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第十章 概率
10.1随机事件与概率
10.1.2事件的关系和运算
1.结合具体实例，了解随机事件的并、交与互斥的含义；会利用简单事件，借助并、交与互斥等事件关系准确的表示出较复杂的随机事件.
2.能结合具体实例进行随机事件的并、交运算.
3.在了解随机事件关系与运算的过程中，感受类比思想、由特殊到一般思想在解决问题中的运用.
重点：事件的包含、互斥、互相对立、并事件、交事件的含义．
难点：能进行随机事件的并、交运算，用简单事件表示复杂事件，能够区分互斥事件、对立事件．
（一）创设情境
从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件．这些事件有的简单，有的复杂．我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算．
设计意图：通过介绍教材设计的意图，简单明了的让学生理解本节课的授课目的，并引导学生把复杂的事件转化为简单的事件，从而引出用集合的运算表示较复杂事件，让学生了解事件关系和运算与集合运算的联系.发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养.
（二）探究新知
任务1：探究事件的关系.
在掷骰子的试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多事件，
如：＝ “点数为”，＝1，2，3，4，5，6；
＝ “点数为奇数”；
思考：1.你能写出事件的样本空间吗？
2.你能用集合表示下列事件吗？
＝“点数为1”；＝“点数为奇数”.
3.你能发现这两个集合之间有什么关系，这两个事件之间又有何关系呢？
小组活动：先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表展示小组讨论结果，讨论时间5分钟.
答：1.样本空间
2.它们分别是和.
3.集合关系：，即.事件关系：如果事件发生，那么事件一定发生.
总结：一般地，若事件发生，则事件一定发生，我们就称事件包含事件 （或事件包含于事件），记作（或）．
特别地，如果事件包含事件，事件也包含事件，即且，则称事件与事件相等，记作．
提示：
说一说：
鼓励学生举出生活中具有包含关系与相等关系的实例
师生活动：先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表展示小组讨论结果，讨论时间5分钟.
答： .(1)已知某产品是否合格包括长度、直径两个指标，如果 表示“长度不合格”，表示“产品不合格”，则;
(2)掷一个骰子，如果 表示“出现偶数点”， 表示“出现的点数能被 2 整除”则.
设计意图：从学生熟悉的生活场景入手，通过熟悉的集合知识，引导学生探究事件的包含与相等关系，带领学生从多个角度理解事件的包含关系，多用实例帮助学生理解并培养学生发现生活中的数学知识的能力，进一步提升他们的数学学科素养.
任务2：探究事件的运算
探究：
在掷骰子的试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多事件，
如：=“点数为2” ；=“点数不大于3” ；＝“点数为1或2”；
＝ “点数为2或3”；
1.你能用集合表示上面的事件吗？
2.①集合 ,,之间有什么关系？对应事件之间又有何关系呢？
②集合,,之间有什么关系？对应事件之间又有何关系呢？
师生活动：合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表展示小组讨论结果，讨论时间5分钟.
答：1.，，
2.①集合关系： ，即. 事件关系事件关系：若事件和事件至少有一个发生，则事件发生.
②集合关系：，即.
事件关系：事件和事件同时发生，相当于事件发生.
总结：一般地，事件与事件至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件中，或者在事件中，我们称这个事件为事件与事件的并事件 （或和事件），记作（或）．
下图中的绿色区域和黄色区域表示这个并事件
总结：一般地，事件与事件同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件中，也在事件中，我们称这样的一个事件为事件与事件的交事件 （或积事件），记作（或）．
下图中的蓝色区域表示这个交事件
设计意图：类比集合的并、交运算，探究事件的和与积运算，通过语言描述让学生更进一步的理解和与积事件的含义，培养学生知识的运用能力.
任务3：探究互斥事件与对立事件
探究：在掷骰子的试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多事件，
如：=“点数为3”， =“点数为3”，
＝“点数为偶数”；＝ “点数为奇数”；
1.你能用集合表示上面的事件吗？
2.①集合 ，之间有什么关系？对应事件之间又有何关系呢？
②集合之间有什么关系？对应事件之间又有何关系呢？
师生活动：合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表展示小组讨论结果，讨论时间5分钟.
答：1.
2.①集合关系： ，即.事件关系：在任何一次试验中，事件与事件不可能同时发生.
总结：一般地，如果事件与事件不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即，则称事件与事件互斥 （或互不相容）．
下图中可以表示这两个事件互斥
提示：（1）两事件互斥，两事件的交事件是不可能事件.
（2）两事件互斥，两事件的和事件不一定是必然事件.
②集合关系： ，即.事件关系：在任何一次试验中，事件与事件两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中之一．
总结：一般地，如果事件和事件在任何一次试验中有且仅有一个发生，即，且，那么称事件与事件互为对立．事件的对立事件记为.
下图中可以表示这两个事件对立
提示：（1）两事件对立，两事件的交事件是不可能事件.
（2）两事件对立，两事件的和事件一定是必然事件.
注意：对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.
设计意图：在集合知识的基础上，进一步让学生理解互斥事件与对立事件的含义，并通过对比区别与联系，让学生理解与掌握到互斥事件与对立事件的概念，并会灵活运用.
总结：
事件的关系或运算 含义 符号表示
包含 发生导致发生
并事件(和事件) 与至少一个发生 或
交事件(积事件) 与同时发生 或B
互斥(互不相容) 与不能同时发生
互为对立 与有且仅有一个发生
（三）应用举例
例1 如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效.设事件 “甲元件正常”， “乙元件正常”.
（1）写出表示两个元件工作状态的样本空间；
（2）用集合的形式表示事件以及它们的对立事件；
（3）用集合的形式表示事件和事件，并说明它们的含义及关系.
解：（1）用，分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用表示这个并联电路的状态.以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为.
（2）根据题意，可得
，，
，.
（3），；表示电路工作正常，表示电路工作不正常；和互为对立事件.
例2 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件 “第一次摸到红球”， “第二次摸到红球”， “两次都摸到红球”， “两次都摸到绿球”， “两个球颜色相同”， “两个球颜色不同”.
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
（2）事件与，与，与之间各有什么关系？
（3）事件与事件的并事件与事件有什么关系？事件与事件的交事件与事件有什么关系？
解：（1）所有的试验结果如图10.1-10所示.用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间
，
事件 “第一次摸到红球”，即或2，
于是；
事件 “第二次摸到红球”，即或2，
于是.
同理，有，，，
.
（2）因为，所以事件包含事件；
因为，所以事件与事件G互斥；
因为，，所以事件与事件互为对立事件.
（3）因为，所以事件是事件与事件的并事件；
因为，所以事件是事件与事件的交事件.
例3把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（ ）
.对立事件 不可能事件 .互斥但不对立事件 .以上答案都不对
分析：先判断是否可能同时发生，判断是否互斥，再看是否有一个发生，最后确定是否对立.
解：事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不可能同时发生，但事件“甲分得红牌”不发生时，事件“乙分得红牌”有可能发生，有可能不发生，∴事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．故选.
例4 从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，那么互斥不对立的事件是（ ）
．恰有一个黄球与恰有一个蓝球 ．至少有一个黄球与都是黄球
．至少有一个黄球与都是蓝球 ．至少有一个黄球与至少有一个蓝球
解：从装有3个黄球和4个蓝球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下4种：
①3个球全是黄球；②2个黄球和1个蓝球；③1个黄球2个蓝球；④3个球全是蓝球．
对于，恰有一个黄球是情况③，恰有一个蓝球是情况②，
∴恰有一个黄球与恰有一个蓝球是互斥不对立的事件，故正确；
对于，至少有一个黄球是情况①②③，都是黄球是情况①，
∴至少有一个黄球与都是黄球能同时发生，不是互斥事件，故错误；
对于，至少有一个黄球是情况①②③，都是蓝球是情况④，
∴至少有一个黄球与都是蓝球是对立事件，故错误；
对于，至少有一个黄球是情况①②③，至少有一个蓝球是情况②③④，
∴至少有一个黄球与至少有一个蓝球能同时发生，不是互斥事件，故错误．
故选．
（四）课堂练习
1.如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，设“甲元件故障”，“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为( )
. . . .
解：因甲、乙两个元件串联，线路没有故障，即甲、乙都没有故障.即事件和同时发生，即事件发生.故选：C.
2．甲、乙两个元件构成一并联电路，设E=“甲元件故障”，F=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为（ ）
． ． ． D．
解：因为甲、乙两个元件构成一并联电路，
所以只有当甲、乙两个元件都故障时，才造成电路故障，
所以表示电路故障的事件为.故选：B
3．掷一个骰子，下列事件：，，，，．求：
(1)， ；
(2)，；
(3)记是事件的对立事件，求，，，．
解：（1），，，
，.
（2），，，
，．
（3），，，，.
，，
，，，．
4.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球，设事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，则（ ）
A． B． C． D．
解：对于A，因“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，则，A不正确；
对于B，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，两个事件没有公共的基本事件，，B不正确；
对于C，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，
R或G表示摸的两个球的颜色相同，即，C正确；
对于D，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，由对立事件的定义知，D正确.
故选：CD
5.在所有考试中，小明同学的语文、数学、英语这三科的成绩都是优秀或良好，随机抽取一次考试的成绩，记录小明同学的语文，数学，英语这三科成绩的情况．
写出该试验的样本空间；
用集合表示下列事件：“至少有两科成绩为优秀”；“三科成绩不都相同”
解：分别用表示语文，数学，英语的成绩，则样本点表示为用表示优秀，用表示良好，则．
该试验的样本空间可表示为，用列举法表示为
．
；
．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固事件的关系与运算，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？
设计意图：通过对之前知识的梳理，提高学生总结概括能力，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.

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