资源简介

《函数的平均变化率》教学设计
授课班级 高一4 授课内容 函数的平均变化率 课时 1
教材分析与学情分析 《函数的平均变化率》是高中人教 B 版必修第一册第三章中函数单调性第三课时的内容，事实上也是学生学习了函数单调性的概念和证明后引入的内容.在初中学生已经接触过包括一次函数单调性在内的知识，在高中阶段又学习了函数的概念和单调性的概念及证明方法，本节课在此基础上展开.
教学目标与核心素养 1. 通过概念的引入，利用已有知识，师生共同探究，得出直线的斜率的几何意义； 2. 通过探究掌握三点共线的等价条件；3. 通过对函数单调性充要条件的探究，掌握利用函数平均变化率判断函数单调性的方法.数学核心素养是数学教学的重要目标，本节主要加强学生逻辑推理素养和数学运算素养的培养.
教学重点难点 重点 掌握利用函数平均变化率判断函数单调性的方法.
难点 对函数单调性等价形式的探究.
课前准备 教师准备 通过概念引入新知符合学生的认知基础，由直线斜率的概念引入，结 合已有知识，探究直线斜率的几何意义，得出三点共线的等价条件.在引导学生回顾函数定义的基础上，理解为什么任意一个函数图象上 的两点确定的直线的斜率一定存在.从而由任意两点连线的斜率的符号与 函数单调性之间的关系得出函数单调性的充要条件.通过例题解析引导学 生比较两种证明方法的优缺点.
学生准备 由一次函数单调性证明结合三点共线的充要条件给出一次函数的图象是直 线的说理过程，通过对课本尝试与发现的进一步挖掘，引导学生对函数图 象的性质深层次思考，并以数论形加以证明，强化知识生成，使学生能力得到提升.
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教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
教学过程 任务 1：直线的斜率的概念；任务 2：为什么当x1 = x2 时，直线斜率不存在？探究斜率不存在时直线的几何特征.任务 3：探究直线斜率的几何意义.(GGB 动态展示)直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度 .任务 4：探究三点共线的充要条件 ( 超链接 / 三点共线的等价条件.ggb ).A 、B 、M三点共线 直线AB 和AM斜率都不存在或kAB = kAM . 学生活 动：思 考为什 么引入x1 x2 这一条 件？任务 1： 【 思 考 】 有 人说任 何一个 函数图 象上的 两 个 点 ， 它 们所确 定的直 线的斜 率一定 存在 ， 这种说 法 对 吗？任意的 x 对应唯 一的y. 强化概念学习， 【达成目标一】引导学生深层 次思考，注重知 识 生 成 过 程 . 【达成目标一】在信息技术的 支持下，让学生 能够更为有趣、 更为形象、更为 有效的理解数 学的精髓、本质 和规律.【达成 目标一】为论证一次函 数的是线性函 数奠定基础【达 成目标二】在引导学生回 顾函数定义的 基础上，理解为 什么任意一个 函数图象上的 两点确定的直 线的斜率一定 存在.【达成目 标三】
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kAB常 Δy= =Δx y2 一 y1x 一 x > 0 任务 2： 【 尝试与 发 现】师生共 研探究 函数单 调性的 充要条件. 从 而 由 任 意 两 点连线的斜率 的符号与函数 单调性之间的 关系得出函数 单调性的等价 形式.注重知识 生成过程，使本 节课难点得以突破.【达成目标三】为借助平均变 化率来理解和 证明函数的单 调性打下基础. 【达成目标三】 通过例题解析 引导学生比较 两种证明方法 的优缺点.【达 成目标三】辨析函数在两 个区间上减，但 整体不具有单 调性.【达成目 标三】变式训练，强化 对知识的理解. 【达成目标三】由一次函数单 调性证明结合 三点共线的等 价条件给出一 次函数的图象 是直线的说理 过程【达成目标 三】
(x 2 一 x1 )(y 2 一 y 1 ) > 0 常 当x1 < x 2 时，有 y1 < y 2 ;
函数单调递增任务 1：平均变化率的概念平均变化率等于区间两端点连线的斜率任务 2：利用上述结论判断函数y = 一2x 的单调性.师生共研，利用函数的平均变化率判断函数单调性.任务 3：例3.求证：函数y = 在区间(一 伪，0)和(0，+ 伪)上都是减函数.: 函数 y = 的单调减区间是 (一 伪 ，0 ) u (0，+ 伪 ).能不能这样写？为什么？任务 4：例4.判断一次函 = kx +b(k 牛 0)的单调性.有人说一次函数的图象是一条直线，这种说法对吗？为什么？本节课我们学习了哪些内容？
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板书设计 直线的斜率公式：kAB = = 函数单调性的充要条件...... 3. 1.2 函数的平均变化率1 ．例题推导过程：2.作图分析过程......
教学反思 本节课是学生函数单调性的概念和证明后引入的内容。一、复习引入渗透核心素养新的课程标准所强调的核心理念是数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有 知识的经验基础之上，强化对概念的理解，注重知识的生成过程，对学生来说十分必 要。逻辑推理能力是新特标要求下的六大核心素养之一，本节主要加强学生逻辑推理素养 和数学运算素养的培养.在能力提升对问题的分析中，通过提出问题、分析问题、解决问题的完整 探究提升学生的逻辑推理素养。二、蕴含思想方法的教学过程通过对概念的强化理解，提出问题，分析问题，解决问题的完整探索，提升学生的逻 辑推理素养。对函数性质问题的一般方法的探究，渗透数形结合和分类讨论的数学思 想。三、基于信息技术的数学手段信息技术与学科教学整合是我国未来基础教育改革的必然趋势。而信息技术与数学学 科整合将带来课程内容、课程实施、课程评价和课程资源的变革，必将催生出新的教 学模式。本节课利用 GGB 作图，并动态演示作图过程，为学生清晰的呈现出探索过程， 有利于学生形象的抽象出数学模型。教学实践表明，在信息技术的支持下，学生能够 更为有趣、更为形象、更为有效的理解数学的精髓、本质和规律。四、富含成就感的数学问题实践课堂数学课堂不仅要给学生呈现冷冰冰的数学知识，还要培养学生的学科兴趣和学科自信。 能力提升实操训练活学活用，将本节课的新知生成探究过程应用到数学问题实践，将有效增强学生学习数学的信心，化繁为简，体会数学的深刻性。
注：1 、表格和高度和宽度可以根据需要作适当的调整，但不可把某一个项目调没了。
2 、备注栏填写的内容为生成设计或板块，教学反思字数不少于 200 字。
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