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初一数学第七周提优讲义
（复习：第7～9章+二元一次方程组）
20250327
一、单选题（6题，共18分）
1．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　 　）
A． B． C． D．
2．若多项式9x2－kx＋4是某一个关于x的一次二项式的完全平方，则k的值为（ ）
A．6 B．±6 C．±12 D．－12
3．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“奇妙数”．下列数中为“奇妙数”的是（　 　）
A．808 B．606 C．505 D．202
4．已知a2+b2+c2＝2a4b+6c14，则（ab）c的值是（　　 ）
A．4 B．4 C．8 D．8
5．如图，C是AB上一点，分别以AC、BC为边作正方形ACDE与
正方形BCFG，连接CG、DG．已知，△CDG的面积为，
则正方形ACDE与正方形BCFG的面积的和为（ 　　）
A． B．
C．22 D．13
6．“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（10题，共30分）
9．若am＝9，an＝8，ak＝4，则am﹣n+2k的值为 ．
10．已知代数式(ax－3)(2x＋4)－x2化简后，不含x2项，则a的值为　 　．
11．二元一次方程3x＋2y＝7的正整数解为 ．
12．计算：（－0．125）2023×22022×42021＝ 　 　．
13．已知关于x、y的方程组的解满足，则k= ．
14．已知（m+n+3）（m+n3）＝16，那么m+n的值为 　 　．
15．如果x22x1＝0，那么x412x+5的值为 ．
16．如图1，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图2，若∠DEF=72°，则∠GMN的度数为 ．
图1 图2
17．如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为10，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2、图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积　 　．
18．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当t的值为 　时，CD与AB平行．
第17题图 第18题图
三、解答题（8题，共62分）
19．（6分）先化简再求值：（m2）2（n+2）（n2）m（m1），其中m2+6m+9+|n1|＝0．
20．（5分）如图，在数学活动课中，小明剪了一张三角形ABC的纸片，他将三角形ABC沿BC的垂直平分线翻折，折痕DE交AC于点D，交BC于点E．
（1）请作出折痕DE；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接BD，若AB＝5，AC＝7，则△ABD的周长为 ．
21．（4+6分）（1）关于x，y的方程组与方程组有相同的解，
求mn的值．
（2）在解方程组时，甲由于粗心看错了方程组中的a，求出方程组的解为，乙看
错了方程组中的b，求得方程组的解为，
① 求出a、b的值； ② 求出原方程组的正确解．
22．（8分）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：
（a，b） （c，d）＝a2+d2bc．例如：（1，2） （3，4）＝12+422×3＝11．
（1）若（2x，kx） （y，y）是一个完全平方式，求常数k的值：
（2）若2x+y＝12，且（3x+y，2x2+3y2） （3，x3y）＝104，求xy的值：
（3）在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边
CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG．若AB＝2x，BC＝8x，CE＝y，CG＝4y，求图中阴影部
分的面积．
23．（8分）某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安
装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
24．（7分）王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代
数式x2+4x+5的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法：
x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1因为（x+2）2≥0，
所以当x＝2时，（x+2）2的值最小，最小值是0．
所以（x+2）2+1≥1．
所以当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
所以x2+4x+5的最小值是1．
依据上述方法，解决下列问题
（1）当x＝　 　时，x2+6x15有最小值是　 　．
（2）多项式x2+2x+18有最　 　 （填“大”或“小”）值，该值为 　 　．
（3）已知x2+5x+y+20＝0，求y+x的最值．
25．（8分）已知关于x、y的方程组．
（1）若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值．
（2）当m每取一个值时，2x2y＋mx＝8就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个
公共解吗？
（3）如果方程组有整数解，求整数m的值．
26．（10分）将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
图1 图2 图3
（1）若三角板如图1摆放时，则∠α＝　 　，∠β＝　 ．
（2）现固定△ABC的位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，DF
与PQ交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线交于点H，求∠GHF的度数；
（3）现固定△DEF，将△ABC绕点A顺时针旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与
△DEF的一条边平行时，请直接写出∠BAM的度数．
∴，
∴正方形ACDE与正方形BCFG的面积的和为，
故选：B．
6．“换元法”是解决数学问题的重要思想方法，若方程组的解是，则方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：方程组变形为：，
∵方程组的解是，
∴
3（x+1）＝12，﹣2y＝16，
x＝3，y＝﹣8，
∴方程组的解为：，
故选：D．
二．填空题（共6小题）
7.若am＝9，an＝8，ak＝4，则am﹣n+2k的值为 18 .
【解答】解：am﹣n+2k=am÷an×ak×ak=9÷8×16=18
8．已知代数式（ax﹣3）（2x+4）﹣x2化简后，不含x2项，则a的值为 　　 ．
【解答】解：（ax﹣3）（2x+4）﹣x2
＝2ax2﹣6x+4ax﹣12﹣x2
＝（2a﹣1）x2+（4a﹣6）x﹣12，
∵代数式（ax﹣3）（2x+4）﹣x2化简后，不含x2项，
∴2a﹣1＝0，
∴．
故答案为：．
9．二元一次方程3x+2y＝7的正整数解是　x＝1，y＝2　 ．
【解答】解：∵3x+2y＝7，
∴y，
∵要求的是正整数解，
∴x＝1，或x＝2，
∴当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y，此时y不是正整数，故不符合题意．
故答案为：x＝1，y＝2．
10.计算：（－0.125）2023×22022×42021＝ 　 － 　．
【解答】解：（－0.125）2023×22022×42021＝ （－0.125×2×4）2021××2=－
11.已知关于x、y的方程组的解满足，则k= 8 .
【解答】解：由题意可得：x+2y+2x+y=k+1
∴k+1=3（x+y）=9
∴k=8
12．已知（m+n+3）（m+n﹣3）＝16，那么m+n的值为 　±5　 ．
【解答】解：令a＝m+n，由题意可得：（a+3）（a﹣3）＝16，∴a2﹣9＝16，∴a2＝25，∴a＝±5，
即m+n＝±5，
故答案为：±5．
13.如果x22x1＝0，那么x412x+5的值为 10 .
【解答】解：由题意可得：x2＝2x+1
∴x4＝（2x+1）2=4x2+4x+1
∴x412x+5==4x28x+6=4（x22x）+6=4+6=10
14．如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝　72　 °．
【解答】解：∵AD∥CB，
∴∠EFC+∠DEF＝180°，∠EFB＝∠DEF，
即∠EFC＝180°﹣72°＝108°，∠EFB＝72°，
∴∠BFH＝108°﹣72°＝36°．
∵∠H＝∠D＝90°，
∴∠HMF＝180°﹣90°﹣36°＝54°．
由折叠可得：∠NMF＝∠HMF＝54°，
∴∠GMN＝72°．
故答案为：72．
15．如图，有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形A、B并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为10，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造如图3的新正方形，（图2，图3中正方形A、B纸片均无重叠部分）则图3中阴影部分的面积 　22　 ．
【解答】解：设正方形纸片A的边长为a，正方形纸片B的边长为b．
由题意得，a2﹣b2＝2，（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab＝10．
∴图3中阴影部分的面积为（2a+b）2﹣3a2﹣2b2＝a2﹣b2+4ab＝2+20＝22．
故答案为：22．
16．如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF＝110°，CD与AB在直线EF异侧．若∠DCF＝60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线CD转动一周的时间内，当时间t的值为 　2秒或38秒　 时，CD与AB平行．
【解答】解：分三种情况：
如图①，AB与CD在EF的两侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠ACD＝180°﹣60°﹣（6t）°＝120°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAF，
即120°﹣（6t）°＝110°﹣t°，
解得t＝2；
此时（180°﹣60°）÷6＝20，
∴0＜t＜20；
②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
∴∠DCF＝360°﹣（6t）°﹣60°＝300°﹣（6t）°，∠BAC＝110°﹣t°，
要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，
即300°﹣（6t）°＝110°﹣t°，
解得t＝38，
此时（360°﹣60°）÷6＝50，
∴20＜t＜50；
③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，
∵∠BAF＝110°，∠DCF＝60°，
（2）若2x+y＝12，且（3x+y，2x2+3y2） （3，x﹣3y）＝104，求xy的值：
（3）在（2）的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF、EG．若AB＝2x，BC＝8x，CE＝y，CG＝4y，求图中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）（2x）2+y2﹣kx y
＝4x2﹣kxy+y2，
∵4x2﹣kxy+y2是一个完全平方式，
∴k＝±4；
（2）（3x+y）2+（x﹣3y）2﹣3（2x2+3y2），
＝9x2+6xy+y2+x2﹣6xy+9y2﹣6x2﹣9y2
＝4x2+y2
＝（2x+y）2﹣4xy
＝104，
∵2x+y＝12，
∴122﹣4xy＝104
∴xy＝10；
（3）S△BDC 2x 8x＝8x2，
S△BGF（8x﹣4y） y
＝4x﹣2y2，
S△DEF 4y （2x﹣y）
＝4xy﹣2y2，
S△GEC 4y y＝2y2，
∴S阴＝8x2﹣（4xy﹣2y2）﹣（4xy﹣2y2）﹣2y2
＝2（4x2﹣4xy+y2）
＝2[（2x+y）2﹣8xy]
＝2（144﹣8×10）
＝128．
21．某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
【解答】解：（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，新工人每月分别安装y辆电动汽车，
根据题意得，
解之得．
答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，新工人每月分别安装2辆电动汽车；
（2）设调熟练工m人，
由题意得，12（4m+2n）＝240，
整理得，n＝10﹣2m，
∵0＜n＜10，
∴当m＝1，2，3，4时，n＝8，6，4，2，
即：①调熟练工1人，新工人8人；②调熟练工2人，新工人6人；③调熟练工3人，新工人4人；④调熟练工4人，新工人2人．
22．王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式x2+4x+5的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法：
x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1因为（x+2）2≥0，
所以当x＝2时，（x+2）2的值最小，最小值是0．
所以（x+2）2+1≥1．
所以当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
所以x2+4x+5的最小值是1．
依据上述方法，解决下列问题
（1）当x＝　 3 　时，x2+6x15有最小值是　 24 　.
（2）多项式x2+2x+18有最　 大 　（填“大”或“小”）值，该值为 　 19 　.
（3）已知x2+5x+y+20＝0，求y+x的最值.
【解答】解：（1）∵x2+6x15＝（x+3）224，∴当x＝3时，有最小值24；
（2）∵x2+2x+18＝（x1）2+19，∴当x＝1时有最大值19；
（3）∵x2+5x+y+20＝0，∴y＝x25x20
∴x+y＝x24x20＝（x﹣2）2﹣16，
∵（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2﹣16≥﹣16，
∴当x＝2时，y+x的最小值为﹣16．
23．已知关于x、y的方程组．
（1）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值．
（2）当m每取一个值时，2x﹣2y+mx＝8就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解吗？
（3）如果方程组有整数解，求整数m的解．
【解答】解：（1）将x+2y＝6记作①，x+y＝0记作②．由②，得x＝﹣y．
将x＝﹣y代入①，得﹣y+2y＝6．解得y＝6．∴x＝﹣6．
∴2×（﹣6）﹣2×6+mx＝8．解得，m．
（2）2x﹣2y+mx＝8变形得：（2+m）x﹣2y＝8，令x＝0，得y＝﹣4，
∴无论m取如何值，都是方程2x﹣2y+mx＝8的解，
∴公共解为；
（3），①+②得，3x+mx＝14，∴x，
∵方程组有整数解，且m是整数，
∴3+m＝±1，3+m＝±2，3+m＝±7，3+m＝±14，
∴m＝﹣2或﹣4；m＝﹣1或﹣5；m＝4或﹣10；m＝11或﹣17．
此时m＝﹣1，﹣2，﹣4，﹣5，﹣17，4，11．
当m＝﹣1时，x＝7，y，不符合题意；
当m＝﹣2时，x＝14，y＝﹣4，符合题意；
当m＝﹣4时，x＝﹣14，y＝10，符合题意；
当m＝﹣5时，x＝﹣7，y，不符合题意，
当m＝﹣10时，x＝﹣2，y＝4，符合题意，
当m＝﹣17时，x＝﹣1，y，不符合题意；
当m＝4时，x＝2，y＝2，符合题意，
当m＝11时，x＝1，y，不符合题意，
综上，整数m的值为﹣2或﹣4或﹣10或4．
24．将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°．
（1）若三角板如图1摆放时，则∠α＝　15°　 ，∠β＝　150°　 ．
（2）现固定三角形ABC的位置不变，将三角形DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，

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