：777－777+777=777
777÷13=59.769→不能整除.
习题13：用截断法验证105105能否被7整除.
解析：
10510－5×2=10500
1050－0×2=1050
105－0×2=105→105÷7=15
∴能整除.
习题14：求一个被7除余1且被11整除的最小两位数.
解析：
设数N=11k，且11k≡1mod7
计算11kmod7等价于4k≡1mod7→k=2（4×2=8≡1）
∴N=11×2=22→22÷7=3余1
正确答案：22.
习题15：用奇偶位差法判断101010101能否被11整除.
解析：
奇数位和：1+1+1+1+1=5
偶数位和：0+0+0+0=0
差5－0=5→不能整除.
习题16：使三位数2_8成为13的倍数，求空格数字.
解析：
方法一：截断法
末位8×4=32，前段2_+32需被13整除
即2_+32=(20+_)+32=52+_
需52+_≡0mod13→52≡0mod13→_=0
答案：208（验证208÷13=16）.
习题17：判断123456789101112能否被1001整除.
解析：
∵1001=7×11×13→只需验证能否被7、11、13同时整除
被11整除检验：
奇数位和：2+1+9+7+5+3+1=28
偶数位和：1+0+8+6+4+2=21
差28－21=7→不能被11整除
∴原数不能被1001整除.
习题18：用截断法验证142856能被7整除.
解析：14285－6×2=14273→1427－3×2=1421→142－1×2=140小学奥数循环小数化分数专题讲义
一、知识点讲解
1.循环小数的定义
①纯循环小数：小数点后全部数字循环的小数（如..，写作;,写作）
②混循环小数：小数点后部分数字不循环，部分循环的小数（如，写作；，写作）
2.纯循环小数化分数公式
(9的个数等于循环节的位数)，能约分的要约分。
3.混循环小数化分数公式
(9的个数等于循环节的位数，0的个数等于非循环部分的位数)，能约分的要约分。
二、典型例题
类型一：纯循环小数
例1 将化为分数.
解：
例2 将化为分数.
解：
例3 将化为分数
解：
类型二：混循环小数
例4 将化为分数.
解：非循环部分长度1，循环节长度1：
.
例5 将化为分数.
解 ：非循环部分长度2，循环节长度1：
.
例6 将化为分数.
解: 非循环部分长度3，循环节长度2：
类型三：特殊类型
例7 验证.
解：设 ，则
相减得：
例8 将化为分数.
解: 非循环部分长度1，循环节长度3：
例9 计算 .
解:
例10 小明跑步，前400米用时小时，求时速.
解:小时
时速： 米/小时.
三、分层训练
基础训练（15题）
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
进阶训练（5题）
16.
17.
18.
19.
20.
挑战训练（5题）
21.
22.
23.
24.
25.
进阶训练（2题）
26. 将化为分数
27. 计算
分层训练答案
基础训练（15题）
1.
2.
3.
4.
5.
6.
解
7.
解
8.
解
9.
解
10.
解
11.
解
12.
解
13.
解
14.
解
15.
解
进阶训练（5题）
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19.
20.
解
挑战训练（5题）
21.
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24.
25.
进阶训练（2题）
26. 将化为分数
解:
27. 计算
解:小学奥数抽屉原理讲义
知识点讲解：
第一抽屉原理（鸽巢原理）
把个物品放入个抽屉中（），则至少有一个抽屉中至少有2个物品。
公式表达：若余，则至少有一个抽屉中有至少个物品。
第二抽屉原理
把个物品放入个抽屉中，若，则至少有一个抽屉中至少有个物品。
例题精讲
例1:口袋里有红、黄、蓝三种颜色的球各4个。至少取出多少个球，才能保证有2个颜色相同的？
解：将颜色看作抽屉（），根据抽屉原理，至少取个球。
例2:把7支铅笔放进3个笔盒，至少有一个笔盒有几支铅笔？
解：余1，所以至少有一个笔盒有支。
例3：任意5个自然数中，是否一定有2个数的差是4的倍数？
解：将自然数按除以4的余数分成4类（抽屉）。5个数放入4个抽屉，必有两数余数相同，它们的差是4的倍数。
例4：在367人中，至少有多少人同一天过生日？
解：一年最多366天，367人放入366天，至少有人同一天过生日。
例5：一个布袋里有黑、白袜子各10只，至少拿多少只才能配成一双同色袜子？
解：最不利情况：先拿1黑1白，再拿1只必配对。至少拿只。
例6：任取6个自然数，证明其中必有两个数的差是5的倍数。
解：按除以5的余数分5类（抽屉）。6个数放入5个抽屉，必有两数余数相同，差为5的倍数。
例7:把20个苹果放入6个篮子，至少有一个篮子有多少个苹果？
解：余2，所以至少有一个篮子有个。
例8:证明：在任意11个自然数中，必有两个数的差是10的倍数。
解：按除以10的余数分10类，11个数放入10个抽屉，必有两数余数相同，差为10的倍数。
例9:一个班级有42人，至少有多少人在同一个月出生？
解：余6，所以至少有人同月出生。
例10:从1到100中任取51个数，证明必有两个数存在倍数关系。
解：将数按奇数分组：，共50组。取51个数必有两数在同一组，存在倍数关系。
练习题
1.盒子里有红、蓝铅笔各5支，至少拿几支才能保证拿到1支红笔？
2.把9本书放进4个抽屉，至少有一个抽屉放几本书？
3.任意16人中，至少有几人生肖相同？
4.至少取出多少个自然数，才能保证有两个数之和是偶数？
5.布袋中有黄、绿球各8个，至少拿几个才能保证有3个同色？
6.证明：任意7个自然数中必有两数差是6的倍数。
7.把25块糖分给6个小朋友，至少有人分到几块？
8.从1到50中任取26个数，是否必有两数之和为51？
9.至少取多少个自然数，才能保证有两个数的差是9的倍数？
10.证明：任意13人中至少有两人的生日在同一个月。
练习题答案
1.6支（最不利情况先拿完5支蓝笔）
2.3本（余1，）
3.2人（生肖共12种，余4，，至少2人。
4.3个（奇偶性分2类，取3个数必有两数同奇偶）
5.5个（最不利拿2黄2绿，再1个必成3个）
6.按除以6的余数分6类，7个数必有两数余数相同
7.5块（余1，）
8.是（数对(1,50),(2,49),...,(25,26)共25组，取26个数必有两数同组）
9.10个（按除以9的余数分9类，取10个数必重复）
10.一年12个月，13人放入12个月，至少2人同月。

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