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第8章 整式乘法与因式分解
8.3 完全平方公式与平方差公式
8.3.2平方差公式
1.理解并掌握用多项式的乘法法则推导出平方差公式的过程；
2.掌握平方差公式的结构特点，能灵活利用平方差公式进行计算；
3.在用几何面积验证公式的过程中，理解平方差公式的几何意义，感受数形结合的数学思想；
4.在探究过程中发现规律并能用符号表示规律，感受数学的严谨性，体会数学的简洁之美.
重点：掌握平方差公式的验证过程和结构特点．
难点：能利用平方差公式计算或解决问题．
（一）创设情境
回顾：回顾多项式与多项式相乘的运算法则，并用字母表示出来.
预设答案：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
设计意图：通过回顾学过的知识，为学习本节课的内容提供理论基础，让学生感受数学各部分知识间的联系，加强学生的应用能力.
（二）探究新知
任务一：平方差公式
探究：由多项式乘法计算：
(1)； (2).
师生活动：小组合作：
1.利用多项式与多项式相乘的运算法则计算；
2.组内成员合作，根据多项式乘法的规律概括出的计算公式.
设计意图：提出问题，让学生合作探究，调动学生的积极性，有利于启发学生的思维，培养学生的自主探究意识和合作能力.
探究：由多项式乘法计算：
(1)； (2).
猜想：
探究：你能验证一下猜想吗？
设计意图：利用已学的知识，推导出平方差公式，让学生感受数学各部分知识间的联系，通过猜想、验证的过程，锻炼学生的推理能力.
总结：平方差公式：
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
平方差公式的特征：
1.等号左边是两个二项式的积，且这两个二项式中有一项为相同项，另一项为相反项；
2.等号右边是相同项的平方减去相反项的平方.
3.公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等式子.
任务二：平方差公式的几何意义
思考：你能设计一个图形来说明平方差公式吗？
师生活动：小组合作：
1.独立思考，完成验证；
2.小组成员合作，交流自己的思路，完善证明过程.
探究：如图，将边长为的正方形分为三部分，为边长为的小正方形.
设计意图：通过几何图形的面积证明平方差公式，感受数形结合的思想在数学问题中的应用，提高学生对于平方差公式的理解，提高学生解决问题的能力.
（三）应用举例
例1.利用乘法公式计算：
； .
分析：（1）根据两数和与两数差的积等于两数的平方差计算即可.
（2）根据两数特点，将式子转化为两数和与两数差的形式，再用平方差公式进行计算.
解：（1）
.
例2.利用乘法公式计算：
分析：将看成整体，原式即可看成与之和乘与之差，利用平方差公式计算即可．
解：
.
例3. ．
分析：本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键，两次利用平方差公式即可求解．
解：
.
答案：．
设计意图：通过3个例题，熟悉了平方差公式的基本内容和结构特点，练习了利用平方差公式进行计算，提高学生对本节课内容的掌握程度，训练学生的应用能力.
（四）课堂练习
1.计算：
．
【解析】本题的类型不符合我们学习的乘法公式，但运用整体思想，把多项式中的某一部分看成一个整体，则可应用乘法公式计算．先将变成，中括号内符合平方差公式的形式，相乘得，这时再运用完全平方公式计算把看成一个整体当然也可以把或看成一个整体后应用完全平方公式原式可变为，可把看成一个整体后应用平方差公式，再应用完全平方公式．
解：．
．
．
2.下列各多项式的乘法中，能用平方差公式计算的有( )
；；；
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【解析】本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．根据平方差公式特点：两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：，能用平方差公式；
，两项均相同，不符合平方差公式，不能用平方差公式；
，能用平方差公式；
，能用平方差公式；
综上所述，能用平方差公式计算的有个．
答案：C
3.计算：，其中．
【解析】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先根据多项式乘单项式法则和平方差公式计算乘法，再去括号，最后合并同类项即可化简原式，将的值代入即可求解．
解：原式
，
当时，原式．
如图，在边长为的正方形中央剪去一个边长为的小正方形，将剩余部分剪开平铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为( )
A. B. C. D.
【解析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键．根据拼成的平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．
解：
，
答案：
5.从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形如图，然后将剩余部分拼成一个长方形如图．
上述操作能验证的等式是______；请选择正确的一个
A、
B、
C、
应用你从选出的等式，完成下列各题：
已知，，求的值．
计算：
【解析】此题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．观察图与图，根据两图形阴影部分面积相等验证平方差公式即可；使用平方差公式求出所求式子的值即可；原式利用平方差公式变形，约分即可得到结果．
解：根据图形得：，
上述操作能验证的等式是，
故答案为：；
，，
；
原式
．
6.已知一个三角形的底边长为，对应高为，面积为试用含的代数式表示当时，求的值．
【解析】本题考查了平方差公式的知识，解决此类问题的关键是牢记平方差公式利用三角形的面积公式得到三角形的面积，然后利用平方差公式计算可得用含的代数式表示；再将代入计算即可求解．
解：
，
当时，．
设计意图：设置了6个练习题目，难度由低到高，帮助学生理解本节课所学的内容，提高学生对于新学知识的灵活应用能力，培养学生的应用意识.
（五）总结归纳
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
1.平方差公式是什么？
2.平方差公式的结构特征是什么？
3.如何用几何图形的面积验证平方差公式？
设计意图：先抛出几个问题，让学生回顾本节课所学的内容，再加以梳理，加深学生对本节课所学内容的印象和理解，进一步巩固所学知识.

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