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六年级数学下册小升初《因数和倍数》讲义
一、考点归纳
（一）因数和倍数
定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。例如，在这个式子中，是和的倍数，和是的因数，因数和倍数是相互依存的关系。
特点：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
（二）2、3、5的倍数的特征
2的倍数：个位上是、、、、的整数，都能被整除，例如、等。
5的倍数：个位上是或的整数，都能被整除，例如、等。
3的倍数：一个数各位上的数字之和是的倍数，这个数就能被整除。比如，各位数字之和为，是的倍数，所以是的倍数。
（三）奇数和偶数
1.定义：整数中，是的倍数的数叫做偶数（也是偶数），不是的倍数的数叫做奇数。
2.运算规律：
奇数 + 奇数 = 偶数，例如；
奇数 + 偶数 = 奇数，例如；
偶数 + 偶数 = 偶数，例如。
（四）质数和合数
质数：一个大于的自然数，如果只有和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。最小的质数是。
合数：一个大于的自然数，如果除了和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。最小的合数是。
特殊情况：既不是质数，也不是合数。
（五）最大公因数和最小公倍数
最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。例如，的因数有、、、、、，的因数有、、、、、，和的公因数有、、、，最大公因数是。
最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。例如，的倍数有、、、、……，的倍数有、、、……，和的公倍数有、……，最小公倍数是。
二、考点剖析
（一）考点1：因数和倍数
1.找因数的方法：
列乘法算式：例如找的因数，因为，，，所以的因数有、、、、、。
列除法算式：用分别除以从开始的自然数，能整除的除数和商就是的因数。
找倍数的方法：用这个数分别乘、、……，所得的积就是这个数的倍数。例如的倍数有，，……
（二）考点2：2、3、5的倍数的特征
判断方法：
对于和的倍数，直接看个位数字即可。
对于的倍数，要计算各位数字之和。例如判断是否是的倍数，计算，是的倍数，所以是的倍数。
综合应用：一个数同时是和的倍数，个位数字一定是；一个数同时是、、的倍数，个位数字是且各位数字之和是的倍数。
（三）考点3：奇数和偶数
运算性质拓展：
奇数 - 奇数 = 偶数，例如；
奇数 - 偶数 = 奇数，例如；
偶数 - 偶数 = 偶数，例如；
奇数×奇数 = 奇数，例如；
奇数×偶数 = 偶数，例如；
偶数×偶数 = 偶数，例如。
应用场景：在一些实际问题中，如分配物品、排列顺序等，会用到奇数和偶数的性质来判断是否可行。
（四）考点4：质数和合数
判断方法：可以通过试除法，用小于这个数的质数（从开始）去除这个数，如果能整除，则这个数是合数，否则是质数。例如判断，从开始试除，、、、、、、都不能整除，所以是质数。
质数与合数的关系：除以外的质数都是奇数，但奇数不一定是质数；合数不一定是偶数，但除以外的偶数都是合数。
（五）考点5：最大公因数和最小公倍数
求最大公因数的方法：
列举法：分别列出两个数的因数，找出它们的公因数和最大公因数。
分解质因数法：把两个数分解质因数，然后找出它们公有的质因数，将公有的质因数相乘，所得的积就是最大公因数。例如，，公有的质因数是和，最大公因数是。
短除法：用短除法分别对两个数进行分解，直到所得的商互质，然后把除数相乘，得到最大公因数。
求最小公倍数的方法：
列举法：分别列出两个数的倍数，找出它们的公倍数和最小公倍数。
分解质因数法：把两个数分解质因数，然后找出它们公有的质因数和各自独有的质因数，将公有的质因数和各自独有的质因数相乘，所得的积就是最小公倍数。例如，，公有的质因数是和，独有的质因数是，独有的质因数是，最小公倍数是。
短除法：用短除法分别对两个数进行分解，直到所得的商互质，然后把除数和最后的商相乘，得到最小公倍数。
三、过关训练
（一）基础题
的因数有（ ），其中质数有（ ），合数有（ ），奇数有（ ），偶数有（ ）。
解析：通过列乘法算式，，，，可找出的因数为、、、、、、、。再根据质数、合数、奇数、偶数的定义进行分类。
在这些自然数中，同时是和的倍数的数有（ ），同时是、、的倍数的数有（ ）。
解析：先求出和的最小公倍数为，在中找的倍数；再求出、、的最小公倍数为，在中找的倍数。
幼儿园老师给小朋友分糖果，若每人分颗，则多颗；若每人分颗，则少颗。请问有多少个小朋友？一共有多少颗糖果？
解析：这是一个盈亏问题，可通过设未知数，利用糖果总数不变列方程求解。设小朋友有个，根据两种分法糖果总数相等可列方程。
把一张长厘米，宽厘米的长方形纸剪成若干个同样大小的正方形，且没有剩余，正方形的边长最大是多少厘米？可以剪成多少个这样的正方形？
解析：求正方形的边长最大是多少，就是求和的最大公因数；再用长方形纸的面积除以正方形的面积，得到正方形的个数。
（二）进阶题
五年级学生参加植树活动，人数在和人之间，如果分成人一组，人一组，人一组或人一组，都恰好分完。五年级参加植树活动的学生有多少人？
解析：先求出、、、的最小公倍数，然后在和之间找这个最小公倍数的倍数。
有一包糖果，无论是平均分给个人，还是个人，都正好剩块；如果平均分给个人，那么正好分完。这包糖果至少有多少块？
解析：先求出和的最小公倍数，然后在此基础上找出满足除以整除且余数为的数。
小明家的客厅地面是一个长分米，宽分米的长方形。如果要用边长是整数分米的正方形地砖把客厅地面铺满（使用的地砖必须都是整块），可以选择边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？
解析：可以选择的地砖边长是和的公因数，边长最大就是和的最大公因数。
两个自然数的和是，它们的最大公因数是，这两个自然数分别是多少？
解析：设这两个数分别为和（、互质），根据两数和为列出方程，化简后求解和的值。

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