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第十章 概率
10.1随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件
1.结合具体实例，经历用集合语言描述一个随机实验的所有可能结果，并抽象出有限样本空间与样本点概念的过程，会求实验结果有限的随机实验的样本空间，体会数学抽象的思想方法.
2.会用集合语言表示一个随机实验，能利用样本点解释事件可能结果的意义以及所包含基本事件的个数，提高应用数学语言表达与交流的能力，培养数学抽象、推理的核心素养.
重点：有限样本空间及随机事件的概念.
难点：对各种不同背景的随机试验，用符号表示试验的可能结果，列举试验的样本空间.
（一）创设情境
你能回答下面事件结果出现的情况吗？(学生回答）
(1)抛掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况；
(2)抛掷一枚骰子，观察出现点数的情况；
(3)买一注福利彩票，观察中奖、不中奖的情况．
引出概念：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.
（二）探究新知
任务1：归纳随机试验的特点
思考：这些随机试验共同特点是什么？
合作探究：1.先独立总结2分钟；
2.小组内交流讨论补全完善自己的总结；
3.以小组为单位进行展示汇报.
师生活动：教师归纳总结学生的回答，引导学生思考体会随机试验的概念，认识随机现象和随机试验特点.
引出概念：随机试验具有以下特点：
(1)试验可以在相同条件下重复进行； 可重复性
(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； 可预知性
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪个结果.
随机性
设计意图：通过详细问题，让同学感受随机试验的概念认识随机现象和随机试验特点.
任务2：探究有限样本空间的相关概念
探究：体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号0,1,2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码，这个随机实验共有多少个可能结果？你是如何表示这些结果的？
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报
答：10个可能结果；可用集合表示为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间. 一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.在本书中，我们只讨论Ω为有限集的情况. 如果一个随机试验有n 个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间. 有了样本点和样本空间的概念，我们就可以用数学方法描述和研究随机现象了.
设计意图：首先在认识随机现象和随机试验特点的基础上，利用集合论的知识，抽象出样本点、样本空间，将随机事件看成样本空间的子集，对随机事件的概念构建了由直观描述到数学刻画的精确化过程.培养同学数学抽象、规律推理的核心素养.
任务3：探究事件的分类
思考：在上述体育彩票摇号试验中，摇出“球的号码为奇数”是随机事件吗 摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件 如果用集合的形式来表示它们，那么这些集合与样本空间有什么关系
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报
答：显然，“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件.
我们用A表示随机事件“球的号码为奇数”，则A发生，当且仅当摇出的号码为1，3，5，7，9之一，即事件A发生等价于摇出的号码属于集合{1，3，5，7，9}.因此可以用样本空间Ω={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}的子集{1，3，5，7，9}表示随机事件A.类似地，可以用样本空间的子集{0，3，6，9}表示随机事件“球的号码为3的倍数.
引出概念：一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件. 随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件.而空集 不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称 为不可能事件.必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形.这样，每个事件都是样本空间Ω的一个子集.
设计意图：在具体问题情境中，理解随机事件的意义，初步掌握用样本空间的子集表示事件的方法.
（三）应用举例
例1请尝试写出下面随机试验的样本空间:
(1)抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上.
(2)抛掷一枚骰子观察它落地时朝上的面的点数.
提示：写样本空间的关键是找样本点，思考可能有几种结果，该如何表示.
解：（1）因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可以表示为Ω={正面朝上，反面朝上}，如果用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，则样本空间Ω={h，t}.
（2）用i表示朝上面的“点数为i”.因为落地时朝上面的点数有1，2，3，4，5，6 共6个可能的基本结果，所以试验的样本空间可以表示为Ω={1，2，3，4，5，6}.
例2抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.
解:掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用(x，y)表示.于是，试验的样本空间Ω={(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}.
如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，那么样本空间还可以简单表示为Ω={(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}.
如图所示，画树状图可以帮助我们理解例3的解答过程.
例3如图10.1-2，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.
（1）写出试验的样本空间;
（2）用集合表示下列事件:M=“恰好两个元件正常”;N=“电路是通路”;T=“电路是断路”
解：（1）分别用，和表示元件A，B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用表示.进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间.
如图，还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果.
（2）“恰好两个元件正常”等价于，且，，中恰有两个为1，所以
.
“电路是通路”等价于，，且，中至少有一个是1，所以
.
同理，“电路是断路”等价于，，或，.所以
.
【总结】
1.样本点和样本空间的概念，利用集合论的知识，抽象出样本点、样本空间.
2.样本空间Ω的子集称为随机事件，Ω为必然事件， 为不可能事件.
3.写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法：
（1）列举法：适用于样本点个数不多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏．
（2）列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法．列表法的优点是准确、全面、不易遗漏．
（3）树状图法：适用于较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举．
设计意图：通过例题，熟悉以上几种样本空间的表示方法，并引导学生尽量使用数字方式，对于只有两个可能结果的试验，用0和1表示试验结果是有很多好处的.
例4有，，，四位同学站成一排照相，观察他们的站队顺序．
写出这个试验的样本空间；
用集合表示下列事件：“在两侧”；“，两人相邻”．
解：该试验的样本点用树状图表示，如图所示：
所以样本空间可表示为
；
．
例5已知关于的一元二次函数设集合和，分别从集合和中随机取一个数作为和．
（1）写出以为元素的样本空间，共包含多少个样本点？
（2）指出事件“函数在区间上是增函数”的所有样本点．
解：，，，，，，，，，，，，，，，共包含个样本点．
函数的图象的对称轴为直线．
要使在区间上为增函数，当且仅当且，即
若，则；若，则或；
若，则或，
所以事件“函数在区间上是增函数”的所有样本点有，，，，，共个．
（四）课堂练习
1.下列事件中，是随机事件的是( )
A. 在只装有个红球的袋子中摸出个球，是红球
B. 在标准大气压下，水在结冰
C. 打开电视机，正在转播足球比赛
D. 地球绕着太阳转
解：对于，在只装有个红球的袋子中摸出个球一定是红球，所以是必然事件，所以不合题意；
对于，在标准大气压下，水在结冰是不可能事件，所以不合题意；
对于，打开电视机，有可能正在转播足球比赛，所以是随机事件，所以C正确；
对于，地球绕着太阳转是必然事件，所以不合题意，
故选：．
2.袋子中有个大小和质地相同的球，标号为，，，，，，，，，从中随机摸出一个球．
写出试验的样本空间；
用集合表示事件“摸到球的号码小于”，事件“摸到球的号码大于”，事件“摸到球的号码是偶数”
解：用球的标号表示对应的球，则该试验的样本空间可表示为；
根据条件可得：；；．
3.在所有考试中，小明同学的语文、数学、英语这三科的成绩都是优秀或良好，随机抽取一次考试的成绩，记录小明同学的语文，数学，英语这三科成绩的情况．
写出该试验的样本空间；
用集合表示下列事件：“至少有两科成绩为优秀”；“三科成绩不都相同”
解：分别用表示语文，数学，英语的成绩，则样本点表示为用表示优秀，用表示良好，则．
该试验的样本空间可表示为，用列举法表示为
．
；
．
4.做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用表示结果，其中表示红色骰子出现的点数，表示蓝色骰子出现的点数．写出：
这个试验的样本空间；
这个试验的结果的个数；
指出事件，，，，，的含义．
解：这个试验的样本空间为，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，，
，，，，，．
这个试验的结果的个数为．
事件的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为．
5.同时转动如图所示的两个转盘，记结果为，其中是转盘中指针所指的数字，是转盘中指针所指的数字．
写出这个试验的样本空间；
用集合表示事件“”，事件“”
解：由转盘中个数字，可与转盘个数字进行组合，共种情况；
样本空间为
数出符合事件的样本点如下：
．
．
设计意图：通过练习加深学生对于各种不同背景的随机试验，用符号表示试验的可能结果，列举试验的样本空间和样本点.
（五）归纳总结
通过本节课的研究，大家都学到了哪些知识和方法，说说你的体会？
设计意图：通过对之前知识的梳理，提高学生总结概括能力，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.

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