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第八章 整式乘法与因式分解
8.4 因式分解
8.4.3 因式分解方法的综合运用
1. 能够熟练掌握提公因式法和公式法(平方差公式、完全平方公式)进行因式分解，提高因式分解的综合运用能力；
2.理解并掌握运用分组分解法分解因式的一般步骤并解决问题；
3. 了解并掌握x2+(p+q)x+pq型式子进行因式分解的方法；
4.经历观察、分析、探究等过程，发展学生的逻辑思维和逆向思维能力.
重点：进一步熟悉用提公因式法和公式法分解因式，能根据不同题目的特点选择较合理的分解因式的方法；
难点：能综合运用提公因式法和完全平方公式，利用分组和十字相乘法对多项式进行因式分解.
（一）创设情境
回顾：问题1：填一填：
(1) ma+mb= .
(2) (a+2)2-1= .
(3)1+6x+9x2= .
问题2：我们学过的关于因式分解的方法有哪些
师生活动：教师在黑板上写出三个多项式，提问学生如何对这三个多项式进行因式分解。引导学生回顾提公因式法和公式法的基本步骤和要点。
预设答案：1. (1) ma+mb=m(a+b)
(2) (a+2)2-1=(a+3)(a+1)
(3)1+6x+9x2=(1+3x)2
2：方法一：提公因式法；
方法二：运用公式法：两项——平方差公式
三项——完全平方公式
追问：那么，四项或大于四项的该怎么分解
设计意图：通过简单的多项式因式分解回顾，唤起学生已有的知识经验，为后续综合运用两种方法进行因式分解做好铺垫，同时也能了解学生对旧知识的掌握程度，以便及时调整教学进度和方法。
（二）探究新知
任务一 探究提公因式法与公式法的综合应用
思考：把下列多项式分解因式：
(1)ab2-ac2； (2)3ax2+24axy+48ay2.
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
师生活动：教师提出问题，小组交流合作，思考并积极回答问题。.教师强调在综合运用时，要先观察多项式各项是否有公因式，提取公因式后再看剩余部分是否符合公式法的形式，要分解到不能再分解为止。
分析：(1)中有公因式a，应先提出公因式，再利用平方差公式进行分解.
(2)中有公因式3a，应先提出公因式，再利用完全平方公式进行分解.
预设答案：
解：(1) ab2-ac2
=a(b2-c2)
=a(b+c)(b-c)
(2) 3ax2+24axy+48ay2
=3a(x2+8xy+16y2)
=3a(x+4y)2
总结：分解因式时，一般有公因式先用提公因式法进行分解，然后再用公式法最后进行检查.
设计意图：通过详细的例题讲解，让学生清楚地了解提公因式法和公式法综合运用的具体步骤和思路，掌握解题的规范和技巧，培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
任务二 探究分组分解法分解因式
思考：把下列各式分解因式：
(1)x2-y2+ax+ay； (2)a2+2ab+b2-c2.
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
师生活动：教师提出问题，学生小组交流合作，思考并回答问题，教师顺势引出本课知识点的探究.在老师的指导下，完善学生对多项式分组特征的相关描述并得出结论，同时学生对于进行因式分解的步骤进行总结和归纳.
分析：对于式子(1)，通过分组，将前两项利用平方差公式分解，后两项提取公因式，发现它们都有公因式(x+y)，从而继续分解.
对于式子(2)，先将前三项作为一组，看作完全平方形式，然后与第四项构成平方差形式，继续分解.
预设答案：
解：(1)x2-y2+ax+ay
=(x2-y2)+(ax+ay)
=(x+y)(x-y)+a(x+y)
=(x+y)(x-y+a)
总结：若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.
(2)a2+2ab+b2-c2
=(a2+2ab+b2)-c2
=(a+b)2-c2
=(a+b+c)(a+b-c)
总结：因式分解有时需先分组,再利用提公因式法或公式法进行分解.
归纳：因式分解的一般步骤：
设计意图：通过观察，引导学生进一步思考，发现不能直接利用以前学过的知识进行分解因式的，可以先分组再利用提取公因式法和公式法分解因式，发展学生的发散思维能力.
任务三 探究拆项、十字相乘法分解因式
思考：在因式分解中，有些多项式看似不能分解，如果将某项拆成两项或多项，就可以进行因式分解.利用这个方法你会把x2+4x+3分解因式吗？
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
师生活动：教师先讲解拆项分解因式的方法，然后提出问题，学生小组交流合作，思考并回答问题.最后教师详细讲解每一步的依据和目的，边讲解边在黑板上板书.
分析：方法一：拆分常数项，把3变成(4-1)，这个二次三项式可以变形为x2+4x+4-1，再利用公式法进行分解.
预设答案：解：x2+4x+3
=(x2+4x+4)-1
=(x+2)2-1
=(x+2+1)(x+2-1)
=(x+3)(x+1)
分析：方法二：拆分一次项，把4x拆分成(3x+x)，这个二次三项式可以变形为x2+3x+x+3，再利用提公因式法法进行分解.
预设答案：解：x2+4x+3
=x2+3x+x+3
=x(x+3)+(x+3)
=(x+3)(x+1)
设计意图：通过具体的例子，详细地向学生展示拆项因式分解的全过程，让学理解拆项的思路和方法，明白如何通过拆项、分组、运用公式等步骤将一个复杂的多项式进行因式分解，培养学生的逻辑思维能力和运算能力.
思考：计算：
(x+2)(x+3)= . (x+2)(x-3)= .
(x-2)(x+3)= . (x-2)(x-3)= .
观察上面等式，有什么特点？
合作探究：
1.小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间3分钟.
师生活动：教师提出问题，学生思考并举手回答问题，然后小组讨论交流这些等式的特点，并挑选一名代表展示小组讨论结果.
预设答案：(x+2)(x+3)= x +5x+6 (x+2)(x-3)= x x6
(x-2)(x+3)= x +x6 (x-2)(x-3)= x 5x+6
特点：(x+a)(x+b)=x +(a+b)x+ab
探究：反过来得到：x +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
利用上式，可以将某些二次项系数为1的二次三项式进行因式分解.这就是十字相乘法.
该类二次三项式，应符合如下特点:
①二次项系数为1.
①常数项ab可以看成a与b两个因数之积；
②这两个因数a与b的和刚好等于一次项的系数.
即，一个二次三项式x +px+q，如果能够把常数项q，分解成两个因数a与b的积ab，且使a+b等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式.即 x +px+q=x +(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
十字相乘法分解因式的步骤：
(1)分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；
(2)分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；
(3)交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
思考：你能利用这个方法把x2+4x+3分解因式吗？
分析：根据十字相乘法的规律可尝试将上述多项式分解因式，这里一次项系数4=1+3，常数项3 =1×3.
预设答案：解：x2+4x+3
=x2+(1+3)x+1×3
=(x+3)(x+1)
提示：1.常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数符号相同.
2.常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数和一次项系数符号相同.
设计意图：通过具体的例子，详细地向学生展示十字相乘法的全过程，让学理解十字相乘法的思路和方法，明白如何通过十字相乘法将一个复杂的多项式进行因式分解，培养学生的逻辑思维能力和运算能力.
（三）应用新知
师生活动：教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例1把下列多项式分解因式：
(1) 16x4-81 ； (2) x4-2x2+1.
分析：(1)中先将16x4看作(4x2)2，81看作92，利用平方差公式进行两次分解即可。
(2)中先将x4看作(x2)2，把式子看作关于x2的二次三项式，符合完全平方公式的形式，分解为(x2-1)2，然后对x2-1利用平方差公式分解，最后得出结果.
预设答案：(1) 16x4-81
=(4x2+9)(4x2-9)
=(4x2+9)(2x+3)(2x-3)
(2) x4-2x2+1
=(x2-1)2
=[(x+1)(x-1)]2
=(x+1)2(x-1)2
提示：因式分解结果不能有大括号和中括号，相同因式的积要写成幂的形式.
设计意图：通过详细的例题讲解，让学生清楚地了解提公因式法和公式法综合运用的具体步骤和思路，掌握解题的规范和技巧，培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
例2 已知a-b=3，b-c=-4，则整式a2-ac-b(a-c)的值为( )
A.-12 B.-4 C.-3 D.3
分析：先将整式a2-ac-b(a-c)进行分组分解因式，然后由已知条件得到a-c=-1，代入计算即可.
解：a2-ac-b(a-c)
=a(ac)-b(a-c)
=(ac)(ab)
因为a-b=3，b-c=-4，所以a-c=-1.
将a-b=3，a-c=-1代入得：(ac)(ab)=1×3=3.故选：C.
预设答案：C.
设计意图：通过例题，了解分组分解因式的基本程序和步骤.运用所学知识解决问题，巩固学生对知识的认识与理解.
例3 无论x、y为任何值时，x2+y2-2x+12y+40的值都是( )
A.正数 B.负数 C.零 D.非负数.
分析：将多项式分组，利用完全平方公式分解因式，写成非负数的和的形式，再判断式子的取值范围即可.
解：x2+y2-2x+12y+40
=(x2-2x+1)+(y2+12y+36)+3
=(x-1)2+(y+6)2+3,
因为(x-1)2≥0，(y+6)2≥0,
所以(x-1)2+(y+6)2+3>0，
即x2+y2-2x+12y+40>0
所以x2+y2-2x+12y+40的值是正数，
故选:A.
预设答案：A.
设计意图：通过例题加深学生对分组分解因式的理解和掌握，让学生在教师的引导下，逐步学会独立分析式子的结果特点，选择合适的分组方法进行因式分解，提高学生解决问题的能力.
例4 把x2+7x+10分解因式.
分析：对于二次三项式x +px+q，要找到两个数a和b，使得a+b=p且ab=q.
常数项：10=2×5；一次项系数：7=2+5
预设答案：解：x2+7x+10=(x+2)(x+5)
设计意图：通过典型例题的讲解，让学生进一步巩固十字相乘法分解因式在数学中的应用.体会十字相乘法因式分解解决相关问题的简便性.
（四）巩固新知
1.把多项式因式分解成，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，由题意，得，可得．
2.分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了，分解的结果是，那么分解因式正确的结果是 。
【答案】
【解析】解：分解因式：，甲看错了的值，分解的结果是，
中，是正确的，
乙看错了的值，分解的结果是，
中是正确的，
是，分解因式后为
故答案为．
3.把下列各式分解因式：
．
【答案】解：
．
．
4.用简便方法计算：
．．
．
【答案】．．

5.已知，，是的三条边长，且，试判断的形状．
【答案】解：因为，
所以，
提公因式，得，
即．
因为，
所以，
解得，即，
所以为等腰三角形．
6.已知，求的值．
【答案】解：因为，
所以，
即，
，，
当，时，
．
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.在进一步巩固所学知识的同时去发现问题，以便弥补知识的漏洞.
（五）课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.因式分解的一般步骤是什么？
3.对于x2+(p+q)x+pq型式子的因式该怎么分解？
设计意图：让学生自己小结，活跃了课堂气氛，做到全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达能力.

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