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第八章 整式乘法与因式分解
8.4 因式分解
8.4.1 提公因式法
1.掌握因式分解、公因式的概念，能用提公因式法进行因式分解.
2. 在对因式分解的概念和提公因式法进行因式分解的探究中，了解因式分解与整式乘法之间互逆变形关系，培养整体性思维，建立数学思维的思考模式.
3. 通过因式分解的概念和提公因式法进行因式分解的学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，感悟数据的意义与价值.
重点：掌握因式分解、公因式的概念，能用提公因式法进行因式分解.
难点：经历提公因式法分解因式，准确找出公因式，渗透化归思想.
（一）创设情境
情境：杨辉，字谦光，南宋杰出的数学家。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家，与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”。
杨辉在《详解九章算法》中记载了一些乘法算式和相应的分解因数的方法，如“四六二十四”可以分解为“2×12”“3×8”“4×6”.
思考：在数学中，对于多项式是否也有类似的分解方法呢
师生活动：教师讲解南宋数学家杨辉的故事，学生认真听讲，最后教师提出问题，学生思考.
设计意图：本节课通过数学史故事引入，激发学生的兴趣.通过思考问题的提出，引发学生思考，为学习新内容做铺垫.
（二）探究新知
任务一 探究因式分解的概念
思考：请把下列多项式写成几个因式乘积的形式.
(1) a2+2ab+b2= ; (2) a2-2ab+b2= ;
(3) a2-b2= ; (4) na+nb+nc= .
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
师生活动：学生根据整式乘法公式及平方差公式回答,教师引导学生观察等号两边的形式发现：这几个式子从左到右的变形是把多项式化为整式乘积的形式，从而给出因式分解的定义.
分析：(1)(2)(3)根据完全平方公式和平方差公式即可得出答案；(4)可以把n提取出来即可得出答案.
预设答案：(1) a2+2ab+b2= (a+b)2
(2) a2-2ab+b2= (a-b)2
(3) a2-b2= (a+b)(a-b)
(4) na+nb+nc= n(a+b+c)
总结：像这样，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
思考：下列整式乘法与因式分解之间有什么关系
(1) m(a+b+c)=ma+mb+mc，ma+mb+mc=m(a+b+c)；
(2) (a-7)2=a2-14a+49，a2-14a+49=(a-7)2；
(3) (x+3)(x-3)=x2-9，x2-9=(x+3)(x-3).
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
师生活动：学生小组讨论，教师引导学生总结并板书:因式分解与整式乘法互为逆运算.
总结：可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即
总结：因式分解的对象是多项式，而不是单项式.分解后的每个因式必须是整式的积的形式.
设计意图：通过具体问题的解决，让学生观察、思考和操作过程中，结合具体事例了解因式分解的概念,认识其本质属性——将一个多项式化为几个式子乘积的变形，同时发现因式分解与整式乘法的互逆关系，为后续探索因式分解的具体方法做铺垫.
任务二 探究提公因式法分解因式
思考：观察下列多项式，它们有什么共同的特点？你能尝试分解它们吗？
(1) ma+mb+mc； (2) 2x2+x.
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
师生活动：教师先提出问题，学生独立思考，并回答问题，教师点评并给出公因式的定义;对于问题“你能尝试分解它们吗”，教师引导学生利用整式乘法:p(a+b+c)=pa+pb+pc 分解因式，并给出提公因式的定义.
预设答案：(1) ma+mb+mc：有相同因式m.
(2) 2x2+x：有相同因式 x.
归纳：它们的每一项都含有一个相同的因式，我们把相同的因式叫做这个多项式各项的公因式.
把公因式m和x提到括号外面，这样就把多项式分解成两个因式的积.
即 (1)ma+mb+mc=m(a+b+c)； (2) 2x2+x=x(2x+1)
归纳：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
思考：运用提公因式法时，如何确定一个多项式的公因式 尝试找出 3x2y - 6xy2的公因式.
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
师生活动：学生独立思考并进行小组讨论，在教师的引导下概括总结找出多项式的公因式的一般步骤.
预设答案：
系数：最大公约数.
字母：相同的字母.
指数：相同字母的最低次数
公因式是 3xy.
总结：找出多项式各项公因式的一般步骤：
一定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
二定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
三定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
设计意图：锻炼学生观察发现的能力，用简单的设问增强学生的自信心和学习兴趣，培养学生自主学习的精神，同时利用具体的问题，引导学生了解提公因式法分解因式的基本程序和步骤并积累找公因式的经验.
（三）应用新知
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例1把下列各式分解因式：
(1) 4m2 8mn； (2) 3ax2 6axy + 3a.
分析：(1)数字：系数4，8的最大公约数是4
字母：公共的字母m
指数：m取1次，所以公因式是4m
确定公因式：4m
预设答案：解： (1) 4m2 8mn
=4m·m 4m·2n
=4m(m 2n).
分析：(2)数字：系数3，6的最大公约数是3
字母：公共的字母a
指数：a取1次，所以公因式是3a
确定公因式：3a
最后一项3a提取后还有因数1.
预设答案：解：(2) 3ax2 6axy + 3a
=3a·x2 3a·2xy + 3a·1
=3a(x2 2xy + 1)
设计意图：通过例题，了解提公因式法分解因式的基本程序和步骤；积累找公因式的方法；知道提公因式法是把多项式分解成两个因式乘积的形式；用提公因式法分解因式后，保证含有多项式的因式中再无公因式.
例2 把下列各式分解因式：
(1) 2x(b+c)3y(b+c)； (2) 3n(x2)+(2x).
分析：(1)根据题意知，先找出公因式(b+c)，再提取公因式即可；
预设答案：解：(1) 2x(b+c)3y(b+c)
=(b+c)(2x3y).
x2与2x有什么关系？
分析：(2) (2x)=(x2)，所以在第二个括号前提个负号，原式变为3n(x2)(x2)，然后找出公因式，再提取公因式即可.
预设答案：解：(2) 3n(x2)+(2x)
=3n(x2)(x2)
=(x2)(3n1)
总结：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
设计意图：通过例题的讲解使学生进一步巩固因式分解的基本方法，提高对公因式的认识——公因式及可以是数、单项式，也可以是多项式，感受因式分解给计算带来的简便，体会此方法的数学价值.
例3 判断下列因式分解是否正确.
(1)12x2y+18xy2=3xy(4x + 6y)
(2)3x2 6xy+x=x(3x6y)
(3)x2+xyxz=x(x+yz)
预设答案：解：(1)错误，公因式没有提尽，还可以提出公因式2；所以正确答案为12x2y+18xy2=6xy(2x+3y)
(2)错误，当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1；所以正确答案为3x2 6xy+x=x(3x6y+1)
(3)错误，提出负号时括号里的项没变号；所以正确答案为x2+xyxz=x(xy+z).
总结：因式分解要求：(1)分解彻底； (2)结果化为最简；(3)结果不含中括号； (4)结果括号中第一项系数一般不为负数.
设计意图：通过实例辨析，让学生进一步理解因式分解的概念.
例4 已知:a+b=7，ab=4，求代数式a2b+ab2的值.
分析：原式提取公因式变形后，将a+b与ab的值代入计算即可求出值.
预设答案：解：因为a+b=7，ab=4，
所以a2b+ab2=ab(a+b)=4×7=28.
总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体，代入求值.
设计意图：通过典型例题的讲解，让学生进一步巩固因式分解在数学中的应用.体会因式分解解决相关问题的简便性.
（四）巩固新知
1.下列因式分解正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：，所以选项不符合题意；
B.，这是因式分解，所以选项不符合题意；
C.在有理数范围内不能分解，所以选项不符合题意；
A.，所以选项符合题意．
故选：．
2.多项式，则的值是( )
A. B. C. 或 D.
【答案】C
【解析】因为
，
所以，或，所以或．
3.若多项式因式分解后所含的一个因式是，那么另一个因式是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】故选B．
4.将多项式分解因式，应提取的公因式是 ．
【答案】
【解析】解：，
所以应提取的公因式是．
故答案为．
5.对任意整数，试说明一定能被整除．
【答案】解：因为
，
所以原式一定能被整除．
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.在进一步巩固所学知识的同时去发现问题，以便弥补知识的漏洞.
（五）课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.什么因式分解？
3.什么是公因式？
4.找公因式的一般步骤是什么？
设计意图：让学生自己小结，活跃了课堂气氛，做到全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达能力.

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