资源简介

第九章 图形的变换
9.2轴对称
9.2.2 垂直平分线
本节是苏科版初中数学七年级下册第九章第二节的《垂直平分线》．本节课是在学生已经学习了一些轴对称概念、小学阶段有过尺规作图的经验以及初步形成了空间观念的基础上教学的，为此在设计活动时十分注重直观性和可操作性，通过观察、动手操作等帮助学生体会线段的轴对称性.本节课帮助学生在原有的生活经验和对轴对称图形感性认知的基础上，进一步认识线段的轴对称性，总结得出线段的垂直平分线的定义，以及通过尺规作图加深理解中垂线的内涵.为后续学习研究线段垂直平分线的性质奠定基础，也为学生今后进一步学习几何图形的有关知识打下良好的基础，并在学习过程中引导学生发现和创造生活中的美.
学生在学习线段的垂直平分线时，已具备一定的知识基础和学习能力．因为学生在小学阶段学习过简单的尺规作图的基础，以及在第九章的第一课时已经学习过轴对称的概念，这为学习线段的垂直平分线提供了知识支撑．
1.理解线段垂直平分线的概念，熟练掌握线段垂直平分线的尺规；
2. 理解用尺规作线段垂直平分线的理论依据，并能过一点作已知直线的垂线.
3.通过观察、操作、猜想、验证等数学活动，培养学生的动手实践能力、逻辑思维能力和合作交流能力，体会数学中的转化思想和类比思想．
重点：理解线段垂直平分线的概念，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作法.
难点：理解尺规作线段垂直平分线的理论依据，并能过一点作已知直线的垂线.
情境导入
同学们，我们收到了一张神秘的藏宝图，上面标注着两个地点A 和 B，宝藏就埋藏在到这两个地点距离相等的地方.但是，这样的地点有很多，我们该如何缩小范围，找到宝藏的确切位置呢？
师生活动：学生倾听，独立思考．
设计意图：通过问题导入激发学生学习本节课的兴趣．
探究新知
活动一：探究线段的垂直平分线
尝试 1. 在长方形透明纸上画线段，折叠纸片，使点，重合.
2. 展开纸片，记折痕所在的直线为，将与线段的交点记为点在上任取一点，连接 ，.
师追问：和相等吗？
答：=.
师生活动：学生独立思考，并说相等的理由的，然后全班交流.
讨论 若点满足，点一定在直线上吗 与有怎样的位置关系
　答：解：点D一定在直线l上. AB与CD互相垂直，且CD平分AB.
师生活动：学生独立思考，并说说理由的，然后全班交流.
设计意图：通过观察、动手、归纳出线段的垂直平分线，在此过程中培养学生的表达能力和总结能力，让学生学会用数学思维思考，用数学的语言表达．
活动二：线段的垂直平分线
师小结：垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线.
师：如图，如果直线是线段的垂直平分线，点为垂足，那么线段与关于成轴对称，，为对称点，点的对称点是其自身.
师生活动：教师演示，学生倾听，独立思考．
师总结：线段有2条对称轴：一条是线段本身所在的直线；另一条是线段的垂直平分线.
　　讨论 在上述活动得到的图形中，与关于直线成轴对称吗 还可以找出哪些成轴对称的三角形
答：△COA与△COB关于直线l成轴对称. 与，与关于直线成轴对称.
师生活动：学生独立思考，然后指定学生答;
设计意图：进一步让学生理解线段垂直平分线的的概念，加深对成轴对称的图形的理解，进一步培养学生的表达能力和总结能力，让学生学会用数学思维思考，用数学的语言表达．
应用新知
例1 尺规作图：如图，已知线段，作线段的垂直平分线.
师引导学生分析：由上述活动得到启发，要作线段的垂直平分线，关键是确定点和点的位置.因为与，与都关于对称，所以，.为了作图方便，可以取 .
答：作法：① 分别以点，点为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为，. ② 作直线，与交于点.直线 即为所求.
师追问：为什么弧的半径要大于？
答:弧的半径要大于才能保证这两段弧能交于两点从而作出直线CD.
讨论 在上面尺规作图得到的图形中，你能画出哪些以为对称轴的对应线段 直线是线段的垂直平分线吗
答：以CD为对称轴的对应线段AC与BC，AD与BD，AO与BO.
直线是线段的垂直平分线.
师生活动：学生独立思考，然后指定学生说说理由，全班集体交流.
变式 如图，中，，根据图中尺规作图的痕迹填空：
(1) 若，则的长为 ；
(2) 与 成轴对称；
(3) 若，则.
答：（1）6；（2）；（3）30°
师生活动：教师板演示范，学生模仿．
设计意图：通过例题讲解，让学生理解用尺规作线段垂直平分线的理论依据，并能过一点作已知直线的垂线，培养学以致用、积极思考的习惯，提升学生计算能力．
课堂练习
【教材习题】
1. 如图，画正方形一条对角线的中垂线.
2.如图，用直尺和圆规分别过点作直线的垂线.
答：1.如图所示.
2.解：(1)以点P为圆心，任意长为半径画弧，交直线于点A和点B.
(2)以点A，B为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为C.
(3)作直线PC，直线PC即为所求.
解：(1)以点P为圆心，适当的半径画弧交直线l于E,F；
(2)分别以点E，F为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为D；
(3)作直线PD，直线PD即为所求.
【限时训练】
1.过直线 外一点P作直线的垂线.下列尺规作图错误的是（ ）．
2.如图，点是的边上一点，过点分别作的垂线.（利用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
3.如图，在中，将折叠，使点落在点处，折痕为，点在上，点在上.
(1)用直尺和圆规作出折痕 ；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)连接，请写出图中相等的线段并说明理由.
答：1.C
2.
3.
(2)
理由：由题意可知与关于直线成轴对称，所以.
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
在探究线段的垂直平分线的过程中，学生通过动手操作（折纸张）、观察和思考，逐步总结出线段的垂直平分线的概念，这种探究式学习方式让学生成为课堂的主体，他们通过自主思考和小组讨论，逐步建构起对线段垂直平分线的理解.例如，在“作线段的垂直平分线”活动中，学生能够直观地感受到x线段垂直平分线的特点，并尝试用自己的语言描述这一现象.这种从具体到抽象的学习过程，有助于学生深刻理解线段垂直平分线.
在应用新知环节，通过例题和变式练习，帮助学生掌握如何利用线段垂直平分线的性质解决实际问题.学生在解题过程中容易出现对称点找不准、线段垂直平分线画错等问题，因此在教学中注重引导学生逐步分析问题，并通过示范和纠错，帮助学生掌握正确的解题方法.
本节课通过情境创设、探究活动、例题讲解和课堂练习，帮助学生理解了线段垂直平分线的概念，并能够在实际中应用.在今后的教学中，将继续注重学生的探究能力和应用能力的培养，设计更多有趣且具有挑战性的教学活动，激发学生的学习兴趣，提升他们的数学素养.

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