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4.4 幂函数（教学设计）
教材分析
幂函数是在继一次函数、反比例函数、二次函数之后，又学习了单调性、最值、奇偶性的基础上，借助实例，总结出幂函数的概念，再借助图像研究幂函数的性质.
教学目标与核心素养
课程目标
1、理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x的图象；
2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质；
3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．
数学学科素养
1.数学抽象：用数学语言表示函数幂函数；
2.逻辑推理：常见幂函数的性质；
3.数学运算：利用幂函数的概念求参数；
4.数据分析：比较幂函数大小；
5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用幂函数性质、图像特点解决实际问题。
教学重难点
重点：常见幂函数的概念、图象和性质；
难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小．
课前准备
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程
情景导入
我们已经知道，在关系式＝ 中，当底数a为大于０且不等于１的常数时：
如果把b作为自变量、N 作为因变量，则N 就是b的指数函数；如果把N 作为自变
量、b作为因变量，则b就是N 的对数函数 （即b=logaN）．那么，当b为常数时，
能否将底数a作为自变量、N 作为因变量来构造函数关系呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
预习课本，引入新课
阅读课本34-36页，思考并完成以下问题
1. 幂函数是如何定义的？ 2. 幂函数的解析式具有什么特点？
3. 常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
新知探究
1．幂函数
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
幂函数的性质
幂函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
定义域 R R R [0,+∞) (-∞,0)∪ (0,+∞)
值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0)∪ (0,+∞)
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数
单调性 在R上是增函数 在[0,+∞)上是增函数,在(-∞,0]上是减函数 在R上是增函数 在[0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是减函数
公共点 (1,1)
四、典例分析、举一反三
题型一 幂函数的概念
例1 函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m的值.
【答案】m=3
【解析】根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.
当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数;
当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3.
解题技巧：（判断一个函数是否为幂函数）
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形 式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂 函数,则该函数必具有这种形式.
跟踪训练一
1.如果幂函数y=(m2-3m+3)的图象不过原点,求实数m的取值.
【答案】m=1或m=2.
【解析】　由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;
当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;
当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.
综上所述,m=1或m=2.
题型二 幂函数的图象与性质
例2　已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,
则a,b,c的大小关系为 (　　)
A.c【答案】A
【解析】由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0解题技巧：(幂函数图像与性质)
1.本题也可采用特殊值法,如取x=2,结合图象可知2a>2b>2c,又函数y=2x在R上是增函数,于是a>b>c.
2.对于函数y=xα(α为常数)而言,其图象有以下特点:
(1)恒过点(1,1),且不过第四象限.
(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).
(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y= y=x,y=x3)来判断.
(4)当α>0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都是增函数;当α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都是减函数.
跟踪训练二
1.如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是(　　)
A.nm>0 D.m>n>0
【答案】 A
【解析】画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,n题型三 利用幂函数的单调性比较大小
例3 比较下列各组中两个数的大小:
;
.
【答案】见解析
【解析】
(2)∵幂函数y=在[0,+∞)上是增函数,又,∴.
(3)∵函数y1=在定义域内为减函数,且,∴.
又函数y2=在[0,+∞)上是增函数,且,∴.∴.
解题技巧：（比较幂函数大小）
1.比较幂大小的三种常用方法
2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题
比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.
跟踪训练三
1. 已知a=,b=,c=2,则(　　)
A.b【答案】A
【解析】　∵a==1,b==1,c=2, ∴a>b,a五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
(
3
.3幂函数
幂函数概念
例1
例2
例3
幂函数的图像性质
)
七、作业
课本37页习题4-4A组1,2,4 B组 1
教学反思
本节主要学习了一类新的函数：幂函数。主要就幂函数的形式定义、图像性质、比较大小三方面学习幂函数.尤其比较大小与前面函数单调性密切相关，因此本节课需要学生熟记定义及图像特征.
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1
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