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第十章 概率
10.3 频率与概率
10.3.1 频率的稳定性
1.能理解在具体情况下随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，获得随机事件概率的方法之一，形成一种重要的概率思想.
2.会用频率估计概率,归纳出频率与概率的联系与区别，发展学生数学抽象，直观想象和逻辑推理的核心素养.
3.通过实际问题分析，培养使用数学的良好意识，提升推理论证能力，激发学习兴趣，体验数学的应用价值和数据分析的核心素养.
重点：频率与概率的联系与区别．
难点：对频率稳定性规律的理解．
（一）创设情境
事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复试验中，相应的频率一般也越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验中，相应的频率一般也越小，在初中，我们利用频率与概率的这种关系，我们通过大量的重复试验，用频率去估计概率，你能举出生活中那些事情发生的概率是用频率来估计的？(学生举例)
想一想：在重复实验中，频率的大小是否就决定了概率的大小呢？频率与概率之间到底是一种怎样的关系呢？
师生活动：教师展示生活中用频率估计概率的实例，例如；保险领域的各个中“事故”，让学生也例举生活中的实例.
设计意图：通过直观观察，结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，由知识回顾，提出问题，引出频率与概率的关系问题，发展学生数学抽象，直观想象和逻辑推理的核心素养.
（二）探究新知
任务1：在真实试验探究频率和概率之间的关系.
探究：重复做同时抛掷两枚质地均匀的硬币的试验，设事件“一个正面朝上，一个反面朝上”，统计出现的次数并计算频率，再与其概率进行比较.
师生活动：1.独立计算，事件概率；2.小组试验，记录频数；
第一步：每人重复做次试验，记录事件发生的次数，计算频率；
第二步：每名同学为一组，相互比较试验结果；
第三步：各组统计事件发生的次数，计算事件发生的频率，将结果填入表中10.3-1中.
3.交流讨论，提出猜想;
4.组内交流，汇报展示.
总结：
方法一：用概率计算.
把硬币正面朝上记为，反面朝上记为，则这个试验的样本空间所以概率
方法二：用频数计算.
思考：比较在自己试验25次、小组试验100次和全班试验总次数的情况下，事件A发生的频率：
（1）各小组的试验结果一样吗？为什么会出现这种情况？
（2）随着试验次数的增加，事件A发生的频率有什么变化规律？
分析：（1）试验结果不同---说明随机事件的频率是一个变量，随试验的改变而改变；
（2）事件A发生的频率----在0.5范围左右波动，随着次数的增加波动范围变小，得到的值更加接近A的概率0.5.
设计意图：通过在真实试验探究频率和概率之间的关系，让学生经历重复试验，收集，整理数据，发展学生数学抽象和逻辑推理的核心素养，培养学生合作交流的能力.
任务2：在模拟试验中探究频率和概率之间的关系.
探究：利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为时各做组试验，得到事件“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数和频率
师生活动：1.从计算机模拟数据中发现了什么？2.分别绘制n=20,n=100,n=500的频率波动折现图;3.从图中能得出什么结论 要求：先独立思考完成，再小组内交流讨论，最后展示汇报.
总结：（1）试验次数相同，频率可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性. (2)从整体看频率在0.5范围内波动，当试验次数时，波动幅度较大；当试验次数时，波动幅度较小. (3)试验的次数多的波动幅度并不全比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大.
设计意图：通过在计算计模拟试验中探究频率和概率之间的关系，进一步探究频率与概率之间的关系，利用图表，表示试验数据，通过观察，比较发现频率的特征，提升想象和数据分析素养．
任务3：归纳总结频率和概率之间的关系.
师生活动:1.先独立梳理结构图2分钟；2.小组内交流讨论补全完善自己的结构图；3.以小组为单位进行展示汇报.
总结：
教师可以先总结引出频率稳定性的概念：一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.因此，我们可以用频率估计概率.
设计意图：让学生体会用试验验证概率模型的合理性，通过试验发现规律从而建立概率理论模型的思想，进一步提高学生归纳总结和概括问题的能力，解决问题的能力.
（三）应用举例
例1：新生婴儿性别比是每名女婴对应的男婴数. 通过抽样调查得知，我国2014年、2015年出生的婴儿性别比分别为115.88和
（1）估计我国2014年和2015年男婴的出生率（新生儿中男婴的比率，精确到）；
（2）根据估计结果，你认为“生男孩和生女孩是等可能的”这个判断可靠吗？
提示：（1）如何去计算出生率？（2）这种计算方法能估计出生率？
解：（1）2014年男婴出生的频率为：；
2015年男婴出生的频率为：；
由此估计，我国2014年男婴出生率约为，2015年男婴出生率约为
（2）由于调查新生儿人数的样本非常大，根据频率的稳定性，上述对男婴出生率的估计具有较高的可信度. 因此，我们有理由怀疑“生男孩和生女孩是等可能的”的结论.
例2：一个游戏包含两个随机事件A和B，规定事件A发生则甲获胜，事件B发生则乙获胜. 判断游戏是否公平的标准是事件A和B发生的概率是否相等.
在游戏过程中甲发现：玩了10次时，双方各胜5次；但玩到1000次时，自己才胜300次，而乙却胜了700次. 据此，甲认为游戏不公平，但乙认为游戏是公平的. 你更支持谁的结论？为什么？
提示：（1）游戏玩10次和玩1000次，甲和乙的获胜的频率分别是多少？（2）它们的频率是相同 ？若不同有什么区别？能用这些频率估计概率？（3）概率的大小和游戏的公平性直接有什么关系？.
解：（1）当游戏玩了10次时，甲、乙获胜的频率都为0.5；当游戏玩了1000次时，甲获胜的频率为0.3，乙获胜的频率为0.7.
（2）根据频率的稳定性，随着试验次数的增加，频率偏离概率很大的可能性会越来越小。相对10次游戏，1000次游戏时的频率接近概率的可能性更大，因此我们更愿意相信1000次时的频率离概率更近.
（3）而游戏玩到1000次时，甲、乙获胜的频率分别是0.3和0.7，存在很大差距，所以有理由认为游戏是不公平的. 因此，应该支持甲对游戏公平性的判断.
例3:气象工作者有时用概率预报天气，如某气象台预报“明天的降水概率是90%.如果您明天要出门，最好携带雨具”. 如果第二天没有下雨，我们或许会抱怨气象台预报得不准确. 那么如何理解“降水概率是90%”？又该如何评价预报的结果是否准确呢？
提示：（1）气象预报长期记录有什么作用？（2）90%相当于是以往事件发生的频率，可以用它估计事情发生的概率？（3）当随机事件的概率高时，事件是不是一定会发生？
解：只有根据气象预报的长期记录(相当于大量试验)，才能评价预报的准确性;
（1）如果在类似气象条件下预报要下雨的那些天（天数较多）里，大约有90%确实下雨了，那么应该认为预报是准确的；
（2）如果真实下雨的天数所占的比例与90%差别较大，那么就可以认为预报不太准确.
设计意图：通过实例分析，让学生掌握运用频率来计算事件概率，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象，数学建模及逻辑推理的核心素养．
（四）课堂练习
1.在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为( )
A. B. C. D.
解：出现正面的频率是，出现正面的概率是，
故选：．
2.用随机事件发生的频率去估算这个事件发生的概率．下列结论正确的是( )
A. 事件发生的概率是
B. 事件发生的概率，则事件是必然事件
C. 用某种药物对患有胃溃疡的名病人治疗，结果有人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为
D. 某奖券中奖率为，则某人购买此券张，一定有张中奖
解：对于，可以是或，故A错误；
对于，事件发生的概率，则事件是随机事件，故B错误；
对于，根据概率的定义，估计有明显疗效的可能性为，可判断C正确；
对于，某奖券中奖率为，某人购买此券张，不一定有张中奖，D错误；
故选：．
3.下列关于随机事件的频率与概率的关系的说法中，正确的是 填序号．
频率就是概率
频率是客观存在的，与试验次数无关
概率是随机的，在试验前不能确定
随着试验次数的增多，频率越来越接近概率．
解：频率不是概率，所以不正确
频率是通过试验得到的，不是客观存在的，与试验次数有关，所以不正确
概率不是随机的，所以不正确
很明显，随着试验次数的增多，频率越来越接近概率，故正确．
4.某射手在同一条件下进行射击，结果如表所示：
射击次数
击中靶心次数
击中靶心的频率
填写表中击中靶心的频率；
这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
解：根据表中数据，计算依次填入的数据为：
，，，，，；
计算，
由于频率稳定在常数附近，
所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是．
5.电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数
好评率
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
Ⅰ从电影公司收集的电影中随机选取部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
Ⅱ随机选取部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；
Ⅲ电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加，哪类电影的好评率减少，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？只需写出结论
解：Ⅰ总的电影部数为部，
获得好评的第四类电影，
故从电影公司收集的电影中随机选取部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
Ⅱ获得好评的电影部数为，
估计这部电影没有获得好评的概率为，
Ⅲ故只要第五类电影的好评率增加，第二类电影的好评率减少，则使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大．
设计意图：通过课堂练习，进步让学生理解用频率的稳定性解决问题，巩固频率和概率区别，提高学生认知的能力，解决问题能力.
（五）归纳总结
通过本节课的研究，大家学到了哪些？想想这样知识还可以应用在那些方面？
设计意图：师生共同回顾总结，引领学生感悟数学认知，体会数学核心素养；通过对之前知识的梳理，提高学生总结概括能力，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.

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