资源简介

18.2.3 正方形
教学目标：
1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．
2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，掌握正方形的性质、判定的应用方法.进一步体会特殊与一般的关系．
3.经历探索正方形有关性质、判定条件的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法.
4.培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值.
教学重点： 正方形的性质与判定
教学难点：掌握正方形的性质、判定的应用方法.
教学方法：讲练结合
教具准备：三角板、PPT
教学过程
导入新课
复习回顾
观察图片，回答问题：
上述图片中的四边形都是特殊的平行四边形，除菱形、矩形外，还有一种特殊的平行四边形，你知道是什么图形吗？
讲授新课
合作探究
问题1 矩形经过怎样的变化就成为了正方形呢？
问题2 菱形经过怎样的变化就成为了正方形呢？
定义：有一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
正方形也是轴对称图形，它有四条对称轴：两条对角线和每组对边中点连线所在直线.
问题3 结合下图，谈谈正方形与平行四边形、矩形和菱形的关系.
知识归纳：
正方形既是矩形,又是菱形,它具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质.
正方形的性质1:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.
正方形的性质2:正方形的对角线相等且互相垂直平分.
正方形的性质3:既是中心对称图形也是轴对称图形.
想一想：我们之前是怎样判定矩形和菱形的？
典型例题
例1 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
已知，如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相较于点O.
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，
AO=BO=CO=DO.
∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
例2 已知：如图所示,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE∥AC,交AB于点E,DF∥AB,交AC于点F.
求证：四边形AEDF是菱形.
证明:∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形.
∴∠1=∠3.
又∵∠1=∠2,∴∠2=∠3.
∴AE=DE.
∴四边形AEDF是菱形.
小试牛刀：
下列条件中，能判定四边形是菱形的是(　D　)
A. 对角线互相垂直 B. 对角线互相平分
C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直平分
课堂练习
1.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定 ABCD是菱形的只有(　　)
A．AC⊥BD B．AB＝BC C．AC＝BD D．∠1＝∠2
答案：C
2.如图所示,小红在作线段AB的垂直平分线时,是这样操作的:分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度一半的长为半径画弧,两弧相交于点C,D,则直线CD即为所求.连接AC,BC,AD,BD,根据她的作图方法可知,四边形ADBC一定是(　　)
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.等腰梯形
答案：B
3.如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE=AC，连接AE，交CD于F，求∠AFC的度数.
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BCD， ∠BCD= ∠DCE=90°.
∴ ∠ACB=45°.
∵CE=AC， ∠CAE+ ∠E= ∠ACB，
∴ ∠E=22.5°，
∴ ∠AFC= ∠DCE+ ∠E=90°+22.5°=112.5°.
4.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
(1)求证：AF=DC；
(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，说明理由．
解：(1)证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠FAE=∠BDE,
∵E是AD的中点，∴AE=DE，
∴△AFE≌△DBE.
∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，
∴AF=BD，∴AF=DC．
(2)解：四边形ADCF是菱形，理由如下：
由(1)知AF∥BC，AF=DC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，
∴AD= BC=DC，
∴平行四边形ADCF是菱形．
课堂小结
这节课你有什么收获？
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必做题：
选做题：
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