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第八章 整式乘法与因式分解
8.4 因式分解
8.4.2 公式法
1.使学生了解平方差公式和完全平方公式的结构特点，会灵活运用公式法分解因式；
2.通过对平方差公式和完全平方公式的辨析，培养学生的观察能力；
3.在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维能力；
4.经历探索因式分解方法的过程，培养学生自主探索、发现问题的能力，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤，发展学生的数学思维能力。
重点：理解平方差公式和完全平方公式分解因式的意义，掌握公式法的形式和特征.
难点：能够运用公式法和提公因式法进行因式分解.
（一）创设情境
回顾：问题1：什么叫因式分解？
问题2：怎样找公因式？
问题3：请写出完全平方公式和平方差公式.
师生活动：教师提出问题，学生思考并举手回答问题.
预设答案：1.把一个多项式化为几个整式积的形式，叫做因式分解.
2.一定系数：最大公约数；二定字母：相同字母三定指数：字母最低次幂.
3.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a b)2=a2 2ab+b2
平方差公式：(a+b)(a b)=a2 b2
设计意图：回顾因式分解的相关概念，为本节课学习公式法做铺垫.
（二）探究新知
任务一 探究公式法分解因式
思考：平方差公式和完全平方公式左右两边倒过来会出现什么情形？可不可以用此来分解因式？
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
师生活动：教师提出问题，小组交流合作，思考并积极回答问题.
预设答案：
总结：运用公式(完全平方公式和平方差公式)进行因式分解的方法叫作公式法.
设计意图：经历把平方差公式和完全平方公式反过来，探索平方差公式法和完全平方公式法分解因式的过程，体会它们之间的联系，发展逆向思维的能力．
思考：(1)平方差公式有什么结构特点？公式中的a，b可以表示什么？
(2)完全平方公式有什么结构特点？公式中的a，b可以表示什么？
(3)你能利用公式对整式x2-2x+1进行因式分解吗？
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
师生活动：教师提出问题，学生小组交流合作，思考并回答问题，教师顺势引出本课知识点的探究.在老师的指导下，完善学生对公式特征的相关描述并得出结论，同时学生对于不能利用平方差公式和完全平方公式进行分解因式的式子给出相应的解释.
预设答案：（1）平方差公式： a2 b2 = (a+b)(a b)
平方差式的特点： a2 b2
1.必须是二项式(或可以看成二项的)；
2.每一项都为平方项；
3.两个平方项的符号相反.
公式中的a，b可以表示单项式，也可以表示多项式.
归纳：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
变式：下列多项式能否用平方差公式因式分解？为什么？
1x y
2x y
3 x y
4 x y
分析：
1不是，这是两数平方和；
2是；
3是；
4不是，这是两数平方和的相反数.
判断依据：1. 各项能否写成平方项；
确定两数平方是否相减.
设计意图：让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征，并能利用相关结论进行练习.
预设答案：（2）完全平方公式： a2±2ab+b2 = (a±b)2
完全平方式的特点： a2±2ab+b2
1.必须是三项式(或可以看成三项的)；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.有一项为两数或式乘积的2倍，与符号无关.
公式中的a，b可以表示单项式，也可以表示多项式.
归纳：两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
变式 下列多项式是不是完全平方式？为什么？
1a 4a4
214a
3 4b 4b1
4 a abb
分析：
1是；
2不是，只有两项；
3不是，平方项符号不一致；
4不是，ab项没有系数2.
预设答案：（3）x2-2x+1= x2-2x1+(1)2 是一个完全平方式.
解：x2-2x+1
=x2-2x1+(1)2
= (x-1)2
设计意图：让学生通过自己的归纳找到因式分解中完全平方公式的特征，并能利用相关结论进行练习.举例说明便于学生理解，同时归纳总结，由分解因式与整式乘法的互逆关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解国式，这种分解因式的方法就是公式法.
（三）应用新知
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例1把下列各式分解因式：
(1) x2+14x+49 ； (2) 9a2-30ab+25b2；
(3) x2-81； (4) 36a2-25b2.
分析：这几道题可以利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解.完全平方公式为a2±2ab+b2 = (a±b)2；
平方差公式为a2 b2 = (a+b)(a b).
预设答案：解：(1) x2+14x+49
=x2+2·x·7+72
=(x+7)2
(2) 9x2-30ab+25b2
=(3a)2-2×3a×5b+(5b)2
=(3a-5b)2
(3) x2-81
=x2-92
=(x+9)(x-9)
(4) 36a2-25b2
=(6a)2-(5b)2
=(6a+5b)(6a-5b)
设计意图：锻炼运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的能力，规范学生的解题步骤.
例2 把下列各式分解因式：
(1) x2 +4xy 4y2； (2) (2a+b)2 (a2b)2.
分析：(1)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为(x2 4xy+ 4y2)，然后再利用公式分解因式.
(2)直接符合平方差公式的形式，利用平方差公式分解即可.
预设答案：解：(1) x2 +4xy 4y2
（符合完全平方公式a2-2ab+b2 = (a-b)2的形式，这里a=x，b=2y.）
= (x2 4xy+ 4y2)
= (x2y)2
(2) (2a+b)2 (a2b)2
（符合平方差公式a2 b2 = (a+b)(a b)的形式，这里a=2a+b，b=a2b.）
=[(2a+b)+(a2b)][(2a+b)(a2b)]
=(2a+b+a2b)(2a+ba+2b)
=(3a-b)(a+3b)
总结：运用平方差公式分解因式的一般步骤：
(1)还原成平方差的形式.
(2)运用公式写成两数和与两数差的积的形式.
(3)分别在括号内合并同类项.
(4)各因式分解到不能再分解为止.
设计意图：通过例题，了解公式法分解因式的基本程序和步骤.运用所学知识解决问题，巩固学生对知识的认识与理解.
例3 在实数范围内分解因式：81a4 16b4；
分析：81a4看作(9a2)2，16b4看作(4b2)2，原式=(9a2)2(4b2)2，符合平方差公式的形式，利用平方差公式分解即可.
分解因式要分解彻底，根据平方差公式进行两次分解即可.
预设答案：解：81a4 16b4
=(9a2)2(4b2)2
=(9a2+4b2)(9a24b2)
=(9a2+4b2)(3a+2b)(3a2b)
总结：分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
设计意图：让学生在做题的过程中，学习如何正确变形多项式，运用平方差公式的条件进行因式分解.考查学生对运用平方差公式进行因式分解的条件的掌握，
例4 已知4m+n=40，2m3n=5.求(m+2n)2 (3mn)2的值.
分析：先利用平方差公式将所给式子进行变形，然后通过已知条件进行代换计算.
预设答案：解：原式=(m+2n+3mn) (m+2n3m+n)
=(4m+n) (3n2m)
=(4m+n) (2m3n)
当4m+n=40，2m3n=5时，
原式=40×5=200
总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体，代入求值.
设计意图：通过典型例题的讲解，让学生进一步巩固公式法分解因式在数学中的应用.体会公式法因式分解解决相关问题的简便性.
（四）巩固新知
1.下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选项A中的式子可以利用平方差公式分解因式，结果是选项B中的式子无法分解因式选项C中的式子能用完全平方公式分解因式，其结果是选项D中的式子无法分解因式．
2.下列各式中，不能用平方差公式进行因式分解的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，选项A能用平方差公式进行分解，选项B不能用平方差公式进行分解：，选项C能用平方差公式进行分解，选项D能用平方差公式进行分解．
3.已知 a = 7- 3b ，则代数式 a2+ 6ab + 9b2的值为 .
【答案】49
【解析】因为a = 7- 3b，所以a+3b=7，所以a2+ 6ab + 9b2=(a+3b)2=72=49.
4.分解因式：．
【答案】解：原式
．
5.分解因式：
．
【答案】解：原式，
；
原式，
．
6.若为整数，试说明能被整除．
【答案】解：．
因为是整数，所以能被整除，即能被整除．
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.在进一步巩固所学知识的同时去发现问题，以便弥补知识的漏洞.
（五）课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.公式法分解因式的定义是什么？
3.平方差公式法和完全平方公式法用字母怎么表示？
设计意图：让学生自己小结，活跃了课堂气氛，做到全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达能力.

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