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第九章 平面直角坐标系
9.2.2《用坐标表示平移》
本节课是人教版《义务教育教科书·数学》七年级下册第九章 平面直角坐标系 9.2坐标方法的简单应用，内容包括：第3课时，掌握图形平移与坐标变化的关系，利用平移规律和点的坐标变化分析平面图形进行了怎样的平移.
本节课是在前面学面直角坐标系，在平面直角坐标系中，会确定一个点的坐标的基础上，掌握图形平移与坐标变化的关系；在坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿坐标轴方向平移后所得的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化.
在平移过程中，让学生观察分析，总结规律，深化对平移概念的理解，提升学生自主探究能力.基于以上分析，本节课是对平面直角坐标系的进一步拓展和应用，通过研究点在坐标系中的平移规律，让学生从数的角度进一步认识平移变换，为后续学习函数图像的平移等知识奠定基础.
本节内容，是在学习了点(或图形)平移及其性质，以及平面直角坐标系有关知识的基础上，用坐标刻画了平移变化，从数的角度进一步认识了平移变换，这是用代数方法研究几何问题，是对平面直角坐标系的应用,学生在探索图形平移变换的过程中初步建立空间观念，感受数形结合思想.为后续学习利用平移变换，坐标变换探究几何性质以及综合运用几种变换(旋转、轴对称，相似等)进行图案设计打下了基础，同时为今后学习研究函数的图像和性质提供了方法和依据,教学重点是掌握坐标变化和图形平移之间的关系,教学难点是能根据图形上的点的坐标的某种变化看出这个图形的平移方式.
1.掌握坐标变化与图形平移的关系；
2.能根据图形上的点的坐标的某种变化看出这个图形进行了怎样的平移；
3.能根据平移后(前)对应点的坐标，判断出图形平移后(前)大小、形状和位置的关系；
4.在坐标系中,探索并了解将一个多边形各点坐标依次进行数学运算,再将所得坐标依次连接后所得图形与原来的图形具有平移关系，体会数形结合和转化的数学思想.
重点：掌握坐标变化与图形平移的关系；
难点: 能根据图形上的点的坐标的某种变化看出这个图形进行了怎样的平移；
复习回顾
问题1：用坐标表示平移有什么规律？
答：在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）或（x a，y） ；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y +b） 或（x，y b）.
问题2：用点的平移规律将平面图形进行平移有什么特点
答：一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到.
追问：在平面直角坐标系，怎样根据图形上一个点A的坐标的变化确定该图形的平移方式
师生活动：教师提问，学生举手回答.
设计意图：复习旧知，唤起学生已有的知识经验，通过提问，激发学生的学习兴趣和求知欲，为新知识的学习做好铺垫.
探究新知
活动一：探究点的横坐标的变化对图形平移的影响
问题3：我们知道，对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，也可以看出对这个图形进行了怎样的平移．
如图9.2-8，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(4,3)，B（3,1），C（1,2）.将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，纵坐标不变，分别得到点，，，依次连接，，各点，所得三角形与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系？
师生活动:教师提出问题，学生独立思考，直接作答填空.然后小组讨论，选代表回答问题，教师补充总结学生的结论.
分析：如图，容易发现，所得三角形与三角形ABC的大小、形状完全相同，三角形可以看作将三角形ABC向左平移6个单位长度得到．
活动二：探究点的纵坐标的变化对图形平移的影响
问题4：如图9.2-8，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(4,3)，B（3,1），C（1,2）.将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到点，，，依次连接，，各点，所得三角形与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系？
师生活动:教师提出问题，学生独立思考，直接作答填空.然后小组讨论，选代表回答问题，教师补充总结学生的结论.
分析：如图，三角形与三角形ABC的大小、形状完全相同，它可以看作将三角形ABC向下平移5个单位长度得到．
追问：如果将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标都减去6，分别得到点，，，依次连接，，各点，所得三角形与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系
总结：一般地，在平面直角坐标系中，若把一个图形各点横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形可以看作把原图形向右（或左）平移a个单位长度得到；若是纵坐标，则可以看作把原图形向上（或下）平移a个单位长度得到．
设计意图：通过观察，比较平移后图形上某一点坐标发生的变化，分析出该图形的平移方式.
应用新知
【教材例题】
例1 如图9.2-10，将三角形ABC平移，得到三角形，其中任意一点P（ ， ）平移后的对应点为（ ， ）．写出三角形ABC的一种沿坐标轴方向的平移方式，以及点，，的坐标．
师生活动:学生独立完成解题过程，教师点评，规范格式.
解：由平移前后的对应点P和的坐标关系可知，将三角形ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以得到三角形．同时，还可以得到点A，B，C的对应点，，的坐标分别为（3，6），（1，2），（7，3）．
总结：根据图形上的某一点的坐标的某种变化看出这个图形进行了怎样的平移，以此推断图形平移后其他点的坐标.
设计意图：通过例题，更好的理解平移规律，进一步提高分析问题和解决问题的能力.
【经典例题】
例2 如图，线段经过平移得到线段，其中点，的对应点分别为点，，这四个点都在格点上若线段上有一个点，则点在上的对应点的坐标为( )
A. B. C. D.
分析：由题图可知线段向左平移个长度单位，向上平移个长度单位得到线段，由此可知线段上的点的对应点的坐标为．
答：A.
总结：注意运用某一点坐标的变化来反推图形在坐标系中是如何平移的，以此推断图形上其他点的坐标.
例3 如图，第一象限内有两点，，将线段平移使点、分别落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是_______．
解：设平移后点、的对应点分别是、，分两种情况：
在轴上，在轴上，则横坐标为，纵坐标为，
，，点平移后的对应点的坐标是；
在轴上，在轴上，则纵坐标为，横坐标为，
，，点平移后的对应点的坐标是；
综上可知，点平移后的对应点的坐标是或．
总结：图形在坐标系中平移时，应注意结果的多样性.
例4 如图，平面直角坐标系中，已知点，，，是的边上任意一点，经过平移后得到，点的对应点为．
直接写出点的坐标
在图中画出
求的面积．
分析：本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
根据点、的坐标确定出平移规律，再求出的坐标即可；
根据网格结构找出点、、平移后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可；
利用所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．
解：点的对应点为，
平移规律为向右个单位，向下个单位，
的对应点的坐标为；
根据网格结构找出点、、平移后的对应点、、的位置，然后顺次连接即可，如图所示.
的面积，
，
，
．
总结：求三角形面积时，采用割补法，创造该三角形所在长方形和周围的直角三角形，然后用面积差得出答案.
例5 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，若三角形内任意一点，平移后的对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形，点，，的对应点分别为，，．
在图中画出平移后的三角形；
三角形的面积为 ；
若为轴上一动点，当三角形的面积是时，求出点的坐标．
分析：本题考查了作图平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．根据点的对应点为，据此将各点的横坐标减、纵坐标加可得；
本题考查坐标于图形的性质，三角形的面积，掌握割补法是关键.
利用三角形的面积等于长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可解答．
本题考查坐标与图形的性质，三角形的面积．设点的纵坐标为，则
，求出的值即可得出结果．
解：(1)如图，三角形A1B1C1即为所求作
(2)7
(3)设点Q的纵坐标为m，则，解得 m＝－1或m＝5．
∴点Q的坐标为（0，－1）或（0，5）
总结：求三角形面积时，创造该三角形所在长方形和周围的直角三角形，用面积差得出答案，同时注意同高不等底三角形面积的求法规律,运用运动的数学思想做题.
师生活动：教师在黑板上展示例题，提示学生仔细审题，找出问题的突破点.学生思考并尝试解答.教师讲解完后，询问学生是否理解每一步的操作，鼓励学生提出疑问.
设计意图：通过典型例题让学生巩固新知，培养学生逻辑思维能力，锻炼学生的推理能力.
课堂练习
　　【教材练习】
1.如图，将四边形平移后，顶点C（2,3）的坐标变成了（2,0），这时点（2,7），（1,5），（3,5）的坐标分别变成了什么？画出
四边形平移后得到的图形．
解： （2,7）,（1,5）,（3,5）的坐标分别变成了(2,4),(1,2),(3,2).画出四边形平移后得到的图形如图所示.
2.如图，平行四边形四个顶点的坐标分别是（2,2），（0,0），（4,0），（6,2）.将这四个顶点的横坐标都减去3，同时纵坐标都加1，分别得到点， ， ， ．请在图中画出四边形 ，它与平行四边形有什么关系？
解：画出四边形 如图所示,四边形 是由平行四边形先向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度得到的.
3.三角形的三个顶点的坐标分别为（-3，2），（1,1），（-1，-2）．若将三角形平移，使点平移到点（1,-2）处，写出三角形沿坐标轴方向平移的一种方式，以及点和点的对应点的坐标．
解： 答案不唯一,如:三角形先向右平移4个单位长度,再向下平移4个单位长度.点的对应点的坐标为(5,-3)，点的对应点的坐标为(3,-6).
师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答.
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加强学生对本节知识的掌握，培养应用意识，锻炼运用能力和解题能力.
【限时训练】
1.如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点，的坐标分别为（3,6）， （-3,3）．把三角形平移得到三角形，使点平移到点处，那么点平移后的对应点的坐标是 .
答：(11,-10)
2.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的斜边在轴上，，点在第一象限标记点的位置后，将沿轴正方向平移至的位置，使经过点，再标记点的位置，继续平移至的位置，使经过点，此时点的坐标为______．
分析：过点作轴于点，由是等腰直角三角形，知，，继而得是等腰直角三角形，据此可知，再根据题意可得答案．
答：
3.四盏灯笼的位置如图已知，，，的坐标分别是，，，，平移轴右侧的一盏灯笼，使得轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是( )
A. 将向左平移个单位 B. 将向左平移个单位
C. 将向左平移个单位 D. 将向左平移个单位
分析：注意关于轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标不变．
，，，这四个点的纵坐标都是，
这四个点在一条直线上，这条直线平行于轴，
，，，关于轴对称，只需要，对称即可，
，，可以将点向左移动到，移动个单位，
或可以将向左移动到，移动个单位.
答： C.
4.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．
将以为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
将平移后得到，若点的对应点的坐标为，求的面积．
解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
的面积．
5.如图，已知，点，轴，垂足为，将线段平移至线段，点，其中点与点对应，点与点对应，、满足．
填空：直接写出、、三点的坐标____、____、____；
直接写出三角形的面积____．
如图，若点在线段上，证明：．
如图，连，动点从点开始在轴上以每秒个单位的速度向左运动，同时点从点开始在轴上以每秒个单位的速度向下运动．若经过秒，三角形与三角形的面积相等，试求的值及点的坐标．
解：，；，；，．．
证明：如图，连接．
的面积的面积的面积，
，．
当点在线段上，，解得．此时．
当点在的延长线上时，，解得，此时，
综上所述，时，；时，．
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.根据图形上的某一点的坐标的某种变化判断该图形的平移方式的关键是什么？
3.平面直角坐标系中，点的平移规律是什么？
4.平面直角坐标系中，求三角形面积的做题技巧是什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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