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第十章 概率
10.2事件的相互独立性
1.结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立的含义
2.结合古典概型，利用独立性计算积事件的概率.
重点：两个事件相互独立的直观意义及定义，利用事件的独立性解决实际问题．
难点：在实际问题情境中判断事件的独立性．
（一）创设情境
回顾：随机事件的关系和运算有哪些？如何计算两个互斥事件和对立事件的概率？
答：互斥：，对立：，，
并事件(和事件)：或
交事件(积事件)：或
互斥事件的概率性质
对立事件的概率性质
思考：积事件的概率如何计算？
师生活动：让同学们回答上节课学习的内容.
设计意图：通过复习相关的概念，为学习事件的相互独立性做好铺垫.
（二）探究新知
任务1：通过问题情境，直观感知事件的独立性.
探究：1.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
（1）=“第一次摸到红球”；
（2）=“第二次摸到红球”；
2.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中有放回地依次随机摸出2个球，求下列事件的概率：
（1）=“第一次摸到红球”；
（2）=“第二次摸到红球”；
连续两次摸球，=“第一次摸到红球”发生与否会影响， =“第二次摸到红球”发生的概率吗？解释你的思考.
合作探究：小组内交流，并汇报得出的结论.
答：
1.因为是不放回摸球，所以“第一次摸到红球” 会影响“第二次摸到红球” 的概率.
2.因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件发生与否不影响事件发生的概率.
探究：下面两个随机试验各定义了一对随机事件和.
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，=“第一枚硬币正面朝上”，=“第二枚硬币反面朝上”.
试验2：一个袋子中装有标号分别是1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设=“第一次摸到球的标号小于3”，=“第二次摸到球的标号小于3”.
你认为两个随机试验中事件和是什么关系，是互斥事件吗？若不是，你认为这两个事件有怎样的关系？结合事件和的关系，类比学过的事件的关系，你认为事件和叫什么事件？
合作探究：小组内交流，并汇报得出的结论.
答：试验1：事件和可以同时发生，不是互斥事件.
因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件发生与否不影响事件发生的概率.
试验2：事件和可以同时发生，不是互斥事件.
因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件发生与否也不影响事件发生的概率.
事件(或)发生与否不影响事件(或)发生的概率，则称事件和是相互独立事件.
师生活动：教师给出几个简单的事件，引导学生思考，让学生直观的感知事件的独立性.
设计意图：通过两个试验，使学生直观感知事件的独立性.
任务2：计算积事件的概率，探究事件独立性的知识本质
探究：下面两个随机试验各定义了一对随机事件和.
试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，=“第一枚硬币正面朝上”，=“第二枚硬币反面朝上”.
试验2：一个袋子中装有标号分别是1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设=“第一次摸到球的标号小于3”，=“第二次摸到球的标号小于3”.
我们知道两个互斥事件和的概率等于这两个事件的概率之和.即P(+)= P(()+P()，那么，相互独立事件 与同时发生的概率P()与P()和P()有怎样的关系呢
合作探究：小组内交流，并汇报得出的结论.
答：试验1：在该试验中，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示“反面朝上”，则样本空间={(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，包含4个等可能的样本点。而={(1，1)，(1，0)}，B={(1，0)，(0，0)}，所以 由古典概率模型概率计算公式，得=，)=，于是.
试验2：在该试验中，样本空间，
而，
所以，于是.
总结：直观判断：事件发生与否不影响 事件发生的概率.
本质属性：.
事件的相互独立性定义：
对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立。
总结：判断两个事件是否相互独立的方法
（1）直观意义（方便快捷地判断是否相互独立）
（2）定义判断（检验我们的直观分析是否可靠）
设计意图：通过简单的独立事件，启发学生得出事件独立性的定义及积事件的概率求法，
知识拓展：如果事件，，，…，是相互独立的，那么这个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即.
设计意图：这是事件的相互独立性定义的拓展思考，启发学生的思维，
任务3：相互独立事件的概率性质
探究：考虑两个特殊的随机事件与任意一个随机事件是否相互独立，即必然事件与任意事件是否相互独立？不可能事件与任意事件是否相互独立？为什么？请给出你的推理过程.
答：方法1：运用直观意义
必然事件必然发生，不影响任何事件的概率；不可能事件肯定不可能发生，也不影响任何事件的概率.
方法2：定义推理论证
探究：互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系.如果事件与事件相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？
（1）以试验2“有放回的摸球”试验为例，分别验证与 ，与B，与是否独立？你有什么发现？
（2）一般地，你能给出推理过程吗？
答：（1），=“第二次摸到球的标号大于等于3”，所以
=“第一次摸到球的标号小于3，第二次摸到球的标号大于等于3”，
所以= ，因此，
（2）对于与，因为=B∪，而且与互斥，
所以，
所以 .
由事件的独立性定义，A与相互独立.
类似地，可以证明事件与B，与也都相互独立.
总结：按照数学对象的研究路径，你能得出事件独立性的性质吗？
直观判断：事件发生与否不影响 事件发生的概率.
共同属性：.
一般定义：对任意两个事件和，如果.成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立.
提炼性质：若事件和相互独立，则事件与相互独立；与相互独立；与相互独立.
探究：互斥事件与相互独立事件有什么区别？
合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
答：
相互独立事件 互斥事件
条件 事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响 不可能同时发生的两个事件
符号 相互独立事件，同时发生，记作 互斥事件，中有一个发生，记作（或）
计算公式
设计意图：通过对比相互独立事件和互斥事件的概念，区分两者的不同，加深对两个事件概念的理解和运用.
（三）应用举例
例1：一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异。采用不放回方式从中任意摸球两次。记事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件与是否相互独立？
提示：利用两个事件相互独立的定义进行判断.
解：因为样本空间
，
，
所以，.
此时，因此，事件与事件不独立.
总结：判断事件相互独立的步骤：
1.写出样本空间，并计算样本点个数；
2.分别写出事件的所有基本事件，并计算个数；
3.计算，，；
4.判断与是否相等；若相等，则相互独立；若不相等，则不独立.
例2：甲、乙两名射击运动员进行设计比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶.
提示：设“甲中靶”，“乙中靶”．从要求的概率可知，需要先分别求，的对立事件，的概率，并利用，，构建相应的事件
解：设“甲中靶”，“乙中靶”，则“甲脱靶”，“乙脱靶”．由于两个人射击的结果互不影响，所以与相互独立，与，与，与都相互独立．
由已知可得，，，，．
（1）“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
．
“恰好有一人中靶”，且与互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得
.
（3）事件“两人都脱靶”，所以
.
（4）方法1：事件“至少有一人中靶”，且，与两两互斥，所以
.
方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”，根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中靶”的概率为
.
总结：常用的相互独立事件的概率
相互独立事件， 概率
，同时发生的概率
不发生发生的概率
发生不发生的概率
，都不发生的概率
，中恰有一个发生的概率
，中至少有一个发生的概率
，中至多有一个发生的概率
例3：甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率．
提示：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生．
解：设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件．根据独立性假定，得
， ， ， .
设“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥，与，与分别相互独立，所以
.
因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是．
例4：某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率
（2）求该选手至多进入第三轮考核的概率．
解：（1）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，
则，，，．
所以选手进入第四轮才被淘汰的概率：
；
（2）该选手至多进入第三轮考核的概率
．
总结：求较为复杂事件的概率的方法
(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
例5：甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台举办的听曲猜歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首，若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮，该小组最多参加三轮活动．已知每一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概率是，丙猜对歌名的概率是，甲、乙、丙猜对与否互不影响．
（1）求该小组未能进入第二轮的概率；（2）求乙猜歌曲的次数为1次的概率．
解：分别将甲、乙、丙第次猜对歌名记为事件，，，则，，相互独立．
记“该小组未能进入第二轮”为事件，则
，
或记“该小组未能进入第二轮”为事件，
则．
所以该小组未能进入第二轮的概率为．
记“乙猜歌曲的次数为次”为事件，
则
．
所以乙猜歌曲的次数为次的概率为．
设计意图：通过例题，加深事件的相互独立性定义理解，并学习运用.
课堂练习
1.已知事件和相互独立，且，则( )
. . . .
解：依题意可 ．故选：．
2.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则与的关系为( )
. 互斥 . 相互对立 . 相互独立 . 相等
解：显然事件和事件不相等，故D错误，
由于事件与事件能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故AB错误；
因为事件是否发生与事件无关，事件是否发生也与事件无关，故事件和事件相互独立，故C正确．
故选：．
3.已知事件，相互独立，且，，则 ．
解：由题设，则．
故答案为：．
4.甲、乙两人独立地破译同一份密码，已知各人能成功破译的概率分别是，，则该密码被成功破译的概率为 ．
解：根据题意，甲乙两人能成功破译的概率分别是，，
则密码没有被破译，即甲乙都没有成功破译密码的概率，
故该密码被成功破译的概率．
故答案为：．
5.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第枚正面朝上”，事件“第枚正面朝上”，事件“枚硬币朝上的面相同”，，，中哪两个相互独立？
解：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，共有正正，正反，反正，反反种情况，
事件“第枚正面朝上”，包括正正，正反两种情况，则，
事件“第枚正面朝上”，包括正正，反正两种情况，则，
事件“枚硬币朝上的面相同”，包括正正，反反两种情况，则，
事件包括正正一种情况，则，满足，故A、相互独立，
事件包括正正一种情况，则，满足，故A、相互独立，
事件包括正正一种情况，则，满足，故C、相互独立，
综上，、、两两独立．
6.已知，．
若，求，
若，互斥，求，
若，相互独立，求，．
解：，7，
，互斥，，
，相互独立，．
归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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