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第八章 整式乘法
8.4乘法公式
第1课时 完全平方公式
本节课是苏科版初中数学七年级下册第八章第四节第一课时内容，完全平方公式是初中代数的一个重要组成部分，是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法的基础上进行的，完全平方公式的推导是初中数学中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.
本节课通过计算图形面积得出完全平方公式，然后利用多项式乘法法则进行推导，进而理解完全平方公式．通过对完全平方公式可以简化某些整式的运算，为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础.因此，完全平方公式在初中阶段的教学中具有很重要地位.
学生在学习本节课之前，已具备一定的知识基础和学习能力．在本节课开始之前，学生已经学习了整式的概念，整式的加减法、乘法，已经经历了探索和应用的过程，获得了一些基本的活动经验，具备了一定的符号意识、推理能力和几何直观能力，有了一定的数形结合意识．
1.通过求图形的面积了解完全平方公式的几何意义，感知数形结合的思想；
2.会推导完全平方公式，并能运用完全平方公式进行简单的计算；
3.理解完全平方公式的结构特征，并会利用完全平方公式变形进行计算；
4..经历探索完全平方公式的过程，发展学生的符号感和推理能力.
重点：会推导完全平方公式，并能运用完全平方公式进行简单的计算.
难点：理解完全平方公式的结构特征，并会利用完全平方公式变形进行计算．
情境导入
问题：用若干块如下图所示的长方形和正方形的地砖，拼成图3，它的面积是多少？你有哪些不同的算法？
答：方法一：把图3看成是一个边长(a+b)为大正方形，则它的面积S=(a+b)2；
方法二：把图3看成是一个长、宽分别是(a+b)、a和(a+b)、b的2个长方形组成，则它的面积S=a(a+b)+ b(a+b)；
方法三：把图3看成是由2个小正方形和2个小长方形组成，则它的面积S=a2+2ab+b2.．
追问：三种不同表示面积的代数式之间有什么关系呢？
答：(a+b)2=a(a+b)+ b(a+b)= a2+2ab+b2.．
师生活动：学生独立思考，学生代表回答．
设计意图：通过探索图形的面积，发现完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2．这样既让学生对公式有了初步认识，又培养学生的直观想象素养，让学生体会数形结合的思想方法．
探究新知
活动一：探究完全平方公式
问题 请运用所学的知识验证(a+b)2=a2+2ab+b2.．
　　答：
问题 (a b)2=？
答：【方法一】 (a b)2 = (a b)(a b)
= a2 ab ab + b2
= a2 2ab + b2;
【方法二】(a b)2 = [a+( b)]2
= a2+2·a·( b)+( b)2
= a2 2ab +b2．
师生活动：学生独立思考并回答，教师板书．
设计意图：学生通过自己的验证得出完全平方公式，使学生获得成就感．在探索的过程中锻炼学生的归纳能力、语言表达能力．两数差的平方公式的推导让学生一题多解，发散了学生的思维，同时让学生体会类比思想．
活动二：完全平方公式
【完全平方公式】 (a+b)2 = a2+2ab+b2 （两数和的完全平方公式）
(a b)2 = a2 2ab+b2（两数差的完全平方公式）
问题 谁能用文字语言描述完全平方公式吗？
答：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
问题 完全平方公式有什么特点？
答：①等号左边是两个数的和（或差）的平方；
②等号右边是一个二次三项式，其中首末两项分别是两数的平方，中间项是两数积的2倍，其符号与左边的运算符号相同.
师小结：（口诀）首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号与前一个样.
师生活动：师引导学生分析，学生交流、理解、倾听、记忆．
设计意图：通过总结完全平方公式的符号和文字语言，让学生熟练记忆公式，有利于学生正确地利用公式进行计算．此时也让学生对两个公式特点进行讨论归纳，总结得到口诀：首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号与前一个样.
应用新知
例1 用完全平方公式计算：
(1) (5＋3p)2； (2) (2x－7y)2； (3) (－2a－5)2 .
答：(1) 原式= 52＋2·5·3p＋(3p)2
= 25＋30p＋9p2；
(2) 原式= (2x)2－2·2x·7y＋(7y)2
= 4x2－28xy＋49y2；
(3) 原式= (－2a)2＋2·(－2a)·(－5) ＋(－5)2
= 4a2＋20a＋25.
思考：(a+b)2与( a b)2相等吗？
答：相等.理由：( a b)2 = [－(a＋b)]2 = (－1)2·(a＋b)2= (a＋b)2.
师小结：互为相反数的两数平方相等，如：(a+b)2= ( a b)2 ，(a b)2=(b a)2.
(－2a－5)2 = (2a＋5)2= (2a)2＋2·2a·5＋52= 4a2＋20a＋25.
师小结：①计算时，要与完全平方公式对照，明确个是a， 哪个是b.
②完全平方公式中的a、b可是具体数，也可以是单项式或多项式；
③正确使用公式， 不丢项、 不弄错符号、不漏乘2；
④遇到如 ( 2a 5)2时，先变形为(2a＋5)2，再化简会更方便.
例2 用完全平方公式计算：1992.
答：1992= (200 1)2= 2002 2×200×1+12= 40000 400+1= 39601.
师生活动：学生先独立思考，然后指定学生板演，全班交流.
设计意图：通过例1、2讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思考的习惯，提升学生计算能力．让学生理解运用完全平方公式计算时注意事项.
例3 若m＋n＝3，mn＝2，求(m－n)2的值.
答：∵m＋n＝3，∴(m＋n)2＝32，即m2＋2mn＋n2＝9
∵mn＝2，∴m2＋n2＝5
∴(m－n)2＝m2－2mn＋n2＝(m2＋n2)－2mn＝5－2×2＝1.
师小结：完全平方公式可变形运用，即在m＋n、mn、m－n、m2＋n2这四个量中，已知其中两个量，能求出另外两个量.
师生活动：学生思考后交流，师生总结．
设计意图：通过例3，不仅让学生深入认识完全平方的结构特点，还可以发挥学生作为教学主体的主动性，让学生感受数学公式的变形美：完全平方公式可变形运用，即在m＋n、mn、m－n、m2＋n2这四个量中，已知其中两个量，能求出另外两个量．
探究 一个奇数的平方一定是奇数吗？请说明理由.
思考：一个奇数要怎么表示呢？2n+1(n是整数)）
答:一个奇数的平方一定是奇数.
理由：设一个奇数是2n＋1(n是整数).
(2n＋1)2 = (2n)2＋2·2n·1＋12= 4n2＋4n＋1.
∵n是整数，∴n2也是整数，∴4n2、4n都是偶数，∴4n2＋4n＋1是奇数.
师生活动：学生先独立思考，再小组交流讨论，汇报．
设计意图：通过此探究，不仅有助于巩固完全平方公式，还能培养学生的数学推理能力、奇偶性理解能力、探究兴趣和数学语言表达能力，同时拓展学生的数学思维.
探究 计算(a+b+c)2.
方法一：几何法
边长为a+b+c大正方形的面积，即(a+b+c)2；
大正方形的面积还可看成是3个小正方形与6个长方形的面积之和.
因此，(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.
方法二：多项式乘法法则
(a+b+c)2 = (a+b+c)(a+b+c)= a2+ab+ac+ba+b2+bc+ca+cb+c2
= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.
方法三：完全平方公式
(a+b+c)2 = [(a+b)+c]2= (a+b)2+2·(a+b)·c+c2= a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
= a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.
师总结： (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca.
三个数的和的平方，等于它们的平方和，加上任意两数的积的2倍.
师生活动：学生先独立思考，再小组交流讨论，共同探究．
设计意图：通过此探究，进一步培养学生综合运用知识来解决问题的能力．让学生在小组讨论中合作交流，拓宽解题思路．特别要激发学生用数形结合思想解题，它既能简化推理和运算，又使抽象问题直观化，复杂问题简单化，具有直观、快捷的优点．
课堂练习
1. 用完全平方公式计算：
(1) (1＋x)2； (2) (y－3)2； (3) (－3x+2)2； (4) (x－y)2 .
解:(1) 原式= 12＋2·1·x＋x2= 1＋2x＋x2；
(2) 原式= y2－2·y·3＋32 = y2－6y＋9；
(3) 原式= (3x－2)2= (3x)2－2·3x·2＋22= 9x2－12x2＋4；
(4) 原式= (x)2－2·x·y＋(y)2 = x2－xy＋y2 .
2. 填空：
(1)(a＋ )2 ＝ a2＋4ab＋4b2；
(2)(2a＋ )2 ＝ 4a2＋4ab＋b2；
(3)(3x－ )2 ＝ 9x2－12xy＋ ；
(4)(－x－ )2 ＝ x2＋ ＋1.
答：(1)2b；(2)b；(3)2y，4y2；(4)±1，±2x.
3. 边长为a m(a>6)的正方形花圃，如果边长减少6m，那么花圃的面积减少了多少？
答: a2－(a－6)2 = a2－(a2－12a＋36)= a2－a2＋12a－36 = 12a－36.
答：花圃的面积减少了(12a－36)m2.
师生活动：学生独立完成，学生互评互纠，教师巡视并个别指导.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对完全平方公式的熟练运用.特别地，当中间项系数的符号不确定时，可正可负，需要分类考虑.
限时训练
1.下面的计算是否正确？如果错误，请改正.
(1) (x＋y)2＝x2＋y2； （ ）　
(2) (－m＋n)2＝－m2＋n2； （ ）　　
(3) (a2＋1)2 ＝ a4＋2a2＋1； （ ）
(4) (－a－1)2＝－a2－2a－1. （ ）　　
答：(1)×，(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2 ；(2)×，(－m＋n)2＝(m－n)2＝m2－2mn＋n2；
(3)√；(4)×，(－a－1)2＝(a＋1)2＝a2＋2a＋1.
2. 用完全平方公式计算：
(1) (2＋x)2； (2) (x－y)2； (3) (－2a2－5)2； (4) 2012 .
答:(1) 原式= 22＋2·2·x＋x2= 4＋4x＋x2；
(2) 原式= x2－2·x·y＋(y)2 = x2－xy＋y2；
(3) 原式= (2a2＋5)2 = (2a2)2＋2·2a2·5＋52= 4a4＋20a2＋25；
(4) 原式= (200＋1)2 = 2002＋2×200×1+12 = 40000＋400+1= 40401.
3. 已知(x＋y)2＝25，(x－y)2＝9，求xy，x2＋y2的值.
答: ∵ (x＋y)2－(x－y)2
= (x2＋2xy＋y2)－(x2－2xy＋y2)
= x2＋2xy＋y2－x2＋2xy－y2
= 4xy，
∴ 4xy = 25－9 = 16，
∴ xy = 4.
∵ (x＋y)2＋(x－y)2
= (x2＋2xy＋y2)＋(x2－2xy＋y2)
= x2＋2xy＋y2＋x2－2xy＋y2
= 2x2＋2y2，
∴2x2＋2y2 = 25＋9 = 34，
∴x2＋y2=17.
师生活动：学生独立完成，指定学生回答.
设计意图：通过限时训练巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
师生活动：师生共同总结.
设计意图：通过归纳总结，帮助学生梳理知识，形成体系，加深对完全平方公式的理解和记忆.让学生反思学习过程，培养反思和总结能力.通过教师强调和鼓励，引导学生重视知识巩固应用，提高学习积极性和主动性.
本节课通过计算图形面积得出两数和的完全平方公式，这样情境创设有助于学生形象直观认识两数和的完全平方公式．通过多项式相乘法则进一步推导该公式，验证它的正确性．引导学生自主推导两数差的完全平方公式，让学生自己两数和与两数差的完全平方公式之间的联系，以增强学生探究和解决问题的能力.
本课时选择了一些典型的计算两数和或差的完全平方的例子，通过逐步分析和解答，帮助学生理解并掌握计算方法.学生在解题时容易产生符号问题、公式代入问题等，因此应该更多地让学生自己尝试计算，而不是仅仅依赖于老师的讲解，从而提高学生的独立解题能力.
同时，本课时还选择了公式变形题、两个探究题，这些都需要综合运用知识来解决问题，对学生提出了较高的要求，但是学生在小组讨论中合作交流，达到拓宽解题思路、激发学习兴趣的目的.第八章 整式乘法
8.4乘法公式
第2课时 平方差公式
本节课是苏科版初中数学七年级下册第八章第四节第二课时．从知识体系上看,本节内容属于数与代数体系之下.上一课进行了完全平方公式的探索,提供乘法公式探索的经验和路径基础,而本节课所学平方差公式在教材后续因式分解、分式运算及其它代数式的变形相关内容中都有着举足轻重的地位,是构建学生代数知识结构,培养学生的化归的数学思想和换元的数学方法的重要载体,在教材中起着承上启下的作用.
在本课时中，教材主要分为探究活动、讨论环节、平方差公式的基础运用及简便运算中的运用四个部分，适合学生进行探究式学习，在探究及讨论中感受数形结合的思想，培养符号意识和运算能力.在教学中鼓励学生积极参与教材中的活动，自主进行代数证明、概括等活动.在例题教学中补充适量变式练习及小结概括.
学生在学习本节课之前,已具备一定的知识基础和学习能力．学生已经掌握了单项式乘以单项式、单项式乘以多项式以及多项式乘以多项式的运算法则，具备了一定的计算能力和数学思维能力,并在《完全平方公式》中进行过类似的探索,已掌握通过探索图形及代数推理猜想、证明乘法公式的能力.该年龄阶段学生个性活泼、思维活跃,已初步具有对熟悉问题进行合作探究的能力 .在思维能力方面,能较好地利用数形结合的思想解决一些数方面具有一定抽象思维的问题.
但同时，局限于抽象思维的发展尚未成熟，学生在学习过程中可能会出现对公式结构特征理解不透彻，导致在应用时出现错误的情况.因此，在教学过程中，要注重让学生通过实例来感受公式的合理性和实用性，加深对公式的理解和记忆.另外，对于公式的推导和应用，学生可能会存在一定的困难，需要教师引导学生通过观察、比较、归纳等方法来理解和掌握。
1.能推导平方差公式，了解平方差公式的几何背景，并能利用平方差公式进行简单计算.
2.经历探索平方差公式的过程，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性.
3.掌握公式的形式特征，会识别算式的结构，能灵活运用平方差公式解决较复杂的问题.
重点：能推导平方差公式，了解平方差公式的几何背景，并能利用平方差公式进行简单计算.
难点：掌握平方差公式的形式特征，能灵活运用平方差公式解决较复杂的问题.
情境导入
从前有一个地主,他把一块长为a米的正方形的土地租给张大爷种植,有一天,他对张大爷说：“我把这块地的一边减少5米,另一边增加5米,继续租给你,你也没有吃亏,你看如何 ”
问题：同学们, 你们认为张大爷应该接受吗？
答：不应该,因为地主给张大爷地变少了.
问题：谁能向张大爷解释清楚原因？
答：方法1：张大爷原来地的面积是a2平方米,现在变成了(a+5)(a－5)平方米,
(a+5)(a－5)=a2－5a+5a－25=a2－25(平方米）.因为a2－25＜a2,所以现在的地比张大爷原来的地小.追问：还可以怎么解释呢？（课件出示演示动画）
答：现在的地没有原来的大.
师生活动：教师展示情境,学生齐答,独立思考,举手回答．
设计意图：在实际背景中创设情境,激发学生的学生兴趣,培养学生的数学表达能力．出现平方差公式的形式,引发学生思考,逆向使用新授中图形,帮助学生后续联想.
探究新知
活动一：探究平方差公式
问题：如图,在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b(b < a)的小正方形,计算剩余部分的面积.
答：剩余部分的面积为a2－b2.
问题：如图,将剩余部分剪开拼成一个长方形,计算这个长方形的面积.
答：这个长方形的面积(a+b)(a－b) .
问题：由上述操作,你能得到怎样的等式
答：(a+b)(a－b)= a2－b2
问题：你还有其他方法计算剩余部分的面积吗
答：如图,分成两个梯形,再进行拼合，
=a2－b2.
师生活动：学生独立思考,举手回答,教师板书．
设计意图：本环节通过等面积法得出平方差公式，并借助图形的直观，帮助学生感知、理解公式，为后续通过代数证明推导公式提供认识基础.同时，在教学过程中渗透数形结合的思想，为学生解决同类问题提供方法和路径.
活动二：证明平方差公式
问题：你能用代数的方式证明(a+b)(a－b)= a2－b2吗？
答：(a+b)(a－b)= a2－ab+ab－b2= a2－b2.
师追问：谁能用文字语言描述(a+b)(a－b)= a2－b2呢？
答：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差．
师总结：平方差公式：(a+b)(a－b)= a2－b2.
用语言叙述为：两数和与这两数差的积等于这两数的平方差．
讨论：平方差公式有什么特点？
师小结：1.等号左边是两个二项式的积，且在两个二项式中有一项为相同项,另一项（b与－b）互为相反项；2.等号右边是相同项的平方减去相反项的平方.
完全平方公式、平方差公式通常叫作乘法公式..
师生活动：学生独立思考,举手回答,教师归纳总结．
设计意图：本环节以问题为线索,让学生在动口、动手、动脑的活动中学习知识,让学生进一步理解“探索发现—归纳验证—应用拓展”这一学习与研究数学问题的方法.多鼓励学生用自己的语言大胆表达自己的意见,培养学生的表达能力和总结能力,让学生学会用数学思维思考,用数学的语言表达.
应用新知
例1 用平方差公式计算：
（1）(5x＋y)(5x－y)； （2）(2n＋m)(－m＋2n)； （3）(3y－x)(－x－3y).
答：（1）(5x＋y)(5x－y)
= (5x)2－y2
= 25x2－y2；
（2）(2n＋m)(－m＋2n)
= (2n＋m)(2n－m)
= (2n)2－m2
= 4n2－m2；
师提示：只要把5x看作平方差公式中的a,把y看作b,把（2）中的2n看作平方差公式中的a,m看作b,就都可以用平方差公式进行计算.
（3）(3y－x)(－x－3y)
= (－x＋3y)(－x－3y)
= (－x)2－(3y)2
= x2－9y2；
师总结：1.公式中的a与b可以是数也可以是单项式、多项式.
2.正确判断哪个数为a,哪个数为b（与位置、自身性质符号无关,两因式中的两对数是否有一个数完全相同,而另一个数是相反数）.（同平方—异平方）
师生活动：学生独立思考，然后指定学生板演示范．
设计意图：通过例题讲解,进一步观察式子两边的特点,帮助学生明确哪一个是公式中的“a”,哪一个是公式中的“b”,进一步体会平方差中a,b的含义,引导学生意识到应用公式的关键是找出相等的“项”和符号相反的“项”,帮助学生灵活掌握的转变．
例2 用平方差公式计算： 301×299.
变式 用简便方法计算: 20×19 .
答：例2 301×299
= (300＋1)×(300－1)
= 3002－12
= 90000－1
= 89999,
变式 20×19
= (20＋)×(20－)
= 202－()2
= 400－
= 399．
师生活动：教师板演示范,学生模仿．
设计意图：让学生感受平方差公式对减少运算量的帮助,提升学生计算能力及灵活运用平方差公式的能力,感受数学简洁之美．通过变式训练及讲解,及时练习巩固所学,培养学以致用、积极思考的习惯．
课堂练习
1.下面的计算是否正确 如有错误,请改正.
(1)(x+2)(x－2)=x2－2;
(2)(x+y)(y－x)=x2－y2.
2. 计算:
（1）(1＋x)(1－x)； （2）(a＋4b)(a－4b)；
（3）(3＋a)(3－a)； （4）(x－2y)(－x－2y).
3.填空:
(1)(x+ )(x－ )=x2－25;
(2)(m+ )(m－ )=m2－36n2;
(3)(a+2b)( )=4b2－a2;
(4)( )(1－x2)=x4－1.
答：1. 错，(x+2)(x－2)=x2－4; 错，(x+y)(y－x)= (y+x)(y－x)=y2－x2.
2.（1）(1＋x)(1－x)
= 12－x2
= 1－x2；
（2）(a＋4b)(a－4b)
= a2－(4b)2
= a2－16b2；
（3）(3＋a)(3－a)
= 32－a2
= 9－a2；
（4）(x－2y)(－x－2y)
= (x)2－(2y)2
= x2－4y2.
3. 5，5；6n，6n；2b－a；－1－x2.
限时训练
1. 用简便方法计算:
（1）852－152 ； （2）．
2.若x2－y2 = 8, y－x = 4,求 x＋y.
3.计算：(2－1)×(2＋1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1)× ···×(21024＋1) .
答：1. （1）852－152
= (85+15)×(85－15 )
=100×70
=7000；
（2）20242－2023×2025
= 20242－(2024－1)×(2024+1)
= 20242－ (20242－12)
= 20242－20242+1
=1．
2.解：因为(x＋y)(x－y) = x2－y2,且x2－y2 = 8,y－x = 4,所以(x＋y) ×(－4) = 8,x＋y =－2.
3.解： (2－1)×(2＋1)×(22＋1)×(24＋1) × (28＋1)× ··· ×(21024＋1)
= (22－1)×(22＋1)×(24＋1)×(28＋1)× ··· × (21024＋1)
= (24－1)×(24＋1)×(28＋1)× ··· × (21024＋1)
=···
= (21024－1)×(21024＋1)
= (21024)2－12
= 22048－1.
师生活动：学生独立完成,指定学生回答.
设计意图：通过课堂练习巩固新知,加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
小区广场由两个正方形和一个三角形区域组成，为改善居住环境决定进行改造，新增如图四边形绿地,小明想知道绿地的面积.已知两个正方形区域面积差为120m2.请通过平方差公式帮助小明计算绿地的面积.
本节课通过学生的自主探究,加深对平方差公式的理解,对于平方差公式的教学要重视结果更要重视其发现过程,避免 “讲公式、用公式、练公式、背公式”学生被动学习的局面.
要鼓励学生研究和发现平方差公式的特点,理解平方差公式只是多项式乘以多项式的一类特例,并联想是否还有其他特例,为后继学习作准备.并在此基础上,让学生用代数推理的办法验证自己的猜想,引导学生意识到数学的严谨性,提升学生的科学精神.
在巩固运用中,要关注学生整式乘法的技能发展.得到平方差公式后,要尽可能的让学生用自己的方式表达平方差公式,用自然语言表达,用符号语言表达,用几何语言表达（给出几何解释），进一步体会数形结合思想.
运用平方差公式进行一些简便运算,是对学生掌握公式的一个很好的检验,要注意让学生自主探究,不要急于告诉结果.对于公式中的字母不必急于进行变式练习,但一开始就要引导学生站在代数式角度去理解公式中字母的广泛含义.第八章 整式乘法
8.4乘法公式
第3课时 乘法公式的综合运用
本节课是苏科版初中数学七年级下册第八章《整式的乘法》第四节第三课时，是本小节最后一项内容，也是本章的最后一项内容，在复习两个乘法公式的同时，帮助学生理解并灵活运用相关乘法运算．从知识体系上看，在七年级上册中已经学习在代数式范围内乘法交换律、结合律的运用及去括号的法则，本章节中已学习了单项式和单项式相乘、单项式和多项式相乘、多项式和多项式相乘的运算法则及平方差公式和完全平方公式这两个乘法公式，本课时在此基础上进行一些公式应用的区分及综合运用的训练，对后续学习因式分解、分式等具有举足轻重的作用.
学生在学习本节课时，已具备一定的知识基础和学习能力．在学习本节内容前，学生在前两课时已经经历了平方差公式和完全平方公式的推导过程，以及运用这两种公式进行简单运算，对乘法公式有了基本的理解，可以使用及区分这两个公式并进行基本应用，但在灵活应用上还有些困难.从学生心理来看，初中阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师和同学的肯定，所以在教学中应抓住这些特点，创造条件，发挥学生学习的主动性.
1.能正确地根据题目的要求选择不同的乘法公式进行运算；
2.能选择恰当运算律及数学思想方法，对可使用乘法公式的算式进行简便运算，提升计算能力；
3.通过对乘法公式综合运用的训练，提升学生分析、解决问题的能力，培养学生实事求是、科学严谨的学习态度.
重点：能正确地根据题目的要求选择不同的乘法公式进行运算.
难点：能选择恰当运算律及数学思想方法，对可使用乘法公式的算式进行简便运算，提升计算能力.
复习导入
问题：回忆完全平方公式，完成下列填空.
完全平方公式：_________________________ ；
语言叙述为: _________________________ ；
公式的特点：_____________________________________________________________________.
答：完全平方公式：(a±b) 2=a2±2ab+b2；两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍;公式左边是一个二项式的完全平方，公式右边是二次三项式，其中首尾两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍．
问题2：回忆平方差公式，完成下列填空.
平方差公式：_________________________ ；
语言叙述为: _________________________ ；
公式的特点：_____________________________________________________________________.
答：平方差公式：(a+b)(a－b)=a2－b2；两数和与这两数差的积等于这两数的平方差；公式左边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，公式右边是左边两个二项式中相同项与相反数项的平方差．
师生活动：学生独立思考，分组讨论，各组代表发言．
设计意图：通过学生互助共同复习乘法公式及其语言叙述、特点等，为题目的训练提供理论基础，同时通过熟悉内容的回顾减轻学生对公式综合运用的恐惧心理．
探究新知
活动一：探究平方差公式的多次运用
问题：计算：
(1) (x－1)(x＋1) （2） (x2－1) (x2＋1).
答：(1)原式 = x2－1，(2)原式 =x4－1；
问题：观察两个算式，发现了什么？
答：两题都满足平方差公式的特征，可以直接运用平方差公式计算.(1)计算结果是(2)算式的一部分..
问题2：计算
；
(x＋1)(x－1)(x2＋1).
答：原式 = (x2－1)(x2＋1)=x4－1.
师生活动：学生独立思考，指定学生回答，然后全班集体交流.
设计意图：引导学生养成先观察算式的结构特点，只要算式满足平方差公式的特点就可以反复多次使用.
活动二：平方差与完全平方公式的综合运用
问题：计算:(x＋3)2(x－3)2.
答：方法1 原式 =(x2＋2·x·3＋32) (x2－2·x·3＋32)
=(x2＋6x＋9) (x2－6x＋9)
= x2·x2－x2·6x＋x2·9＋6x·x2－6x·6x＋6x·9＋9·x2－9·6x＋9×9
= x4－18 x2＋81.
方法2 原式 =[(x＋3)(x－3)]2
= (x2－9)2
= (x2)2－2·x2·9＋92
= x4－18 x2＋81
师追问：你认为哪种方法更简单？什么情况下可以这么做？
答：第二种更简单；通过观察，两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数，拥有构造平方差公式的条件，可以通过积的乘方运算的性质的逆用，使运算更简单.
师小结：观察算式发现，有的项相同，有的项互为相反数时，拥有构造平方差公式的条
件，可以通过适当的变形让其满足平方差公式的特征.
探究 如何用平方差公式计算(x＋y－3)(x－y＋3)？
师提问：观察算式有什么特点呢？
答： “x”为相同项，“y”和“－y”、“－3”和“3”为相反项.
问题：怎样变形才能满足平方差公式的特点呢？
答：原式 =[x＋(y－3) ] [x－(y－3 )] ，将“y－3”看做整体可以运用平方差公式，展开为 x2－（y－3) 2.
师小结：通过添括号，将其变形成平方差公式的形式.
答：原式 =[x＋(y－3) ] [x－(y－3 )]
=x2－(y－3) 2
=x2－(y2－6y+9) 2
=x2－y2+6y－9.
问题：方法1中出现(x2＋6x＋9) (x2－6x＋9)，观察两个多项式的项有什么特点？
答：每项绝对值对应相等,其中 “x2”、“9”为相同项，“＋6x”和“－6x” 为相反项.
问题： (x2＋6x＋9) (x2－6x＋9)可以使用乘法公式计算吗？
答：原式 = (x2＋9＋6x) (x2＋9－6x) ，将“x2＋9”看作整体可以运用平方差公式，展开为( x2＋9) 2－（6x) 2.
答：原式 = (x2＋9＋6x) (x2＋9－6x) =( x2＋9) 2－（6x) 2=x4－18x2＋81.
师小结：运算前，先观察算式特征，选择适当乘法公式进行运算,有时需要多次运用乘法公式进行计算.
师生活动：学生独立思考，举手回答，教师归纳总结．
设计意图：引导学生养成先观察算式，根据算式的结构特点选择适当的乘法公式是进行简便运算的关键，有些整式的乘法需要先适当变形，然后再用乘法公式进行计算，让学生意识到灵活变形的重要性.
应用新知
例1 计算：
(1)(x－3)(x＋3)(x2＋9) ； (2) (2x＋3)2(2x－3)2 .
答：解： (1)原式 = (x2－9)(x2＋9)
= x4－81；
(2)原式 =[(2x＋3)(2x－3)]2
= (4x2－9)2
= (4x2)2－2·4x2·9＋92
= 16x4－72 x2＋81.
变式1 计算:
(1) (x＋1)(x－1)(x2＋1)(x4＋1) ； (2) (m＋2n)2(m－2n)2 .
答： (1)原式 = (x2－1)(x2＋1) (x4＋1)
=（x4－1）(x4＋1)
= x8－1；
(2)原式 =[ (m＋2n)(m－2n)]2
= (m2－4n2)2
= (m2)2－2·m2·4n2＋(4n2)2
= m4－8m2n2＋16n4.
例2 计算:
(1) (2a＋b)(b－2a)－(a－3b) ; (2) (x＋y＋4)(x＋y－4).
答： (1)原式 = (b＋2a)(b－2a)－(a－3b)
= b2－4a2－(a2－6ab＋9b2)
= b2－4a2－a2＋6ab－9b2
= －5a2＋6ab－8b2 ;
(2)原式= [(x＋y)＋4 ][ (x＋y)－4]
= (x＋y)2－42
= x2＋2xy＋y2－16 .
师提示：把(x+y)看作整体，可运用平方差公式.
师生活动：学生先独立思考，然后师指定学生板演，全班集体交流.
设计意图：通过例题讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思考的习惯．创设应用情境，让学生结合探究结论对乘法公式进行综合运用，提升学生计算能力．
课堂练习
1. 计算：
(1)a2+(b－a)(b+a)；
(2)(a－1)(a+1)(a2－1)；
(3)(3x+1)2(3x－1)2；
(4)(x－y+z)(x－y－z)．
2. 计算:
（1） (2a－b)2－4(a+b)(a－b); （2）3(x+y)(－x－y)－(3x+y)(－3x+y).
3. 如图，4块完全相同的长方形围成一个正方形，用不同的代数式表示图中阴影部分的面积，由此，你能得到怎样的等式？试用乘法公式说明这个等式成立．
答：1. （1）原式＝a2+b2－a2＝b2；
（2）原式＝(a2－1)(a2－1)＝(a2－1)2＝a4－2a2+1；
（3）原式＝[(3x+1)(3x－1)]2＝(9x2－1)2＝81x4－18x2+1；
（4）原式＝(x－y)2－z2＝x2－2xy+y2－z2；
2. （1） 原式＝4a2 －4ab+ b2－4(a2－b2) ＝4a2 －4ab+ b2－4a2+4b2＝－4ab+5b2;
（2） 原式＝－3(x+y) 2－[y2－(3x) 2] ＝－3(x 2 +2xy +y 2) －(y2－9x2)
＝－3x 2－6xy－3y 2－y2+9x2＝6x2－6xy－4y 2；
表示方法1：4块小阴影部分的面积相等，每块面积为ab，则阴影部分的面积为4ab．表示方法2：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去里面空白小正方形的面积，即(a+b)2－(a－b)2．
等式：4ab＝(a+b)2－(a－b)2，
说明：(a+b)2－(a－b)2＝a2+2ab+b2－(a2－2ab+b2)＝4ab．
限时训练
1. 当x=1时，求(－x+2)(x－2)+(x+1) 的值.
2.若a4=3，b4=2，求(a－3b)2(a+3b)2+18a2b2的值.
3. 若(x+2y)(x－2y)＝bx2－ay2，求(2a+b+3)(2a+b－3)－(2a+b)(2a－b)的值．
4. 从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是 　 　．
A．a2－2ab+b2＝(a－b)2
B．a2－b2＝(a+b)(a－b)
C．a2－ab＝a(a－b)
（2）运用从（1）的等式，完成下列各题：
①已知：a－b＝3，a2－b2＝21，求a+b的值；
②计算：．
答：1. (－x+2)(x－2)+(x+1)
=－(x－2) +(x+1)
=－(x2－4x+4)+ x2+2x+1
=－x2+4x－4+ x2+2x+1
=6x－3.
当x=1时，原式=6×1－3=3.
2.(a－3b)2(a+3b)2+18a2b2
=[(a－3b)(a+3b)] 2+18a2b2
=(a2－9b2)2+18a2b2
= a4－18a2b2+81b4+18a2b2
= a4+81b4；
当a4=3，b4=2时，原式=3+81×2=165.
3. (2a+b+3)(2a+b－3)－(2a+b)(2a－b)
＝(2a+b)2－9－4a2+b2
＝4a2+4ab+b2－9－4a2+b2
＝4ab+2b2－9，
因为(x+2y)(x－2y)＝bx2－ay2，
所以x2－4y2＝bx2－ay2，
所以b＝1，a＝4，
当b＝1，a＝4时，原式＝4×4×1+2×12－9＝16+2－9＝9.
4. （1）图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2－b2，拼成的图2是长为a+b，宽为a－b的长方形，因此面积为(a+b)(a－b），
所以有a2－b2＝(a+b)(a－b），
故答案为B；
（2）①因为a－b＝3，a2－b2＝21，a2－b2＝(a+b)(a－b），
所以21＝(a+b）·3，
所以a+b＝7；
②原式
．
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
本课的教学内容基于整式乘法、平方差公式、完全平方公式、有理数的四则混合运算、幂的运算性质、合并同类项、去括号以及整式的加减等知识，综合性较强，在教学过程中，需要确保学生已经牢固掌握这些基础知识，对薄弱部分及时进行补充及巩固.
由于本课有一定综合性，且相较前面课时难度有所上升，需要关注讲解是否清晰明了，学生是否能够跟上节奏并理解内容.课堂上，教师应鼓励学生积极参与讨论和提问，尤其如新知探究中两个活动及探究的环节，增加更多的互动环节来提高课堂效果，通过小组内讨论、组间补充等方式，激发学生的学习兴趣和主动性，减少部分学生独立思考未能有所收获的挫败感.
本课教材提供多样化的例题，包括多次利用平方差公式、同时利用两种乘法公式的综合运用类例题，以及加入混合运算、整体思想等乘法公式的拓展运用类例题，学生初次接触这些题型需要通过大量的练习来巩固.教师应适当补充包括基础题、提高题和综合应用题等，提供充足练习机会，满足不同层次学生的学习需求.同时，应加强巡视及时给予反馈，指出学生的错误并提供正确的解题方法.

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