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分课时教学设计
《4.3用乘法公式分解因式（第2课时）》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 分解因式是在学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。运用完全平方公式因式分解不仅是现阶段的学习重点，也为以后学习分式的通分和约分，二次根式的计算与化简，以及解方程都奠定了基础。
学习者分析 学生已经学习了因式分解的概念，掌握了因式分解的方法——提公因式法和利用平方差公式分解因式法，而且在第三章学习了完全平方公式，为本节课奠定了基础；学生经过一学期的小组合作的学习模式，小组交流趋于成熟，有较高的学习兴趣，也为本节课自主探究，合作交流的教学模式做好充分的准备。
教学目标 1.理解完全平方公式的特点； 2.能熟练地运用完全平方公式分解因式； 3.能综合运用提公因式、完全平方公式分解因式这两种方法进行求值和证明．
教学重点 用完全平方式分解因式.
教学难点 综合运用提取公式式、公式法分解因式.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 1.因式分解： 把一个多项式转化为几个整式的积的形式. 2.我们已经学过哪些因式分解的方法？ 提公因式法 平方差公式 a2–b2=(a+b)(a–b) 3.完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2学生活动1： 学生思考，一起回答。活动意图说明： 通过设置问题，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣，在回忆旧知识的同时，自然切入本节课所要学习的内容.环节二：用完全平方公式分解因式教师活动2： 你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？ 这个大正方形的面积可以怎么求？ 将上面的等式倒过来看，能得到： 由乘法的完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2，可得： a2+2ab+b2＝(a+b)2， a2-2ab+b2＝(a-b)2 两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方. 我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫作完全平方式. 在运用完全平方公式进行因式分解时,关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式。 例如:多项式9x2-6x+1能用完全平方公式分解因式吗 一般地，利用公式 a2-b2=(a+b)(a-b)，或a2±2ab+b2=(a±b)2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法. 注意：公式中的a，b可以是数，也可以是整式. 做一做：填写下表 你能总结出完全平方式的特点吗？ a2+2ab+b2＝(a+b)2， a2-2ab+b2＝(a-b)2 完全平方式的特点： 1.必须是三项式(或可以看成三项的)； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 简记口诀：“首平方，尾平方，首尾两倍在中央”. 例3 把下列各式分解因式: (1)4a2+12ab+9b2. (2) -x2+4xy-4y2. (3) 3ax2+6axy+3ay2. 解： (1) 4a2+12ab+9b2 =(2a)2+2·(2a)·(3b)+(3b)2 =(2a+3b)2. (2) -x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2) =-[x2-2·x·(2y)+(2y)2] =-(x-2y)2. (3) 3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2. 先提公因式，再套用公式，平方项为负的先提出负号．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止． 例4 分解因式:(2x+y)2-6(2x+y)+9. 分析：把(2x+y)看做一个整体,多项式就是一个关于(2x+y)的完全平方式. 解： (2x+y)2-6(2x+y)+9 =(2x+y)2-2·(2x+y)·3+32 =[(2x+y)-3]2 =(2x+y-3)2. 1.利用完全平方公式因式分解的关键是识别完全平方式； 先找某两数平方和 再验证两数积的 2 倍 利用完全平方公式因式分解 2.多项式分解因式时要先观察是否有公因式，有公因式要先提公因式，再判断多项式因式是否可以继续分解.学生活动2： 学生思考。 学生在教师的引导下回答。 学生掌握理解因式分解完全平方公式。 学生完成做一做，总结完全平方式的特点。 学生完成例题，举手展示答案。 学生与教师一起总结用完全平方公式因式分解的注意事项。 活动意图说明： 在对完全平方公式因式分解的探究中，了解完全平方公式的几何意义，掌握公式的特征。通过对运用完全平方公式进行因式分解的探究学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，感悟数据的意义与价值。
板书设计 课题：4.3用乘法公式分解因式（第2课时） 1.完全平方公式： 2.公式法：
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列各式中,能用完全平方公式分解因式的是(　C 　) A. 4x2-1 B. 4x2+4x-1 C. x2-x+ D. x2-xy+y2 2.若多项式x2－3(m－2)x＋36能用完全平方公式分解因式，则m的值为(　A　 ) A．6或－2 B．－2 C．6 D．－6或2 3.分解因式: (1) 9x2-12x+4;(2) -a2+6ab-9b2; (3) (x-y)2+10(x-y)+25;(4) x2(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1). 解：(1) (3x-2)2　 (2) -(a-3b)2　 (3) (x-y+5)2　 (4) (y+1)(y-1)(x+1)2 选做题： 4.如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a2，ab，ab，b2，其中a＞0，b＞0，则原正方形的边长是(　B 　) A．a2＋b2 B．a＋b C．a－b D．a2－b2 5.若多项式x2-3(m-2)x+36能用完全平方公式分解因式,则m的值为(　A　) A. 6或-2 B. -2 C. 6 D. -6或2 【综合拓展类作业】 6.我们知道对于二次三项式x2＋2ax＋a2这样的完全平方式可以用公式法将它们分解成(x＋a)2的形式，但是，对于二次三项式x2＋4ax＋3a2，就不能直接用完全平方公式因式分解，可以采用如下方法： x2＋4ax＋3a2 ＝x2＋4ax＋4a2－a2① ＝(x＋2a)2－a2② ＝(x＋3a)(x＋a)③ (1)在第①步中，将“＋3a2”改写成“＋4a2－a2”，获得的式子“x2＋4ax＋4a2”叫___完全平方式___； (2)从第②步到第③步，运用的数学公式是___平方差公式__； (3)用上述方法把a2－8a＋15分解因式． 解：a2－8a＋15＝a2－8a＋16－1＝(a－4)2－1 ＝(a－4＋1)(a－4－1)＝(a－3)(a－5)．
课堂总结 1.完全平方公式： a2+2ab+b2＝(a+b)2， a2-2ab+b2＝(a-b)2 两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方. 完全平方式的特点： （1）必须是三项式(或可以看成三项的)； （2）有两个同号的数或式的平方； （3）中间有两底数之积的±2倍. 2.公式法： 一般地，利用公式 a2-b2=(a+b)(a-b)，或a2±2ab+b2=(a±b)2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列因式分解正确的是(　C 　) A. 16a2-4ab+b2 =(4a-b)2 B. m2+mn+n2=(m+n)2 C. 9x2-24xy+16y2=(3x-4y)2 D. m2+2mn+n2=(m+n)2 2.把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是(　C　) A．2a(4a2－4a＋1) B．8a2(a－1) C．2a(2a－1)2 D．2a(2a＋1)2 3.分解因式： (1)m2＋4m＋4＝__(m＋2)2__； (2)x2＋2x＋1＝__(x＋1)2__． 选做题： 4.有下列各式:① 10am-15a;② 4xm2-9x;③ 4am2-12am+9a;④ -4m2-9.其中,含有因式2m-3的有(　C　 ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5．把(a-3b)2-4(a-3b)c+4c2分解因式的结果是(　 B 　) A. (a-3b+3c)2 B. (a-3b-2c)2 C. (a+3b+2c)2 D. (a+3b-2c)2 【综合拓展类作业】 6.已知x2－y2＝20，求[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy]的值． 解：[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy] ＝(x2＋2xy＋y2)(x2－2xy＋y2) ＝(x＋y)2(x－y)2 ＝[(x＋y)(x－y)]2 ＝(x2－y2)2＝400.
教学反思 探索分解因式的方法，实际上是对整式乘法的再认识，因此要借助学生已有的整式乘法运算的基础，经过上节课对平方差公式法的探究学习，学生加深了对因式分解和整式乘法关系的理解，并且掌握了一定的探究方法，可以用类比探究的方法激励学生通过独立思考与讨论交流提出对完全平方公式法的猜想，并运用数学符号进行表示，然后再运用所学的知识去验证、总结。在这一对比整式的乘法而探索分解因式方法的相关活动过程中，渗透类比思想，让学生体会、理解、认识分解因式的意义，感受因式分解与整式乘法之间的联系，可以充分感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性，加深整式乘法与因式分解的互逆关系的认识、培养自主学习探究学习的习惯。
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（浙教版）七年级
下
4.3用乘法公式分解因式（第2课时）
因式分解
第4章
“四”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1.理解完全平方公式的特点；
2.能熟练地运用完全平方公式分解因式；
3.能综合运用提公因式、完全平方公式分解因式这两种方法进行求值和证明．
新知导入
1.因式分解：
把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？
提公因式法
平方差公式
a2–b2=(a+b)(a–b)
3.完全平方公式
(a±b)2=a2±2ab+b2
新知讲解
任务：用完全平方公式分解因式
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？
同学们拼出图形为：
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a
b
ab
新知讲解
这个大正方形的面积可以怎么求？
a2+2ab+b2
(a+b)2
=
a
b
a
b
a
ab
ab
b
(a+b)2
a2+2ab+b2
=
将上面的等式倒过来看，能得到：
新知讲解
由乘法的完全平方公式：
(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2，可得：
a2+2ab+b2＝(a+b)2， a2-2ab+b2＝(a-b)2
我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫作完全平方式.
两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，
等于这两数和（或者差）的平方.
新知讲解
在运用完全平方公式进行因式分解时,关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式。
例如:多项式9x2-6x+1能用完全平方公式分解因式吗
完全平方式
新知讲解
一般地，利用公式 a2-b2=(a+b)(a-b)，或a2±2ab+b2=(a±b)2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法.
注意：公式中的a，b可以是数，也可以是整式.
新知讲解
做一做：填写下表
多项式 是否是完全平方式 表示成(a±b)2的形式 a表示什么 b表示什么
是
是
不是
不是
是
是
你能总结出完全平方式的特点吗？
新知讲解
a2+2ab+b2＝(a+b)2， a2-2ab+b2＝(a-b)2
完全平方式的特点：
1.必须是三项式(或可以看成三项的)；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
简记口诀：“首平方，尾平方，首尾两倍在中央”.
2
a
b
+b2
±
=(a ± b)
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
新知讲解
例3 把下列各式分解因式:
(1)4a2+12ab+9b2. (2) -x2+4xy-4y2. (3) 3ax2+6axy+3ay2.
解： (1) 4a2+12ab+9b2 =(2a)2+2·(2a)·(3b)+(3b)2
=(2a+3b)2.
(2) -x2+4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2)
=-[x2-2·x·(2y)+(2y)2]
=-(x-2y)2.
(3) 3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2.
先提公因式，再套用公式，平方项为负的先提出负号．
注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．
新知讲解
例4 分解因式:(2x+y)2-6(2x+y)+9.
解： (2x+y)2-6(2x+y)+9
=(2x+y)2-2·(2x+y)·3+32
=[(2x+y)-3]2
=(2x+y-3)2.
分析：把(2x+y)看做一个整体,多项式就是一个关于(2x+y)的完全平方式.
新知讲解
1.利用完全平方公式因式分解的关键是识别完全平方式；
先找某两数平方和
再验证两数积的 倍
利用完全平方公式因式分解
2.多项式分解因式时要先观察是否有公因式，有公因式要先提公因式，再判断多项式因式是否可以继续分解.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.下列各式中,能用完全平方公式分解因式的是(　 　)
A. 4x2-1 B. 4x2+4x-1
C. x2-x+ D. x2-xy+y2
C
2.若多项式x2－3(m－2)x＋36能用完全平方公式分解因式，则m的值为(　　 )
A．6或－2 B．－2 C．6 D．－6或2
A
3．分解因式:
(1) 9x2-12x+4;(2) -a2+6ab-9b2;
(3) (x-y)2+10(x-y)+25;(4) x2(y2-1)+2x(y2-1)+(y2-1).
解：(1) (3x-2)2　
(2) -(a-3b)2　
(3) (x-y+5)2　
(4) (y+1)(y-1)(x+1)2
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
4.如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a2，ab，ab，b2，其中a＞0，b＞0，则原正方形的边长是(　 　)
A．a2＋b2
B．a＋b
C．a－b
D．a2－b2
B
5． 若多项式x2-3(m-2)x+36能用完全平方公式分解因式,则m的值为(　 　)
A. 6或-2 B. -2 C. 6 D. -6或2
　
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
A
6.我们知道对于二次三项式x2＋2ax＋a2这样的完全平方式可以用公式法将它们分解成(x＋a)2的形式，但是，对于二次三项式x2＋4ax＋3a2，就不能直接用完全平方公式因式分解，可以采用如下方法：
x2＋4ax＋3a2
＝x2＋4ax＋4a2－a2①
＝(x＋2a)2－a2②
＝(x＋3a)(x＋a)③
【综合拓展类作业】
课堂练习
【综合拓展类作业】
课堂练习
(1)在第①步中，将“＋3a2”改写成“＋4a2－a2”，获得的式子“x2＋4ax＋4a2”叫________________；
(2)从第②步到第③步，运用的数学公式是________________；
(3)用上述方法把a2－8a＋15分解因式．
完全平方式
平方差公式
解：a2－8a＋15＝a2－8a＋16－1＝(a－4)2－1
＝(a－4＋1)(a－4－1)＝(a－3)(a－5)．
课堂总结
1.完全平方公式：
a2+2ab+b2＝(a+b)2， a2-2ab+b2＝(a-b)2
两数的平方和，加上（或者减去）这两数的积的2倍，等于这两数和（或者差）的平方.
完全平方式的特点：
（1）必须是三项式(或可以看成三项的)；
（2）有两个同号的数或式的平方；
（3）中间有两底数之积的±2倍.
课堂总结
2.公式法：
一般地，利用公式 a2-b2=(a+b)(a-b)，或a2±2ab+b2=(a±b)2把一个多项式分解因式的方法，叫做公式法.
板书设计
1.完全平方公式：
2.公式法：
课题：4.3用乘法公式分解因式（第2课时）
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1．下列因式分解正确的是(　 　)
A. 16a2-4ab+b2 =(4a-b)2 B. m2+mn+n2=(m+n)2
C. 9x2-24xy+16y2=(3x-4y)2 D. m2+2mn+n2=(m+n)2
C
2．把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是(　　)
A．2a(4a2－4a＋1) B．8a2(a－1)
C．2a(2a－1)2 D．2a(2a＋1)2
C
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
3.分解因式：
(1)m2＋4m＋4＝________；
(2)x2＋2x＋1＝________．
(m＋2)2
(x＋1)2
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
4.有下列各式:① 10am-15a;② 4xm2-9x;③ 4am2-12am+9a;④ -4m2-9.其中,含有因式2m-3的有(　　 )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
5.把(a-3b)2-4(a-3b)c+4c2分解因式的结果是(　 　)
A. (a-3b+3c)2 B. (a-3b-2c)2
C. (a+3b+2c)2 D. (a+3b-2c)2
B
【综合拓展类作业】
作业布置
6.已知x2－y2＝20，求[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy]的值．
解：[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy]
＝(x2＋2xy＋y2)(x2－2xy＋y2)
＝(x＋y)2(x－y)2
＝[(x＋y)(x－y)]2
＝(x2－y2)2＝400.
Thanks!
2
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册、第4章
课标要求 【内容要求】能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数为正整数）。【学业要求】能用提公因式法、公式法（对二次式直接利用平方差公式或完全平方公式）进行因式分解（指数为正整数）。
内容分析 本章主要内容：（1）因式分解的意义；（2）提取公因式法；（3）用乘法公式分解因式。因式分解是整式的一种重要的恒等变形、它和整式的乘法，尤其是多项式的乘法联系十分密切。因式分解的几种基本方法都是直接依据整式乘法的各个法则和乘法公式。因式分解又是分式的化简、运算和解一元二次方程的重要基础，是学生进一步学习数学不可缺少的基础知识和基本技能。
学情分析 学生已经熟悉乘法的分配律与其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因数分解的引入，学生不会感到陌生，它为学习分解因式打下了良好根底，由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于七年级学生还比较生疏，承受起来还有一定的困难，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，为深入学习提供了必要的根底.所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点。学生已经学方差公式与完全平方公式，将其逆用就是主体知识.对于公式逆用，分析公式的结构特征，整体思想换元进行分解因式以与要求分解彻底等是又一个难点。
单元目标 教学目标1.了解因式分解的意义，会判别各项的公因式，能用提取公因式法分解因式。2.会用平方差公式、完全平方公式（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）。3.通过对平方差公式、完全平方公式的逆向变形，体会类比、换元思想，提高处理数学问题的技能。(二)教学重点、难点教学重点：能准确、熟练、灵活地运用因式分解的根本方法对多项式进展因式分解。教学难点：分解要彻底、灵活运用因式分解解决问题。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架
（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数4.1因式分解的意义1课时4.2提取公因式法1课时4.3用乘法公式分解因式2课时
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1因式分解的意义1.了解因式分解的概念。2.体会因式分解与整式的乘法的区别与联系，并会运用整式的乘法运算检验因式分解的正确性，强化运算能力。1.了解因式分解的概念。2.知道因式分解与整式的乘法的区别与联系3.会运用整式的乘法运算检验因式分解的正确性，强化运算能力。任务一：设置问题，引出新课任务二：因式分解任务三：因式分解与整式乘法的关系4.2提取公因式法1.理解公因式的概念，会找出多项式中的公因式。2.能用提取公因式法分解因式，理解添括号法则。3.进一步理解因式分解的意义，感受整体思想的运用。1.理解公因式的概念，会找出多项式中的公因式。2.能用提取公因式法分解因式，理解添括号法则。任务一：设置问题，引出新课任务二：公因式任务三：提取公因式法分解因式4.3用乘法公式分解因式（第1课时）1.会用平方差公式分解因式，进一步掌握因式分解的一般步骤；2.培养学生逆向思维能力，进一步体会整体、转化思想的应用.1.掌握因式分解平方差公式。2.会用平方差公式分解因式，进一步掌握因式分解的一般步骤。任务一：设置问题，引出新课任务二：用平方差公式分解因式4.3用乘法公式分解因式（第2课时）1.理解完全平方公式的特点；2.能熟练地运用完全平方公式分解因式；3.能综合运用提公因式、完全平方公式分解因式这两种方法进行求值和证明．1.理解完全平方公式的特点；2.能熟练地运用完全平方公式分解因式；3.能综合运用提公因式、完全平方公式分解因式这两种方法进行求值和证明．任务一：设置问题，引出新课任务二：用完全平方公式分解因式
《第4章 》因式分解 单元教学设计
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