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8.3　实数及其简单运算（第3课时）
1．能够灵活应用本章知识解决实数中相关问题．
2．能够借助数轴利用数形结合解决实数中相关问题．
灵活应用本节知识解决实数中相关问题．
能够借助数轴利用数形结合解决实数中相关问题．
知识回顾
新知探究
一、探究学习
【重点】1．实数的分类．
（1）实数在分类时应将原数化简，然后进行分类；
（2）有理数包括整数和分数；
（3）无限不循环小数是无理数．
2．实数的性质．
相反数、绝对值、倒数的运算及运算律同有理数一样．
【师生活动】在知识回顾中，对有理数的相反数和绝对值定义进行了复习，教师在此可以引导学生仿照有理数的规定方法，对实数的相反数和绝对值进行猜测，完成填空，教师提问，并根据学生的答案进行总结：有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数．
【问题】1．下列说法正确的是（　　）．
A．是有理数 B．是有理数
C．是无理数 D．是分数
【师生活动】教师引导学生对每个选项中的数进行分析：，虽然都含有分母，但分子π，是无理数，所以与也是无理数，所以选项A，B错误；＝10，10是有理数，所以选项C错误；＝，是分数，所以选项D正确．
【答案】D
【归纳】掌握无理数的概念是进行判断的关键，要注意带根号的数不一定都是无理数，含分母的数也不一定都是有理数．
【提醒】常见的三种无理数：
（1）经过化简后，仍然含有π的数；
（2）含有根号，且开方开不尽的数；
（3）无限不循环小数．
【问题】2．在实数（每两个9之间的0的个数依次增加1），中，无理数有____个，有理数有____个，负数有_____个．
【师生活动】教师给出分析方向：根据无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数以及小于零的数是负数得到答案．学生自己对所给出的几个数字进行分析归类：，－0.909 009 000 9…，是无理数，共3个；0，－3.14，是有理数，共3个；－3.14，－0.909 009 000 9…，是负数，共3个．
【答案】3　　3　　3
【归纳】掌握好实数的分类以及无理数、有理数包括的几种类型，是解决此类题的关键．在分类时要明确分类标准，保证不重不漏．
【问题】3．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，求的值．
【师生活动】结合前面学过的知识，学生对该题进行分析：遇到两数互为相反数，就要想到两数之和为0；遇到两数互为倒数，就要想到两数之积为1；遇到绝对值是一个正数，就要想到原数可能有两个．根据互为相反数、互为倒数和绝对值的意义，求出a＋b，cd及m的取值．
【答案】解：由a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值是2，得
a＋b＝0，cd＝1，m＝±2．
所以＝0＋4－|1－|＝4－＋1＝5－．
【总结】（1）此类问题中a，b，c，d的值不确定，需要运用整体思想求a＋b，cd的值．
（2）在化简|m|时，需要注意m的符号．
【设计意图】设置这三道题目，主要让学生熟练掌握实数的分类，及考查学生能否类似有理数的绝对值等概念对实数进行计算．
【重点】3．实数与数轴——数轴的三大作用．
（1）根据点在数轴上的位置判断其所表示的实数的符号，在原点的左侧为负数，在原点的右侧为正数；
（2）根据点在数轴上的位置判断其所表示的实数的绝对值的大小，离原点远的绝对值大，离原点近的绝对值小；
（3）根据点在数轴上的位置比较其所表示的实数的大小，数轴上右边的点表示的实数总大于左边的点表示的实数．
【问题】4．如图，M，N两点在数轴上表示的数分别是m，n，则化简式子|m＋n|－m的结果是__________．
【师生活动】学生独立对数轴进行分析，得出如下结论：由数轴可知，m＜0，n＞0，|m|＜|n|，所以m＋n＞0，所以|m＋n|－m＝m＋n－m＝n．
【答案】n
【归纳】实数与数轴上的点是一一对应的，它体现了数形结合的思想．利用实数在数轴上所对应的点的位置可以判断出实数或相关式子的值的正负，进而去掉绝对值符号或二次根号，使实数大小的比较更具有直观性．
【问题】5．若将三个数表示在数轴上，则其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__________．
【师生活动】教师引导学生结合数轴，对实数的大小比较进行复习：可以看到覆盖的数大致范围在1和3之间，很明显不在此范围内，而即所以能被墨迹覆盖的数是．
【答案】
【归纳】利用数轴比较实数大小的方法：
先由表示实数a的点在数轴上的位置判断出a的取值范围，再根据各数的特征或采用特殊值法比较出几个数的大小．
【问题】6．如图，在正方形ODBC中，OB＝，OA＝OB，则数轴上点A表示的数是__________．
【师生活动】学生以小组为单位，对图形进行分析，得出结论如下：因为OA＝OB，所以OA＝OB＝．因为点A在数轴上原点的左边，所以点A表示的数是－．
【答案】－
【设计意图】这几道题目主要考查实数和数轴结合的相关问题，巩固学生对数形结合解决该类问题的掌握程度．
【重点】4．实数的运算．
有理数的运算法则和运算律同样适用于实数，包括运算顺序．实数有加、减、乘、除、乘方、开方等运算，混合运算的顺序是先乘方、开方，再乘除，最后加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号要先算括号里的．
【问题】7．已知表示实数a，b，c的点在数轴上的位置如图．化简：|a＋b|－|b＋c|＋|b－c|－|b|．
【师生活动】教师引导学生找到解决该类问题的关键点在于根据数轴判断实数a，b，c的取值范围及其绝对值的大小关系，然后据此判断绝对值中的多项式的符号．由表示实数a，b，c的点在数轴上的位置可知，a＋b＜0，b＋c＞0，b－c＜0，b＜0，据此化简即可．
【答案】解：根据表示实数a，b，c的点在数轴上的位置，得a＜b＜0＜c，且|a|＞|c|＞|b|，所以a＋b＜0，b＋c＞0，b－c＜0．
所以|a＋b|－|b＋c|＋|b－c|－|b|＝－(a＋b)－(b＋c)－(b－c)＋b＝－a－b－b－c－b＋c＋b＝－a－2b．
【提醒】如果绝对值符号里面是个多项式，那么去绝对值符号后一般要加上括号，否则在变号时容易出错．
【问题】8．现有一面积为150 m2的正方形鱼池，为了增加养鱼量，如果把鱼池的边长增加6 m，那么扩建后鱼池的面积为多少平方米(精确到0.1 m2)？
【师生活动】学生独立分析题意，解决问题，教师巡视纠错．
【答案】解：因为原正方形鱼池的面积为150 m2，根据面积公式，它的边长为≈12.25(m)．
由题意可得，扩建后的正方形鱼池的边长约为12.25＋6＝18.25(m)，所以扩建后鱼池的面积约为18.252≈333.1(m2)．
答：扩建后鱼池的面积约为333.1 m2．
【提醒】实际问题中的实数运算，可以利用计算器进行，当问题中要求近似值时，在计算过程中要注意对结果精确度的要求．
【问题】9．计算下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）(精确到0.01)．
【师生活动】学生以小组为单位解决该题，并派出学生代表回答．
【答案】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式．
【归纳】在进行实数的混合运算时，首先要观察算式的特点，选择合适的方法进行计算．注意运算顺序和运算符号．
【设计意图】对实数的运算进行巩固，确保学生能够熟练准确解决该类问题．
课堂小结
课后任务
完成教材第57页习题8.3第1～5题．8.3　实数及其简单运算（第2课时）
1．会求实数的相反数、绝对值．
2．类比有理数的运算法则，能够进行简单的实数运算．
会求实数的相反数、绝对值．
能够进行简单的实数运算．
知识回顾
【问题】有理数关于相反数和绝对值的定义是什么？
【师生活动】教师引导学生对学过的知识进行复习，学生通过回忆给出答案．
【答案】只有符号不同的两个数，叫做互为相反数．
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|．
【设计意图】通过对有理数相关定义的复习，引出实数中的相反数和绝对值概念的探究．
新知探究
一、探究学习
【问题】（1）的相反数是_____，－π的相反数是_____，0的相反数是____；
（2）||＝____，|－π|＝____，|0|＝____．
【师生活动】在知识回顾中，对有理数的相反数和绝对值定义进行了复习，教师在此可以引导学生仿照有理数的规定方法，对实数的相反数和绝对值进行猜测，完成填空，教师提问，并根据学生的答案进行总结：有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数．
【答案】（1）－　　π　　0　　（2）　　π　　0
【新知】数a的相反数是－a．
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即设a表示一个实数，则
【归纳】实数的相反数与绝对值的意义：
（1）实数a的相反数记作－a，两个实数互为相反数是指这两个实数的绝对值相等，但符号相反．
（2）若实数a，b互为相反数，则a＋b＝0，反之亦成立．
（3）实数的绝对值是指实数在数轴上对应的点到原点的距离．
【设计意图】通过解决问题，认识实数的相反数和绝对值，知道有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数．
【问题】（1）分别写出－，π－3.14的相反数；
（2）指出－，1－分别是什么数的相反数；
（3）求的绝对值；
（4）已知一个数的绝对值是，求这个数．
【师生活动】学生独立写出答案，教师巡视纠错．
【答案】解：（1）因为－(－)＝，－(π－3.14)＝3.14－π，
所以－，π－3.14的相反数分别是，3.14－π．
（2）因为－()＝－，－(－1)＝1－，
所以－，1－分别是，－1的相反数．
（3）因为＝－＝－4，所以＝|－4|＝4．
（4）因为||＝，|－|＝，所以绝对值为的数是或－．
【设计意图】设置此处问题，加深学生对实数的相反数和绝对值的认识．
【思考】你知道怎样进行实数的运算吗？
【师生活动】教师引导学生对有理数的运算法则进行复习回顾，对实数的运算进行总结归纳：实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算．在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用．
【追问】实数的运算顺序是什么？
【答案】实数的运算顺序：先算 乘方、开方 ，再算 乘、除 ，最后算 加、减 ．同级运算 从左到右 依次进行，有括号的要先算括号里面的．
【问题】计算下列各式的值：
（1）； （2）．
【师生活动】学生按照前面总结的实数运算顺序，对题目进行解答，小组内交流纠错．
【答案】解：（1）
（2）．
【设计意图】通过具体例子说明，有理数的运算律和运算性质同样适合于实数的运算．
【问题】计算（结果保留小数点后两位）：
（1）； （2）．
【师生活动】教师引导学生进行思考，在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数（例如，比计算结果要求的精确度多一位）去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果“四舍五入”.
【答案】解：（1）
（2）．
【设计意图】让学生通过解答此题，知道在涉及无理数的近似计算问题时，可以通过取近似值，转化为有理数来进行计算．
二、典例分析
【例题】计算：
（1）； （2）．
【答案】解：（1）原式＝＝．
（2）因为≈0.455－1.414＝－0.959，所以≈0.959．
所以≈－0.959≈1.047－0.959＝0.088≈0.09．
【归纳】在近似计算时，计算过程中有时也使用“去尾法”，即用近似有限小数去代替无理数时，直接舍去要保留数位的下一位数字，最后对计算结果“四舍五入”.
a＋c形式的运算，可按合并同类项的法则进行，把被开方数相同且开同次方的看成同类项，根号部分看作字母，根号前的数看作系数，这样运算的依据是乘法分配律．
课堂小结
课后任务
完成教材第56页练习第1~3题．8.3　实数及其简单运算（第1课时）
1．了解实数的意义，并能将实数按要求进行准确的分类．
2．了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示无理数，并能借助数轴比较实数的大小．
1．了解实数的意义，并能将实数按要求进行准确的分类．
2．了解实数和数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示无理数．
借助数轴比较实数的大小．
新课导入
把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么？
4，
【师生活动】学生举例，教师引导，进一步加强学生的认识．
【答案】4＝4，，，，，．
上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式．
【设计意图】让学生从新课导入开始，体会有理数都可以写成有限小数和无限循环小数的形式．
新知探究
一、探究学习
【新知】事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．
　　【思考】所有的数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式吗？
　　【师生活动】学生独立思考，然后教师抽取学生代表发言．
　　【答案】不是．如：
　　＝1.414 213 56…
　　＝1.709 975 94…
　　π＝3.141 592 653 589 793 238 462…
　　1.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多一个0）
　　【新知】无限不循环小数又叫作无理数．
　　像有理数一样，无理数也有正负之分．例如，是正无理数，－是负无理数．
　　常见的无理数的形式：
　　（1）开方开不尽的数的方根，如，等；
　　（2）π及化简后含π的数，如π＋1等；
（3）具有特殊结构的数，如0.303 003 000 3…（相邻两个3之间依次多一个0）．
有理数和无理数统称为实数．
　　【设计意图】通过对问题的思考，引出无理数的相关概念，为下面实数分类的讲解作铺垫．
　　【问题】你能给实数分类吗？
　　【师生活动】小组讨论，然后教师抽取小组代表发言．
【答案】1．按照定义分类．
2．按照正负分类．
【设计意图】通过学生互相讨论和交流，可以加深对无理数和实数的理解，同时让学生明确实数的分类可以有不同的方法，初步形成对实数整体性的认识．
【探究】与有理数可以用数轴上的点表示类似，无理数也可以用数轴上的点表示．数轴上表示正无理数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示负无理数－b（b＞0）的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是b个单位长度．下面，我们以π，，－为例，看一看如何在数轴上表示无理数．
以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π．如图，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O′，点O′对应的数是多少
【师生活动】教师引导学生观察、思考，进而归纳得出结论．
【答案】从图中可以看出，OO′的长是这个圆的周长π，所以点O′对应的数是π．
这样，数轴上的点O′就表示无理数π．
【问题】你能在数轴上表示出和吗？
【师生活动】学生独立思考后小组讨论交流．
【答案】以单位长度为边长画一个正方形（如图），以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示．
【追问】试着说出以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴的交点即为所求的根据．
【答案】用两个面积为1的小正方形剪拼成一个面积为2的大正方形，这个大正方形的边长就是小正方形的对角线长，因此以原点为圆心，以小正方形的对角线长为半径画弧，与数轴的两个交点分别表示数和．
【新知】当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．因此，实数与数轴上的点是一一对应的.
　　与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．
【设计意图】通过具体操作，让学生知道无理数也可以在数轴上表示．
二、典例分析
【例1】指出下列各数中的有理数与无理数：
3.14，，0，，，，，，2.303 003 000 3…（相邻的两个3之间依次多一个0）．
【师生活动】学生思考、回答，教师点评．
【答案】解：有理数：3.14，0，，，，；
无理数：，，2.303 003 000 3…（相邻的两个3之间依次多一个0）．
【归纳】1．无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，例如，，是有理数．
2．含有根号的数不一定是无理数，例如，（）是有理数．
【设计意图】通过例1，考查学生是否会对实数进行分类．
【例2】试在数轴上标出π，，的大致位置，并借助数轴比较它们的大小．
【师生活动】学生独立思考，然后回答问题．
【答案】解：因为π≈3.14，≈－2.24，≈1.73，
所以可以近似地标出它们在数轴上的位置，如图．
其中点A表示π，点B表示，点C表示，
所以＜＜π．
　　【归纳】用数轴上的点表示实数的注意事项：
　　1．数轴上的任何一点表示的数不是有理数就是无理数．
　　2．在数轴上表示无理数时，一般只能通过估算标出其近似位置，而不能标出其准确位置．
　　3．正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数．
【设计意图】通过例2，让学生学会运用数轴比较实数的大小．
课堂小结
课后任务
完成教材第54页练习第3题．

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