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概率
10.3.2随机模拟
1.了解随机数的意义.
2.会用模拟方法(包括计算器产生随机数进行模拟)估计概率.
3.通过利用随机模拟的方法估计事件的概率，培养数学建模素养.
4.通过学习事件概率的计算，培养数学运算素养.
重点：利用随机模拟试验求概率．
难点：理解用模拟方法估计概率的实质.
（一）创设情境
回顾：如何求实际问题的概率？
师生活动：教师提出问题，让学生带着问题回顾思考.
答：对于古典概型，我们有两种方法求概率，方法一：利用古典概型的概率计算公式求解；方法二：重复试验以频率估计概率；而对于非古典概型，只能用方法二进行求解.
思考：用频率估计概率，需要做大量的重复试验，有没有其他方法可以替代试验呢
（二）探究新知
任务1：随机模拟的概念及蒙特卡洛方法.
思考：你知道哪些可以产生随机数的方法？
答：方法一：由试验产生随机数，例如我们要产生0~9之间的整数随机数，像彩票摇奖那样，把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中，充分搅拌后摇出一个球，这个球上的号码称为随机数.
方法二：利用计算机产生的随机数
思考：计算器或计算机软件产生的随机数是真正的随机数吗？
答：利用计算机产生随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性，因此我们把利用计算机产生的随机数称为伪随机数.
探究1：抛掷一枚质地均匀的硬币100次，计算反面朝上的频率，你认为便捷的方法是什么？具体如何操作呢？
答：由于次数较多，计算机产生随机数更便捷；虽然有周期性产生的是伪随机数，但周期较长；且频率本身也是概率的估计值，所以可以用计算机模拟试验.
结合excel中RANDBETWEEN函数，产生取值于0-1之间的随机整数，用0表示正面朝上，用1表示反面朝上.这样不断产生0，1两个随机数，相当于不断地做抛掷硬币的试验.并用COUNTIF函数计算出表格中1的个数，除以100即可得到反面朝上的概率.
师生活动：教师指导学生进行独立思考并进行2分钟小组合作探究，每组挑选一名代表展示小组讨论结果.待学生充分展示后，教师提出新问题：当试验的元素变多时，你还能用类似的方法计算频率吗？
设计意图：培养学生独立思考的能力的同时，锻炼学生小组合作能力与总结归纳能力，培养学生数学建模素养.
探究2：一个瓶子里装有2个红球和3个白球，这些球除了颜色不同外没有其他区别，每次随机摸出一个球，摸出红球的概率是多少？
合作探究：
1.先进行独立思考，再通过小组合作，讨论如何用随机数表示多种元素.
2.尝试用试验或结合计算机产生随机数估测摸出红球的概率.
3.五分钟后每组派一名代表对讨论结果进行展示.
可以让计算器或计算机产生取值于集合{1，2，3，4，5}的随机数，用1，2表示红球，用3，4，5表示白球.这样不断产生1~5之间的整数随机数，相当于不断地做从袋中摸球的试验.
用电子表格软件模拟上述摸球试验的结果，其中n为试验次数，nA为摸到红球的频数，f(A)为摸到红球的频率.
画出频率折线图，从图中可以看出：
随着试验次数的增加，摸到红球的频率稳定于概率0.4.
说一说：根据上述模拟摸球实验，你能说一说什么是随机模拟试验吗
答：我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数.实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，这么随机模拟方式叫做随机模拟.我们称利用随机模拟解决问题地方法为蒙特卡洛方法.
（三）应用举例
例1：从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在一月，月……十二月是等可能的.设事件 A=“至少有两人出生月份相同”，设计一种试验方法，模拟 20次，估计事件A发生的概率.
解:(法1)根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等可能的，而且相互之间没有影响，所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验.因此，可以构建如下有放回摸球试验进行模拟：在袋子中装入编号为1，2，…，12的12个球，这些球除编号外没有什么差别.有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数代表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验.如果这6个数中至少有2个相同，表示事件 A发生了.重复以上模拟试验20次，就可以统计出事件A发生的频率.
(法2)利用电子表格软件模拟试验.在A1，B1，C1，D1，E1，F1单元格分别输入“=RANDBETWEEN(1，12)”，得到6个数，代表6个人的出生月份，完成一次模拟试验，选中A1，B1，C1，D1，E1，F1单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到第 20行，相当于做20次重复试验，统计其中有相同数的频率，得到事件A的概率的估计值.
下表是20次模拟试验的结果，事件A发生了14次，事件A的概率估计值为0.70，与事件A的概率(约0.78)相差不大.
总结：随机模拟法的步骤
（1）建立概率模型
（2）进行模拟试验（可用计算器或计算机进行）
（3）统计试验结果
例2：在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4.利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率.
解：设事件A =“甲获得冠军”，事件B=“单局比赛甲胜”，则P(B)=0.6.用计算器或计算机产生 1~5之间的随机数，当出现随机数1，2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6.
由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组.例如，产生 20 组随机数：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342 534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
相当于做了 20次重复试验.其中事件A发生了 13 次，对应的数组分别是423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，用频率估计事件A的概率的近似为.
总结：用随机模拟来估计概率，一般有如下特点的事件可以用这种方法来估计：
(1)对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题，我们可采取随机模拟方法来估计概率.
(2)对于一些基本事件的总数比较大而导致很难把它列举得不重复、不遗漏的概率问题或对于基本事件的等可能性难于验证的概率问题，可用随机模拟方法来估计概率.
（四）课堂练习
1.天气预报显示，在今后的三天中，每一天下雨的概率为，现用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生--之间整数值的随机数，并制定用，，，表示下雨，用，，，，，表示不下雨，再以每个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下组随机数
则这三天中恰有两天下雨的概率近似为( )
A. 0.35 B. 0.25 C. 0.20 D. 0.15
解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了组随机数，
在组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：
、、、、，共组随机数，
所求概率为=0.25
故选B．
2.一个不透明的盒子中装有 10 个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验 400 次，其中有 240 次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有( )
A. 10 个 B. 15 个 C.18 个 D.30 个
解：设白球有x个
解得：x=15，
经检验x=15是分式方程的解
即白球有15个，
故选： B.
3.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒 内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为( ）
A. 134 石 B. 169 石 C.338 石 D.1 365 石
解：由题意，这批米内夹谷约为石．故选：B．
4.分别设计一个方案：在一个质地均匀的正方体的六个面上标上恰当的数字，使得多次重复试验后掷出的点数满足下面的条件：
“”朝上的频率稳定在
大于和小于的点数的频率相同．
解：在两个面上写上数字，其余四个面上分别写上数字、、、；
答案不唯一
在两个面上写上数字，其余四个面上分别写上数字、、、答案不唯一
5.在学习概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，大量重复实验后，正面朝上的概率约是”小海、小东、小英分别设计了下列三个模拟实验：
小海找来一个啤酒瓶盖如图进行大量重复抛掷，然后计算瓶盖口朝上的次数与总次数的比值；
小东用硬纸片做了一个圆形转盘，转盘上分成个大小一样的扇形区域，并依次标上至个数字如图，转动转盘次，然后计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值；
小英在一个不透明的盒子里放了四枚除颜色外都相同的围棋子如图，其中有三枚是白子，一枚是黑子，从中随机同时摸出两枚棋子，并大量重复上述实验，然后计算摸出的两枚棋子颜色不同的次数与总次数的比值．

根据以上材料回答问题：
小海、小东、小英三人中，哪一位同学的实验设计比较合理，并简要说出其他两位同学实验的不足之处．
解：小英设计的模拟实验比较合理．
小海选择的啤酒瓶盖质地不均匀；小东操作转盘时没有用力转动，而且实验次数太少，没有进行大量重复实验．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固利用随机模拟估计概率，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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