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第八章 实数
8.1平方根 第1课时
一、教学目标
1.了解平方根的概念，会用符号表示正数的平方根，并掌握平方根的性质;
2.了解开平方与平方互为逆运算，会求某些非负数的平方根;
3.通过学习平方根，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维;
4.通过解决实际生活中的问题，让学生体会数学与生活是紧密联系的.
二、教学重难点
重点：平方根的概念及性质.
难点：求一个非负数的平方根.
三、教学过程设计
环节一 创设情境
【复习回顾】
填空：
(1) 32= ，(3)2= ；
(2) = ____， = ；
(3) 0.82 = ，(0.8)2 = .
反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这个数呢？
设计意图：回顾旧知，引出本节课重点内容.
环节二 探究新知
【思考】
如果一个数的平方等于 9，这个数是多少？
预设答案：因为32=9，所以这个数可以是3；
又因为(-3)2=9，所以这个数也可以是-3；
除了3和-3外，任何一个数的平方都不等于9.
归纳：如果一个数的平方等于 9，那么这个数是3或-3.
【合作探究】
根据上面的研究过程填表：
解：
追问：如果我们把1、6、7分别叫做1,16,36的平方根，你能给出平方根的概念吗？
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数叫作 a 的平方根或二次方根.
例如，3 和-3是9的平方根，把3和-3合在一起简记为±3 ，则±3是 9 的平方根.
注意：一个正数有两个平方根，不要丢掉负的平方根.
设计意图：学生在填空的过程中感受一个正数的平方根有两个，进而对平方根有一定的感性认识，为归纳平方根的概念作铺垫.在此基础上，引导学生用文字语言得到平方根的概念，使学生的学习形成正迁移.
已知一个数，求它的平方的运算，叫作平方运算.
反之，已知一个数的平方，求这个数的运算叫什么？
求一个数a的平方根的运算，叫作开平方.平方与开平方互为逆运算.
环节三 应用新知
【典型例题】
例1 求下列各数的平方根：
(1) 64 ； (2) (3) 0.01
解：(1)∵ (8)2 = 64，
∴ 64的平方根是8
解：(2)∵
∴ 的平方根是
解：(3)∵(0.1)2 = 0.01，
∴ 0.01的平方根是0.1.
教师板书一道例题书写过程，其余题目可由学生代表板书完成.
设计意图：例1强化学生对平方根概念的认识，注意一个正数的平方根有两个.
【做一做】
判断下列说法是否正确，并说明理由.
(1)49的平方根是7；
(2)2是4的平方根；
(3)5是25的平方根；
(4)64的平方根是8；
(5)16的平方根是4.
答案：(1)×一个正数有两个平方根
(2) √(3) √ (4) √
(5) ×负数没有平方根
教师安排抢答环节邀请学生回答本题，巩固学生对平方根概念的理解.
【思考】
正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？
归纳：
1.正数有两个平方根，它们互为相反数.
2. 0的平方根还是0.
3.负数没有平方根.
符号a≥0时有意义， a＜0时无意义，你知道为什么吗？
根据平方根的概念或性质.
例如：±表示9的平方根，±=±3.
特别地，0的平方根记为.
设计意图：通过讨论，使学生对平方根有比较全面的认识，并体会分类思想.
例2 下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由.
(1) 0.36 ； (2) -5； (3)(-4) .
解：(1) 因为0.36是正数，
所以0.36有两个平方根， ±=±0.6 .
(2)因为-5是负数，所以-5 没有平方根;
(3)因为(-4)2=16是正数，所以(-4)2有两个平方根,
± =± =±4.
环节四 课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1. 判断题.
(1)1的平方根是1;
(3)0.5是0.25的一个平方根;
(2)-1的平方根是-1;
(4)0的平方根是 0.
答案：（1）错误，一个正数有两个平方根；
正确；（3）错误，负数没有平方根；（4）正确.
2.求下列各数的平方根.
(1) ； (2) 6 ； (3)0.49.
解：(1)(±)2 =，它的平方根是±.
(2) 6 =36 ， (±6) =36，它的平方根是±6.
(3) (±0.7) =0.49，它的平方根是±0.7.
3.求下列各式中x 的值:
(1)x2=25; (2)9x2=4; (3)(x-1)2=1.
解：(1) x2=25, x=±5
(2) 9x2=4, x2=,x=±
(3)(x-1)2=1
x-1=±1
x=±1+1
x=2或x=0
环节五 归纳总结
以思维导图的形式呈现：第八章 实数
8.1平方根
第2课时
一、教学目标
1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性;
2.了解开方与乘方互为逆运算，会求某些非负数的算术平方根;
3.通过学习算术平方根，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维;
4.通过解决实际生活中的问题，让学生体会数学与生活是紧密联系的
二、教学重难点
重点：算术平方根的概念.
难点：根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根.
三、教学过程设计
环节一 创设情境
【复习回顾】
学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？你能帮小鸥算一算吗？
答：边长应取5 dm.因为5 =25
完成表1：
你能从表1发现什么共同点吗？
答：已知一个正数，求这个正数的平方，这是平方运算.
教师选择某两组代表回答，其中一组完成填空，另外一组尝试总结共同点.
完成表2：
你能从表2发现什么共同点吗？
答：已知一个正数的平方，求这个正数.
表1与表2中两种运算有什么关系？
答：互为逆运算
教师选择某三组代表回答，其中一组完成填空，另外两组尝试总结共同点及运算关系.
设计意图：通过已知正方形面积求边长问题，加强学生对这种运算的理解，为引出算术平方根作好铺垫；通过已知正方形的面积，求边长，引出两种运算之间的互逆关系，让学生体会到旧知与新知的联系.
环节二 探究新知
【合作探究】
我们知道，正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根.正数a的算术平方根用来表示.
规定：0的算术平方根是0.0的算术平方根也记为.
1.因为2 4，所以4的算术平方根是_____;
答案：2
2.下列说法正确的是______.
①5是25的算术平方根.
②0.01是0.1的算术平方根.
答案：①
算术平方根是它本身的数只有0和1.
教师给出算术平方根的概念，并可结合表2数据，进行举例说明,并结合两道练习题，巩固概念的学习.
设计意图：让学生深入理解算术平方根的概念.
【思考】
怎么用符号来表示一个正数的算术平方根呢？
环节三 应用新知
【典型例题】
例 求下列各数的算术平方根：
(1)100; (2) (3)0.0001.
解:(1)∵10 100，
∴100的算术平方根是10，
即10
(2)∵() ，
∴的算术平方根是
即 =
(3)∵0.01 =0.0001，
∴0.0001的算术平方根是0.01，
即0.01
小结：被开方数越大，对应的算术平方根也越大，这个结论对所有的正数都成立.
教师可与学生共同完成一道例题的书写过程，其余题目由学生抢答完成，由两位学生代表到前面板书.
【归纳】
一个正数有几个算术平方根？负数有算术平方根吗？
①一个正数的算术平方根只有一个且一定为正数；
②负数没有算术平方根，即当时，a一定表示一个非负数；
③算术平方根等于它本身的数只有0,1.
【归纳】
是什么数？其中a可以取任何数吗？
算术平方根的双重非负性.
到目前为止，我们学习了表示非负数的式子有：
|a|≥0；a2≥ 0；当a≥ 0 时， ≥ 0.
对于总结已经学过非负数的式子，教师提问学生进行回答，通过几位学生的回答获得全部结论，既对知识的回顾，又能增强新旧知识的联系，启发学生思考.
设计意图：巩固对算术平方根概念的理解，通过问题形式，引发学生思考正数、0的算术平方根.结合算术平方根有意义的条件及运算结果，引出双重非负性的特点.由于对非负性的考查，在各类试题中经常出现，最后总结目前为止能够表示非负性的算式.
【合作探究】
能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形拼成一个面积为 2 dm2 的大正方形？
如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为 2 dm2 的大正方形.
你知道这个大正方形的边长是多少吗？
解：设大正方形的边长为x dm，则
x2 = 2
由算术平方根的意义可知
x =
所以大正方形的边长是 dm.
小正方形的对角线的长是多少呢？
x =
小正方形的对角线的长即为大正方形的边长.
学生分组讨论、拼图过程中，教师巡视，了解各组探究情况，最后动态展示拼图过程，由学生代表回答解题思路，教师进行板书示范.
最后教师可强调大正方形的面积不能表示成一个有理数的平方，因此它的边长只能用算术平方根的符号，即表示.
有多大呢？
()2=2
无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数.
播放动画过程中，教师可提问,对于(1)、(2)教师带领学生进行完成，(3)、(4)学生独立完成
(1)在哪两个整数之间？
(2)精确到0.1时在哪两个数之间？
(3)精确到0.01时在哪两个数之间？
(4)精确到0.001时在哪两个数之间？
最后，教师给出无限不循环小数的概念.
你能估算出的近似值吗(精确到0.01)？
【做一做】
解：∵ 22=4，32=9，∴ 2<<3.
∵ 2.2 =4.84，2.3 =5.29，
∴ 2.2<<2.3.
∵ 2.23 =4. 9729，2.24 =5. 0176，
∴ 2.23 <<2.24.
∵ 2.2362 =4.999696，2.2372 =5.004169，
∴ 2.236<<2.237，
∴ ≈2.24.
归纳：对算术平方根进行估算时，通常利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小.
设计意图：通过探究活动,引出求的一种方法，并举例说明什么是无限不循环小数，让学生理解其概念.
环节四 课堂练习
1.的算术平方根是( C )
A.2 B.2 C. D.
2.求下列各式的值:
(1); (2)-; (3)±
解：（1）=6；
-=-0.8；
(3)±=±
2.判断下列各式的正误.
(1)7 ；(2) 7　　；(3)
(1)错(2)错(3)对
正确解法：
(1)
(2)
(3)
3.若 |m2| + =0，求m+n的值.
解: ∵ |m2|≥0，≥0，
且 |m2| + =0，
∴ |m2| =0， =0，
m=2，n= 2，
m+n=2+(2)=0.
设计意图：学生通过练习，可以更好的理解算术平方根的概念及性质，进一步提高分析问题和解决问题的能力.
环节五 归纳总结
以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.第八章 实数
8.1平方根
第3课时
一、教学目标
1.会用计算器求一个数的算术平方根;理解算术平方根随着被开方数扩大(或缩小)而变化的规律;
2.通过求一个数的算术平方根的近似值，初步了解开方开不尽的数的无限不循环性，理解用近似值表示无限不循环小数的实际意义;
3.能用夹逼法求一个数的算术平方根的值;
4.通过解决实际生活中的问题，让学生体会数学与生活是紧密联系的.
二、教学重难点
重点：会用计算器求一个数的算术平方根.
难点：理解算术平方根随着被开方数扩大(或缩小)而变化的规律.
三、教学过程设计
环节一 创设情境
求下列各式的值.
(1)的算术平方根=_______
(2)的算术平方根=_______
答案：(1)3 ，(2).
如果在所学过的有理数中找不到合适的数的平方等于所给的数，我们该如何表示所给数的算术平方根呢？本节我们就来讨论这个问题.
设计意图：回顾旧知，引出本节课重点内容，如何求一个算术平方根的近似值.
环节二 探究新知
【合作探究】
在估计有理数的算术平方根的过程中，为方便计算，可借助计算器求一个正有理数a 的算术平方根(或其近似值).
注意：计算器的型号不同，按键顺序可能有所不同，要注意阅读使用说明书.
【做一做】
用计算器求下列各式的值：
(1) ； (2) (精确到0.001).
解：(1)依次按键
，
显示：56.
∴ =56.
依次按键
显示：1.414213562.
∴ ≈1.414.
提示：计算器上显示的1.414 213 562 是的近似值.
设计意图：通过做一做，使学生掌握使用计算器求算术平方根的方法.
下面来解决本章引言中提出的问题.
由v2=2gR及v的实际意义，得v=，其g≈9.8(单位:m/s )，R≈6.4×106(单位:m).
用计算器求得
v≈=1.12×104.
因此，第二宇宙速度v约为1.12×104 m/s，即 11.2 km/s.
设计意图：使用计算器求算术平方根，解决实际问题.
【合作探究】
用计算器计算下列算术平方根，你发现了什么规律？
解：
规律：
被开方数的小数点向右或向左移动2位,
算术平方根的小数点相应地向右或向左移1位.
设计意图：通过计算器计算，教师引导，学生自主总结规律.
【做一做】
用计算器计算,并利用你发现的规律，求,,的近似值.你能根据的值说出是多少吗？
解：
不能
设计意图：应用上面的规律进行求解.
环节三 应用新知
【典型例题】
例 小丽想用一块面积为400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm2 的长方形纸片，使它的长宽之比为 3 : 2.她不知能否裁得出来，正在发愁.小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
解：设长方形纸片的长为 3x cm ，宽为 2x cm，根据边长与面积的关系得
3x 2x = 300，
6x2 = 300 ，
x2 = 50，
x = ，
因此长方形纸片的长为 3 cm .
∵50 > 49，∴ > 7.
由上可知 3 > 21，
则长方形纸片的长应该大于 21 cm.
∵ = 20，∴正方形纸片的边长只有 20 cm.
这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.
答：不能同意小明的说法. 小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片.
设计意图：例题给出了一个实际问题背景，学生一般会认为一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片，通过学习可以纠正学生的认识.重点使学生掌握通过平方数比较有理数与无理数大小的一种方法.
环节四 课堂练习
1.用计算器求下列各式的值：
(1) ；(2) (精确到0.01).
解：(1)依次按键
显示：85.
所以 = 85.
(2)依次按键
显示：3.464101615.
所以 ≈3.46.
2.下列各数分别介于哪两个相邻的整数之间
(1) ; (2) .
解：(1)∵22<5<32，∴2< <3
(2)∵52<26<62，∴5< <6
3.估算 的值 ( B )
A.在1和2之间
B.在2和3之间
C.在3和4之间
D.在4和5之间
解：∵42<19<52，
∴4< <5
∴2< 2 <3
故选B.
设计意图：学生通过练习，可以更好的理解如何用计算器求一个数的算术平方根，进一步提高分析问题和解决问题的能力.
环节五 归纳总结
以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.

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