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第七章 相交线与平行线
7.3定义、命题、定理
第1课时
本节课是人教版初中数学七年级下册第七章第三节《定义、命题、定理》第一课时的内容.这一节课是本章内容的核心和纽带，它不仅梳理了相交线、平行线及其相关角（如同位角、内错角、同旁内角）的定义，还引入了命题的相关概念，为学生后续的逻辑推理和几何证明打下坚实的基础.
七年级的学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的关键时期，他们的求知欲强，乐于发表自己的看法，但对于较为抽象的数学概念和逻辑推理，可能存在一定的畏难情绪.因此，在《定义、命题、定理》第1课时的教学中，教师需要充分考虑学生的学情特点，采取合适的教学策略.
　　1. 通过复习学过的概念初步理解定义的含义，从特殊到一般的过程中，培养学生的归纳总结能力.
　　2. 理解命题的概念及其构成，掌握真命题和假命题的概念.
　　3. 会区分命题的题设和结论，能判断命题的真假.
　　重点：理解命题的概念及其构成，掌握真命题和假命题的概念.
　　难点：会区分命题的题设和结论，能判断命题的真假.
复习回顾
问题1：前面，我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述.例如：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.你还能想到哪些定义呢？请说一说.
师生活动：小组形式汇报．
结论：1..使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.
2.从一个角的顶点出发，把这个角分为两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.
3.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
……
设计意图：通过提前布置预习作业，思考回顾，培养学生检索整理信息的能力，并引发学生的思考，为学习新课做铺垫
探究新知
活动一：定义
概念归纳：这样的描述称为数学对象的定义，一个数学定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确的理解它，并作出准确的判断.
设计意图：让学生理解定义的概念．
活动二：命题
问题：判断出下面陈述语句的对错.
1.等式两边加同一个数，结果仍相等.
2.对顶角相等.
3.两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
4.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
5.如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除.
答：发现：1、2、3、4都是正确的，5是错误的.
概念归纳：命题：可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题.
像这样被判断为正确（或真）的命题称为真命题；
追问：哪些是真命题呢？
1、2、3、4都是真命题
被判断为错误（或假）的命题称为假命题.
追问：哪些是假命题呢？
5是假命题.
问题：观察下列命题，这些命题有什么共同的结构特征？
(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也
互相平行.
(2)如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除.
(3)如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等.
师生活动：学生先独立思考，再指定学生回答．
答：它们都是“如果……那么……”的形式.
师总结：数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论.
问题：如果遇到比较命题题设和结论不明显的或比较复杂的命题我们该怎么判断？如：对顶角相等.
师提示：如何将“对顶角相等”改成“如果……那么……”的形式吗？
答：如果两个角是对顶角，那么它们相等.
师总结：在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意.
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
问题：观察下面真命题和假命题中的题设和结论，你有什么发现？
1.等式两边加同一个数，结果仍相等；真命题
2.对顶角相等；真命题
3.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；真命题4.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；真命题
5.如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除,假命题
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
答：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题就是真命题.
如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题就是假命题.
应用新知
经典例题：
例1 判断下列语句是不是命题，如果不是，说明理由；如果是，改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出它们的题设和结论.
(1)作∠A=∠B； (2)线段AB上的点C是线段AB的中点；
(3)整数一定是有理数；(4)同角的补角相等.
答：解：(1)不是命题，理由：没有对事情作出判断.
(2)是命题，如果点C在线段AB上，那么点C是线段AB的中点.题设：点C在线段AB上，结论：点C是线段AB的中点.
　　(3)是命题，如果一个数是整数，那么它一定是有理数.题设：一个数是整数，结论：它一定是有理数.
　　(4)是命题，如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等.题设：两个角是同一个角的补角，结论：这两个角相等.
例2下列命题是真命题的是( ).
A.两个锐角的和一定是钝角 B.相等的角是对顶角
C.一个三角形中至少有两个锐角 D.三角形中可以有两个直角
答：A.两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角，故原命题错误；B.相等的角不一定是对顶角，故原命题错误；D.如果一个多边形是三角形，那么它有两个角是直角，与三角形内角和180°相矛盾，原命题错误.故选C．
师生活动：学生点独立完成，然后指定学生回答．
设计意图：通过学生参与活动，激发学生参与课堂教学的热情，使学生进入问题情境，让学生加深对命题，真假命题的理解.激发学生的求知欲望，感受数学的魅力.
课堂练习
【教材练习】
1. 举出一些学过的定义的例子.
答：（1）如果两个角的和是90°，那么这两个角互余；
（2）如果两个角的和是180°，那么这两个角互补；
2. 举出一些学过的真命题的例子.
答：（1）两直线平行，同旁内角互补.
（2）内错角相等，两直线平行.
3. 指出下列命题的题设和结论：
（1）若a=b，则5a=5b；
（2）如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°；
（3）如果∠1=∠2，∠2=∠3；那么∠1=∠3；
（4）两直线平行，同位角相等.
答：（1）题设：a=b，结论：5a=5b；
（2）题设：AB垂直于CD于点O，结论：∠AOC=90°；
（3）题设：∠1=∠2，∠2=∠3，结论：∠1=∠3；
（4）题设：两直线平行，结论：同位角相等.
师生活动：学生先独立思考再作答.
【限时训练】
1. 下列命题中，真命题的是（ ）
A.相等的角是对顶角 B.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线垂直
C.两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D.同旁内角互补
答：B.
2. 下列命题是真命题的是（ ）
A.一个角的补角一定大于这个角 B.平行于同一条直线的两条直线平行
C. 等腰三角形就是等边三角形 D.旋转改变图形的形状和大小
答：B.
3. 把命题“两直线平行，同旁内角互补”改为“如果……那么……”形式为： .
答：如果两条直线平行，那么同旁内角互补.
4. 判断下列是真命题或假命题，假命题请举出反例.
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）一个正数和一个负数的和是负数；
（3）平角的度数是180°.
答：（1）是真命题；
（2）是假命题，如12+（ 2）=10是正数；
（3）是真命题.
师生活动：老师提问学生举手回答问题．
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深对命题，真假命题的理解.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.定义和命题的概念是什么？
3.如何将命题改为“如果……那么……”的形式？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
我们数学课本上学过很多的定义，请你和同桌比赛一下，看谁能够想起来更多的定义；
同时同桌间互相说出一个命题，由对方改为“如果……那么……”形式，并判断是真命题或假命题.
本节课是人教版初中数学七年级下册第七章第三节《定义、命题、定理》第1课时的内容，教材的设计注重知识的连贯性和系统性，通过引入定义和命题的概念，引导学生学会用严谨的语言进行数学表达，培养逻辑推理的能力.另一方面，教师可以通过引导学生参与课堂讨论、小组合作等方式，激发学生的学习兴趣和主动性，培养他们的合作精神和探究能力.
同时，教师还需要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习需求和水平，提供个性化的指导和帮助.对于学习困难的学生，教师可以给予更多的鼓励和耐心，帮助他们逐步克服畏难情绪，树立学习的信心.对于学有余力的学生，教师可以提供更具挑战性的学习任务，激发他们的学习潜能和创造力.第七章 相交线与平行线
7.3定义、命题、定理
第2课时
本节课《定义、命题、定理》是人教版初中数学七年级下册第七章第三节《定义、命题、定理》第二课时的内容.它是本章内容的核心和纽带，它明确了基本事实和定理的区别，了解证明的意义，知道判断一个数学结论是否正确，仅依靠经验、观察是不够的，需要有理有据地进行推理；同时证明一个命题是真命题的过程叫作证明，能举出反例的命题就是假命题，为学生后续的逻辑推理和几何证明打下坚实的基础.
到了七年级下册，学生已经具备了一定的数学基础和几何知识，对平面几何的基本概念有了初步的了解，也学到了很多的定义、定理基本事实等，如何运用好这些知识学生往往存在问题，即心中知道但是在说明的过程中却不知所措，因此要在教学中将基本事实、定理、证明、举反例等方法教给学生，提升学生的理解和语言表达能力.
　　1. 了解定理、证明的概念，并能对一个命题的正确性进行说理,了解反例的作用，知道利用反例判定一个命题是假命题.
　　2. 会用学过的定义、定理、基本事实等解决一些简单的问题，并能用几何语言进行简单的推理论证.
　　3.经历本节课的学习，学生能够体数学学科用词的准确性，逻辑的严密性，初步了解演绎推理和逻辑推理，为后续学习打下理论基础.
重点：了解定理、证明的概念，并能对一个命题的正确性进行说理,了解反例的作用，知道利用反例判定一个命题是假命题.
难点：会用学过的定义、定理、基本事实等解决一些简单的问题，并能用几何语言进行简单的推理论证.
复习回顾
思考：在前面我们学过一些关于图形性质的命题，请你说出你还记得的内容吧！
师生活动：小组形式汇报．
结论：1.两点确定一条直线.
2.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
3.同旁内角互补，两直线平行.
4.内错角相等，两直线平行.
……
追问：下边是同学们说出的一些关于图形性质的命题，你知道它们的区别是什么吗？
1.两点确定一条直线.
2.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
3.同旁内角互补，两直线平行.
4.内错角相等，两直线平行.
师生活动：小组形式汇报．
结论：命题1、2没有推理过程；命题3、4有推理过程.
设计意图：通过学生对以前学过的课本上的黑体字的复习，再次帮其梳理归纳所学过的知识，同时明确基本事实和定理的区别.
探究新知
活动一：基本事实和定理
概念归纳：基本事实：像上面命题1、2不经过推理证实的真命题是基本事实.
定理：经过推理证实的真命题.
1.两点确定一条直线.－－基本事实
2.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.－－基本事实
3.同旁内角互补，两直线平行.－－定理
4.内错角相等，两直线平行.－－定理
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
设计意图：帮助学生同时明确基本事实和定理的区别.
活动二：证明
概念归纳：很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能做出判断，这个推理过程叫作证明.
例：如图，已知直线a⊥b，b∥c，求证a⊥c.
证明：∵a⊥b（已知），
∴∠1=90°（垂直的定义）.
∵b∥c （已知）,
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.
∴∠2=90°（等式的基本事实）.
∴a⊥c（垂直的定义）.
思考：证明的过程中你有什么新发现呢？
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
结论：(1)证明中的每一步都有依据；(2)依据可以是已知条件、基本事实、定义、定理等.
设计意图：通过例子让学生明白什么是证明，明白证明的依据是什么.
活动三：举反例论证假命题
思考：如果一个假命题该如何说明它是错误的呢？
答案：需要举出一个反例即可.
追问：如何说明“相等的角是对顶角”这个命题是假命题呢？
答案：如图，OC是∠AOB的平分线，∠AOC=∠BOC，但它们不是对顶角.
.
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
设计意图：通过让学生思考，能够明确一个假命题的判断方法，进而非常科学而又快速的对一些命题进行判断.
应用新知
经典例题
例1：完成下面证明
如图，AB∥CD,BC∥DE，求证:∠B+∠D=180°
证明：∵AB∥CD，
∴∠B= ∠C（两直线平行，内错角相等）.
∵BC∥DE,
∴∠C+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
∴∠B+∠D=180°.
例2 用符号表示下列推理过程：
（1）因为∠1和∠2相等，根据“内错角相等，两直线平行”，所以AB和EF平行.
（2）因为DE和BC平行，根据“两直线平行，同位角相等”， 所以∠1=∠B，∠3=∠C.
解：（1）∵∠1=∠2,
∴AB∥EF(内错角相等，两直线平行).
（2）∵DE∥BC,
∴∠1=∠B，∠3=∠C (两直线平行，同位角相等).
课堂练习
【教材练习】
1.在下面的括号内，填上推理的依据.
如图，∠A+∠B=180°，求证：∠C+∠D=180°.
证明：∵∠A+∠B=180°,
∴AD∥BC（ ）.
∴∠C+∠D=180°（ ）.
答案：∵∠A+∠B=180°,
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.
∴∠C+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补 ）.
2.命题“同位角相等”是正确的吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例.
解：命题“同位角相等”是不正确的.
反例：如图,
∵∠1和∠2是同位角，且a、b不平行,
∴∠1≠∠2.
限时训练
1.下列命题属于真命题的是（ ）
A.同旁内角相等，两直线平行 B.相等的角是对顶角
C.平行于同一条直线的两条直线平行 D.同位角相等
答：C.
2.有下列4个命题中：
①对顶角相等；②同旁内角互补；
③两直线平行，同位角相等；④相等的角是直角.
其中真命题的有______(填序号)
答：①③
3.对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是( )
A. ∠1=∠2=45° B. ∠1=40°，∠2=50°
C. ∠1=50°，∠2=50° D. ∠1=40°，∠2=40°
答：A
4.判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例.
命题：①同旁内角互补；②等角的补角相等.
答：①为假命题；同旁内角互补的前提条件是两直线平行，如果两直线不平行，那么同旁内角不相等.②为真命题.
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
在日常生活中同学们经常就会一个问题进行辩论，那么现在你知道如何在辩论中取得胜利了吗？同学之间可以找一个话题，尝试用推理证明或举反例的方法说服对方吧！
本节课《定义、命题、定理》是人教版初中数学七年级下册第七章第三节《定义、命题、定理》第2课时的内容，教材的设计注重知识的连贯性和系统性，通过引入定理和证明的概念，引导学生学会用严谨的语言进行数学表达，培养逻辑推理的能力.另一方面，教师可以通过引导学生参与课堂讨论、小组合作等方式，激发学生的学习兴趣和主动性，培养他们的合作精神和探究能力.
同时，教师还需要关注学生的个体差异，针对不同学生的学习需求和水平，提供个性化的指导和帮助.对于学习困难的学生，教师可以给予更多的鼓励和耐心，帮助他们逐步克服畏难情绪，树立学习的信心.对于学有余力的学生，教师可以提供更具挑战性的学习任务，激发他们的学习潜能和创造力.

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