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第八章 整式乘法
8.2单项式乘多项式
本节课《单项式乘多项式》是初中数学代数部分的重要内容，它在数学知识体系中起着承上启下的作用，它是整式运算的基础，学生在之前已经学习了单项式与单项式的乘法，掌握了乘法分配律等基本运算律，而单项式乘多项式是将这些知识进行拓展和深化．通过学习单项式与多项式的乘法，学生能够更好地掌握整式的运算规律，为后续学习多项式乘多项式、因式分解以及更复杂的代数式运算奠定坚实的基础．
教材首先通过生活中的实际情境，如计算长方形窗户的面积等，引出单项式与多项式相乘的必要性，激发学生的学习兴趣和探究欲望．接着，教材通过逐步引导学生观察、分析和归纳，帮助学生理解单项式乘多项式的运算法则．这种由浅入深、循序渐进的编排方式，符合学生的认知规律，有助于学生更好地理解和掌握知识．同时，教材还配备了丰富的例题和练习题，涵盖了不同难度层次和题型，既可以帮助学生巩固所学知识，又能够培养学生的运算能力和思维能力．
学生在学习《单项式乘多项式》之前已经掌握了单项式与单项式的乘法运算，对乘法分配律也有一定了解，这为学习本节课奠定了基础．但是，部分学生可能会在运用乘法分配律时出现遗漏项或符号错误等问题．他们对字母表示数的理解还不够深刻，容易在计算过程中混淆变量和系数．因此，在教学中要帮助学生巩固乘法分配律的应用，强化对单项式与多项式相乘的结构特征的理解，逐步提高他们的运算能力和符号意识．
1. 经历探索单项式乘多项式运算法则的过程，理解单项式乘多项式运算的算理，发展有条理的思考及语言表达能力.
2.掌握单项式乘多项式法则，并能地熟练运用其进行计算，提高学生的运算能力.
3.经历从生活情境中抽象出数学问题，体会数学与生活的紧密联系，培养学生代数运算和解决实际问题的能力.
重点：掌握单项式乘多项式法则，并能地熟练运用其进行计算
难点：经历探索单项式乘多项式运算法则的过程，理解单项式乘多项式运算的算理，发展有条理的思考及语言表达能力.
情境导入
如图，为了改善采光效果，将窗户的宽度增加．改装后窗户的采光面积为多少
思考：你能用哪几种方法表示改装后窗户的采光面积呢？
追问：（1）如果把改装后的窗户看成一个大长方形，那么它的长为 ，宽为 ，面积为 . （a＋b ，c， c(a＋b).）
如果把改装后的窗户看作两个小长方形，那么它的面积为 .（ca＋cb.）
思考：两种不同的表示面积的代数式之间有什么关系呢？
答： c(a＋b)=ca＋cb
追问：观察一下这个等式：c(a＋b)=ca＋cb你能用学过的知识来解释一下呢？
答：
继续追问：类比单项式乘单项式，说说这是什么运算？
答：单项式乘多项式.
师生活动：学生独立思考，然后指定学生回答.
设计意图：通过情境创设，让学生感悟数学来源于生活并应用于生活的辩证思想，锻炼学生的独立思考能力，通过“算两次”为得到单项式乘多项式的法则埋下伏笔．
新知探究
活动一：探究单项式乘多项式的法则
问题：计算下列各式，并说明理由：
a (5a+3b ) ；（2）(x－2y) 2x.
答：（1）a (5a+3b )
= a 5a+a 3b（乘法分配律）
=5a2 +3ab ；（单项式乘单项式的法则）
（2）(x－2y) 2x
=x 2x－2y 2x（乘法分配律）
=2x2－4xy.（单项式乘单项式的法则）
追问：从上面的计算，谁来说一说单项式乘多项式怎么计算呢？
师小结：
单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
师生活动：学生先独立思考，然后师指定学生回答，师给与适当的评价．
设计意图：在探究的基础上引导学生自己发现、总结单项式乘多项式的法则，提高学生的观察分析归纳新知的能力，培养学生善于思考的良好习惯．另外，让学生自己动手，主动探索， 在自己的实践中获得单项式乘多项式的法则，从而构建新的知识体系．
活动二：单项式乘多项式运算的注意事项
问题：下面的计算是否正确？如果有错误，请改正.
(1) 3a (4a2－1) = 7a3－3a； ( ) (2)－2x2 (3x3+4) =－6x5+8x2 ； ( )
(3)－4x (x－3y－1) =－4x2 +12xy； ( ) (4) 5－a(b－2) = 5－ab－2a. ( )
答：（1）×，12a3－3a； （2）×，－6x5－8x2 ； (3)×，－4x2 +12xy+4x；
（4）×， 5－ab+2a.
师小结：单项式乘多项式运算的注意事项：
1.非零单项式乘多项式的结果仍是多项式.
2.积的项数与原多项式的项数相同；
3.注意符号：多项式的每一项都包括前面的符号，还要注意单项式的符
号，从而正确地确定积的符号；
4.不要出现漏乘现象，尤其是1和-1.
师生活动：学生独立完成，师生共同校对答案．
设计意图：在归纳出单项式乘单项式的法则之后，通过一道题目提示学生在进行多项式运算时的易错点，并针对这些容易出错的点特意设置判断题进行辨析，有助于学生正确掌握单项式乘多项式的法则，从而为他们能熟练应用法则打好坚实的基础．
应用新知
例1 计算:（1）(－3x2) (4x－3)； （2）(ab2－3ab) ab .
答： （1）(－3x2) (4x－3)=(－3x2) 4x＋(－3x2) (－3)=－12x3+9x2；
（2）(ab2－3ab) ab=ab2 ab＋(－3ab) ab=a2b3－a2b2.
师生活动：学生先独立解答，指定学生板演，师给与适当的评价.
设计意图：通过例题讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思考的习惯，提升学生计算能力．让学生熟练运用单项式乘多项式的法则进行计算．
例2 如图，在长方形地块上建造住宅、广场、商场，计算这块地的面积．
答：解：长方形的长为(3a＋2b)＋(2a－b)、宽为4a.
4a [(3a＋2b)＋(2a－b)]
＝4a (5a＋b)
＝4a 5a＋4a b
＝20a2＋4ab.
答：这块地的面积为20a2＋4ab.
追问：还有其他算法吗
答：解：住宅的面积为4a (3a＋2b)、广场的面积为3a (2a－b)、商场的面积为(4a－3a) (2a－b).
4a (3a＋2b)＋3a (2a－b)＋(4a－3a) (2a－b)
＝12a2＋8ab＋6a2－3ab＋2a2－ab
＝20a2＋4ab.
答：这块地的面积为20a2＋4ab.
师生活动：学生小组交流讨论，然后指定学生汇报.
设计意图：通过例题讲解，帮助学生认识到单项式乘多项式法则在现实生活中的应用价值，数形结合，培养学生的分析和解决问题的能力，同时加深对单项式乘多项式法则的理解．
例3 已知：xy2 =－2，求x4y8＋xy(3x2y5－5y)的值.
答：x4y8＋xy(3x2y5－5y)=x4y8＋xy 3x2y5＋xy (－5y)= (xy2)4＋3x3y6－5xy2=(xy2)4＋3(xy2)3－5xy2。
当xy2 =－2时，原式= (－2)4＋3×(－2)3－5×(－2)=2．
师生活动：学生先独立思考，完成在练习本上，然后师生共同校对答案．
设计意图：通过例题讲解，帮助学生认识到单项式乘多项式法则在代数运算中的价值，培养学生的分析和解决问题的能力，加深对法则的理解，同时本例题要注意应用“整体思想”．
课堂练习
1. 计算:
（1）(b＋c－13) a; （2）－2xy (3y－2x－1);
（3）－x3y2 (4y＋8xy3); （4）(3a3b－2ab2＋ab3) (－2ab);
（5）x(y－4)＋y(3－x); （6）a(a2－ab＋b2)＋b(a2－ab＋b2).
2. 计算图中梯形的面积.
3. 填空：
（1）( ) (3x－4)=3x2－4x; （2）x2 ( )=x3＋2x2.
答：1.（1）原式=b a＋c a－13 a =ab＋ac－13a;
原式= －2xy 3y－(－2xy ) 2x－(－2xy) 1=－6xy2＋4x2y＋2xy;
（3）原式=－x3y2 4y＋(－x3y2) 8xy3 =－2x3y3－4x4y5;
（4）原式=3a3b (－2ab)－2ab2 (－2ab)＋ab3 (－2ab)=－6a4b2＋4a2b3－2a2b4 ;
（5）原式=x y－x 4＋y 3－y x=xy－4x＋3y＋xy=－4x＋3y;
（6）原式=a a2－a ab＋a b2＋b a2－b ab＋b b2 =a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3 =a3＋b3.
解：[x＋(5x－2)] 2x
=(6x－2) 2x
=6x2－2x.
答：梯形的面积为6x2－2x.
3.（1）x ; （2）x＋2.
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
限时训练
1.填空
(1) (______) (－2a＋3b)=4a2b－6ab2 ; (2) ab(a2＋_____＋3)=a3b＋2a2b＋3ab ;
(3) 2ab2(3a2－_____＋_____) = 6a3b2－4a2b3＋10ab4 ;
(4) 2a2b2(_____＋_____－_____)=2a2b2＋8a3b3－16a4b4 .
2.计算：(1)(－3a) (－2a2＋3a－2) ； (2)(5x2y－2x＋1) 4x2y2 .
3.先化简，再求值：3a (2a2－4a＋3)－2a2 (3a＋4)，其中a=－2.
答：1.（1）－2ab； （2）2a； （3）2ab，5b2； （4）1，4ab，8a2b2 .
2.（1）原式= (－3a) (－2a2)＋(－3a) 3a＋(－3a) (－2)=6a3－9a2＋6a；
（2）原式= 5x2y 4x2y2＋(－2x) 4x2y2＋4x2y2=20x4y3－8x3y2＋4x2y2 .
3. 原式=3a 2a2＋3a (－4a)＋3a 3＋(－2a2) 3a＋(－2a2) 4=－20a2＋9a.
当a=－2时，原式=－20×(－2)2＋9×(－2)=－98.
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
本课通过引入一个实际问题——“改装窗户”来吸引学生的注意力，这种情境创设有助于学生理解数学知识在现实生活中的应用，激发他们的学习兴趣.通过具体实例引入单项式乘多项式运算.在此基础上，教师可以引导学生通过归纳法总结出单项式乘多项式的法则，通过小组讨论和合作探究，学生可以进一步深化对这一法则的理解.最后，通过设计多样化的练习题，帮助学生巩固所学知识，并在实际问题中应用，从而实现知识的建构与应用，加深学生对知识的理解.
本课时选择了一些典型的单项式乘多项式的例子，通过逐步分析和解答，帮助学生理解并掌握解题方法.学生在解题时容易忽略系数和指数的变化，因此应该更多地让学生自己尝试解题，而不是仅仅依赖于老师的讲解，从而提高学生的独立解题能力.
通过思维导图和快速回顾的方式，帮助学生巩固本节课的知识点.注重学生的反馈，通过让学生自己总结学到的内容，更好地检测他们对知识的掌握情况，追寻数学本质，力争全体学生正确理解单项式乘多项式的法则形成过程，并规范使用.

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