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第八章 整式乘法
8.1 单项式乘单项式
本节课《单项式乘单项式》是苏科版初中数学七年级下册第八章第一节，它是初中数学代数部分的重要内容，具有承上启下的重要作用．在此之前，学生已经学习了单项式的概念以及有理数的乘法运算，这些知识为单项式乘单项式的学习奠定了基础．
本课教材通过引入具体的实例，引导学生观察、归纳单项式乘单项式的法则．例如，通过计算简单的单项式相乘，让学生发现系数相乘、相同字母的指数相加等规律．这种由具体到抽象的呈现方式，符合学生的认知规律，有助于学生更好地理解和掌握这一知识点．此外，教材注重引导学生自主探究，通过小组讨论、合作交流等方式，让学生在实践中发现规律、总结法则．关注学生对运算律的理解和运用，帮助学生建立良好的代数思维．通过学习单项式乘单项式，学生不仅能够掌握具体的运算方法，还能培养符号意识和运算能力，提升数学核心素养．
学生在学习《单项式乘单项式》之前，已具备了一定的数学基础，如掌握了单项式的概念以及有理数的乘法运算规则．但是，学生在从具体数字运算过渡到代数符号运算时可能会出现困难，尤其是对字母表示数的理解还不够深入，容易在相同字母指数相加等细节上出错．因此，在教学中需要通过具体实例引导学生逐步理解单项式乘单项式的法则，并加强练习，帮助学生巩固知识，提高运算能力．
1.会正确地用单项式乘单项式运算法则进行计算，并知道每一步运算的依据，提高数学表达能力.
2. 经历探索单项式乘单项式运算法则的过程，理解单项式乘单项式运算的算理，发展有条理的思考及语言表达能力.
3.熟练运用单项式乘单项式法则进行计算，提高学生的运算能力.
4.经历从生活情境中抽象出数学问题，体会数学与生活的紧密联系，培养学生代数运算和解决实际问题的能力.
重点：熟练运用单项式乘单项式法则进行计算，提高学生的运算能力.
难点：经历探索单项式乘单项式运算法则的过程，理解单项式乘单项式运算的算理，发展有条理的思考及语言表达能力.
本章引入
师生活动：教师带领学生研究图形面积计算的不同算法，通过章头图，与学生共同感受，整式是代数式的一种基本形式. 本章将在幂的运算和整式加减运算的基础上学习整式乘法. 学习整式乘法时，可以类比数的乘法. 与数的乘法一样，整式乘法也满足交换律、结合律和分配律. 整式运算是数学运算的基础，是代数学习的基本功，我们需要掌握整式运算的法则，理解整式运算的过程，熟练地进行整式运算. 本章我们将学习整式乘法运算，培养学生数学运算的核心素养．
设计意图：让学生对本章有一个初步的感知，有利于激发学生的学习兴趣，学生在头脑中建立全章的思维导图，形成体系．
情境导入
如图，几块型号相同的液晶屏拼接在一起组成“电视墙”，如何计算这块“电视墙”的面积？
答：如果把“电视墙”看成一个大长方形，那么它的长为 3a ，宽为 3b ，面积为 3a·3b .
如果把“电视墙”看成是由9个小长方形组成的，那么它的面积为 9ab .
师追问：你发现了什么？
答：3a·3b = 9ab
师生活动：从整体和部分两个角度进行思考：如果把“电视墙”看成一个大长方形；如果把“电视墙”看成是由9个小长方形，激发学生深度思考，学生代表回答．
设计意图：通过情境创设，让学生感悟数学来源于生活并应用于生活的辩证思想，锻炼学生的独立思考能力，为得到单项式乘单项式的法则埋下伏笔．
新知探究
活动一：探究单项式乘单项式的法则
课件出示：
师小结：1.一般地，可以运用乘法交换律、结合律计算两个单项式的乘积.
2.字母像数一样进行运算.
问题：计算下列各式，并说明理由：
（1）2a2b 3ab2 ； （2）4ab2 5b； （3） 6x3 (－2x2y2).
答：（1）2a2b 3ab2
＝2×3 a2 a b b2 （乘法交换律）
＝（2×3） （a2 a） （b b2）（乘法结合律）
＝6a3b3；（同底数幂的运算性质）
师追问：你能用语言描述单项式乘以单项式的计算过程吗？
答：系数相乘，相同字母的幂相乘.
（2）4ab2 5b
＝4×5 b2 b a（乘法交换律）
＝(4×5) (b2 b) a（乘法结合律）
＝20ab3； （同底数幂的运算性质）
（3）6x3 (－2x2y2)
＝6×(－2) x3 x2 y2（乘法交换律）
＝[6×(－2)] ( x3 x2) y2（乘法结合律）
＝－12x5y2.（同底数幂的运算性质）
师追问：如果只在一个单项式里含有字母时，单项式乘单项式要怎么计算？
师生活动：计算部分，学生答，教师板书．理由部分，学生同桌交流后集体口答.
设计意图：让学生在探索单项式乘单项式运算法则的过程，理解单项式乘单项式运算的算理，发展学生的代数推理能力.
活动二：单项式乘单项式的法则
单项式乘单项式的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘.对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
师小结：单项式乘单项式运算的注意点：
1.在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；
2.按顺序运算，有乘方，先算乘方，再算单项式相乘；
3.积的字母部分不要落下只在一个单项式里含有的字母因式
4.单项式乘单项式的结果仍为________.（单项式）
师生活动：师生共同完成，互动交流．
设计意图：在多次探究的基础上引导学生自己发现、总结单项式乘单项式的法则，提高学生的观察分析归纳新知的能力，培养学生善于思考的良好习惯．另外，让学生自己动手，主动探索， 在自己的实践中获得单项式乘单项式的法则，从而构建新的知识体系．
问题：判断下列计算是否正确，如有错误，请改正 .
（1）4a2 2a4 = 8a8； ( ) （2）6a3 5a2=11a5； ( )
(－7a) (－3a3) = －21a4； ( ) （4）3a2b 4a3=12a5． ( )
答：（1）×，8a6； （2）×，30a5 ； (3)×，21a4 ； （4）×，12a5b．
师生活动：学生独立完成，师生共同校对答案．
设计意图：在归纳出单项式乘单项式的法则之后，提出注意点，并针对这些容易出错的点特意设置判断题进行辨析，有助于学生正确掌握单项式乘单项式的法则，从而为他们能熟练应用单项式乘单项式法则打好坚实的基础．
应用新知
例1 计算:（1）a2 ( 6ab) ； (2) ( 2x)3 ( 3xy2)．
答： （1）a2 ( 6ab)=[×( 6)] (a2 a) b= 2a3b ；
（2）( 2x)3 ( 3xy2)= 8x3 ( 3xy2)= [ 8×( 3)] (x3 x) y2= 24x4y2．
师小结：单项式乘单项式，也可以先确定积的符号，再进行运算．
师生活动：学生先独立思考，然后指定学生板演，集体交流．
设计意图：通过例题讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思考的习惯，提升学生计算能力．让学生理解运用单项式乘单项式的法则．并注意：有的题型要先用积的乘方公式，然后再用单项式乘单项式法则．
变式 如何计算2x ( 3xy) (2xyz)2？
答：2x ( 3xy) (2xyz)2= 2x 3xy 4x2y2z2= 2×3×4 （x xy x2y2z2）= 24x4y3z2．
师小结：推广： 单项式乘单项式法则对于多个单项式相乘仍然成立.
例2 计算 ：(1)(－2ab)2 (－a3c2) 2a2b ； (2)(a－b)3 [－3(a－b)]2 [－(a－b)]．
答：（1）(－2ab)2 (－a3c2) 2a2b= 4a2b2 (－a3c2) 2a2b=[4×(－）×2] （a2b2 a3c2 a2b）=－2a7b3c2 ；
（2）(a－b)3 [－3(a－b)]2 [－(a－b)]=(a－b)3 9(a－b)2 [－(a－b)]=[9×（－）] [(a－b)3 (a－b)2 (a－b)]=－6(a－b)6．（师引导学生把a－b看成一个整体）
师生活动：教师板演示范，学生模仿．
设计意图：通过变式和例题讲解，让学生了解并掌握单项式乘单项式法则拓展三个或三个以上的单项式相乘，注意例2的第2小问应用了整体思想．
例3 计算如图所示图形阴影部分的面积．
答： （2a+2a×3) (1.5a+2.5a)－(2a+2a) 2.5a= 8a 4a－4a 2.5a= 32a2－10a2= 22a2．
师生活动：学生小组交流讨论，模仿．
设计意图：通过例题讲解，帮助学生认识到单项式乘单项式法则在现实生活中的应用价值，数形结合，培养学生的分析和解决问题的能力，同时加深对法则的理解．
课堂练习
1. 计算:
（1）0.25a2 8a ； （2）a3b2 (－abc)；
（3）2a2bc (－ab)； （4）－0.1abc 10ab2c；
（5）(－x2)2 (2xy2)2； （6）－8a2b (－ab2) b2．
2. 一个正方体的棱长是1.5a，求它的表面积和体积．
答：1.解：（1）0.25a2·8a=(0.25×8)·(a2·a)=2a3；
a3b2 (－abc)=[×(－)] （a3 a) (b2 b) c=－a4b3c；
2a2bc (－ab)=[2×(－)] （a2 a) (b b) c=－a3b2c；
－0.1abc·10ab2c=(－0.1×10)·(a·a)·(b·b2)·(c·c)=－a2b3c2；
（5）(－x2)2·(2xy2)2=x4·4x2y4=4·(x4·x2)·y4=4x6y4；
（6）－8a2b (－ab2) b2=[－8×(－1)× ]·(a2·a)·(b·b2)=2a3b5.
2. S = 6×(1.5a)2= 6×2.25a2= 13.5a2；
V = (1.5a)3= 1.53×a3= 3.375a3.
答：它的表面积为13.5a2，体积为3.375a3.
限时训练
1.下列计算，不正确的是 （ 　 ）
A.（－3a2b） （－2ab2）＝6a3b3；　　　　 　B.（a－b）2 （b－a）＝（b－a）3；　　　 　
C.（－x）3 （xy）2＝－x5y2； D.（－2x2y3） （6x2y）3＝－12x8y6.
2.已知单项式3x2y3与－2xy2的积为mx3yn ,那么m－n 的值为（　　）
A．－11； B．5； C．1； D．－1.
3.计算:（1）3x2 5x3； (2) 4y (－2xy2) ；
(3) (－x)3 (x2y)2； (4)(－2xy)2·(－x3z2)·2x2y .
答：1. D. 2. A.
（1）原式= (3×5) ·(x2·x3)= 15x5；
[4× (－2)]·(y·y2)·x =－8xy3；
原式=－x3 x4y2=－x7y2；
(－2xy)2·(－x3z2)·2x2y=[(－2)×(－)×2]·(x2y2·x3z2·x2y）=－2x7y3z2 .
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
本课通过引入一个实际问题——“电视墙”来吸引学生的注意力，这种情境创设有助于学生理解数学知识在现实生活中的应用，激发他们的学习兴趣，引导学生自主思考，让学生自己发现问题与同底数幂乘法之间的联系，以增强学生探究和解决问题的能力.
通过具体实例引入单项式乘单项式，在此基础上，教师可以引导学生通过归纳法总结出单项式乘单项式的法则，通过小组讨论和合作探究，学生可以进一步深化对这一法则的理解和应用.最后，通过设计多样化的练习题，帮助学生巩固所学知识，并在实际问题中应用，从而实现知识的建构与应用，加深学生对知识的理解.
本课时选择了一些典型的单项式乘单项式的例子，通过逐步分析和解答，帮助学生理解并掌握解题方法.学生在解题时容易忽略系数和指数的变化，因此应该更多地让学生自己尝试解题，而不是仅仅依赖于老师的讲解，从而提高学生的独立解题能力.

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