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(共63张PPT)
第一章
§1.3　等式性质与不等式
　　　性质
数学
大
一
轮
复
习
1.掌握等式性质.
2.会比较两个数的大小.
3.理解不等式的性质，并能简单应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R).
>
<
＝
2.等式的性质
性质1　对称性：如果a＝b，那么 ；
性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么 ；
性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么_______.
b＝a
a＝c
3.不等式的性质
性质1　对称性：a>b ；
性质2　传递性：a>b，b>c ；
性质3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性质4　可乘性：a>b，c>0 ；a>b，c<0 ；
性质5　同向可加性：a>b，c>d ；
性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ；
性质7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2).
ba>c
ac>bc
aca＋c>b＋d
ac>bd
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a(2)若>1，则b>a.(　　)
(3)同向不等式具有可加性和可乘性.(　　)
(4)若>，则b×
√
×
×
2.(多选)下列命题为真命题的是
A.若ac2>bc2，则a>b B.若a>b>0，则a2>b2
C.若a
√
C中，若a＝－2，b＝－1，则a2>ab>b2，故C错误.
√
√
3.设M＝2a2－4a＋7，N＝a2－3a＋6，则有
A.MC.M>N D.无法确定
√
因为M＝2a2－4a＋7，N＝a2－3a＋6，
所以M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－3a＋6)＝a2－a＋1＝>0，所以M>N.
4.若实数a，b满足0(－1，2)
∵01.a>b，ab>0 <.
2.若a>b>0，m>0，则：<；>.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(多选)下列不等式中正确的是
A.x2－2x>－3(x∈R) B.≥(a>0，b>0)
C.a2＋b2>2(a－b－1) D.<(b>a>0)
√
数(式)的大小比较
√
√
题型一
∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，
∴x2－2x>－3，故A正确；
，又a，b均为正实数，∴a＋b>0，(a－b)2≥0，∴≥0，∴≥，故B正确；
∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误；
用作差法比较，
∵b>a>0，∴>0，
∴<，故D正确.
(2)若a>0，b>0，则p＝与q＝abba的大小关系是
A.p≥q B.p≤q
C.p>q D.p√
由题知p>0且q>0，，
若a>b>0，则>1，a－b>0，
∴>1，即p>q；
若b>a>0，则0<<1，a－b<0，
∴>1，即p>q；
若a＝b，则＝1，∴p＝q，
综上，p≥q.
比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.
思维升华
跟踪训练1　(1)已知c>1，且x＝，y＝，则x，y之间的大小关系是
A.x>y B.x＝y
C.x√
由题设，易知x>0，y>0，又<1，∴x(2)已知a，b∈(0，1)，记M＝ab，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是　　　　.
M>N
因为M－N＝ab－a－b＋1＝(b－1)(a－1)，且a，b∈(0，1)，所以b－1<0，a－1<0，
所以M－N>0，即M>N.
例2　(1)(多选)(2025·常州模拟)已知实数a，b，c，d满足aA.a＋cC.a2d2>b2c2 D.>
√
不等式的基本性质
题型二
√
√
由a当a＝－2，b＝－1，c＝1，d＝2时，满足a由ab2>0，d2>c2>0，
再利用不等式的同向同正可乘性得a2d2>b2c2，故C正确；
由a－b>0，d>c>0，
再利用不等式的同向同正可乘性得－ad>－bc，
两边同除以正数－bd得>，故D正确.
(2)(多选)(2025·常德模拟)已知a>b>0，则下列不等式正确的是
A.a2>ab B.>
C.a＋b＋ln(ab)>2 D.a－>b－
√
√
√
对于A，∵a>b>0，∴a2>ab，故A正确；
对于B，∵a>b>0，∴<，∴1＋<1＋，即0<<，∴>，故B正确；
对于C，令a＝1，b＝，则a＋b＋ln(ab)＝1＋＋ln <2，故C错误；
对于D，易得y＝x－(x>0)为增函数，且a>b>0，故a－>b－，故D正确.
判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证.
(2)利用特殊值法排除错误选项.
(3)作差法.
(4)构造函数，利用函数的单调性.
思维升华
跟踪训练2　(1)(2024·西安模拟)已知a>b，c>d>0，则
A.< B.a－c>b－d
C.> D.<
√
对于A，，因为c>d>0，所以d－c<0，所以<0，即<，故选项A正确；
对于B，a>b，c>d>0，取a＝4，b＝3，c＝2，d＝1，则a－c＝b－d，故选项B错误；
对于C，a>b，c>d>0，取a＝2，b＝1，c＝6，d＝3，则，故选项C错误；
对于D，a>b，取a＝1，b＝－1，则>，故选项D错误.
(2)(多选)若a>b>0，c>d>0，则下列结论正确的是
A.ad>bc B.a(a＋c)>b(b＋d)
C.< D.ac＋bd>ad＋bc
√
√
√
对于A，取a＝2，b＝1，c＝2，d＝1，则ad＝bc，故A错误；
对于B，由a>b>0，c>d>0，得a＋c>b＋d>0，则a(a＋c)>b(b＋d)，故B正确；
对于C，由a>b>0，c>d>0，得ac>bd，
且<<，
等价于>，等价于ac>bd，故C正确；
对于D，(ac＋bd)－(ad＋bc)＝(ac－ad)＋(bd－bc)＝a(c－d)＋b(d－c)＝(c－d)(a－b)>0，
则ac＋bd>ad＋bc，故D正确.
例3　(1)(多选)(2025·大庆模拟)已知实数x，y满足1A.3C.2√
不等式性质的综合应用
题型三
√
因为2因为2因为1因为2所以<<6，故D正确.
(2)(2024·辽宁县域重点高中协作体模拟)公园的绿化率是指公园内的绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为a m2，绿化面积为b m2
(0A.变大 B.变小
C.不变 D.不确定
√
原来公园的绿化率为，
则，
所以的大小与a，2b的大小有关，故扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率的变化情况不确定.
利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点
(1)必须严格运用不等式的性质.
(2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
思维升华
跟踪训练3　(1)已知2A.[6，7] B.(2，5)
C.[4，7] D.(5，8)
√
由题意可知4<2a<6，1<－b<2，所以5<2a－b<8.
(2)手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在(0，1)之间.设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机“屏占比”和升级前比
A.不变 B.变小
C.变大 D.变化不确定
√
设原来手机屏幕面积为b，整机面积为a，
则屏占比为(a>b>0)，设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为m(m>0)，升级后屏占比为，
∵a>b>0，∴>0，即该手机“屏占比”和升级前比变大.
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课时精练
对一对
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B B D A AB AC
题号 8 11 12 答案 ≥ C [－7，2] 1
2
3
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答案
1
2
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(1)∵y＝在定义域R上单调递减，∴0<<1，
又∵二次函数y＝ax2＋bx顶点的横坐标x0＝－，∵0<<1，
∴－<－<0，即－∴－1<2x0<0，∴0<2x0＋1<1，
∴2x0＋1的取值范围为(0，1).
9.
11
12
答案
1
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3
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5
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7
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9
10
(2)∵a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，
又∵0<<1，
∴a>b>0或ab>0时，
a3＋b3>a2b＋ab2；
②当aa3＋b39.
11
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答案
1
2
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7
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10
(1)∵a>b>c>d，∴a>b，－d>－c，
∴a－d>b－c>0，则<.
(2)∵a>b>0，c－d>0，
∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0，
则＝＝>0，
∴>.
10.
11
12
一、单项选择题
1.若a＝(x＋1)(x＋3)，b＝2(x＋2)2，则下列结论正确的是
A.a>b B.aC.a≥b D.a，b的大小关系不确定
√
1
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9
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知识过关
答案
因为b－a＝2(x＋2)2－(x＋1)(x＋3)＝2x2＋8x＋8－(x2＋4x＋3)＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0，所以a11
12
2.已知a>b，则下列不等式一定成立的是
A.< B.2a>2b
C.a2>b2 D.|a|>|b|
1
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9
10
取a＝1，b＝－2，满足a>b，显然有>，a2指数函数y＝2x为增函数，若a>b，则必有2a>2b，B正确.
答案
√
11
12
3.(2024·沈阳模拟)已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列结论一定正确的是
A.bc>c2 B.>0
C.ab2>cb2 D.<0
√
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9
10
由题知a>b>c且a＋b＋c＝0，则有a>0，c<0，b>c，则bcb－c>0，因为b与0的大小关系未知，不能确定>0，B选项错误；
a>c，当b＝0时，ab2＝cb2，C选项错误；
a－b>0，c<0，<0，D选项正确.
答案
11
12
4.(2024·北京大兴统考)在一次调查中，某班甲、乙、丙、丁四名同学在社区服务的月总时长之间有如下关系：甲、丙服务时长之和等于乙、丁服务时长之和，甲、乙服务时长之和大于丙、丁服务时长之和，丁的服务时长大于乙、丙服务时长之和，则这四名同学按照服务时长从大到小的顺序排列为
A.甲、丁、乙、丙 B.丁、甲、乙、丙
C.丁、乙、丙、甲 D.乙、甲、丙、丁
1
2
3
4
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答案
√
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4
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7
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10
答案
设甲、乙、丙、丁四名同学的服务时长分别为a，b，c，d，a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，
根据题意得
显然d>b，d>c，②＋①可得a>d，
由②－①可得b>c，
故a>d>b>c，
即这四名同学按服务时长从大到小的顺序排列为甲、丁、乙、丙.
11
12
二、多项选择题
5.已知c>b>a，则下列结论正确的是
A.c＋b>2a B.>
C.> D.<
√
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答案
√
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10
答案
对于选项A，因为c>b>a，所以c＋b>2a，故选项A正确；
对于选项B，因为c>b>a，所以c－a>c－b>0，所以>>0，故选项B正确；
对于选项C，取a＝－3，b＝－2，c＝－1，满足c>b>a，此时＝－2，＝－<，故选项C错误；
对于选项D，当c＝1，b＝－1，a＝－2时，＝2，＝－>，故选项D错误.
11
12
6.(2025·洛阳联考)设实数a，b满足1≤ab≤4，4≤≤9，则
A.2≤|a|≤6 B.1≤|b|≤3
C.4≤a3b≤144 D.1≤ab3≤4
√
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答案
√
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7
8
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答案
1≤ab≤4，4≤≤9，两式相乘得4≤a2≤36，所以2≤|a|≤6，A正确；
由题意得≤≤，又1≤ab≤4，两式相乘得≤b2≤1，所以≤|b|≤1，B错误；
因为1≤a2b2≤16，4≤≤9，所以两式相乘得4≤a3b≤144，C正确；
因为1≤a2b2≤16，≤≤≤ab3≤4，D错误.
11
12
三、填空题
7.已知0<β<α<，则α－β的取值范围是　　　　　.
1
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3
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5
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7
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10
答案
∵0<β<，∴－<－β<0，
又0<α<，∴－<α－β<，
又β<α，∴α－β>0，即0<α－β<.
11
12
8.已知a，b为实数，则2a2＋b2＋1　　　ab＋2a.(填 “>”“<”“≥”或“≤”)
1
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10
答案
≥
由题知，
－(ab＋2a)＝a2－ab＋b2＋a2－2a＋1＝＋(a－1)2
≥0，当且仅当a＝1且b＝2时，取等号.
11
12
四、解答题
9.(2024·岳阳联考)已知指数函数y＝在定义域内单调递减，二次函数y＝ax2＋bx的图象顶点的横坐标为x0.
(1)求2x0＋1的取值范围；
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答案
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答案
∵y＝在定义域R上单调递减，
∴0<<1，
又∵二次函数y＝ax2＋bx顶点的横坐标x0＝－，∵0<<1，
∴－<－<0，即－∴－1<2x0<0，∴0<2x0＋1<1，
∴2x0＋1的取值范围为(0，1).
11
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(2)比较a3＋b3与ab2＋a2b的大小.
1
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答案
∵a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)，
又∵0<<1，∴a>b>0或a①当a>b>0时，a3＋b3>a2b＋ab2；
②当a11
12
10.证明下列不等式：
(1)已知a>b>c>d，求证：<；
1
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5
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答案
∵a>b>c>d，∴a>b，－d>－c，
∴a－d>b－c>0，则<.
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(2)已知a>b>0，c.
1
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答案
∵a>b>0，c∴－c>－d>0，
∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0，
则＝>0，
∴>.
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12
11.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则的取值范围为
A.(1，＋∞) B.(1，3)
C.(0，2) D.(0，3)
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答案
能力拓展
11
√
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12
答案
11
由已知及三角形三边关系得
所以
两式相加得0<<4，
所以0<<2.
12.已知实数x，y满足－2≤x＋2y≤3，－2≤2x－y≤0，则3x－4y的取值范围为　　　　　.
1
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12
答案
11
[－7，2]
1
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12
答案
设3x－4y＝m(x＋2y)＋n(2x－y)，m，n∈R，则
解得
所以3x－4y＝－(x＋2y)＋2(2x－y)，
因为－2≤x＋2y≤3，－2≤2x－y≤0，
所以－3≤－(x＋2y)≤2，－4≤2(2x－y)≤0，
所以－7≤3x－4y≤2.
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11§1.3　等式性质与不等式性质
课标要求　1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用.
　　　　　　　　　　　　　　　　
1.两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R).
2.等式的性质
性质1　对称性：如果a=b，那么b=a；
性质2　传递性：如果a=b，b=c，那么a=c；
性质3　可加(减)性：如果a=b，那么a±c=b±c；
性质4　可乘性：如果a=b，那么ac=bc；
性质5　可除性：如果a=b，c≠0，那么=.
3.不等式的性质
性质1　对称性：a>b b性质2　传递性：a>b，b>c a>c；
性质3　可加性：a>b a+c>b+c；
性质4　可乘性：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac性质5　同向可加性：a>b，c>d a+c>b+d；
性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ac>bd；
性质7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a=b，a(2)若>1，则b>a.(　×　)
(3)同向不等式具有可加性和可乘性.(　×　)
(4)若>，则b2.(多选)下列命题为真命题的是(　　)
A.若ac2>bc2，则a>b
B.若a>b>0，则a2>b2
C.若aD.若a
答案　ABD
解析　C中，若a=-2，b=-1，则a2>ab>b2，故C错误.
3.设M=2a2-4a+7，N=a2-3a+6，则有(　　)
A.MC.M>N D.无法确定
答案　C
解析　因为M=2a2-4a+7，N=a2-3a+6，
所以M-N=(2a2-4a+7)-(a2-3a+6)=a2-a+1=+>0，所以M>N.
4.若实数a，b满足0答案　(-1，2)
解析　∵01.a>b，ab>0 <.
2.若a>b>0，m>0，则：<；>.
题型一　数(式)的大小比较
例1　(1)(多选)下列不等式中正确的是(　　)
A.x2-2x>-3(x∈R)
B.+≥+(a>0，b>0)
C.a2+b2>2(a-b-1)
D.<(b>a>0)
答案　ABD
解析　∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0，
∴x2-2x>-3，故A正确；
+-=+=，又a，b均为正实数，∴a+b>0，(a-b)2≥0，∴≥0，∴+≥+，故B正确；
∵a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0，
∴a2+b2≥2(a-b-1)，故C错误；
用作差法比较-=，
∵b>a>0，∴>0，
∴<，故D正确.
(2)若a>0，b>0，则p=与q=abba的大小关系是(　　)
A.p≥q B.p≤q
C.p>q D.p答案　A
解析　由题知p>0且q>0，
===，
若a>b>0，则>1，a-b>0，
∴>1，即p>q；
若b>a>0，则0<<1，a-b<0，
∴>1，即p>q；
若a=b，则=1，∴p=q，
综上，p≥q.
思维升华　比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.
跟踪训练1　(1)已知c>1，且x=-，y=-，则x，y之间的大小关系是(　　)
A.x>y
B.x=y
C.xD.x，y的关系随c而定
答案　C
解析　由题设，易知x>0，y>0，又==<1，∴x(2)已知a，b∈(0，1)，记M=ab，N=a+b-1，则M与N的大小关系是　　　　.
答案　M>N
解析　因为M-N=ab-a-b+1=(b-1)(a-1)，且a，b∈(0，1)，所以b-1<0，a-1<0，
所以M-N>0，即M>N.
题型二　不等式的基本性质
例2　(1)(多选)(2025·常州模拟)已知实数a，b，c，d满足aA.a+cC.a2d2>b2c2 D.>
答案　ACD
解析　由a由ab2>0，d2>c2>0，
再利用不等式的同向同正可乘性得a2d2>b2c2，故C正确；
由a-b>0，d>c>0，
再利用不等式的同向同正可乘性得-ad>-bc，
两边同除以正数-bd得>，故D正确.
(2)(多选)(2025·常德模拟)已知a>b>0，则下列不等式正确的是(　　)
A.a2>ab B.>
C.a+b+ln(ab)>2 D.a->b-
答案　ABD
解析　对于A，∵a>b>0，∴a2>ab，故A正确；
对于B，∵a>b>0，∴<，∴1+<1+，即0<<，∴>，故B正确；
对于C，令a=1，b=，则a+b+ln(ab)=1++ln =<2，故C错误；
对于D，易得y=x-(x>0)为增函数，且a>b>0，故a->b-，故D正确.
思维升华　判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证.
(2)利用特殊值法排除错误选项.
(3)作差法.
(4)构造函数，利用函数的单调性.
跟踪训练2　(1)(2024·西安模拟)已知a>b，c>d>0，则(　　)
A.< B.a-c>b-d
C.> D.<
答案　A
解析　对于A，-=，因为c>d>0，所以d-c<0，所以-=<0，即<，故选项A正确；
对于B，a>b，c>d>0，取a=4，b=3，c=2，d=1，则a-c=b-d，故选项B错误；
对于C，a>b，c>d>0，取a=2，b=1，c=6，d=3，则=，故选项C错误；
对于D，a>b，取a=1，b=-1，则>，故选项D错误.
(2)(多选)若a>b>0，c>d>0，则下列结论正确的是(　　)
A.ad>bc
B.a(a+c)>b(b+d)
C.<
D.ac+bd>ad+bc
答案　BCD
解析　对于A，取a=2，b=1，c=2，d=1，则ad=bc，故A错误；
对于B，由a>b>0，c>d>0，得a+c>b+d>0，则a(a+c)>b(b+d)，故B正确；
对于C，由a>b>0，c>d>0，得ac>bd，
且<等价于<，
等价于>，等价于ac>bd，故C正确；
对于D，(ac+bd)-(ad+bc)=(ac-ad)+(bd-bc)=a(c-d)+b(d-c)=(c-d)(a-b)>0，
则ac+bd>ad+bc，故D正确.
题型三　不等式性质的综合应用
例3　(1)(多选)(2025·大庆模拟)已知实数x，y满足1A.3B.-1C.2D.<<6
答案　CD
解析　因为2因为2因为1因为2所以<<6，故D正确.
(2)(2024·辽宁县域重点高中协作体模拟)公园的绿化率是指公园内的绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为a m2，绿化面积为b m2(0A.变大 B.变小
C.不变 D.不确定
答案　D
解析　原来公园的绿化率为，扩建后公园的绿化率为，
则-==，
所以与的大小与a，2b的大小有关，故扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率的变化情况不确定.
思维升华　利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点
(1)必须严格运用不等式的性质.
(2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
跟踪训练3　(1)已知2A.[6，7] B.(2，5) C.[4，7] D.(5，8)
答案　D
解析　由题意可知4<2a<6，1<-b<2，所以5<2a-b<8.
(2)手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在(0，1)之间.设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机“屏占比”和升级前比(　　)
A.不变 B.变小
C.变大 D.变化不确定
答案　C
解析　设原来手机屏幕面积为b，整机面积为a，
则屏占比为(a>b>0)，设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为m(m>0)，升级后屏占比为，
∵a>b>0，∴-==>0，即该手机“屏占比”和升级前比变大.
课时精练
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.若a=(x+1)(x+3)，b=2(x+2)2，则下列结论正确的是(　　)
A.a>b
B.aC.a≥b
D.a，b的大小关系不确定
答案　B
解析　因为b-a=2(x+2)2-(x+1)(x+3)=2x2+8x+8-(x2+4x+3)=x2+4x+5=(x+2)2+1>0，所以a2.已知a>b，则下列不等式一定成立的是(　　)
A.< B.2a>2b
C.a2>b2 D.|a|>|b|
答案　B
解析　取a=1，b=-2，满足a>b，显然有>，a2指数函数y=2x为增函数，若a>b，则必有2a>2b，B正确.
3.(2024·沈阳模拟)已知a>b>c，且a+b+c=0，则下列结论一定正确的是(　　)
A.bc>c2 B.>0
C.ab2>cb2 D.<0
答案　D
解析　由题知a>b>c且a+b+c=0，则有a>0，c<0，b>c，则bcb-c>0，因为b与0的大小关系未知，不能确定>0，B选项错误；
a>c，当b=0时，ab2=cb2，C选项错误；
a-b>0，c<0，<0，D选项正确.
4.(2024·北京大兴统考)在一次调查中，某班甲、乙、丙、丁四名同学在社区服务的月总时长之间有如下关系：甲、丙服务时长之和等于乙、丁服务时长之和，甲、乙服务时长之和大于丙、丁服务时长之和，丁的服务时长大于乙、丙服务时长之和，则这四名同学按照服务时长从大到小的顺序排列为(　　)
A.甲、丁、乙、丙 B.丁、甲、乙、丙
C.丁、乙、丙、甲 D.乙、甲、丙、丁
答案　A
解析　设甲、乙、丙、丁四名同学的服务时长分别为a，b，c，d，a≥0，b≥0，c≥0，d≥0，
根据题意得
显然d>b，d>c，②+①可得a>d，
由②-①可得b>c，
故a>d>b>c，
即这四名同学按服务时长从大到小的顺序排列为甲、丁、乙、丙.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.已知c>b>a，则下列结论正确的是(　　)
A.c+b>2a B.>
C.> D.<
答案　AB
解析　对于选项A，因为c>b>a，所以c+b>2a，故选项A正确；
对于选项B，因为c>b>a，所以c-a>c-b>0，所以>>0，故选项B正确；
对于选项C，取a=-3，b=-2，c=-1，满足c>b>a，此时==-2，==-<，故选项C错误；
对于选项D，当c=1，b=-1，a=-2时，=2，==-，此时>，故选项D错误.
6.(2025·洛阳联考)设实数a，b满足1≤ab≤4，4≤≤9，则(　　)
A.2≤|a|≤6 B.1≤|b|≤3
C.4≤a3b≤144 D.1≤ab3≤4
答案　AC
解析　1≤ab≤4，4≤≤9，两式相乘得4≤a2≤36，所以2≤|a|≤6，A正确；
由题意得≤≤，又1≤ab≤4，两式相乘得≤b2≤1，所以≤|b|≤1，B错误；
因为1≤a2b2≤16，4≤≤9，所以两式相乘得4≤a3b≤144，C正确；
因为1≤a2b2≤16，≤≤，所以两式相乘得≤ab3≤4，D错误.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.已知0<β<α<，则α-β的取值范围是　　　　　　.
答案　
解析　∵0<β<，∴-<-β<0，
又0<α<，∴-<α-β<，
又β<α，∴α-β>0，即0<α-β<.
8.已知a，b为实数，则2a2+b2+1　　　　　ab+2a.(填 “>”“<”“≥”或“≤”)
答案　≥
解析　由题知，
-(ab+2a)=a2-ab+b2+a2-2a+1=+(a-1)2≥0，当且仅当a=1且b=2时，取等号.
四、解答题(共28分)
9.(13分)(2024·岳阳联考)已知指数函数y=在定义域内单调递减，二次函数y=ax2+bx的图象顶点的横坐标为x0.
(1)求2x0+1的取值范围；(6分)
(2)比较a3+b3与ab2+a2b的大小.(7分)
解　(1)∵y=在定义域R上单调递减，
∴0<<1，
又∵二次函数y=ax2+bx顶点的横坐标x0=-，∵0<<1，
∴-<-<0，即-∴-1<2x0<0，∴0<2x0+1<1，
∴2x0+1的取值范围为(0，1).
(2)∵a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)，
又∵0<<1，∴a>b>0或a①当a>b>0时，a3+b3>a2b+ab2；
②当a10.(15分)证明下列不等式：
(1)已知a>b>c>d，求证：<；(7分)
(2)已知a>b>0，c.(8分)
证明　(1)∵a>b>c>d，∴a>b，-d>-c，
∴a-d>b-c>0，则<.
(2)∵a>b>0，c∴-c>-d>0，
∴a-c>b-d>0，b-a<0，c-d<0，
则-=
==>0，
∴>.
每小题5分，共10分
11.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b+c≤3a，则的取值范围为(　　)
A.(1，+∞) B.(1，3)
C.(0，2) D.(0，3)
答案　C
解析　由已知及三角形三边关系得
所以则
两式相加得0<<4，
所以0<<2.
12.已知实数x，y满足-2≤x+2y≤3，-2≤2x-y≤0，则3x-4y的取值范围为　　　　　　.
答案　[-7，2]
解析　设3x-4y=m(x+2y)+n(2x-y)，m，n∈R，则
解得
所以3x-4y=-(x+2y)+2(2x-y)，
因为-2≤x+2y≤3，-2≤2x-y≤0，
所以-3≤-(x+2y)≤2，-4≤2(2x-y)≤0，
所以-7≤3x-4y≤2.

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