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第八章 实数
8.3《实数及其简单运算》
第1课时
本节课是人教版《义务教育教科书·数学》七年级下册第八章 实数 8.3实数及其简单运算，内容包括：第1课时无理数和实数的概念，实数与数轴上的点的一一对应关系.
本节课在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数范围，本章的内容在中学数学中占有重要地位，它不仅是后续学习二次根式、一元二次方程以及锐角三角函数等知识的基础，也是高中数学学习函数、不等式等知识的基础.学生在七年级上学期学习了有理数，在本章前两节的学习过程中知道了许多正有理数的算数平方根都是无限不循环小数.本节先将有理数与有限小数和无限循环小数统一起来，再采用与有理数对照的方法引入无理数，揭示出有理数和无理数的联系与区别，有助于学生理解实数定义，随着无理数的引入，出现了实数概念，数的范围由有理数扩充到实数，接着类比用数轴上的点表示有理数，指出实数与数轴上的点的一一对应的关系，实数的概念贯穿于中学数学学习的始终，学生对实数的认识是逐步加深的.
基于以上分析，本节课的教学重点是：理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数，能把实数进行分类.
无理数是从现实世界中抽象出来的一种数，其严格的数学定义非常高深，再加上初中生对无理数几乎没有任何感性认识，甚至对无理数是否真正存在还有质疑，因此认识无理数就成了初中数学学习中的一个难点，为了突破这一难点，应从学生熟悉的有理数入手，通过与有理数对照的方法引入无理数的概念，进而揭示出有理数和无理数的联系和区别.
基于以上分析，本节课的教学难点是：对无理数的认识，理解实数与数轴的关系，知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系.
1.经历无理数的探究过程，理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数，能把实数进行分类；
2.理解实数与数轴的关系，知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系；
3.体会“数形结合”的数学思想，通过了解数系扩充，体会数系扩充对人类发展的作用.
4.通过解决问题的过程，培养学生合作交流意识与探究精神.
重点：理解无理数的概念，会判断一个数是否为无理数，能把实数进行分类.
难点: 对无理数的认识，理解实数与数轴的关系，知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系.
复习回顾
问题1：我们在第一章学过有理数，请大家回忆有理数的定义及分类.
答：定义：整数和分数统称为有理数.
分类：
将有理数按定义分类：
将有理数按性质分类：
填一填，回答问题.
答：
问题2：上表中所填的这些数都是有理数吗？
答：，，，这些是有理数，，，不是有理数.
追问： ， ， 该怎么分类呢？
师生活动：教师提问，学生独立思考并举手回答.
探究新知
活动一：探究无理数的定义
问题3：把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么
，，， ， ，.
师生活动:学生在学案上把这些分数写成小数的形式并观察特征，完成后，师生共同评价.教师进一步引导，通过刚刚的探究整数和分数都能写成有限小数或无限循环小数的形式，整数和分数统称为什么数
分析：， ， ，
， ， .
提示：整数可以写成小数点后为0的小数.
归纳：上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.
任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.
设计意图：让学生从探究活动开始，体会有理数的本质特征是有限小数和无限循环小数的形式.
问题4：把，，各数写成小数的形式，你有什么发现？
师生活动:如果学生回答起来有困难，教师进一步引导：这几个数中哪个数的小数形式见过 并展示写成小数形式的图片，然后得出结论，这几个数写成小数的形式都是无限不循环小数.
答： 1.41421356237309504
3.1415926535897932384
结论：这些都是无限不循环小数，不能写成两个整数之比(分数)的数.
归纳：无限不循环小数又叫做无理数.有理数和无理数统称为实数.
常见的无理数的形式:
①开方开不尽的数的方根，如，等；
②π及化简后含π的数，如π+1等；
③有规律但不循环的小数，如0.3030030003(相邻两个3之间依次多一个 0)
注意：像有理数一样，无理数也有正负之分，例如，是正无理数，是负无理数.
我国古人对无理数已经有了很多认识.《九章算术》中用“面”来表示开平方开不尽的数.
《 九章算术》公元1世纪初成书，标志着中国古代数学体系的形成.全书采用问题集形式，共246问，列为九章.
刘徽在其著作《九章算术注》中，不仅记录了包含无理数运算的问题，而且给出了用有限小数无限逼近无理数的算法“求微数法”.
活动二：探究无理数的分类
问题5：我们将有理数和无理数统称为实数，仿照有理数的分类，据此你能给实数分类吗？
师生活动:先回忆有理数按定义分类的方式，然后类比得出实数按定义分类的方式，先让学生独立完成，然后小组讨论，接着让学生类比有理数按正负分类的方式，独立得出实数按正负分类的方式，最后在教师的引导下共同完成实数思维导图.
答：按定义分：
按正负分：由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以非0实数也有正负之分，于是实数也可以这样分类:
活动三：探究实数与数轴上点的对应关系
问题6：有理数都可以用数轴上的点来表示，无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？同学们能在数轴上找到表示，π这样的无理数的点吗
以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π.从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点，点 对应的数是多少
师生活动:学生独立思考，教师提示学生思考π在几何图形上的作用：π可以用于计算圆的周长和面积.
教师展示半径为1的圆上的点滚动一周的运动路径，顺势指出：因为半径为1的圆的周长为π，所以数轴上点表示的数是无理数π.
从图中可以看出，的长是这个圆的周长π，所以点 对应的数是π.这样，数轴上的点就表示无理数π.
问题7：你能把和在数轴上表示出来吗？
师生活动:学生独立思考，因为之前学习是利用正方形边长进行探究，学生容易联想到边长为1的正方形的对角线长就是.教师引导学生利用尺规作图,自己在数轴上尝试画出和 的点.
如图，把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，得到一个大正方形，由大正方形的面积为2 可知其边长为.
从而说明边长为1的小正方形的对角线长为.
画法：
以原点为底边起点，画边长为单位长度的正方形，其对角线长即为；
以原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧；
与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示.
总结：实数与数轴上点的关系：
当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.
活动四：探究实数的大小比较
问题8：不用计算器，与2比较哪个大 与3比较呢
师生活动：教师提出问题，学生独立思考，教师引导，共同分析解决问题.
分析：与2可以分别看作是面积为5和4的正方形的边长，容易说明：面积较大的正方形，它的边长也较大，因此2.
同样，因为5<9，所以，因此.
与有理数一样，实数也可以比较大小：与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.
总结：在实数范围内：正数大于零，负数小于零，正数大于负数.
应用新知
【经典例题】
例1 指出下列各数中的有理数与无理数:
3.14；；0；；；； ；；(相邻的两个3依次多一个0).
解：有理数：3.14；0； ； ； ； ；
无理数： ；； (相邻的两个3依次多一个0).
总结：①无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，例如，，是有理数.
②含有根号的数不一定是无理数，例如，(=3)是有理数.
例2 比较下列各组数的大小：
(1)，； (2)，； (3)，； (4)，.
解： (1)∵，∴.
(2)∵，∴.
(3)∵，∴，，∴.
(4)∵，，，∴ .
总结：常见无理数的近似值：；
师生活动：教师在黑板上展示例题，提示学生仔细审题，找出问题的突破点.学生思考并尝试解答.教师讲解完后，询问学生是否理解每一步的操作，鼓励学生提出疑问.
设计意图：通过典型例题让学生巩固新知，培养学生逻辑思维能力，锻炼学生的推理能力.
课堂练习
　　【教材练习】
1. 判断题.
(1)无限小数都是无理数；
(2)无理数都是无限小数；
(3)用根号表示的数都是无理数；
(4)所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点
都表示有理数；
(5)所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数.
答： (1)× 无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数. 无限循环小数是有理数.
(2)√
(3)× 例如：，是有理数.
(4)× 所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的所有点都表示实数.
(5)√
2.在0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的平方根与立方根中，哪些是有理数 哪些是无理数
解：∵0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的平方根分别是0，1，，，，，，，，，.
立方根分别是0，1， ， ， ， ， ， ， ， ， .
∴0，1，4，9的平方根是有理数；2，3，5，6，7，8，10的平方根是无理数.0，1，8的立方根是有理数；2，3，4，5，6，7，9，10的立方根是无理数.
3.把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小(用“<”连接): ，，，.
分析：根据数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大可得答案.
解：下列实数表示在数轴上如图所示：
大小：<<<
总结：①数轴上的任何一点表示的数不是有理数就是无理数；
②在数轴上表示无理数时，一般只能通过估算标出其近似位置，而不能标出其准确位置.
师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答.
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加强学生对本节知识的掌握，培养应用意识，锻炼运用能力和解题能力.
【限时训练】
1.下列实数中，无理数是( )
A. B. C.0.1010010001 D.
答：B
2.无理数在( )
A. 2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间
分析：∵，
∴.
故选B.
答：B
3.如图，数轴上A，B两点表示的数分别为和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有( )
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
分析：∵，，
∴A，B两点之间表示整数的点有2，3，4，5，共有4个.故选C.
答：C
4.如图，在数轴上表示实数的点可能是( )
A.点P B.点Q C.点M D.点N
分析：∵，∴.
∴在数轴上表示实数 的点可能是点 M. 故选C.
答：C
5.已知a为 的整数部分，则 (填大于，小于或等于)
分析：∵49<57<64，∴，
∴a=7.
∴.
∵1<3<4，∴.
∴.
故答案为:大于.
答：大于
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.无理数和实数的概念是什么？
3.按照定义和正负如何对实数进行分类？
4.实数与数轴的关系是什么？
本节课首先梳理有理数的相关知识，类比有理数的研究思路，明确实数的学习方法.然后将有理数与有限小数和无限循环小数统一起来，再采用与有理数对照的方法引出无理数，揭示出有理数和无理数的区别，有助于学生理解实数的定义.随着无理数的引入，得到实数的概念，数的范围从有理数扩充到实数，然后类比有理数的两种分类方式在实数范围内对所学的数进行分类.接着类比用数轴上的点表示有理数，借助单位长度为1的圆形和边长是1个单位长度的正方形在数轴上找到表示π和、的点，并指出实数与数轴上的点的关系：一一对应关系.实数的概念贯穿于中学学习的始终，学生对实数的认识是逐步加深的.
本节课精心设计问题情景，积极引导，启发学生进行概念剖析，让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力.通过独立思考与小组讨论相结合的方式解决新的实际问题，培养学生解决问题的思想和方法，提升数学素养.第八章 实数
8.3《实数及其简单运算》
第2课时
本节课是人教版《义务教育教科书·数学》七年级下册第八章 实数 8.3实数及其简单运算，内容包括：第2课时 实数基本运算.
“实数的简单运算”处于人教版初中数学知识体系的关键节点. 在这之前，学生已掌握有理数运算，而实数运算则是对其的拓展，为后续学习方程、函数等知识奠定基础，是从有理数到实数领域的重要过渡内容，对构建完整数学运算体系意义重大.
该部分内容先回顾有理数运算法则与运算律，如加法交换律、结合律等，在此基础上引入实数运算. 通过具体实例，让学生理解有理数运算律在实数范围内同样适用，包括实数的加、减、乘、除、乘方运算，同时介绍了如何对含有根号的实数进行简单运算，使学生掌握不同形式实数的运算方法.
学生已有有理数运算的知识储备，熟悉整数、分数的四则运算以及乘方运算，对运算顺序和运算律也有一定的认知.但对于无理数，学生刚刚接触，仅了解其概念和简单形式，对无理数参与运算的理解还不够深入，需要在教学中通过实例逐步引导.
初中学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，他们对直观、具体的例子接受度较高，但对于抽象的数学原理和概念理解起来有一定难度.在实数运算学习中，对于将有理数运算律推广到实数范围这一抽象过程，部分学生可能难以理解，需要借助大量实例和直观演示帮助他们掌握.
1.了解实数的相反数和绝对值的意义，会求一个实数的相反数和绝对值．
2.认识实数范围内的运算法则，会进行实数的四则运算与近似计算．
3.在教学过程中通过渗透类比转化的思想，让学生意识到知识之间的紧密联系，体会数学的一致性.
4.通过师生共同探索，体验独立思考与合作交流的学习过程，激发学生探索数学的热情和兴趣.
重点：了解实数的相反数和绝对值的意义，会求一个实数的相反数和绝对值.
难点: 认识实数范围内的运算法则，会进行实数的四则运算与近似计算.
复习回顾
问题1：请回忆有理数中相反数、绝对值、倒数的定义是什么
答：相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，用︱a︱表示.
倒数：如果两个数的积是1，则这两个数互为倒数.
追问：无理数也有相反数吗？怎么表示？有绝对值吗？怎么表示？有倒数吗？怎么表示？
师生活动：教师提问，学生独立思考并举手回答.
探究新知
活动一：探究实数的性质
问题2：(1)你能解答下列问题吗？
①的相反数是_____，－π 的相反数是_____，0 的相反数是____；
②＝____，|－π|＝____，|0|＝____．
(2)结合有理数相反数和绝对值的意义，你能说说实数关于相反数和绝对值的意义吗？
师生活动:学生尝试用有理数的性质和概念完成填空，选学生回答，教师予以鼓励.
分析：
答：(1)；π；0 ②；π；0
总结：有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数．
(2)相反数：数a的相反数是 -a，这里a表示任意一个实数.实数a与-a 表示的点到原点的距离相等.
绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；
一个负实数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0.
实数的相反数与绝对值的意义：
①实数 a 的相反数记作－a，两个实数互为相反数是指这两个实数的绝对值相等，但符号相反．
②若实数 a，b 互为相反数，则 a＋b＝0，反之亦成立．
③实数的绝对值是指实数在数轴上对应的点到原点的距离．
活动二：探究实数的运算
问题3：(1)有理数有哪些运算呢？学完实数后多了哪些运算
(2)有理数有哪些运算律呢？这些运算法则和运算律在实数范围内也适用吗
师生活动:学生独立思考并提出猜想：有理数的运算法则及运算性质在实数范围内同样适用.
答：(1)有理数可以进行加、减、乘、除、乘方运算.
(2)学完实数后多了两种运算：
正数和0还可以进行开平方运算；
任何一个实数还可以进行开立方运算.
(2)交换律：加法 a+b = b+a 乘法 ab =ba
结合律：加法 (a+b)+c = a+(b+c) 乘法 (ab)c =a(bc)
分配律：乘法 a(b+c) =ab+ac
总结：有理数的运算法则及运算律同样适用于实数.
设计意图:锻炼学生归纳总结的能力，培养迁移思想.
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为 0）、乘方运算，而且正数及 0 可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算．在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算律等同样适用．
实数的混合运算顺序:先乘方、开方、再乘除，最后加减，同级运算从左到右依次进行，有括号先算括号里面的．
①乘方、开方 ②乘除 ③加减
实数的平方根与立方根的性质：
每个正实数有且只有两个平方根，它们互为相反数.0的平方根是0.
在实数范围内，负实数没有平方根.
在实数范围内，每个实数有且只有一个立方根，而且与它本身的符号相同.
此外，前面所学的有关数、式、方程的性质、法则和解法，对于实数仍然成立.
　设计意图:通过上面的探究，学生已经基本了解实数的运算与有理数范围的一致，这里只作直叙.
活动三：探究用近似值进行实数运算
问题4：计算（结果保留小数点后两位）：
； (2)·.
师生活动:学生独立思考并完成计算，选两名学生板书，教师巡视.
分析：在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数(例如，比计算结果要求的精确度多取一位)去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五入.
解：(1)；
(2)· .
在近似计算时，计算过程中有时也使用“去尾法”，即用近似有限小数去代替无理数时，直接舍去要保留数位的下一位数字，最后对计算结果四舍五入. 如.
应用新知
【教材例题】
例1 (1)分别写出， 的相反数；
(2)指出，分别是什么数的相反数；
(3)求的绝对值；
(4)已知一个数的绝对值是，求这个数.
解：(1)因为，，
所以， 的相反数分别为，.
因为，，
所以，分别是，的相反数.
(3)因为，所以.
(4)因为，，所以绝对值为的数是或.
例2 计算
(1)； (2).
分析：(1)可以利用加法结合律，然后两个数相结合.
(2)可以理解为3个和2个的和，利用分配律合并同类项.
解：(1)
（加法结合律）
(2)
（分配律）
师生活动：学生独立完成，老师提问加以点评订正，强调注意事项，规范过程.
设计意图:考查学生对实数范围内的相反数、倒数和绝对值及其运算的规律的掌握.
【经典例题】
例3 若 a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，m 的绝对值为 2，求的值．
分析：遇到两数互为相反数，就要想到两数之和为0；遇到两数互为倒数，就要想到两数之积为 1；遇到绝对值是一个正数，就要想到原数可能有两个．根据互为相反数、互为倒数和绝对值的意义，求出 a＋b，cd 及 m 的取值．
解：由 a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，m 的绝对值是 2，得
a＋b＝0，cd＝1，m＝±2．
所以
.　　
总结：(1)此类问题中 a，b，c，d 的值不确定，需要运用整体思想求 a＋b，cd 的值．
(2)在化简|m|时，需要注意 m 的符号．
例4 已知表示实数，， 的点在数轴上的位置如图．化简：．
分析：解决此类问题的首要任务是根据数轴判断实数 a，b，c 的取值范围及其绝对值的大小关系，然后据此判断绝对值中的多项式的符号．由表示实数 a，b，c 的点在数轴上的位置可知，a＋b＜0，b＋c＞0，b－c＜0，b＜0，据此化简即可．
解：根据表示实数 a，b，c 的点在数轴上的位置，得
a＜b＜0＜c，且|a|＞|c|＞|b|，所以 a＋b＜0，b＋c＞0，b－c＜0．
所以|a＋b|－|b＋c|＋|b－c|－|b|
＝－(a＋b)－(b＋c)－(b－c)＋b
＝－a－b－b－c－b＋c＋b＝－a－2b．
总结：如果绝对值符号里面是个多项式，那么去绝对值符号后一般要加上括号，否则在变号时容易出错．
师生活动：教师在黑板上展示例题，提示学生仔细审题，找出问题的突破点.学生思考并尝试解答.教师讲解完后，询问学生是否理解每一步的操作，鼓励学生提出疑问.
设计意图：通过典型例题让学生巩固新知，培养学生逻辑思维能力，锻炼学生的推理能力.
课堂练习
【教材练习】
1.求下列各数的相反数与绝对值:
， ， ， ， ，0.
解：(1)因为，，所以的相反数是，绝对值是.
(2)因为，，所以的相反数是，绝对值是.
(3)因为，，所以的相反数是，绝对值是.
(4)因为，，所以的相反数是，绝对值是.
(5)因为，，所以的相反数是，绝对值是.
(6)的相反数是，绝对值是.
2.计算：
(1)； (2) .
分析：(1)直接合并同类二次根式即可.
(2)先去绝对值符号，再合并同类二次根式.
解：(1)
(2)
3.计算(结果保留小数点后两位)：
(1)； (2) .
分析：(1)先用计算器求出和保留三位小数的近似值，再相加，最后将结果保留两位小数；
(2)先用计算器求出和保留三位小数的近似值，再相减，最后将结果保留两位小数.
解：(1)
(2)
师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答.
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加强学生对本节知识的掌握，培养应用意识，锻炼运用能力和解题能力.
【限时训练】
1. 下列各数中，互为相反数的是 (　　)
A.3与 B.2与 C.与 D.5与
答：C
2.的值是(　　)
A. B. C. D.
分析：∵，∴
∵，∴
∴原式. 故选C.
答：C
3.如图，M，N 两点在数轴上表示的数分别是 m，n，则化简式子|m＋n|－m 的结果是________．
分析：由数轴可知，m＜0，n＞0，|m|＜|n|，所以 m＋n＞0，所以|m＋n|－m＝m＋n－m＝n．
答：n
4.计算：
(1)；
(2) .
解：(1)
(2)
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.实数有相反数和绝对值吗？怎么表示？
3. 实数进行运算的顺序是什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
本课是是对平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数等内容进行梳理整合，在此之前学生已学习了加、减、乘、除、乘方五种运算，学习了有理数的概念，具备了学习数的开方和学习无理数的基础.与有理数一样，也可以规定实数的相反数和绝对值. 教学时，先从复习有理数的相反数和绝对值入手，然后指出可以用类似的方式规定实数的相反数和绝对值，并通过例题、习题加以巩固，以加深对它们的认识.
对于实数的运算，可强调两点:一是有理数的运算律和运算性质在实数范围内仍然成立；二是涉及无理数的近似计算，可以取近似值，转化为有理数进行计算. 本节课需要让学生多应用，多尝试，充分发挥学生的主观能动性.
本节课精心设计问题情景，积极引导，启发学生进行概念剖析，让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力.通过独立思考与小组讨论相结合的方式解决新的实际问题，培养学生解决问题的思想和方法，提升数学素养.

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