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第十章 概率
10.1随机事件与概率
10.1.3古典概型
1.了解概率的基本算法及其意义.
2.了解古典概型的两大特征并能识别古典概型问题.
3.掌握古典概型的概率计算方法.
4.熟悉求解古典概型概率问题的一般思路并能适当拓展应用.
重点：古典概型的两大基本特征：有限性、等可能性.
难点：求不放回类古典概型问题的概率．
（一）创设情境
十七世纪时，意大利医生兼数学家卡当曾参加过这样一种赌法：把两颗骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容，已知骰子的六个面上分别为1～6点，那么赌注下在多少点上最有利？卡当经过研究后预言押7最好，你知道这是为什么吗？
先谈谈你的想法，等学完后面的知识我们再来探讨。
师生活动：由学生简单讨论故事中为什么押7最好；感受概率的特点.
设计意图：通过直观感受，调动课堂气氛和学生积极性，同时也可以让学生通过参与其中更明确的感受概率的特点，以及理解概率问题在生活中的应用.
（二）探究新知
任务1：探究古典概型的定义及其特征
探究：标号分别为0~9的彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及投掷一枚质地均匀骰子的试验，它们的基本事件包含哪些？样本空间分别是什么样的？样本点有什么特点？它们的共同特征有哪些？
答：摇号试验中，基本事件指每一个摇中的号码，其样本空间内的样本点为10个有限，且可能性相同；
抛掷硬币试验中，基本事件包括正面向上、反面向上两种结果，样本空间内的样本点有2个，是有限的，且样本点发生的可能性相同；
投掷骰子试验中，基本事件包括6种不同的点数，其样本点个数为6，每个样本点发生的可能性相同.
共同特征：1.样本空间内的样本点是有限个；也叫做有限性；
2.每个样本点发生的可能性是相同的；也叫做等可能性.
设计意图：通过对平时接触比较多的事件，对比分析，归纳出共同特征；由于试验都比较常见，对比分析时可以更清晰的感受到共同特点，由此可以锻炼孩子们独立思考、对比归纳的能力.
总结：从前面的案例中我们可以总结出：
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型， 简称古典概型.
古典概型的两大基本特征为：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率通常用P(A)进行表示.
思考：下面的概率是否为古典概型？
(1)某同学随机向靶心射击，命中10环的的概率
(2)从区间[0，1]内任取一个数，取到2的概率
(3)抛一枚不均匀硬币，观察其正面或反面出现的情况
答：(1)不符合等可能性；所以不是古典概型.
(2)中不符合有限性，所以不是古典概型.
(3)不符合等可能性；所以不是古典概型.
任务2：探究古典概型的概率算法
探究：考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和事件B发生的可能性大小？
(1)一个班级中有18名男生、22名女生．采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A＝“抽到男生”；
(2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B ＝ “恰好一次正面朝上”．
提示：需要考虑两个问题，它们是古典概型吗？事件A、B发生的概率是多大？
要求：合作探究：
1.先独立探究，再小组合作充分讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间5分钟.
答：(1)班级中共有40名学生，从中选择一名学生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型.
这个随机试验的样本空间中有40个样本点，而事件A＝ “抽到男生”包含18个样本点．因此，事件A发生的可能性大小为.
(2)用1表示硬币 “正面朝上”，用0表示硬币 “反面朝上”，则试验的样本空间,Ω＝{(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(1，0，0)， (0，1，1)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，0，0)}， 共有8个样本点，且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型．
因为B＝{(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)}，所以事件B发生的可能性大小为．
说一说：通过对上述两个问题的分析讨论，总结出古典概型的概率计算方法.
答：古典概型的概率计算公式:
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
总结：求解古典概型问题的一般思路
(1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号 (字母、数字、数组等)表示试验的可能结果 (借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果).
(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率．
设计意图：通过比较完整的自主探究过程，引导学生归纳古典概型中概率的求取方法；而概率运算的规则方法是非常重要的，在合作讨论、计算的过程中发现古典概型概率的一般算法.
(三)应用举例
例1：单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？
解：试验有选A、选B、选C、选D共4种可能结果，试验的样本空间可以表示为 ={A,B,C,D}.考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型.设M=“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，所以=1.所以，考生随机选择一个答案，答对的概率P(M)=.
思考：你认为单选题与多选题哪种更难做对？为什么？
答：对4个选项的多选题而言，选法共有15种，而正确答案只有一种，占了，比单选题正确率低的多，因此多选题更难做对.
例2：抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果. (1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
(2)求下列事件的概率：
“两个点数之和是5”；“两个点数相等”；“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”
提示：判断古典概型需要满足的条件：有限性、等可能性.
解：(1)抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，Ⅰ号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果.用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m，数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n，则数组(m,n)表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间， ={(m,n)|m,n∈{1，2，3，4，5，6}}其中共有36个样本点.
由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型。
(2)由(1)可知，样本空间为36，而点数为5的可能结果有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)四种，因此P(A)==;
设点数相等为事件B；则B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},所以P(B)=.
设“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”为事件C，则
C={(2,1),(3,2),(3,1),(4,3),(4,2),(4,1),(5,4),(5,3),(5,2),(5,1),(6,5),(6,5),(6,3),(6,2),(6,1)}
所以P(C)==.
思考：上例中，为什么要把两枚骰子标上记号？不标记号会出现什么情况？
答：若不对两枚骰子分别标号，则结果变为
因此所有样本点21个,事件A的结果仅有(2,3)，(1,4)两个，所以此时：P(A).
思考：同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果？
答：合并为21个结果时，(1,1)，(1,2)发生的可能性的大小不等，不符合古典概型特征，就不能用古典概型公式计算概率，因此P(A)是错误的.
【总结】
若试验不是古典概型，则不能用古典概型的概率公式计算某事件发生的概率.
计算古典概型概率的关键是求样本总个数和所求事件包含的样本点个数.
例3：袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
A＝“第一次摸到红球”；B＝“第二次摸到红球”；AB＝“两次都摸到红球”．
提示：将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5，组成20种等可能的结果
第一次 第二次
1 2 3 4 5
1 × (1，2) (1，3) (1，4) (1，5)
2 (2，1) × (2，3) (2，4) (2，5)
3 (3，1) (3，2) × (3，4) (3，5)
4 (4，1) (4，2) (4，3) × (4，5)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) ×
解：(1)第一次摸到红球的可能结果有8种(表中第1，2行)，即A＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)}，所以P(A)=.
(2)第二次摸到红球的可能结果也有8种(表中第1、2列)，
即B＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)}，所以P(B)=.
(3)事件AB包含2个可能结果，即AB＝{(1，2)，(2，1)}，所以P(AB)=.
例4：从两名男生(记为和)、两名女生(记为和)中任意抽取两人．
(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.
(2)在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率．
提示：放回抽取时总体单位数不变,个体被选取概率相同;不放回抽取时总体单位数减少,个体被选取概率不同.
解：设第一次抽取的人记为，第二次抽取的人记为，则可用数组(，)表示样本点．
(1)根据相应的抽样方法可知：有放回简单随机抽样的样本空间
Ω1＝{(B1，B1)，(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，B2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G1)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)，(G2，G2)}．
不放回简单随机抽样的样本空间
Ω2＝{(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)}．
按性别等比例分层抽样，先从男生中抽一人，再从女生中抽一人，其样本空间
Ω3＝{(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)}．
(2)设事件A＝“抽到两名男生”，则
对于有放回简单随机抽样，A＝{(B1，B1)，(B1，B2)，(B2，B1)，(B2，B2)}．
因为抽中样本空间Ω1中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．因此
P(A)＝＝0.25．
对于不放回简单随机抽样，A＝{(B1，B2)，(B2，B1)}．
因为抽中样本空间Ω2中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．
因此
P(A)＝＝．
因为按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以A＝，因此P(A)＝0．
例5：一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求：
(1)样本空间的样本点的总数n；
(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数；
(3)摸出2个黑球的概率.
提示：将黑球编不同的号是为了区分虽然都是黑球但是并不相同.
解：由于4个球的大小相等，摸出的每个球的可能性是均等的，所以是古典概型.
(1)将黑球编号为黑1，黑2，黑3，从装有4个球的口袋内摸出2个球，
样本空间Ω＝{(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，黑3)，(黑2，白)，(黑3，白)}，其中共有6个样本点.
(2)事件“摸出2个黑球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个样本点.
(3)样本点总数n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数m＝3，故P＝＝，即摸出2个黑球的概率为.
【总结】
1.列举法：主要适用于样本点较少，容易一一列举的问题；
2.树状图法：为了直接看到结果，且为了避免列举时容易出现的重复或遗漏错误所使用的一种方法；
3.表格法：利用表格清晰展示两组对象之间的组合结果时使用.
例6：从含有两件正品，和一件次品的3件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次.
(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？
提示：恰有一件，表示有且只有一件，即两次只有一次符合.
解：(1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)}，其中小括号内左边的字母表示第一次取出的产品，右边的字母表示第二次取出的产品.Ω由6个样本点组成，这些样本点的出现是等可能的.用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”这一事件，
则A＝{(，)，(，)，(，)，(，)}，事件A由4个样本点组成，所以P(A)＝＝.
(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果组成的样本空间Ω＝{(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)，(，)}，共9个样本点.
用B表示“恰有一件次品”这一事件，则B＝{(，)，(，)，(，)，(，)}.
事件B由4个样本点组成，所以P(B)＝.
【总结】
(1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误.
(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(x，)，(，x)不是同一个样本点.解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的.
(四)课堂练习
1.一个口袋内装有个白球和编号分别为的个黑球，它们的大小、质地相同，从中任意摸出个球．
写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
“摸出的个球都是黑球”记为事件，用集合表示事件．
解：这个试验的样本空间白，黑，白，黑，白，黑，黑，黑，黑，黑，黑，黑，且每个样本点是等可能出现的，这个试验是古典概型；
由条件可得黑，黑，黑，黑，黑，黑．
2.下列有关古典概型的四种说法：
试验中所有可能出现的样本点只有有限个
每个事件出现的可能性相等
每个样本点出现的可能性相等
已知样本点总数为，若随机事件包含个样本点，则事件发生的概率．
其中所有正确说法的序号是( )
A. B. C. D.
解：中所说的事件不一定是基本事件，所以不正确根据古典概型的特点及计算公式可知正确故选D．
3.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是__________.
解：根据题意可得基本事件总数为个．
点数和为的基本事件有，，，共个．
出现向上的点数和为的概率为．
故答案为：
4.有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为 __________.
解：有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，
若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则基本事件有个，分别为：
(蓝色，蓝色)，(蓝色，红色)，(蓝色，黑色)，(蓝色，黑色，(蓝色，红色)，(蓝色，黑色)，(蓝色，黑色，
其中，另一瓶是红色或黑色包含的基本事件个数为，
另一瓶是红色或黑色的概率为．
故答案为：．
5.袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取次，则下列事件的概率为的是( )
A. 颜色相同 B. 颜色不全同 C. 颜色全不同 D. 无红球
解：有放回地取球次，共种可能结果，
其中颜色相同的结果有种，其概率为；
颜色不全同的结果有种，其概率为；
颜色全不同的结果有种，其概率为；
无红球的情况有种，其概率为．
故选B．
6.将一颗质地均匀的骰子一种各个面上分别标有，，，，，个点的正方体玩具先后抛掷次，则出现向上的点数之和小于的概率是________．
解：.
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
(五)归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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