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第九章 统计
9.3统计案例
公司员工的肥胖情况调查分析
1.了解统计分析报告的主要组成部分及写作流程；
2.能够根据数据总结出整体情况进而给出建议；
3.通过对统计案例的学习，能根据实际问题的特点，选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述；
4.能理解合理使用统计图表的重要性以及数学建模的过程，提升学生的数学建模、数据分析素养，同时提升学生的表达能力.
重点：了解统计分析报告的主要组成部分．
难点：能够根据数据总结出整体情况进而给出建议．
（一）创设情境
随着电商的发展，电商节日层出不穷，要想在电商节日中保持良好的销量和利润，往往需要对用户的购物习惯进行统计分析，并给出一份合理的分析报告.
问题：你知道如何撰写一份统计分析报告吗？
设计意图：通过案例，给出生活中需要书写统计分析报告的例子，培养学生的学习兴趣，让学生从生活中去感知数学.
（二）探究新知
任务1：了解统计分析报告的组成.
思考：阅读教材，独立思考完成下列问题.
对于一个统计分析报告，主要有哪些组成部分？背景资料中的数据通过什么方式获得？依据任务要求，需要解决哪些问题？
师生活动：先阅读教材，独立思考问题，再小组合作讨论.
答：统计分析报告的主要组成部分
标题：交代我们是对什么情况进行统计;
前言：简单交代调查的目的、方法、范围等背景情况，使读者了解调查的基本情况.
主体：
展示数据分析的全过程：
（1）明确关心的问题是什么，说明数据蕴含的信息；
（2）根据数据分析的需要，说明如何选择合适的图表描述和表达数据；
（3）从样本数据中提取能刻画其特征的量，如均值，方差等，用于比较样本特征的差异；
（4）通过样本估计总体的统计规律，分析整体情况．
结尾： 对主体部分的内容进行概括，给出建议和决策．
设计意图：通过阅读教材案例，让学生从实例中感受统计分析报告的组成，并归纳总结出统计分析报告的组成部分.
任务2：统计案例分析
一、背景与数据
某省教研室为了了解和掌握2023年高考考生的实际答卷情况，随机抽取了100名考生的语文成绩，数据(单位:分)如下:
师生活动：引导学生按照统计分析报告的主要组成部分，选择对应的统计图，尝试分析数据，并对数据进行分析，书写出对应的统计分析报告.
二、任务与要求
根据上面的数据,写一份该省2023年高考语文成绩情况的统计分析报告,要求:
(1)选择合适的图表展示数据;
(2)估计该省学生的平均分和50%分位数;
(3)估计该省考生语文成绩在[100,120)分之间的比例.
三、统计分析报告
1.标题:《关于2023年高考语文成绩情况的统计分析报告》.
2.前言
2023年高考语文试题立足时代特征,弘扬主旋律,彰显家国情怀,稳中有变,难易适中.为更好地指导语文教师有针对性地教学,我省教研室随机抽取了2023年100名考生的高考语文成绩进行分析.
3.主体：（1）选用频率分布直方图和折线图分析.
4.结尾：
(2)由频率分布直方图可得样本平均数为：
=
估计该省考生的语文成绩的平均分是108.7分.
成绩在100分以下所占比例为0.03+0.18=0.21，成绩在110分以下所占比例为0.03+0.18+0.39=0.60，所以第50百分数在[100,110)内，即,估计该省考生的语文成绩在107.4分左右.
由以上数据可以说明该省考生语文成绩总体很好.
从频率分布直方图中可知,这100名考生的语文成绩在[100,120)分之间的频率为0.24+0.15+0.12+0.09=0.60,据此估计该省考生语文成绩在[100,120)分之间的比例为60%.
(3)从折线统计图,这100名考生的语文成绩在各个分数段的人数先上升再下降的趋势,在[100,110)以内人数最多.据此估计该省考生语文成绩各个分数段的人数先上升再下降的趋势.
设计意图：利用与生活息息相关的统计案例，让学生主动探索书写统计分析报考的流程，并巩固对统计图表中数据的分析能力.
（三）应用举例
例1 公司员工的肥胖情况调查分析
调查背景
近年来,我国肥胖人群的规模急速增长,肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前,国际上常用身体质量指数(Body Mass Index,缩写BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康,其计算公式是
中国成人的BMI数值标准为:BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖.
问题：公司老板想对员工的肥胖情况进行调查,并使用大数据形成调查报告，你觉得该公司的统计报告过程中数据分析可以如何进行呢？
第1步：从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取 90 名男员工、50 名女员工的身高和体重数据，计算得到他们的 BMI值如下:
要了解男、女员工BMI值的分布情况，选用频率分布直方图.
男、女员工的BMI值大部分都在正常范围之内，男员工的BMI值绝大部分落在区间(15.65,25.65)中，女员工的BMI值绝大部分落在区间(13.75,25.75)中.
思考：如何方便比较男女员工在肥胖状况上的差异？
答：用相同的分组对男、女员工的BMI值分别画出频率分布直方图.
男员工的BMI值在区间（15.85,25.85]内比较多，数据较集中，大于25.85的较少，而女员工的BMI值主要集中在（15.85,20.85]内，后面呈阶梯式下降.
男员工的BMI值要比女员工的BMI值大些，男员工的BMI值没有在区间（13.35,15.85]内的，而女员工的BMI值没有落在区间（33.35,35.85]内的，男、女员工的频率分布直方图都不对称，都是右偏的，即男、女员工中都有偏胖的.
第2步：对男、女员工BMI值的平均数和标准差等数字特征进行比较；
男员工的 BMI值的中位数和平均数都比女员工的大，但都在正常值范围之内.
男员工的 BMI值变化范围比女员工的变化范围大，这是由某个极端值引起的，男员工的 BMI值的最大值为 35.3，已经达到了重度肥胖的标准.
从标准差上看，男员工的整体的分散程度比女员工的略小.
男、女员工偏胖和肥胖的比例差不多，但女员工偏瘦的比例较大，这可能与女性更追求身材好有关.
第3步：分析整体情况，将男、女员工的数据放在一起，计算全部 140 个数据的平均数和方差.
解：设第1组数据为,观测个数为,平均数为=,方差为=;
第2组数据为,观测个数为,平均数为=,方差为=
全部数据的观测个数记为,样本平均数记为 ，方差记为,则由
=,=]+].
男员工90人，平均数为22.18；女员工50人，平均数为20.7.
所以全部数据的平均数=≈21.65.
全部数据的方差90×[14.32+(22.18 21.65)2+50×[16.47+(20.7 21.65)2]}≈15.59
平均数约为21.65，这个值在正常值范围内，可见这个公司员工BMI值的平均水平是正常的;方差为15.59，得标准差为3.95，于是 2s≈13.75, +2s≈29.55
可见，还有个别员工的BMI值大于28，属于肥胖但比例很小.
第4步：根据对整体分析，该公司员工的BMI值分布不对称，大约8%员工属于肥胖，需要引起注意，女员工偏瘦的人数明显比男员工多.鉴于此种情况，你有哪些建议呢？
控制体重的建议
(1)限制高热量、高脂肪、高糖、高胆固醇食物的摄入.
(2)限制精细主食摄入,多食糙米、全麦、玉米等.
(3)限制食盐摄入.
(4)保证含维生素、矿物质食物的摄入.
(5)加强锻炼，运动训练可以增加能量的消耗，即使轻度的体力活动也可使身体多消耗10%~20%的能量.
设计意图：通过例题，熟悉统计分析报告的主要组成部分，并引导学生进一步熟悉数据分析的一般步骤．
（四）课堂练习
1.冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，自年起，每四年举办一届第届由中国年月在北京举办，分北京赛区、延庆赛区、张家口赛区三个赛区共个比赛项目为了宣传奥运精神，红星实验学校组织了甲乙两个社团，利用一周的时间对外进行宣传，将每天宣传的次数绘制成如下频数分布折线图，则以下不正确的为( )
甲、乙社团宣传次数的频数分布折线圈频数
A. 甲社团众数小于乙社团众数
B. 甲社团的极差大于乙社团的极差
C. 甲社团的平均数据大于乙社团的平均数
D. 甲社团的方差大于乙社团的方差
解：选项，甲社团众数为，乙社团众数为，所以A正确；
选项，甲社团极差为，乙社团的极差为，所以B正确；
选项，平均数相等，所以C错误；
选项，显然方差甲社团大于乙社团，所以D正确．
故选：．
2.年北京冬季奥运会中国体育代表团共收获金银铜，金牌数和奖牌数均创历史新高．某体育院校随机调查了名学生冬奥会期间观看雪上项目和冰上项目的时间长度单位：小时，并按，，，，分组，分别得到频率分布直方图如图所示．估计该体育院校学生观看雪上项目和冰上项目的时长的众数分别是为、，标准差分别是、，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
解：由直方图和众数的定义可知，，，故，
比较两个频率分布直方图可以看出：雪上项目的数据更分散，冰上项目的数据更集中，由标准差的意义可以得到，故选：．
3.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识为了解讲座效果，随机抽取位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则下列说法错误的是( )
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
解：讲座前中位数为，所以错；
讲座后问卷答题的正确率只有一个是个，剩下全部大于等于，所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于，所以对；
讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以错；
讲座后问卷答题的正确率的极差为，讲座前问卷答题的正确率的极差为，所以错故选B．
4. 如图是年月中国的个城市地铁运营里程单位：公里及运营线路条数的统计图，下列判断正确的是( )
A. 这个城市中北京的地铁运营里程最长且运营线路条数最多
B. 这个城市地铁运营里程的中位数是公里
C. 这个城市地铁运营线路条数的平均数为
D. 这城市地铁运营线路条数的极差是
解：对于，北京的地铁运营线路条数最多，而运营里程最长的是上海，A错误；
于是，地铁运营里程的中位数是公里，B错误；
对于，地铁运营线路条数的平均数为，C正确；
对于，地铁运营线路条数的极差是，D错误．
故选：．
5.某校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了年月日日共天学生在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图根据组合图判断，下列结论正确的是( )
A. 这天学生在线学习人数的增长比例在逐日减小
B. 前天在线学习人数的方差大于后天在线学习人数的方差
C. 这天学生在线学习人数在逐日增加
D. 前天在线学习人数增长比例的极差大于后天在线学习人数增长比例的极差
解：根据统计图表可知，这天学生在线学习人数在逐日增加，但是增长比例并不是逐日增大项，故C项正确项错误
前天在线学习人数的比较稳定，后天在线学习人数的波动较大，所以前天在线学习人数的方差小于后天在线学习人数的方差，项错误
前天在线学习人数的增长比例的极差小于后天的在线学习人数的增长比例的极差，项错误．故选C．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固根据实际的问题，选择恰当的统计图表并对数据进行可视化描述.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？

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