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第十章 概率
10.1随机事件与概率
10.1.4概率的基本性质
1.通过类比函数性质的研究途径，确定概率性质的研究思想和方法.
2.理解概率的基本性质，培养学生数学抽象的核心素养.
3.通过互斥事件的概率求解公式的推广和对立事件概率的意义，体会划归转化思想，提升数学运算核心素养.
重点：概率的基本性质及其应用．
难点：利用概率的基本性质解决实际问题．
（一）创设情境
说一说：类比对函数性质的研究，你认为可以从哪些角度研究概率的性质呢？
答：我们可以从概率的取值范围；特殊事件的概率；事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系等角度来研究概率的性质.
师生活动：教师展示带领学生简单回忆学习指数函数定义后对指数函数性质的研究，引导学生思考有哪些研究概率性质的角度.
设计意图：教师带领学生回忆学习指数函数定义后对指数函数性质的研究，从而引导学生进行研究路径的确认，形成类比研究的基础，培养学生的学习迁移能力和学习兴趣，提升学生的思维能力.
（二）探究新知
任务1：确定概率的取值范围.
对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率.事件的概率用表示.
探究：结合概率的定义及随机事件中的必然事件和不可能事件，你能得到概率有什么性质呢？
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
提示：由概率的定义可知，任何事件的概率都是非负的；
在每次试验中，必然事件一定发生，不可能事件一定不会发生.
答：性质1 对于任意的事件，都有.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，.
设计意图：在研究路径的指导下，通过定义及特殊事件的概率研究，得到概率的性质1和性质2.
任务2：探究和事件的概率与事件，的概率之间的关系.
在“事件的关系和运算”中我们研究过事件的某些关系.具有这些关系的事件，它们的概率之间会有什么关系呢？
思考：设事件与事件互斥，和事件的概率与事件，的概率之间具有怎样的关系呢？
例：一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，那么，则事件R和G有什么关系呢？那么，与，之间有什么关系呢？
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报
答：所有试验结果如右图所示，用数组（x1，x2）表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号．则试验的样本空间
.
事件“两次都摸到红球”，即x1=1或2，x2=1或2；
事件“两次都摸到绿球”，即x1=3或4，x2=3或4.
则；；
.
所以，，，，
则 ，.
故.
分析：一般地，因为事件A与事件B互斥，即A与B不含有相同的样本点，所以，这等价于，
即，两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件概率之和.
所以我们有互斥事件的概率加法公式：
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么.
拓展：互斥事件的概率加法公式可以推广到多个事件的情况.如果事件A1，A2，···，Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪···∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即
P(A1∪A2∪···∪Am)=P(A1)+P(A2∪)+···+P(Am).
思考：若事件A与事件B互为对立，那它们的概率又有什么关系呢？
例：一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件“两个球颜色相同”，“两个球颜色不同”，那么，则事件M和N有什么关系呢？那么，与，之间有什么关系呢？
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报
答：所有试验结果如右图所示，用数组（x1，x2）表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号．则试验的样本空间
.
“两个球颜色相同”，“两个球颜色不同”，
则；
；
.
所以，，，，
则 ，，.
故.
分析：因为事件A与事件B互为对立事件，则事件A与B的交事件,所以事件A与事件B也为互斥事件，因此由性质3:如果事件A与事件B互斥，那么；又因为对立事件A与B的和事件，故1，所以有
由此我们得到对立事件的加法概率公式：
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么，.
设计意图：以摸球试验为例，得出和事件的概率与事件，的概率之间的关系，让学生体会划归转化思想，提升数学抽象思维的核心素养和数学运算核心素养.
任务3：确定概率的单调性.
思考2：若事件A与事件B存在包含关系，即，那它们的概率又有什么关系呢？
分析：在古典概型中，对于事件A与事件B，如果，那么，即，即).
一般地，对于事件A与事件B，如果，即事件A发生，则事件B一定发生，那么事件A的概率不超过事件B的概率.
于是我们有概率的单调性：
性质5 如果，那么).
拓展：由性质5可得，对于任意事件A，因为,所以有P,且结合性质2 =1，P可得
0≤P(A)≤1
设计意图：以古典概型为例，得出概率的单调性，让学生学会总结.
任务4：探究概率的加法公式
思考：随机试验中，任意两个事件A和B，P(A∪B)和P(A)+P(B)也相等吗？如果不相等，请说明原因，并思考如何计算P(A∪B).
例：一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”.那么，事件R1和R2有什么关系呢？P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)之间有什么关系呢？
答：所有试验结果如右图所示，用数组（x1，x2）表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号．则试验的样本空间
.
事件R1=“第一次摸到红球”，即x1=1或2；
事件R2=“第二次摸到红球”，即x2=1或2.
于是，R1={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)}；
R2={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)}；
R1∪R2={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(4，1)，
(3，2)，(4，2)}
R1R2={(1，2)，(2，1)}
故事件R1与事件R2既不对立也不互斥，是试验中任意两个事件.
n(Ω)=12，n(R1)=n(R2)=6，n(R1∪R2)=10，n(R1R2)=2，所以P(R1)=P(R2)=，P(R1∪R2)=，P(R1∪R2)=. 因此P(R1∪R2)≠P(R1)+P(R2).这是因为(R1∪R2={(1，2)，(2，1)}≠，即事件R1，R2不是互斥的，容易得到P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)-P(R1R2).
一般地，我们有概率的加法公式：
性质6 设A，B是随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB).
显然，性质3是性质6的特殊情况.
分析：如果事件A与事件B互斥，则A∩B= ，由性质1知，P(Ω)=1，P( )=0.
因此有
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P( )
P(A∪B)=P(A)+P(B)-0
P(A∪B)=P(A)+P(B)
设计意图：以同一摸球试验为例，由浅入深，进一步探究概率的加法公式，培养学生思考能力，并提升学生的学习兴趣．
（三）应用举例
例1 甲、乙两人下棋，已知甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则甲不输的概率为 ．
提示：利用性质3进行求解.
解：因为乙获胜的概率为，
且乙获胜和甲不输互为对立事件，
所以甲不输的概率为．
故答案为：．
例2 已知三个事件，，两两互斥且，，，则 ， ．
提示：利用性质4和互斥事件的概率加法公式的推广公式进行求解.
解：，
，，
又事件，，两两互斥，且，，
；
故答案为： ．
例3从不包含大小王牌的张扑克牌中随机抽取一张，设事件“抽到红心”，事件“抽到方片”，那么
“抽到红花色”，求
“抽到黑花色”，求．
解：因为，且与不会同时发生，所以与是互斥事件，
根据互斥事件的概率加法公式，得
．
因为与互斥，又因为是必然事件，所以与互为对立事件，
因此．
【总结】运用互斥事件的概率加法公式解题的一般步骤：
确定各事件彼此互斥；
求各事件分别发生的概率，再求其和.
注意是公式使用的前提条件，不符合这点，是不能运用互斥事件的概率加法公式的.
例4 为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将罐这种饮料装一箱，每箱中都放置罐能够中奖的饮料若从一箱中随机抽出罐，能中奖的概率为多少
解法一：设事件“中奖”，事件“第一罐中奖”，事件“第二罐中奖”，那么事件“两罐都中奖”，“第一罐中奖，第二罐不中奖”，“第一罐不中奖，第二罐中奖”，且
因为，，两两互斥，
所以根据互斥事件的概率加法公式，可得
我们借助树形图来求相应事件的样本点数．
可以得到，样本空间包含的样本点个数为，且每个样本点都是等可能的，
因为，，，
所以．
解法二：应用对立事件的概率公式进行解决.
事件的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”，由于“两罐都不中奖”，而，所以．因此．
设计意图：通过例题，熟悉概率的基本性质，并体会各公式应用的条件．
（四）课堂练习
1.已知事件与事件发生的概率分别为，，则下列命题：若为必然事件，则；若与互斥，则；若与互斥，则正确的个数为( )
A. B. C. D.
解：对于，由概率的性质知若为必然事件，则，所以是真命题；
对于，对立事件的概率的和为，所以的判断不正确；
对于，满足互斥事件的概率求和的方法，所以为真命题，
真命题有．
故选B．
2.已知随机事件和互斥，且，，则( )
A. B. C. D.
解：随机事件和互斥，且，，
，
．
故选：．
3.已知随机事件和互斥，记事件为事件对立事件，且，，则( )
A. B. C. D.
解：根据题意，则，
又由事件和互斥，则，则，
则，
，
故选：.
4.玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共个，从中任取球，设事件为“取出个红球”，事件为“取出个黑球”，事件为“取出个白球”，事件为“取出个绿球”已知，，，．
求“取出个球为红球或黑球”的概率；
求“取出个球为红球或黑球或白球”的概率．
解：，
或，
，
或．
5.国家射击队的某队员射击一次，命中环的概率如表所示：
命中环数 环 环 环 环
概率
求该射击队员射击一次求：
射中环或环的概率；
至少命中环的概率；
命中不足环的概率．
解：记事件“射击一次，命中环”为，则事件彼此互斥．
记“射击一次，射中环或环”为事
那么当，之一发生时，事件发生，
由互斥事件的加法公式得：
；
设“射击一次，至少命中环”的事件为，那么当，，之一发生时，事件发生．由互斥事件概率的加法公式得：
；
由于事件“射击一次，命中不足环”是事件：“射击一次，至少命中环”的对立事件：即表示事件“射击一次，命中不足环”，
根据对立事件的概率公式得：
．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固概率的基本性质，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？

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