资源简介

教学设计
题目 数系的扩充与复数的概念
一、内容和内容解析 内容 引入复数的必要性及合理性、复数的概念及代数表示、复数相等的等价条件。
内容解析 在这课之前，学生已经学习了自然数、整数、有理数、实数等数的概念及运算，这些内容的学习为本节的学习起着铺垫作用。复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充，通过复数的学习使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，为他们运用数学知识解决问题增添了新的工具。 新课程中复数内容突出复数的代数表示，同时也强调了复数的几何意义。它的内容是分层设计的：先引入复数的概念，再将复数看成是有序实数对，把复数看成是直角坐标系下平面上的点或向量，最后介绍复数代数形式的加、减运算的几何意义。同时，复数作为一种新的数学语言，也为我们今后用代数的方法解决几何问题提供了新的工具和方法。 本节课的学习，一方面让学生回忆数系扩充的过程，体会复数引入的必要性和合理性。另一方面，让学生理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，为今后的学习奠定基础。如：复数在数学、力学、电学等其他学科中都有广泛的应用，复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础。因此，本节课具有承前启后的作用，是本章的重点内容，初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值，崇尚数学具有的理性精神和科学态度。
二、学情分析 本节课的授课对象是高二的学生，在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，已经有一定基础，但是扩充的过程可能会有所遗忘，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。同时高二的学生已经掌握了一些分析思考的能力，所以教学中通过问题的提出到解决问题的过程，需有意识的进一步应用，提高学生的分析、解决问题的能力。 心理上，多数学生感觉到数学过于枯燥繁琐，而且刚刚学得一章内容"导数与函数"又是数学中的难点，所以学生对新的一块内容可能也带有异样情绪，因此通过数系扩充的发展史进行引入，继而提出问题，让数学源于生活，增强学生们的兴趣。 学生学习本节内容可能存在的知识障碍： (1）知识理解障碍。如对复数的理解，复数的引入是否具有实际意义，复数的引入是否具有实际应用，复数相等条件的理解等。(2）思维习惯性障碍。学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。因而，接受和理解虚数与复数，对学生来说又是一大挑战和跨越，这是我们这节课的挑战因素，也是可利用的有利因素。
三、目标和目标解析 目标 本单元的学习，可以帮助学生通过方程求解，理解引入复数的必要性，了解数系的扩充，掌握复数的表示、运算及其几何意义。 ①通过方程的解，认识复数。 ②理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义。 ③掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义。
目标解析 通过数系的扩充历史以及方程求解问题，让学生理解引入复数的必要性，感受数学的文化和精神。落实“立德树人”育人目标。 通过问题引入、具体实例归纳出复数的代数表示，能正确识别一个复数的实部与虚部，理解两个复数相等的含义。发展学生数学抽象核心素养。 通过复数概念，复数相等的应用，掌握复数与相等复数判断的方法,领悟分类讨论、转化思想，发展学生数学运算、逻辑推理核心素养。 通过检测，体会分类讨论、转化等数学思想，培养学生分析问题、解决问题的能力。发展学生逻辑推理核心素养。
教学重点 1.引入复数的必要性 2.复数的概念
教学难点 虚数单位的引入以及复数概念的形成
四、教学方法分析 问题探究式教学法 教师为主导：问题引导 明确方向 学生为主体：自主探究 展示交流 知识为主线：复数的引入及概念 思维为主旨：分类讨论、转化
五、教学过程设计 教师活动与数学问题 问题或任务与学生学习活动 设计意图或评价目标
环节一 内容1：创设情景，导入新课（10mins） 教学情境1:数与系的认识 教学情境2: 观看数系扩充视频，引出问题 提出问题1：回顾从自然数系的扩充过程。每次扩充的主要原因是什么？每次扩充遵循哪些规律？ 解决问题1：数系扩充史，引入复数的必要性 学习任务1．认真听课观看PPT 学习任务2．思考问题 通过数与系的认识，感受数学来源于生活，激发学生学习的兴趣，初步认识数学的应用价值、科学价值和人文价值。 观看数系扩充视频，为理解引入复数的必要性作铺垫。 落实教学目标1与跨育融合
环节二 内容2：提出问题，生成概念 (15mins) 教学情境2.提出问题 问题1：方程在实数系中无解。类比自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，对实数系进一步扩充，使这个方程在新的数系中有解吗？ 解决问题2：引入一个新数： 问题2：试写出2,3,这三个数中的若干个进行四则运算，你能设计出这种数的形式吗？ 追问：像2，3和这样的数也能写成这种形式吗？需要满足什么条件？ 问题3：阅读课本第84页三、四自然段，复数的基本概念有哪些？ 复数的代数形式 (R） 实部 虚部 问题4：数系扩充后，复数如何分类？ 复数可以分类如下： 复数 【练1】下列复数哪些是虚数，纯虚数？分别指出其实部与虚部。 【练2】 1.若，求实数的值。 2.若，求实数的值。 3.若，求实数的值。 问题5：在复数集中任取两个数,（R）,如何定义两个复数相等？或两个复数相等的充要条件是什么？ 复数相等：两个复数,（R），的充要条件是： 解决问题2：生成复数有关概念 学习任务1：根据问题1获得的数系扩充规律进行探索，得出结论，听取复数概念形成的发展阶段，了解数学家。 学习任务2：尽情发挥他们的想象力，写出不同的形式。 学习任务3：学生阅读课本，概括出复数的代数形式。 学习任务4：讨论交流 中，是否为讨论 学习任务5：展示交流：练1与练2 学生按自己的理解给出实数的值 学习任务:6：通过【练2】抽象概括两个复数相等的 通过方程解的探究，理解虚数的引入的必要性，以及复数的发展史，体会其中的理性思维，渗透数学文化，提升育人价值。 引发学生认知冲突，激发学生把实数系进一步扩充的欲望。通过类比，明确实数系扩充的方向，理解复数的代数形式，提升数学抽象的素养。 通过学生自主学习，认识复数形式的名称，了解复数形式的合理性。 在探究的基础上将感性经验理性化，并通过这种形式帮助学生认识复数的代数形式，体会分类讨论思想。 巩固复数的分类，深化学生对复数概念的理解。 通过具体实例，抽象概括复数相等的定义，提升学生观察分析能力。 类比研究，明确两个复数相等的问题是转化为关于实数方程组解来解决的，渗透转化的数学思想。 落实教学目标2与学科素养
环节三 内容3：巩固理解，概念应用 (10mins) 教学情境3. 例1 ： 实数取什么值时，复数是： 实数； （2）虚数； （3）纯虚数。 例2：已知，求实数的值。 解决问题3：复数概念的应用，复数与相等复数判断的方法。 学习任务1．自主完成例1，例2,进行例1板演，例2师生共同完成。 例1巩固复数的概念。让学生在变化中认识复数代数形式的结构，将求复数值的问题转化为用实数方程或不等式求解的问题。 例2理解两个复数相等的定义，并会用列方程求解，提升分析解决问题能力。 回扣引出的问题，明确数系的扩充历史与发展需求，进一步让学生认识复数的重要性。 落实教学目标3与学科素养
环节四 内容4：目标检测，检验效果 （10mins） 教学情境4. 解决问题4：当堂检测，反馈教学目标 学习任务1．展示交流 评价反馈 通过检测及时反馈教学目标，让学生熟练掌握复数的概念，提升学生的逻辑推理的素养。 落实教学目标3
课堂小结 通过本节课的学习你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈。（5mins） 知识方面：实数系到复数系的扩充过程，复数的基本概念，两复数相等的充要条件； 思想方法：分类讨论、转化等数学思想； 经验：学习过程中注重知识间的联系，实数系到复数系的扩充过程是通过类比自然数系到实数系的扩充过程完成的，而复数实质是一有序数对，与直角坐标系中的点、平面向量都有密切联系。 理清知识结构，对本节课的学习有一个全面、系统的认识，让学生的认知更上一层楼。 落实教学目标1,2
六、作业设计 【预习性作业】：实数对应数轴上的点，虚数对应什么点？怎样将复数代数形式在平面内进行表示？ 时间预设：8mins 【巩固性作业】：教材85页习题A组1、2、3题。 时间预设：6mins 【理解性作业】：教材86页习题B组2、3题。 时间预设：8mins 【拓展性作业】：查阅资料，请同学们搜集复数及虚数“ ”发现、产生、发展的历史写一篇数学日记。 （选做作业） 落实双减目标 1.教材课后习题，巩固复数概念重视基础知识和基本技能。 2.用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。 3.复数概念阅读，既不影响主体知识建构，又能使学有余力的学生得到进一步发展。
七、板书设计 数系的扩充与复数的概念 数系的扩充 概念：(R） 实数 复数 分类 虚数 纯虚数 复数相等：（R）
八、反思 优点：依据课标与、教材、学情制定教学目标，通过教学设计环节循序渐进，实现教学目标，提升核心素养，发现问题、提出问题、分析问题、解决问题。 1.复数的概念（重点、难点）（基础知识）会用数学的眼光观察世界。 2.复数的引入（重点）（基本技能）会用数学的语言表达世界。 3.复数有关概念的形成（难点）（基本思想、基本活动经验）会用数学的思维思考世界。 不足：1.课堂结束时应再次提出问题：复数系还能扩充吗？（有待学生思考） 2.课本阅读预留时间短。

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