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第8章 整式乘法与因式分解
8.1.3 同底数幂的除法
第1课时
1.理解并掌握同底数幂的除法法则，能进行同底数幂的除法运算；
2.能灵活利用同底数幂除法的运算法则解决有关法则的逆用问题和实际生活中的问题；
3.通过探索同底数幂除法运算法则的过程，进一步体会类比、归纳、推理的探究方法；
4.在探索过程中，培养学生的思维严密性，提高学生解决问题的能力.
重点：掌握同底数幂的除法的运算法则．
难点：能灵活利用同底数幂除法的运算法则进行运算或逆用解决问题．
（一）创设情境
回顾：幂的组成和同底数幂的乘法法则是什么？
预设答案：
同底数幂的乘法法则：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
即（，都是正整数）.
情境：一种液体每升含有个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现滴杀菌剂可以杀死个有害细菌，要将升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？
预设答案：
设计意图：先回顾之前学过的同底数幂的乘法法则，为本节课内容作铺垫，然后通过一个实际问题引出本节课的内容，启发学生的思维，引起学生的兴趣.
（二）探究新知
任务一：同底数幂的除法法则
探究：怎样计算？
先完成下表：
探究：观察上表，同底数幂相除有什么规律？
师生活动：小组合作：
1.观察上表的运算结果，说说自己发现的规律；
2.猜测同底数幂除法的运算法则，小组内交流，说说自己的看法；
3.互相合作，总结归纳出同底数幂的除法的运算法则.
探究：
猜想：
探究：你能验证刚刚的猜想吗？
证明：∵，
∴.
一般地，如果，都是正整数（），那么.
设计意图：通过进行推导计算、猜想、证明的过程，总结归纳出同底数幂的除法的运算法则，锻炼学生推理问题，分析问题的能力，同时加深学生对本节课所学内容的印象.
总结：同底数幂的除法：
(，都是正整数，且).
同底数幂相除，底数不变，指数相减.
示例：
任务二：同底数幂除法法则的逆用
思考：已知，求的值.
设计意图：通过一个问题思考同底数除法法则的逆用，提高对所学内容的掌握程度，培养学生举一反三的意识.
总结：同底数幂的除法法则逆用：
(，都是正整数，且).
指数相减可看成同底数幂相除进行运算.
（三）应用举例
例1 .计算：
(1)； (2)；
(3)b； (4).
分析：根据同底数幂的除法法则进行运算即可.
解：(1).
(2).
(3).
(4).
例2 .下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
分析：本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘除法，合并同类项，根据相关运算法则计算出各选项的结果后再判断即可．
解：．，计算错误，不符合题意；
B.，计算正确，符合题意；
C.，计算错误，不符合题意；
D.，计算错误，不符合题意．
答案：．
例3 .已知，，求的值．
分析：本题考查了逆用同底数幂的除法运算及幂的乘方，根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，进行运算即可
解：由题意得，，
故．
设计意图：通过3个例题，进一步理解熟悉同底数幂的除法法则及其逆向应用，加深学生的印象，增强应用意识.
（四）课堂练习
1.下列计算正确的有．
．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【解析】本题考查了同底数幂除法，积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．对各项分别进行计算，然后再判断正误即可．
解：，故此项错误；
，故此项正确；
，故此项错误；
，故此项错误，
正确的选项有个，
答案：B.
2.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
【解析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘法和除法，积的乘方，合并同类项的运算法则计算即可．
解：、和不是同类项，不能合并，故选项 A错误，不符合题意；
B、，故选项 B正确，符合题意；
C、，故选项 C错误，不符合题意；
D、，故选项 D错误，不符合题意．
答案：．
3.若，，则 ．
【解析】本题考查同底数幂的乘除法和幂的乘方，理清指数的变化是解题的关键先逆用同底数幂的乘法法则和除法法则对进行变形，再逆用幂的乘方性质进行变形，最后把、代入计算即可．
解：
．
答案：．
4. ．
【解析】本题主要考查同底数幂的除法．先化成同底数幂，然后利用同底数幂的除法计算即可．
解：，
答案：．
5.若，，，求，，之间的数量关系．
解：因为， ，
所以，即，
所以．
6.已知，求的值．
解：
，
，
所以，解得．
设计意图：设置了6个练习题目，难度由低到高，帮助学生理解本节课所学的内容，提高学生对于新学知识的灵活应用能力，培养学生的应用意识.
（五）总结归纳
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
1.同底数幂的除法法则是什么？
2.如何利用同底数幂的除法法则解决问题？
设计意图：先抛出几个问题，让学生回顾本节课所学的内容，再加以梳理，加深学生对本节课所学内容的印象和理解，进一步巩固所学知识.第8章 整式乘法与因式分解
8.1.3 同底数幂的除法
第3课时
1.理解用科学记数法表示较小的数的原理，会用科学记数法表示绝对值小于1的数；
2.能将10的负整数次幂与原数灵活互化，体会数学各部分知识间的联系；
3.掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数解决实际问题的过程；
4.在探究学习过程中，体会数的多种表达形式，使学生感受到知识来源于生活、并应用于生活的特点，感受数学之美.
重点：掌握用科学记数法表示数的原理和步骤．
难点：能利用科学记数法解决实际问题．
（一）创设情境
回顾：前面我们学过用科学记数法来表示一些绝对值大于10的数，回顾其方法步骤，并表示下列各数：
(1)2 280 000=_______________________；
(2)16 708 000=_______________________；
(3) 13 500=_______________________.
预设答案：
(1) (1) (3)
情境：我们的世界有许多细小的物体；例如最常见的头发丝，一根头发丝的直径大约0.000 05米；而蚕丝的直径只有发丝的十分之一；还有我们肉眼观察不到的细菌，通常用微米()作为测量它们的计量单位.(1=0.000 001m)
思考：我们能否用科学记数法把0.000 05、0.000 001这些绝对值小于1的数表示出来？
设计意图：通过回顾学过的知识，类比本节课所学的内容，引发学生的思考，再通过情境问题，展示本节课学习的内容在实际生活中的应用，引起学生的兴趣.
（二）探究新知
任务一：用科学记数法表示绝对值小于1的数
探究：用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 001； (2) 0.000 43.
师生活动：小组合作：
1.结合学过的知识，思考如何用科学记数法表示；
2.组内成员合作，完成题目，并进行讨论，归纳出用科学记数法表示绝对值小于1的数的步骤和方法.
设计意图：提出问题，让学生合作探究，调动学生的积极性，有利于启发学生的思维，培养学生的自主探究意识和合作能力.
探究：用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 001； (2) 0.000 43.
总结：用科学记数法表示绝对值小于1的数：
绝对值小于1的数可以用科学记数法表示为的形式，其中110，是正整数.
示例：
设计意图：通过计算得出结论，提高学生对于所学知识的应用能力，在总结归纳的过程中，培养学生的推理能力和应用意识.
探究：对于一个绝对值小于1的数，其中零(包括小数点前面的一个零)的个数与用科学记数法表示时10的指数之间有什么关系？完成下列题目，看看能发现什么？
(1)0.1；(2)0.01；(3)0.001；(4)0.000 1；(5)0.000 000 000 1.
总结：对于一个绝对值小于1的数，如果这个数中第一个不等于零的数字前面有个零(包括小数点前面的一个零)，用科学记数法表示这个数时，10的指数为.
示例：
0.000 000 1
个0
用科学记数法表示绝对值小于1的数的一般步骤：
(1)确定：的绝对值是大于或等于1且小于10的数；
(2)确定：等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数；
(3)将原数用科学记数法表示为(其中，是正整数).
设计意图：通过解决具体的计算问题，总结归纳出用科学记数法表示绝对值小于1的数的步骤和方法，培养学生总结归纳的能力 .
（三）应用举例
例1.用科学记数法表示下列各数，并在计算器上把它们表示出来：
(1)0.000 76； (2) 0.000 001 59.
分析：根据用科学记数法表示绝对值小于1的数的步骤表示即可.
解：
例2.水是由氢、氧两种元素组成的，1个氢原子的质量约为1.674×kg，1个氧原子的质量约为2.657×kg.1个氢原子与1个氧原子的质量哪个大？
分析：先将10的指数化为相同指数，再比较两个数的大小．
解：
例3.雷达发出的微波以3×km/s的速度射向飞机，飞机再将微波反射回来，经过12.6 μs后雷达站收到反射微波．飞机与雷达站之间的距离是多少千米．（1μs=s）
分析：先将单位统一，再利用路程、速度与时间的关系计算即可．
解：
设计意图：通过3个例题，练习了用科学记数法表示绝对值小于1的数及其应用，加深学生对所学知识的印象，提高学生的应用能力和计算能力.
（四）课堂练习
1.用科学记数法表示下列各数：
，，，，．
【解析】直接利用绝对值小于的正数和负数可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，再结合绝对值大于的正数和负数分别用科学记数法表示即可．本题考查用科学记数法表示较小的数以及用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
解：，
，
，
，
．
2.比较大小： ．
【解析】此题考查有理数大小比较．解答的关键是将题目中所给的数正确还原．根据幂的运算法则先将原数还原，然后再比较大小即可．
解：，，
，
．
故答案为：．
3.一种塑料颗粒是棱长为毫米的小正方体，它的体积是多少立方米用这种塑料颗粒制成一个棱长为米的正方体塑料块需要用多少个颗粒用科学记数法表示
解：
小正方体的体积为立方米，
个．
答：塑料颗粒的体积是立方米，制成一个棱长为米的正方体塑料块，需要个塑料颗粒．
4.年月日世界卫生组织正式发布通告，将新型冠状病毒感染的肺炎正式命名为“冠状病毒病”研究人员在透射电子显微镜下观察到病毒体颗粒是近乎球形的，其直径平均为，则新冠病毒体颗粒的体积大约是多少立方厘米？已知球的体积，其中是半径，取
解：直径为，
，
．
新冠病毒体颗粒的体积大约是 ．
5.太阳的质量约是，地球的质量约是，太阳的质量约是地球的质量的多少倍结果用科学记数法表示
解：
．
答：太阳的质量约是地球的质量的倍
6.声音的强弱用分贝表示，通常人们讲话时的声音是分贝，它表示声音的强度是，汽车的声音是分贝，它表示声音的强度是，喷气式飞机的声音是分贝，求：
汽车声音的强度是人们讲话时声音强度的多少倍
喷气式飞机声音的强度是汽车声音强度的多少倍
解：，即汽车声音的强度是人们讲话时的声音强度的倍
因为喷气式飞机的声音是分贝，
所以强度为，
，
所以喷气式飞机声音的强度是汽车声音强度的倍
设计意图：设置了6个练习题目，难度由低到高，帮助学生理解本节课所学的内容，提高学生对于新学知识的灵活应用能力，培养学生的应用意识.
（五）总结归纳
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
1.能否用科学记数法表示绝对值小于1的数？
2.对于绝对值小于1的数，0的个数与用科学记数法表示的10的指数有什么关系？
3.用科学记数法表示绝对值小于1的数的一般步骤是什么？
设计意图：先抛出几个问题，让学生回顾本节课所学的内容，再加以梳理，加深学生对本节课所学内容的印象和理解，进一步巩固所学知识.第8章 整式乘法与因式分解
8.1.3 同底数幂的除法
第2课时
1.通过同底数幂相除的运算性质，探究零次幂、负整数次幂的意义及运算方法；
2.理解并掌握零次幂与负整数次幂有意义的条件，能把负整数次幂转化成正整数次幂；
3.通过探索，让学生体会从特殊到一般的研究方法，感受数学各部分知识间的联系，提高学生对所学知识的应用能力.
重点：掌握零次幂和负整数次幂的运算法则．
难点：能利用零次幂和负整数次幂的运算法则进行计算．
（一）创设情境
回顾：同底数幂相除的运算法则是什么？
预设答案：(，都是正整数，且).
思考：我们已经得到了当时，的运算性质，那么当时（都是正整数），（）又如何计算呢？
设计意图：通过回顾前面所学的运算法则及限制条件，提出问题，引发学生的思考，加深所学知识间的联系.
（二）探究新知
任务一：零次幂
探究：当被除式的指数等于除式的指数（即）时，计算下列式子的结果，看看能得到什么 ？
（1）；（2）；（3）.
师生活动：小组合作：
1.先独立思考，尝试用不同的方法计算；
2.观察得到的结果，与组内同学交流你的发现；
3.组内合作，总结发现的规律.
设计意图：通过让学生相互讨论，训练学生们的合作能力和探索能力，培养学生类比推理、归纳总结的意识，加深学生对所学知识的印象.
探究：计算：（1）；（2）；（3）.
总结：零次幂：
我们约定：().
任何一个不等于零的零次幂都等于1.
示例：
，，，
设计意图：通过让学生亲自动手运算和与同学之间合作探讨，体会发现结论的过程，加深学生对所学运算法则的印象，为后期灵活应用奠定基础.
任务二：负整数次幂
探究：当被除式的指数小于除式的指数（即）时，计算下列式子的结果，看看能得到什么？
（1）；（2）；（3）.
师生活动：小组合作：
1.先独立思考，尝试用不同的方法计算；
2.观察得到的结果，与组内同学交流你的发现；
3.组内合作，总结发现的规律.
设计意图：通过让学生相互讨论，训练学生们的合作能力和探索能力，培养学生类比推理、归纳总结的意识，加深学生对所学知识的印象.
探究：计算：（1）；（2）；（3）.
总结：负整数次幂：
一般地，我们约定：(，是正整数).
任何一个不等于零的数的(是正整数)次幂，等于这个数的次幂的倒数.
示例：
，，，
拓展：有了上述约定，我们再遇到计算时，就不必限制了，这样，幂指数的范围就从全体正整数扩充到全体整数.
即：(是正整数).
设计意图：通过让学生亲自动手运算和与同学之间合作探讨，体会发现结论的过程，加深学生对所学运算法则的印象，为后期灵活应用奠定基础.
（三）应用举例
例1.计算：
； ； .
分析：根据同底数幂的除法法则、零次幂和负整数次幂的运算法则计算即可.
解：
.
.
例2.下列运算正确的是（ ）
. .
. .
分析：直接利用同底数幂的乘法以及合并同类项法则、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
解：.，故此选项错误；
.，故此选项错误；
.，正确；
.，故此选项错误.
答案：
例3.计算：.
分析：利用负整数次幂、零次幂、绝对值和乘方的运算法则进行运算即可．
解：
设计意图：通过3个例题，练习了零次幂和负整数次幂的运算，加深学生对所学知识的印象，提高学生的应用能力和计算能力.
（四）课堂练习
1.小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
2.计算：．
【解析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用绝对值的意义，立方根定义，以及零指数幂计算即可求出值．
解：原式，
．
3.计算：．
解：原式．
4.计算：．
【解析】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．首先计算绝对值，次幂，负指数次幂，然后进行有理数的加减运算即可．
解：原式．
5.若，且，求的值．
解： 由题意得，，所以，则．
因为，所以故．
6.若，，，，则，，，之间的大小关系是 ( )
A. B.
C. D.
【解析】本题考查了负整数指数幂和零指数幂，属于基础题．根据负整数指数幂和零指数幂的相关法则，可得出结果．
解：，，，，
故，
答案：D．
设计意图：设置了6个练习题目，难度由低到高，帮助学生理解本节课所学的内容，提高学生对于新学知识的灵活应用能力，培养学生的应用意识.
（五）总结归纳
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
1.零次幂该如何计算？
2.负整数次幂该如何计算？
设计意图：先抛出几个问题，让学生回顾本节课所学的内容，再加以梳理，加深学生对本节课所学内容的印象和理解，进一步巩固所学知识.

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