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第八章 整式乘法
8.3多项式乘多项式
本节课《多项式乘多项式》是苏科版初中数学七年级下册第八章第三节的内容，具有承上启下的重要作用.从知识体系上看，它是在学生学习了单项式乘单项式、单项式乘多项式等知识的基础上进行的拓展，为后续学习整式的乘法、因式分解以及更复杂的代数运算奠定了坚实基础．
本课教材通过求长方形面积引导学生从具体问题中抽象出数学模型，进而引入多项式乘多项式的概念.这种从实际到抽象的过渡，有助于学生更好地理解多项式乘法的现实意义，激发他们的学习兴趣.在探索多项式乘法的过程中，学生需要将复杂的多项式乘法运算转化为简单的单项式乘法运算，这有助于培养学生的数学思维能力和解决问题的能力.
学生在学习多项式乘多项式时，已具备一定的知识基础和学习能力．因为学生已经学习了整式的加减、单项式乘单项式、单项式乘多项式，掌握了用字母表示数的技能，能够熟练地进行整式的加减运算，并理解了单项式乘单项式，单项式乘多项式的的运算规则.此外，学生能够将乘法分配律运用于简单的代数运算中.这些知识为学习多项式乘多项式提供了知识支撑.同时，学生在学习过程中积累了一定的代数思维能力和逻辑推理能力，能够通过类比和迁移的方法探索新的运算规则.因此，学生具备了从单项式乘单项式过渡到多项式乘多项式的认知基础，能够较好地理解和掌握多项式乘法的运算方法及其几何意义.
1.掌握多项式乘多项式的法则，并能运用其进行简单的整式乘法运算，发展运算能力；
2.通过几何图形（如长方形面积模型）理解多项式乘多项式的几何意义，能够将代数运算与几何直观相结合，解决相关问题.
3.让学生主动参与到探索过程中，培养学生思维的严密性和初步解决问题的能力.
重点：掌握多项式乘多项式的法则，并能运其进行简单的整式乘法运算，发展运算能力
难点：通过几何图形（如长方形面积模型）理解多项式乘多项式的几何意义，能够将代数运算与几何直观相结合，解决相关问题.
情境导入
问题：单项式乘单项式的法则是什么？
答：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
问题：单项式乘多项式的法则是什么？
答：单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
追问：如果将(a+b)x中的x换成(c+d)，你会计算吗？
师生活动：独立思考，学生代表讲述，学生倾听.
设计意图：导学生回顾上节课学习的单项式乘单项式/单项式乘多项式的法则，这一环节帮助学生巩固已有知识，为后续学习多项式乘多项式奠定基础.通过问题：(a+b)x中的x换成(c+d)为多项式(a+b)，激发学生的学习兴趣和探究欲望.
探究新知
活动一：探究多项式乘多项式的法则
如图，现有一块长为a、宽为d的长方形绿地，将其长和宽分别加长b，c，请计算扩大后的长方形绿地的面积.
追问：你有哪些不同方法求扩大后的长方形绿地的面积呢？
方法一：把它看成是一个长为(a＋b)，宽为(c＋d) 的长方形，则它的面积：(a+b)(c+d).
方法二：把它看成是由4个小长方形组成，则它的面积：ac+ad+bc+bd.
方法三：把它看成是由长、宽分别为(a＋b)、c和(a＋b)、d的2个小长方形组成，则它的面积c(a+b)+d(a+b).
方法四：把它看成是由长、宽分别为(c＋d)、a和(c＋d)、b的2个小长方形组成，则它的面积：(c+d)a+(c+d)b.
师追问：四种不同的表示方法之间有什么关系？
答：
问题：你能推导出(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd吗？
答：
师追问：谁能说一说多项式乘多项式要怎么计算呢？
师生活动：独立思考，学生代表讲述，教师板书，学生倾听.
　　设计意图：通过引导学生借助单项式乘多项式的法则，将(c+d)看作一个整体，推出(a+b)·(c+d)=ac+ad+bc+bd,帮助学生从熟悉的单项式乘多项式的知识出发，通过类比和迁移，探索多项式乘多项式的运算法则，降低学习新知识的难度，通过推导过程帮助学生深入理解多项式乘法的本质.
活动二：多项式乘多项式的法则
问题：谁能说一说多项式乘多项式要怎么计算呢？
师小结：
本质：将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式，再转化为单项式乘单项式.
多项式与多项式的乘法法则:
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.
师生活动：学生先独立完成，再同伴之间互相说一说.
设计意图：借助单项式乘单项式的法则，以及单项式乘多项式的法则，获得多项式乘多项式的法则，在此过程中培养学生的表达能力和总结能力，让学生学会用数学思维思考，用数学的语言表达．
应用新知
例1 计算：
(x+2)(x－3)； (2) (－3x+1)(x－2) .
解：(1) 原式= x(x－3)+2(x－3)
= x·x+x·(－3)+2·x+2×(－3)
= x2－3x+2x－6
= x2－x－6;
(2) 原式=－3x·x+(－3x)·(－2)+1·x+1×(－2)
=－3x2+6x+x－2
=－3x2+7x－2.
师生活动：(1)教师板演示范，学生模仿独立完成(2)．
设计意图：通过例题讲解，及时练习巩固所学，培养学以致用、积极思考的习惯，提升学生计算能力．让学生理解运用多项式乘多项式的法则来计算.
例2 计算：
(1) (3m+n)(m－2n) ； (2) n(n+l)(n+2).
解：(1) 原式=3m2－6mn+mn－2n2=3m2－5mn－2n2 ;
(2) 原式=n(n2+2n+n+2)=n(n2+3n+2)=n3+3n2+2n.
变式：下列计算结果为2x2－x－3的是( B )
A.(2x－1)(x－3) B.(2x－3)(x+1)
C.(2x+3)(x－1) D.(2x－1)(x+3)
师小结：
多项式乘以多项式时，应注意以下几点：
(1)相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；
(2)多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积.
师生活动：教师板演示范，学生模仿．
设计意图：这个环节可以巩固本课知识点，运用多项式乘多项式的法则进行计算，提升学生的计算能力．
课堂练习
1. 计算：
(1) (a+1)(b+1); (2) (x－2)(x－3);
(3) (4x+2)(x－2); (4) (1－2x)(2+3x).
2. 计算:
(1) (4－3x)(4+3x); (2) n(n－2)(n+2).
3.一块长方形地砖的长、宽分别为a cm,b cm (a>2,b>2).如果长、宽各截去2 cm,那么剩余部分的面积是多少
答：
1.解：
(1) 原式=ab+a+b+1;
(2) 原式=x2－3x－2x+6=x2－5x+6;
(3) 原式=4x2－8x+2x－4=4x2－6x－4;
(4) 原式=2+3x－4x－6x2=－6x2－x+2.
2.解：(1)原式=4×4+12x－12x－9x2=－9x2+16；
(2)原式=n(n2+2n－2n－4)=n(n2－4)=n3－4n.
3.解：剩余长方形的长为(a－2) cm,宽为(b－2) cm.
(a－2)(b－2)=ab－2a－2b+4( cm2).
答：剩余部分的面积为(ab－2a－2b+4) cm2.
限时训练
求(x－1)(2x+1)－2(x－5)(x+2)的值,其中x=15.
若多项式(x－a)(x+2)中不含x的一次项，求a的值.
3.某校操场原来的长是2x m，宽比长少10 m，现在把操场的长与宽都增加了5 m，则整个操场面积增加了__________ m2.
4. 若M=(x－4)(x－2)，N=(x+3)(x－9)，试比较M、N的大小.
答：1.解：原式=2x2+x－2x－1－2(x2+2x－5x－10)
=2x2－x－1－2(x2－3x－10)
=2x2－x－1－2x2+6x+20
=5x+19.
当x=15时，原式=5×15+19=94.
2.解：(x－a)(x+2)=x2+2x－ax－2a =x2+(2－a)x－2a
因为不含x的一次项
所以2－a=0，即a=2.
3. (20x－25)m2.
4.解：∵M = (x－4)(x－2) = x2－2x－4x+8 = x2－6x+8；
N = (x+3)(x－9) = x2－9x+3x－27 = x2－6x－27；
∴M－N = (x2－6x+8)－(x2－6x－27)，
= x2－6x+8－x2+6x+27 = 35＞0，
∴M＞N.
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
寻找生活中多项式乘多项式的例子，如密码学中在 RSA 加密算法中，对大整数的乘法可以通过多项式乘法的算法来实现，提高加密和解密的效率.电子电路领域，在数字信号处理中，滤波器的传递函数通常可以用多项式来表示.感受运用多项式乘多项式在解决实际问题的过程中的简洁美.
本课通过探究一个实际问题——“长方形草地的面积”来吸引学生的注意力,有助于学生理解数学知识在现实生活中的应用，激发他们的学习兴趣，引导学生自主思考，让学生用多种方式表示长方形面积得到等量关系，自主发现规律，增强学生探究和解决问题的能力，通过单项式乘多项式、单项式乘单项式的法则引导推导出多项式乘多项式的法则，帮助学生掌握多项式乘多项式的法则.鼓励学生参与讨论，自主推导出多项式乘多项式的法则，加深学生对知识的理解.
本课时选择了一些典型的多项式乘多项式的例子，通过逐步分析和解答，帮助学生理解并掌握解题方法.学生在解题时容易漏乘，因此应该更多地让学生自己尝试解题，而不是仅仅依赖于老师的讲解，从而提高学生的独立解题能力.

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