8.1平方根 教学设计 (共3课时)人教版(2024)数学七年级下册

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8.1平方根 教学设计 (共3课时)人教版(2024)数学七年级下册

资源简介

第八章 实数
8.1平方根
第1课时 平方根的概念和性质
本节课是人教版《义务教育教科书·数学》七年级下册第八章 实数 8.1平方根,内容包括:第1课时平方根的概念和性质.
本节课是在学生学习了有理数以及有理数乘方的基础上来学习平方根,之前的有理数乘方的学习为本节课学习奠定了一定的知识基础,更利于学生找出一个正数的两个平方根.它不仅是对前面所学知识的巩固,也为后面算术平方根的学习奠定了基础.教材通过求具体数字的平方根引入,顺势给出平方根的定义,结合具体例子便于学生理解与掌握平方根的概念,并运用概念,会求一个数的平方根.
基于以上分析,本节课的教学重点是:掌握平方根的概念并会求一个数的平方根.
本节课平方根学习是建立有理数乘方学习的基础上,由具体数字引入,让学生更加清晰深刻地理解平方根的定义.本节课学生学习的困难之处在于能表示一个数的平方根,理解平方根,正的平方根,负的平方根表示的区别,能在具体题目中理解“”、“”、“”这三种所代表的不一样的意义,一题一解让学生对解题技巧和解题步骤有清楚的认知,最后通过拓展训练培养学生综合解题的能力.
基于以上分析,本节课的教学难点为:认识和会表示一个数的平方根.
1.了解平方根的概念,掌握平方根的特征;
2.能利用开平方与平方互为逆运算的关系,求某些非负数的平方根;
3.经历探索平方根的概念的过程,感受平方根的求法;
4.学生经历由特殊到一般,培养学生观察,归纳,类比的能力,培养学生的分类能力和合作能力,体会数系扩张的实际应用价值.
重点:掌握平方根的概念并会求一个数的平方根;
难点: 认识和会表示一个数的平方根.
本章引入
当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v(单位:m/s)时,它就会克服地球引力,永远离开地球,飞向火星. v的大小满足v2=2gR,其中g是地球表面的重力加速度,g≈9.8 (单位:m/s2),R是地球半径,R≈6.4×106 (单位:m).
追问:怎样求v呢
这就要用到平方根的概念.
随着对于数的认识的不断深入,人们发现,边长为1的正方形的对角线的长度值不是有理数,这就需要引入一种新的数——无理数.实际中对第二宇宙速度等的计算也要用到无理数.
在本章中,我们要学习以下内容:
①学习平方根与立方根;
②在此基础上引入无理数,把数的范围从有理数扩充到实数;
③类比有理数,引入实数在数轴上的表示和实数的运算,从中进一步感悟数系扩充的过程,并用这些知识解决一些实际问题.
情境导入
情境1:小明家装修房间时需铺地垫 10.8m2,刚好用去正方形的地垫 30 块,小明想知道每块地垫的边长,该怎么计算呢
师生活动:教师提出问题,学生思考并回答问题.教师提示有时候需要找一个数,使得它的平方等于给定的数.引出课题.
分析:先计算出每块地垫的面积,再根据每块地垫的面积算出边长.
解:10.8÷30=0.36(m2)
因为0.62=0.36,所以正方形地垫的边长为0.6m.
情境2:小明的爸爸看中了一款正方形餐桌,可是不知道边长是多少.小明看见桌子标签显示面积100后,告诉爸爸餐桌的边长是10.这是怎么计算出来的呢?
答:因为102=100.
追问:已知一个数,通过平方运算可以求这个数的平方.反过来,如果已知一个数的平方,那么怎样求这个数呢
设计意图:回顾已学,用熟悉的情景问题吸引学生的注意力,激发学习自信.通过问题解决,从中感悟到有必要学习一种新的运算,进而引入平方根的概念及表示方法.
探究新知
活动一:探究平方根的概念
问题1:如果一个数的平方等于9,那么这个数是多少
师生活动:老师提出问题,学生思考并回答问题.教师鼓励学生将思考过程用语言进行描述.
答:32=9,这个数可以是3;
追问:除了3以外,还有没有别的数的平方等于9呢
答:(-3)2=9,这个数也可以是-3;
除 3,-3以外,任何一个数的平方都不等于9.
因此,如果一个数的平方等于 9,那么这个数是3或-3.
追问:3和3有什么特征?
答:互为相反数.
设计意图:层层深入,让学生自主探究,发展发散性思维.有效地吸引学生的注意力,激发学生的求知欲.
问题2:根据上面的探究结果填写下表:
师生活动:选取几个小组,让他们派代表到黑板上填写表格,然后组织其他小组的学生进行点评,指出不足之处,最后教师进行总结和补充,强调每个空需要填写两个数,且这两个数互为相反数.
答:
一般地,如果一个数 x 的平方等于a,即x2=a,那么这个数x叫做a的平方根或二次方根.例如:3 和 3都是9的平方根.
x2=a x叫作a的平方根
提示:通常把3和-3合在一起简记为“±3”.
已知一个数,求它的平方的运算,叫做平方运算.反之,已知一个数的平方,求一个数的平方根的运算,叫作开平方.
设计意图:培养学生观察图表获取信息的能力,培养数感和自主探究的习惯.让学生从中感悟到存在一种新的运算,进而引入平方根的概念及表示方法、开平方概念.
问题3:观察框图,说一说平方运算和开平方运算具有怎样的关系?
师生活动:学生独立思考后小组讨论,选代表回答问题,教师补充总结学生的结论.
答:平方运算和开平方运算互为逆运算.
根据这种互逆关系,可以求一个数的平方根.
设计意图:巩固开平方的概念,掌握开平方的运算,锻炼学生的观察总结能力.
活动二:探究平方根的性质
问题4:思考回答下列问题:
(1) 121的平方根是什么?
(2) 0的平方根是什么?
(3) 的平方根是什么?
(4) -9有没有平方根?为什么?
师生活动:学生独立思考,选四位学生回答问题,其他同学判断正误.
答:(1) ±11 (2)0 (3) ± (4)没有,因为一个数的平方不可能是负数.
设计意图:让学生体验正数、负数和0的平方根的个数及其关系,加深对平方根的理解和掌握,同时培养学生的说理能力,为后续学习打下基础.
问题5:通过上面的题目请回答:正数的平方根有什么特点?0 的平方根是多少?负数有平方根吗?
师生活动:通过学生思考,合作交流,探究,师生共同进行总结归纳平方根性质
答:①正数有两个平方根,它们互为相反数;
②因为 02=0,并且任何一个不为0的数的平方都不等于0,所以0的平方根是0.
③正数的平方是正数,负数的平方也是正数,0的平方是0,即在我们所认识的数中,任何一个数的平方都不是负数,所以负数没有平方根.
归纳:平方根的性质:
①正数有两个平方根,它们互为相反数;
②0的平方根是0;
③负数没有平方根.
注意:平方根等于本身的数只有0.
设计意图:梳理所学,巩固学生对平方根及其性质的认识和理解,培养自主学习及合作交流的能力.
活动三:探究平方根的表示方法
正数a的正的平方根记为“” ,读作“根号a”,a叫作被开方数;正数a的负的平方根可以用“ ”表示.
正数 a 的平方根表示为: 读作:“正、负根号 a”.
例如:表示9的平方根,.
注意:0的平方根记为 .
问题6:只有当a 大于或等于0时,有意义;而当a小于0时,没有意义,为什么
答:当x2=a时,x= . 因为任何数的平方一定大于或等于0,所以根号下的数小于0无意义.
即当a 大于或等于0时, 有意义; a<0 时,无意义.
总结:的双重非负性:1.被开方数a≥0 2.正数a的正的平方根≥0
设计意图:经历概念形成的过程,发展学生观察、分析、抽象、概括等思维能力并树立应用意识.
应用新知
【教材例题】
例1 求下列各数的平方根:
(1) 64 ; (2) ; (3) 0.01.
师生活动:学生独立完成解题过程,教师点评,规范格式.
分析:想求一个数的平方根,就想谁的平方等于它.
解:(1)因为(8)2 = 64,所以 64 的平方根是8;
(2) 因为 ,所以 的平方根是 ;
(3)因为(0.1)2 = 0.01,所以 0.01 的平方根是0.1.
例2 下列各数有平方根吗 如果有,求它的平方根;如果没有,说明理由.
(1) 0.36 ; (2) -5; (3) (-4)2.
分析:根据平方根的性质:正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根进行解答.
解:(1)因为 0.36 是正数,所以 0.36 有两个平方根,=0.6;
(2) 因为-5是负数,所以 -5 没有平方根;
(3)因为(-4)2 = 16是正数,所以 (-4)2 有两个平方根,=4.
教师活动:在黑板上展示例题,引导学生思考如何找出一个数的平方根.提示学生观察式子的特点,尝试将一个数变为某个数的平方的形式,讲解完后,询问学生是否理解每一步的操作,鼓励学生提出疑问.
设计意图:通过两个例题,再次深入地理解平方根概念,会熟练进行有关平方根的计算.培养学生分析问题、解决问题的能力以及逻辑思维能力.
【经典例题】
例3 求下列各数的平方根:
(1) -42 ; (2) ; (3) 11.
分析:平方根的概念:如果一个数 x 的平方等于a,即x2=a,那么这个数x叫做a的平方根,表示为.根据平方根的定义来求解.
解:(1)因为任何数的平方都是非负数,-42 是负数,没有平方根;
(2) 因为,所以 的平方根是 ;
注意:求一个数的平方根可将带分数化为假分数!
(3)11的平方根是 .
注意:非平方数的平方根只能用含根号的式子表示.
总结:求一个正数的平方根主要分两步:
(1)找出平方等于这个正数的数,这样的数有两个;
(2)根据平方根的定义写出这个正数的平方根.
例4 解下列方程
(1) 4(2x -1)2 =36; (2) (2x -3)2 =(-7)2
分析:把方程变形为x2 = a的形式,然后根据平方根的定义求解即可.
解:(1)原方程可变形为:
(2x -1)2 =9
因为(3)2 = 9
所以2x -1=3或2x -1= -3
解得:x =2或x = -1
(2)因为(7)2 = (-7)2
所以2x -3=7或2x -3= -7
解得:x =5或x = -2
思路点拨:
师生活动:学生先独立思考再作答.
设计意图:通过典型例题让学生巩固新知,培养学生逻辑思维能力,锻炼学生的推理能力,教师规范写出解答过程,给学生一个良好的示范过程.
课堂练习
【教材练习】
1.判断题.
(1)1的平方根是1; (2)-1的平方根是-1;
(3)0.5是0.25的一个平方根; (4)0的平方根是 0.
解:(1)× (2) × (3)√ (4)√
2.求下列各数的平方根:
(1) ; (2) 62 ; (3) 0.49.
解::(1)因为()2 = ,所以 的平方根是;
(2) 因为(6)2 = 62,所以62的平方根是6 ;
(3)因为(0.7)2 = 0.49,所以0.49的平方根是0.7.
3.求下列各式中x的值:
(1) x2 =25; (2) 9x2 =4; (3) (x-1)2 =1
解:(1)因为x2 =25,
解得:x =5或x = -5;
(2)原方程变形为:x2 = ,
因为()2 = ,
解得:x = 或x = - ;
(3)因为(1)2 =1
所以x -1=1或x -1= -1
解得:x =2或x = 0.
师生活动:学生先独立作答,再随机选择学生回答.
设计意图:让学生进一步巩固所学知识,加强学生对平方根的概念及其性质的掌握,培养应用意识,锻炼运用能力和解题能力.
【限时训练】
1.一个数的平方根与它本身相等,这个数是( )
A.-1 B.0 C.1 D.4
答:B
2.若x的平方等于3,则x等于( )
A.9 B.- C. D.9
答:C
3.的平方根是( )
A.7 B.-7 C. D.
答:C
4.已知|a|=3,b2=16,且a>b,则a+b的值为( )
A.1或7 B.-1或7 C.1或-7 D.-1或-7
分析:解:因为|a|=3,b2=16,
所以a=3,b= 4,
因为a>b,所以a=3,b= -4,
所以a+b=3+(-4)=-1,或a+b=-3+(-4)=-7,
故选:D.
答:D.
5.已知正数a的两个平方根分别是x-5和2x-1,与互为相反数,求a+2b的值.
分析:根据正数a的两个平方根分别是x-5和2x-1得到x-5+2x-1=0,求出x,即可得到a;
根据相反数的定义结合 的双重非负性,求出b,再代入求值即可.
解:∵正数a的两个平方根分别是x-5和2x-1,
∴x-5+2x-1=0,解得:x=2.
∴a=(2-5)2=9.
∵ 与 互为相反数,
∴ + =0
∴=0 ,=0
∴b=3,
∴a+2b=9+6=15.
设计意图:通过课堂练习巩固新知,加深对本节课的理解及应用.
归纳总结
师生活动:教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么?
2.平方根的概念是什么?
3.平方根的表示方法是什么?
4.平方根的性质有哪几条?
设计意图:通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
同桌两人互相给对方出几道求一个数的平方根的计算题,看谁做的又快又对!
1.注重概念的直观化呈现.在课程开始阶段,利用具体实例,生动展示了平方运算与平方根的逆运算之间的关系,使抽象的数学概念变得形象易懂.这样既符合学生的认知发展规律,也提高了他们对新知识的理解深度.帮助学生建立扎实的数学基础知识,并培养其逻辑思维与解决问题的能力.平方根作为代数的基础概念,对于后续诸如二次方程解法、函数以及立体几何等相关知识的学习至关重要.因此,在教学中,力求让学生深刻理解平方根的概念本质及其在实际生活中的应用价值,不仅要求他们记住定义,更强调对其内涵的领悟.
2.在探究平方根性质的过程中,采取了启发式教学法,鼓励学生自主探索、合作交流.设计了一系列富有层次的问题链,引导学生逐步发现并归纳平方根的性质,如非负性等,从而锻炼了他们的逻辑推理能力和独立思考能力.
3.在课堂组织上采用小组讨论、同伴互评的方式,促进学生间的互动交流和合作学习,让每个学生都有机会发表见解、解答疑惑,从而共同提升整体效果.
4.为了保证全体学生能够跟上节奏,特别关注课堂节奏的把控和个体差异的关注,尽量兼顾不同层次学生的学习需求,适时调整讲解速度和难度,提供有针对性的辅导和反馈.第八章 实数
8.1平方根
第2课时 算术平方根
本节课是在学生学方根的基础上来学习算术平方根,之前的平方根的学习为本节课学习奠定了一定的知识基础,更利于学生理解算术平方根的概念.它不仅是对前面所学知识的巩固,也为后面估算算术平方根,求算术平方根的整数和小数部分的学习奠定了基础.教材通过对平方根概念的复习引入,直接给出算术平方根的定义,再由具体例子讲解便于学生理解与掌握算术平方根的概念,并运用概念,会求一个数的算术平方根.
基于以上分析,本节课的教学重点是:理解算术平方根的概念并会求一个数的算术平方根.
在本课学习之前,学生们已经掌握了一些完全平方数,对乘方运算也有一定的认识,熟练地掌握了求一个数的平方根,能很自然快速掌握求一个数的算术平方根,并对0的算术平方根作出规定,容易理解算术平方根的双重非负性,但是对于用非负性解决问题存在难度,在实际问题中双重非负性条件的隐蔽性,学生容易忽略,通过做题归纳初中阶段所有的非负性,便于学生掌握知识.
基于以上分析,本节课的教学难点为:了解算术平方根的性质并用其解题.
1.了解算术平方根的概念,会用根号表示非负数的算术平方根;
2.会求某些非负数的算术平方根;了解算术平方根的性质并用其解题;
3.通过求一个数的算术平方根的近似值,初步了解开方开不尽的数的无限不循环性,理解用近似值表示无限不循环小数的实际意义;
4.体验“无限不循环小数”的含义,感受存在着不同于有理数的一类新数,培养探求精神,提高学生学习数学的兴趣.
重点:理解算术平方根的概念并会求一个数的算术平方根;
难点: 了解算术平方根的性质并用其解题.
情境导入
问题1:小明家有一块面积为144m2的正方形农田,现需要沿着四周铺设灌溉管道,管道要购买多少米呢?
问题2:裁缝有一块面积为225cm2正方形布料,他想裁一个最大的正方形丝巾,这个丝巾的边长是多少呢?
问题3:启明中学规划了一个正方形的小型足球场,其面积为900平方米,工作人员要根据这个足球场的边长设置球门位置、划分球场区域,这个边长该怎么计算呢?
师生活动:教师提出问题,加以引导,自然而然地引入本节的课题,学生先独立思考,再举手回答问题.
答:情境1:122=144,所以正方形农田的边长为12m. 12×4=48m.
情境2:252=225,所以正方形丝巾的边长为25cm.
情境3:302=900,所以正方形足球场的边长为30m.
追问:你能指出它们的共同特点吗
答:上面的问题,实际上是已知一个正数的平方,求这个正数的问题.
设计意图:从身边的场景入手,抽象出本节课研究对象的几何背景---正方形,进而提出数学问题,使学生利用己有求正方形面积的经验出发,回顾一个非负数的平方运算,为后面利用逆向思维解决新问题做好铺垫.
探究新知
活动一:探究算术平方根的概念
我们知道,正数a有两个平方根,其中正的平方根叫作a的算术平方根.
问题4:怎么用符号来表示一个数的算术平方根?
师生活动:老师提出问题,学生思考并回答问题.教师鼓励学生将思考过程用语言进行描述.
规定:0的算术平方根是0. 0的算术平方根也记为.
问题5:当a≥0时,,和 的区别是什么?
师生活动:学生先独立思考,小组讨论交流,然后教师指定学生回答,然后组织其他的学生进行点评.
答:(1):表示一个非负数的算术平方根.
(2):表示一个非负数的算术平方根的相反数.
(3) :表示一个非负数的平方根.
问题6:由x2=a和x=思考:
(1)a的取值范围是什么?
(2)算术平方根x的取值范围是什么?
(3)一个正数有几个算术平方根?负数有算术平方根吗?
师生活动:组织学生进行讨论,并选小组代表发言,其他小组补充.学生总结,老师补充.
答:(1)a是非负数,即a≥0;
(2)是非负数,即≥0,x≥0.
归纳: 的双重非负性
1.被开方数a≥0;
2.a的算术平方根≥0 .
注意:到目前为止,我们学习了表示非负数的式子有:
|a|≥0;a2 ≥ 0;当a ≥ 0 时,≥ 0.
(3)①一个正数的算术平方根只有一个且一定为正数;
②负数没有算术平方根,即当有意义时,a一定表示一个非负数;
③算术平方根等于它本身的数只有0和1.
问题7:求下列各数的算术平方根:
(1) 100 ; (2) ; (3) 0.000 1.
师生活动:学生独立完成解题过程,教师点评,规范格式.
分析:对于正数x,如果x a,那么x是a的算术平方根.
解:(1)因为102 = 100,所以100的算术平方根是10,即=10;
(2)因为,所以的算术平方根是,即;
(3)因为0.012 =0.0001,所以0.0001的算术平方根是0.01,即=0.01;
注意:被开方数越大,对应的算术平方根就越大,这个结论对所有正数都成立.
设计意图:通过例题,再次深入地理解算术平方根概念,会熟练进行有关算术平方根的计算.培养学生分析问题、解决问题的能力以及逻辑思维能力.
归纳:算术平方根与平方根的区别与联系:
活动三:估算算术平方根的取值范围
问题8:怎样用两个面积为 1 dm2 的小正方形拼成一个面积为 2 dm2 的大正方形?这个大正方形的边长是多少?
师生活动:学生观察、思考,动手操作,对问题充分讨论与交流大胆,发表观点,使用已有经验解决问题,最后教师出示PPT进行讲解.
答:如图,把两个小正方形分别沿对角线剪开,将所得的 4 个直角三角形拼在一起,就得到一个面积为 2 dm2 的大正方形.
问题9:你知道这个大正方形的边长是多少吗?
答:设大正方形的边长为 x dm,x2=2.
由边长的实际意义可知x= ,
所以大正方形的边长为 dm.
追问:小正方形的对角线的长是多少呢
答:x=
总结:小正方形的对角线的长即为大正方形的边长.
问题10:有多大呢?
师生活动:组织学生进行讨论,并选小组代表发言,其他小组补充.学生总结,老师补充.
答:12=1, 22=4,12<2<22 1<<2
1.42=1.96,1.52=2.25,1.42<2<1.52 1.4< <1.5
1.412=1.988 1, 1.422=2.016 4,1.412<2<1.422 1.41<<1.42
1.4142=1.999 396,1.4152=2.002 225,1.4142<2<1.4152 1.414< <1.415
……
如此进行下去,可以得到的更精确的近似值.
事实上,=1.414 213 562 373…,它是一个无限不循环小数.
追问:无限不循环小数是指小数位数无限,且小数部分不循环的小数.你以前见过这种数吗?
答:像 π,0.001 000 100 001…这样的数就是无限不循环小数.
实际上,很多正有理数的算术平方根(例如,,等)都是无限不循环小数.
设计意图:通过学生自主探究,引出求的一种方法,并举例说明什么是无限不循环小数,让学生理解其概念.层层深入,发展发散性思维.有效地吸引学生的注意力,激发学生的求知欲.
应用新知
【经典例题】
例1 估计的运算结果应在哪两个连续自然数之间( ).
A.4和5 B.3和4 C.2和3 D.1和2
分析:∵2.52=6.25,32=9,
∴2.5<<3
∴5<<6
∴3<<4
故选B.
总结:估计算术平方根的取值范围的一般步骤:
第1步:将算术平方根平方;
第2步:找出其结果在哪两个相邻的完全平方数之间;
第3步:确定算术平方根的取值范围.
例2 若 |m2| + =0,求 m+n 的值.
分析:直接利用绝对值和算术平方根的非负性,求出m,n的值,进而得出答案.
解: ∵|m2| + =0,
∴|m2| =0, =0
∴m2=0,n+2=0
∴m=2,n=-2
∴m+n=0.
总结:算术平方根和绝对值都是非负数.当几个非负数的和等于0时,每一个非负数都为0.
例3 已知2a+1的算术平方根是其本身,b+的算术平方根是,求ab的算术平方根.
分析:一个非负数的正的平方根即为这个数的算术平方根.算术平方根等于本身的数有1和0,然后根据已知条件分别求出a和b值,最后再求出 ab的算术平方根.
解:由题意得:b+,解得b=
∵算术平方根是其本身的数是0和1,
∴当2a+1=0时,解得:a=
∴ab=,
∴.
当2a+1=1时,
解得:a=0
∴ab=0,
∴.
师生活动:教师在黑板上展示例题,提示学生观察式子的特点,引导学生思考根据算术平方根的性质和概念找出问题的突破点.学生思考并尝试解答.教师讲解完后,询问学生是否理解每一步的操作,鼓励学生提出疑问.
设计意图:通过典型例题让学生巩固新知,培养学生逻辑思维能力,锻炼学生的推理能力,教师规范写出解答过程,给学生一个良好的示范过程.
课堂练习
【教材练习】
1.求下列各数的算术平方根:
(1)0.09; (2); (3)52.
分析:根据算术平方根的定义,即可求出各数的算术平方根.
解:(1)因为0.32 = 0.09,所以0.09的算术平方根是0.3,即=0.3;
(2)因为,所以的算术平方根是,即;
(3)因为52 = 52,所以52的算术平方根是5,即=5.
2.求下列各式的值:
(1) ; (2) ; (3)
分析:根据算术平方根的定义,即可求出结果.
解:(1);
(2) ;
(3) .
总结:在求 a 的算术平方根时,若 a 是有理数的平方,则 a 的算术平方根就不带根号;若 a 不是有理数的平方,则 a 的算术平方根就带有根号,如 .
3.排球比赛场地呈长方形,长是宽的2倍,面积为162m2. 它的长与宽分别是多少
分析:可设排球场地的宽是x m,则长为2x m,根据矩形的面积公式列出方程,求解即可.
解:设:排球场地的宽是x m,则长为2x m.
根据题意得:2x·x =162
∴x2 = 81
∴x = 9
∵x >0
∴x = 9
∴2x = 18
答:排球场地的宽是9 m,长为18 m.
师生活动:学生先独立作答,再随机选择学生回答.
设计意图:让学生进一步巩固所学知识,加强学生对算术平方根的概念及其性质的掌握,培养应用意识,锻炼运用能力和解题能力.
【限时训练】
1.填空:
(1)16的算术平方根是 ;(2)的算术平方根是 ;
(3)9的算术平方根是 ;(4)算术平方根是9的数为 ; (5)的算术平方根是 ;(6)的算术平方根是 .
答:4;2;3;81;;3
2.下列说法正确的是( )
A.-1的算术平方根是-1 B.0没有算术平方根
C.-1的相反数没有算术平方根 D.(-1)2的算术平方根是1
答:D
3.估计+1的运算结果应在哪两个连续自然数之间( )
A.1和2 B.2和3 C.3和4 D.4和5
解:因为+1<+1< +1,
即2+1< +1<3+1,
所以3< +1<4,
故选:C.
4.已知=0,求的值.
解:由题意得:
,,
解得:,,.
.
设计意图:题目设计由浅入深,由易到难,层层深入.对学生完成学习目标情况分层要求,分层达标,充分发挥教学评价的激励、调控功能,使全体学生即使是学习有困难的学生都达到基本的学习目标,获得成功感.
课堂总结
师生活动:教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么?
2.算术平方根的概念是什么?
3. 算术平方根的非负性指是什么?
4.什么是无限不循环小数?
设计意图:通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
同桌两人互相给对方出几道求一个数的算术平方根的计算题,看谁做的又快又对!
算术平方根是在学生学方根的基础上的进一步学习.同学们对平方根的概念已经掌握熟悉.这就为更好地引进算术平方根的概念打下基础.
这节课主要让学生理解并掌握算术平方根的定义、会求一个正数的算术平方根.利用多媒体教学首先分设三个问题情境,从而让学生体会数学与生活的联系,激发学习的兴趣.再根据问题引出算术平方根的定义,通过这样的具体例子,帮助学生深刻地理解所学的内容.让同学们发现平方根和算术平方根的区别与联系,总结算术平方根的非负性,并能根据其性质解决问题.
其次,通过剪正方形得出面积为2的大正方形的边长,从而解决了生活实际问题,让学生体会生活中的数学,探究如何估算算术平方根的取值范围,进而引出无限不循环小数的概念.
最后,引导学生谈收获,并相互交流,培养学生归纳的能力与养成总结的.良好学习习惯,给学生表达的机会,从而再次巩固所学内容.
在本节课中,本着以学生为主,突出重点的意图,结合学生的实际情况,在引入算术平方根的定义时,让学生发掘生活中已知面积而求边长的问题,把实际问题抽象成数学问题,通过例题和练习让学生总结,并关注算术平方根的写法格式,让学生体会算术平方根的含义,将想和做有机地结合起来,使学生在想与做中感受和体验,主动获取数学知识.第八章 实数
8.1平方根
第3课时
本节课是人教版《义务教育教科书·数学》七年级下册第八章 实数 8.1平方根,内容包括:第3课时算术平方根的估算.
本节课是在前面学习了乘方运算的基础上安排的,并以算术平方根为前提,是学习实数的准备知识,为学习二次根式做出了铺垫,提供了知识积累.新课标中提出,义务教育阶段的数学课程,要从数学本身的特点出发,从学生学习数学的心理规律和学生已有的知识经验出发,让学生经历一个实践、思考、探索交流、解释、应用的学习过程,本节课就在这个思想的指导下设计的:教材先讲解如何利用计算器求一个数的算术平方根,让学生在操作、探索、交流的过程中感悟算术平方根的意义及规律,同时让学生在学习知识技能的同时,注意数学思想方法和良好学习习惯的养成,使学生体验数学的“实践第一”和数学来源于实践,又服务于实践的思想.然后实际问题引出疑问如何估算一个数的大小?
基于以上分析,本节课的教学重点是:了解用计算器计算算术平方根的大小,掌握被开方数和其算术平方根近似值的小数点的移动规律,并能利用规律解题.
在本课学习之前,学生们已经掌握了一些完全平方数和如何求一个非负数的平方根和算术平方根,计算器也不陌生,所以学生很快能掌握用计算器计算非负数的平方根的近似值,学生能通过观察被开方数和其算术平方根近似值的小数点的移动得出规律,但估计一个含有根号的数的大小,并能用估算解决实际问题会有难度,应给予足够时间让学生理解.
基于以上分析,本节课的教学难点为:会估计一个含有根号的数的大小,并能用估算解决实际问题.
1.会用计算器求一个正数的算术平方根,知道算术平方根的小数点移动规律,培养学生的数感;
2.会估计一个含有根号的数的大小,并能用估算解决实际问题;
3.体验现代科技产品快捷、精确的功能,体会利用计算器给探求数量间的关系与变化带来的方便,激发学习、探索知识的兴趣;
4.感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
重点:了解用计算器计算算术平方根的大小,掌握被开方数和其算术平方根近似值的小数点的移动规律,并能利用规律解题.;
难点: 会估计一个含有根号的数的大小,并能用估算解决实际问题.
情境导入
问题1:《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有这样一幅图:如图,若在屋内墙角处堆放米(米堆为一个圆锥的四分之一),米堆的体积为36立方尺,米堆的高为5尺,米堆底部的弧长为多少尺 (取3)(圆锥体积公式=)
师生活动:教师提出问题,学生独立思考,教师引导,共同分析解决问题.
分析:求米堆底部弧长,即求圆的周长,根据圆的周长公式只要求出半径即可得出答案,但是根据圆锥体积公式,只能得出.
追问:28.8的算术平方根怎么求呢
设计意图:通过提供生活原型,反映了“数学是从人的需要中产生的”这一基本观点,寻机对学生进行热爱数学的宣传激励教育,点燃学生学习数学的兴趣之火和民族自豪感,培养学生探究生活实际问题的意识.
探究新知
活动一:探究用计算器求算术平方根
问题1:你能快速计算出的值吗?
师生活动:学生口答,引出计算器.
答:可以用计算器计算.
设计意图:让学生感受到对于被开方数较复杂,无法直接进行开方运算的数,我们可以用计算器来辅助计算.
大多数计算器都有键,用它可以求出一个正有理数的算术平方根(或其近似值).
按键顺序:
注意:计算器的型号不同,按键顺序可能有所不同,要注意阅读使用说明书.
问题2:请大家用计算器求下列各式的值:
; (2)(结果保留小数点后三位);
师生活动:学生仔细阅读计算器使用说明书,找到关于开方运算的说明,并按说明书上的范例操作,然后组内成员进行讨论,回答下列问题.
解:(1)依次按键 ,
显示:56.
所以 .
(2)依次按键 ,
显示:1.414213562.
所以 .
提示:计算器上显示的1.414 213 562 是的近似值.
设计意图:明确使用计算器进行开方运算的按键顺序,并进行实际操作,初步学会计算器的使用方法.通过自主探索,让学生亲身体验操作方法,充分体现了学生的主体作用.
问题3:你能利用计算器求出本章引言中提出的问吗?
当“天问一号”火星探测器的速度大于第二宇宙速度v(单位:m/s)时,它就会克服地球引力,永远离开地球,飞向火星. v的大小满足v2=2gR,其中g是地球表面的重力加速度,g≈9.8 (单位:m/s2),R是地球半径,R≈6.4×106 (单位:m).怎样求v呢
师生活动:学生独立思考完成计算,教师巡视帮助有计算困难的学生.
解: 由v2=2gR及v的实际意义,得v=,其中g≈9.8 (单位:m/s2),R≈6.4×106 (单位:m).用计算器求得
v≈=1.12×104 .
因此,第二宇宙速度v约为 1.12×104 m/s,即 11.2 km/s.
设计意图: 用计算器辅助解决情境中的问题,体验现代科技产品快捷、精确的功能,体会计算器对我们深入认识世界的帮助作用.
活动二:探究算术平方根的规律
问题4:用计算器计算下表中的算术平方根,并将计算结果填在表中,你发现了什么规律?你能说出其中的道理吗?
师生活动:学生使用计算器计算开方数并完成表格,学生独立思考后,合作交流讨论,教师根据学生回答的情况进行评价,引导学生总结得出规律.
答:
规律:被开方数的小数点向右或向左移动2位,算术平方根的小数点相应地向右或向左移动1位.
追问:你能用数学知识解释发现的规律吗?
答:被开方数小数点向右或向左移动2位,相当于被开方数乘以或除以100,所以开方后算术平方根就相应的乘以或除以10,故算术平方根的小数点向右或向左移动1位.
设计意图:锻炼计算器计算算术平方根的方法,培养学生掌握利用图表整理数据和观查图表获取信息的能力,培养数感和自主探究的习惯.
问题5:用计算器计算(结果保留小数点后三位),并利用你在(1)中发现的规律求出,,的近似值,你能根据的值求出的近似值吗
师生活动:学生合作交流讨论,得出答案,教师根据学生回答的情况进行评价.
答:依次按键 ,显示:1.732 050 808,所以.
; ;
算术平方根的小数点相应地向右或向左移动一位.不符合规律.
结论:不能根据的值求出的近似值.
设计意图:计算器的使用可以使学生从繁杂的运算中解放出来,将更多的精力放在更有意义的活动中,可以使学生的学习重点更好地集中到理解数学本质上来,并能运用探索出的规律解决问题,培养学生从特殊到一般解决数学问题的思想.
活动三:探究算术平方根的应用
问题6:小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片,沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片,使它的长与宽的比为3∶2,但她不知能否裁得出来,正在发愁,小明见了说:“别发愁,一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片!”
你同意小明的说法吗?小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗?
分析:可根据长宽之比为 3:2 和边长与面积的关系设方程,得到长方形的长和宽,再与正方形的边长作比较.估计边长的大小可用前面学习的方法.
解:设长方形纸片的长为 3x cm ,宽为 2x cm,根据边长与面积的关系,得
3x 2x = 300 ,
6x2 = 300 ,
x2 = 50.
由边长的实际意义,得 x = ,
因此长方形纸片的长为 3 cm . ( 3就是3)
因为50 > 49,所以 > 7.
由上可知 3 > 21,即长方形纸片的长应该大于 21 cm.
因为 = 20,所以正方形纸片的边长只有 20 cm.
这样,长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.
答:不同意小明的说法,小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片.
估算算术平方根的值的方法:
估算(a≥0)的值时,首先要找到与被开方数a最接近的两个连续完全平方数m,n(m应用新知
【经典例题】
例1 已知面积为37的正方形的边长为x,则x的取值范围是( )
A. 4分析:∵面积为37的正方形的边长为x,
∴x2 =37,
∵x>0,∴x= ,
∵36<37<49,
∴6故选C.
总结:估计一个有理数的算术平方根的近似值,必须先判断这个有理数位于哪两个数的平方之间.
例2 通过估算比较下列各组数的大小:
(1)与 1.9; (2) 与 1.5.
解: (1)∵5>4,
∴ > 1.9
(2)∵6>4,
∴ > 2,
∴> ,即 >1.5
总结:比较数的大小,先估计其算术平方根的近似值.
例3 阅读下面的文字:
∵22<7<32,∴2<<3
∴的整数部分为2,小数部分为.
请解答下面的问题:
(1)的整数部分是 ,小数部分是 ;
(2)如果的小数部分为a,的整数部分为b,求a+b-的值.
分析:(1)∵42<20<52,∴4<<5
∴的整数部分为4,小数部分为.
(2)分别得出,的取值范围进而得出答案.
解:(2)∵22<5<32,∴2<<3
∴的小数部分为a=2
∵52<35<62,∴5<<6
∴的整数部分为b=5
∴a+b- =-2+5- =3.
师生活动:教师在黑板上展示例题,提示学生仔细审题,找出问题的突破点.学生思考并尝试解答.教师讲解完后,询问学生是否理解每一步的操作,鼓励学生提出疑问.
设计意图:通过典型例题让学生巩固新知,培养学生逻辑思维能力,锻炼学生的推理能力.
课堂练习
【教材练习】
1.用计算器求下列各式的值:
(1); (2); (3)(结果保留小数点后三位).
解:(1)依次按键 ,
显示:31.
所以 = 31.
(2)依次按键 ,
显示:9.81835.
所以 ≈9.818.
(3)依次按键,
显示:31.
所以 = 31.
2.下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间
(1); (2); (3).
分析:解题关键是求出被开方数在哪两个相邻的平方数之间,根据算术平方根的定义,估计这些数的大小即可.
解:(1)∵4<5<9,
∴2<<3
即在2与3之间.
(2)∵25<26<36,
∴5<<6
即在5与6之间.
(3)∵1<<4,
∴1<<2
即在1与2之间.
3.长方形画纸的面积为 700cm2,长与宽的比为5:4. 王芳想从中裁出半径为 12 cm 的圆形画纸,她的想法可行吗
分析:长方形画纸的宽大于或等于圆形画纸的直径,想法可行,反之则不可行.
可设长方形画纸的长是5x m,则宽为4x m.列方程可求出长方形画纸的宽,再让长方形画纸的宽与直径比较即可得出结果.
解:设长方形纸片的长为 5x cm ,宽为 4x cm,根据边长与面积的关系,
得 5x 4x = 700 ,
20x2 = 700 ,
x2 = 35.
由边长的实际意义,得 x = ,
因此长方形画纸的宽为 4 cm
圆形画纸的直径为12×2=24cm
因为35<36,所以<6,
所以4<24.
所以不能裁出半径为12cm的圆形画纸.
答:王芳的想法不可行.
师生活动:学生先独立作答,再随机选择学生回答.
设计意图:让学生进一步巩固所学知识,加强学生对本节知识的掌握,培养应用意识,锻炼运用能力和解题能力.
【限时训练】
1.在计算器上按键显示的结果是( )
A.7 B.-7 C.29 D.18
答:A
2.已知≈2.449,不再利用其它工具,能确定出近似值的是( )
A. B. C. D.
答:C
3.①已知≈7.2801,则≈ ;
②已知≈2.65,≈8.37,则≈ ;
③已知≈4.4889,若≈0.044889,则x≈ .
答:①72.801;②0.0837;③0.002015
4.设2+的整数部分和小数部分分别是x、y,试求x、y的值与x-1的算术平方根.
解:因为4<6<9,所以2<<3,
即的整数部分是2,
所以2+的整数部分是4,小数部分是2+-4=-2,即x=4,y=-2,
所以==.
5.已知一个长方形的长为11m,宽为9m,按照长方形的边进行裁剪,裁剪出两个大小不一的正方形,使它们的边长之比为5:4.面积之和为82m2,这两个正方形的面积分别是多少 能否裁出这两个正方形,并说明理由.
分析:根据正方形的边长比设大正方形的边长为5x,小正方形的边长为4x ,两个正方形的面积之和为82m2,列出方程求出x.
再把两个正方形边长之和与长方形的长进行比较,若边长之和>长,则不能裁出.
解:设大正方形的边长为5xm,小正方形的边长为4xm,
由题意可知:(5x)2+(4x)2 = 82,即41x2=82
由边长的实际意义,得 x = ,
∴大正方形的面积为(5x)2=(5)2=50m2,
小正方形的面积为(4x)2=(4)2=32m2,
两个正方形的边长之和为:5x+4x=9x=m.
∵,∴,∴>11.
答:不能裁出这样两个正方形.
设计意图:设置分层作业,兼顾不同水平的学生,关注差异,使学生获得各自的发展,加深学生对知识进一步理解的同时,扩展学生的思维,让优秀生有施展的舞台.
课堂总结
师生活动:教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么?
2.如何用计算器求一个数的算术平方根?
3.算术平方根小数点移动的规律是什么?
4.如何估算在哪两个整数之间?
设计意图:通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
同桌两人互相给对方写几个非负数,并用计算器求出这些数的算术平方根(结果保留三位小数),看谁算的又快又对!
在本节课中,本着以学生为主,突出重点的意图,结合学生的实际情况,在引入用计算器求算术平方根的同时,发现算术平方根小数点移动规律,培养学生掌握利用图表整理数据和观查图表获取信息的能力,培养数感和自主探究的习惯.
在解决问题的同时引导学生对解决方法进行总结,和学生一起归纳出估算的方法,让学生从被动学习到主动探究,激发学生的学习热情,培养学生自主学习数学的能力,通过独立思考与小组讨论相结合的方式解决新的实际问题,让学生初步体会数学知识的实际应用价值.

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