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第九章 图形的变换
9.2轴对称
9.2.3 轴对称的基本性质
本节课是苏科版初中数学七年级下册第九章第二节第三课时的内容，它是在学生学习了轴对称的基本概念和简单性质的基础上进行的.本节课主要深入探讨了轴对称的基本性质，以及轴对称在图形变换中的应用，这些内容既是对前面所学知识的巩固、深化和发展，又是为后续学习图形的旋转等几何变换奠定了基础，因此本节课具有承前启后的重要作用.
本课教材通过创设问题情境，引导学生从具体问题中抽象出数学模型，进而引入轴对称的基本性质.这种从实际到抽象的过渡，有助于学生更好地理解轴对称的基本性质，激发他们的学习兴趣.在探索轴对称性质的过程中，学生需要观察、分析和归纳轴对称图形的特征，这有助于培养学生的几何直观能力和逻辑推理能力.
本节课不仅传授了重要的几何知识，更注重学生数学素养的全面提升.通过实际问题的引入和探索，学生不仅能够掌握轴对称的基本性质，还能学会如何将数学知识应用于解决实际问题，从而提升他们的数学应用能力和创新思维.
学生在学习轴对称的基本性质时，已具备一定的知识基础和学习能力.因为学生已经学习了轴对称的基本概念、对称轴，并能够初步运用轴对称的性质解决简单问题.此外，学生在前面几何内容的学习中，已经积累了一定的几何直观能力和空间想象能力，能够通过观察和分析图形的特征理解几何性质的本质.这些知识为学习轴对称的基本性质提供了重要的支撑.
同时，学生在学习过程中逐渐形成了初步的逻辑推理能力和归纳总结能力，能够通过观察具体轴对称图形的特征，归纳出轴对称的基本性质.此外，学生在日常生活中对轴对称现象（如建筑、自然物体等）有一定的感性认识，这为理解轴对称的几何意义和应用提供了现实基础.因此，学生具备了从简单的轴对称图形过渡到深入探索轴对称性质的认知基础，能够较好地理解和掌握轴对称的基本性质及其应用.
1.探索轴对称的基本性质，理解并掌握轴对称的基本性质，培养学生抽象能力.
2.能利用轴对称的性质画已知图形的轴对称图形，培养学生的几何直观的能力.
3.经历探索轴对称的性质的活动过程，积累数学活动经验，进一步发展空间观念和有条理地思考和表达能力.
重点：探索轴对称的基本性质，理解并掌握轴对称的基本性质.
难点：能利用轴对称的性质画已知图形的轴对称图形.
情境导入
问题：如图，△ABC和△A'B'C关于直线l对称，图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角？
.
解：由轴对称的定义可知成轴对称的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等.
A'B'=AB、A'C'=AC、C'B'=CB、∠A'=∠A、∠B'=∠B、∠C'=∠C.
思考：连接C、C'，CC'与直线l有什么关系呢？
师生活动：独立思考，学生代表讲述，教师板书，学生倾听.
设计意图：通过情境创设，引导学生对已学知识的回顾，也锻炼学生的独立思考能力，为探究轴对称的基本性质奠定基础.
探究新知
活动一：探究轴对称的基本性质
①把一张纸折叠后，用针扎一个孔；
②再把纸展开，两个针孔分别记为点A、点A′，折痕记为l；
③连接AA′，AA′与l相交于点O
问题：线段AA′与l有什么关系？
答：l垂直且平分AA′
∵把纸沿折痕l折叠时，点A、A′重合，
∴线段OA、OA′重合，即O是AA′的中点
∵∠1=∠2且∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠2=90°．∴l垂直且平分AA′．
　　问题：如图，仿照上面的操作，找第二个点B，再扎孔，展开、标记、连接BB′、 AB、A′B′，线段AB与线段A′B′关于直线l 对称，线段BB′与直线 l 有什么位置关系？
答：l垂直且平分BB′
　　问题：再仿照上面的操作，找第三个点C，再扎孔、展开、标记、连线，△ABC和△A'B'C关于直线l对称，连接C、C'，线段CC′与 l 有什么关系？
答：l垂直且平分CC′
师小结：
轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形中，不在对称轴上的两个对应点的连线段被对称轴垂直平分.也就是说，成轴对称的两个图形中，对称轴是任意两个对称点连线段的垂直平分线.
∵△ABC和△A′B′C′关于直线l成轴对称，
∴直线l垂直平分AA′、BB′、CC′.
师生活动：独立思考，学生代表讲述，教师板书，学生倾听.
设计意图：通过动手操作、问题引导和归纳总结，帮助学生直观地理解轴对称的基本性质，培养他们的观察能力、分析能力和数学推理能力，同时激发学习兴趣，为后续几何学习奠定坚实的基础.通过从特殊到一般的归纳过程，学生能够掌握轴对称的核心性质，并学会将数学知识应用于实际问题中.
活动二：根据轴对称的基本性质作图
　　问题：如果直线l外有一点A，那么怎样画出点A关于直线l的对称点A′
作法：过点A作AE⊥l，垂足为E，在AE的延长线上截取线段EA'，使得EA'=AE.点A′即为所求.
问题：如图，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规作线段AB关于直线l对称的线段 .
解：①过点A作AE⊥l，垂足为E，在AE的延长线上截取线段EA'，使得EA'=AE.
②过点B作BF⊥l，垂足为F，在BF的延长线上截取线段FB'，使得FB'=BF，连接A'B'.线段A'B'即为所求.
问题：已知△ABC和直线l，点C在l上，用直尺和圆规作△ABC关于直线l对称的三角形 .
解：①过点A作AE⊥l，垂足为E，在AE的延长线上截取线段EA'，使得EA' =AE.②过点B作BF⊥l，垂足为F，在BF的延长线上截取线段FB'，使得 FB'=BF.③连接CA'，A'B'，B'C，△A'B'C即为所求.
师适当引导学生：解题的关键是作出三角形顶点的对称点.对称轴上点的对称点是其自身.
师小结：
师生活动：学生先独立完成，再同伴之间互相说一说.
设计意图：借助轴对称的基本性质作图，在此过程中培养学生的动手能力和表达能力，让学生学会用数学思维思考，用数学的语言表达．
应用新知
例1 如图所示，△ABC和△A′B′C′关于某条直线成轴对称，请画出它们的对称轴．
解：连接AA'，找线段AA'的中点O，过点O作直线l⊥AA'，直线l即为所求.
师小结：成轴对称的两个图形中，对称轴是任意两个对称点连线段的垂直平分线.
师生活动：教师指定学生回答，然后全班集体交流．
设计意图：通过例题讲解，让学生知道如何找对称轴.
例2 在图中，四边形ABCD与四边形EFGH关于直线l对称．连接AC、BD.设它们相交于点P.怎样找出点P关于l的对称点Q？
解：如图，连接HF、EG，点Q即为所求.
师生活动：此题可以让学生先独立思考，然后指定学生回答.(可能需师适当学生利用成轴对称图形的任何对应部分也成轴对称来解）
设计意图：这个环节可以巩固本课知识点，利用轴对称的性质作图，感悟成轴对称图形的任何对应部分也成轴对称．
课堂练习
　　1. 画出下图中成轴对称的两个图形的对称轴.
　　2.在四边形ABCD中，点D，C在直线l上，AD⊥l，BC⊥l.画四边形ABCD关于直线l对称的图形.
答：
1.画出下图中成轴对称的两个图形的对称轴，如图所示.
2.①延长AD，在AD的延长线上截取线段DA'，使得DA'=AD.
②延长BC，在BC的延长线上截取线段CB'，使得 CB'=BC.
③连接A'B'，四边形A'B'CD即为所求.
限时训练
1.如图，在小方格中画与△ABC成轴对称的三角形(不与△ABC重合)，这样的三角形有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在边BC上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE.
(1) 在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，F与B是对称点；
(2)求△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积．
　　
3.如图，作△ABC关于直线l对称的三角形.
答：1.C
2. (1)解：如图，作点B关于AE的对称点F，连接AE，EF，AF，△AEF即为所求.
解：重叠部分的面积为2×4－×2×2＝8－2＝6.
解：①过点A作AE⊥l，垂足为E，在AE的延长线上截取线段EA'，使得EA'=AE.
②同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B'，C'；
③连接A'B'，B'C'，C'A'，则△A'B' C'即为所求.
师生活动：学生独立完成，教师批阅.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课内容的理解及应用.
归纳总结
设计意图：通过归纳总结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
本课通过引入一个问题——“连接C、C'，CC'与直线l有什么关系呢？”来吸引学生的注意力，激发他们的学习兴趣，引导学生自主思考，探究轴对称的基本性质，增强学生探究和解决问题的能力.通过几个简单的的问题来引入新知识，通过点、线段、三角形的轴对称图形探索出轴对称的基本性质，帮助学生掌握轴对称的基本性质.鼓励学生参与讨论，自主推导出轴对称的基本性质，加深学生对轴对称的基本性质的理解.
本课时选择了一些典型的利用轴对称性质作对称图形的题目，帮助学生理解并掌握作图方法，更多地让学生自己尝试作图，而不是仅仅依赖于老师的讲解，从而提高学生的独立作图能力.
通过思维导图和快速回顾的方式，帮助学生巩固本节课的知识点.注重学生的反馈，通过让学生自己总结学到的内容，更好地检测他们对知识的掌握情况，追寻数学本质，力争全体学生正确理解轴对称性质的形成过程，并规范使用.

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