2026年高考数学一轮复习 1.3 等式性质与不等式性质 课件+讲义

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2026年高考数学一轮复习 1.3 等式性质与不等式性质 课件+讲义

资源简介

(共63张PPT)
第一章
§1.3 等式性质与不等式
   性质
数学





1.掌握等式性质.
2.会比较两个数的大小.
3.理解不等式的性质,并能简单应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.两个实数比较大小的方法
作差法 (a,b∈R).
>
<

2.等式的性质
性质1 对称性:如果a=b,那么 ;
性质2 传递性:如果a=b,b=c,那么 ;
性质3 可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c;
性质4 可乘性:如果a=b,那么ac=bc;
性质5 可除性:如果a=b,c≠0,那么_______.
b=a
a=c
3.不等式的性质
性质1 对称性:a>b ;
性质2 传递性:a>b,b>c ;
性质3 可加性:a>b a+c>b+c;
性质4 可乘性:a>b,c>0 ;a>b,c<0 ;
性质5 同向可加性:a>b,c>d ;
性质6 同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0 ;
性质7 同正可乘方性:a>b>0 an>bn(n∈N,n≥2).
ba>c
ac>bc
aca+c>b+d
ac>bd
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a(2)若>1,则b>a.(  )
(3)同向不等式具有可加性和可乘性.(  )
(4)若>,则b×

×
×
2.(多选)下列命题为真命题的是
A.若ac2>bc2,则a>b B.若a>b>0,则a2>b2
C.若a

C中,若a=-2,b=-1,则a2>ab>b2,故C错误.


3.设M=2a2-4a+7,N=a2-3a+6,则有
A.MC.M>N D.无法确定

因为M=2a2-4a+7,N=a2-3a+6,
所以M-N=(2a2-4a+7)-(a2-3a+6)=a2-a+1=>0,所以M>N.
4.若实数a,b满足0(-1,2)
∵01.a>b,ab>0 <.
2.若a>b>0,m>0,则:<;>.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1 (1)(多选)下列不等式中正确的是
A.x2-2x>-3(x∈R) B.≥(a>0,b>0)
C.a2+b2>2(a-b-1) D.<(b>a>0)

数(式)的大小比较


题型一
∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0,
∴x2-2x>-3,故A正确;
,又a,b均为正实数,∴a+b>0,(a-b)2≥0,∴≥0,∴≥,故B正确;
∵a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0,
∴a2+b2≥2(a-b-1),故C错误;
用作差法比较,
∵b>a>0,∴>0,
∴<,故D正确.
(2)若a>0,b>0,则p=与q=abba的大小关系是
A.p≥q B.p≤q
C.p>q D.p
由题知p>0且q>0,,
若a>b>0,则>1,a-b>0,
∴>1,即p>q;
若b>a>0,则0<<1,a-b<0,
∴>1,即p>q;
若a=b,则=1,∴p=q,
综上,p≥q.
比较大小的常用方法
(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.
(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.
(3)构造函数,利用函数的单调性比较大小.
思维升华
跟踪训练1 (1)已知c>1,且x=,y=,则x,y之间的大小关系是
A.x>y B.x=y
C.x
由题设,易知x>0,y>0,又<1,∴x(2)已知a,b∈(0,1),记M=ab,N=a+b-1,则M与N的大小关系是    .
M>N
因为M-N=ab-a-b+1=(b-1)(a-1),且a,b∈(0,1),所以b-1<0,a-1<0,
所以M-N>0,即M>N.
例2 (1)(多选)(2025·常州模拟)已知实数a,b,c,d满足aA.a+cC.a2d2>b2c2 D.>

不等式的基本性质
题型二


由a当a=-2,b=-1,c=1,d=2时,满足a由ab2>0,d2>c2>0,
再利用不等式的同向同正可乘性得a2d2>b2c2,故C正确;
由a-b>0,d>c>0,
再利用不等式的同向同正可乘性得-ad>-bc,
两边同除以正数-bd得>,故D正确.
(2)(多选)(2025·常德模拟)已知a>b>0,则下列不等式正确的是
A.a2>ab B.>
C.a+b+ln(ab)>2 D.a->b-



对于A,∵a>b>0,∴a2>ab,故A正确;
对于B,∵a>b>0,∴<,∴1+<1+,即0<<,∴>,故B正确;
对于C,令a=1,b=,则a+b+ln(ab)=1++ln <2,故C错误;
对于D,易得y=x-(x>0)为增函数,且a>b>0,故a->b-,故D正确.
判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证.
(2)利用特殊值法排除错误选项.
(3)作差法.
(4)构造函数,利用函数的单调性.
思维升华
跟踪训练2 (1)(2024·西安模拟)已知a>b,c>d>0,则
A.< B.a-c>b-d
C.> D.<

对于A,,因为c>d>0,所以d-c<0,所以<0,即<,故选项A正确;
对于B,a>b,c>d>0,取a=4,b=3,c=2,d=1,则a-c=b-d,故选项B错误;
对于C,a>b,c>d>0,取a=2,b=1,c=6,d=3,则,故选项C错误;
对于D,a>b,取a=1,b=-1,则>,故选项D错误.
(2)(多选)若a>b>0,c>d>0,则下列结论正确的是
A.ad>bc B.a(a+c)>b(b+d)
C.< D.ac+bd>ad+bc



对于A,取a=2,b=1,c=2,d=1,则ad=bc,故A错误;
对于B,由a>b>0,c>d>0,得a+c>b+d>0,则a(a+c)>b(b+d),故B正确;
对于C,由a>b>0,c>d>0,得ac>bd,
且<<,
等价于>,等价于ac>bd,故C正确;
对于D,(ac+bd)-(ad+bc)=(ac-ad)+(bd-bc)=a(c-d)+b(d-c)=(c-d)(a-b)>0,
则ac+bd>ad+bc,故D正确.
例3 (1)(多选)(2025·大庆模拟)已知实数x,y满足1A.3C.2
不等式性质的综合应用
题型三

因为2因为2因为1因为2所以<<6,故D正确.
(2)(2024·辽宁县域重点高中协作体模拟)公园的绿化率是指公园内的绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为a m2,绿化面积为b m2
(0A.变大 B.变小
C.不变 D.不确定

原来公园的绿化率为,
则,
所以的大小与a,2b的大小有关,故扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率的变化情况不确定.
利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点
(1)必须严格运用不等式的性质.
(2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围,解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
思维升华
跟踪训练3 (1)已知2A.[6,7] B.(2,5)
C.[4,7] D.(5,8)

由题意可知4<2a<6,1<-b<2,所以5<2a-b<8.
(2)手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中一个重要参数,其值通常在(0,1)之间.设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量,升级为一款新的手机外观,则该手机“屏占比”和升级前比
A.不变 B.变小
C.变大 D.变化不确定

设原来手机屏幕面积为b,整机面积为a,
则屏占比为(a>b>0),设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为m(m>0),升级后屏占比为,
∵a>b>0,∴>0,即该手机“屏占比”和升级前比变大.
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课时精练
对一对
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B B D A AB AC
题号 8 11 12 答案 ≥ C [-7,2] 1
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答案
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(1)∵y=在定义域R上单调递减,∴0<<1,
又∵二次函数y=ax2+bx顶点的横坐标x0=-,∵0<<1,
∴-<-<0,即-∴-1<2x0<0,∴0<2x0+1<1,
∴2x0+1的取值范围为(0,1).
9.
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答案
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(2)∵a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),
又∵0<<1,
∴a>b>0或ab>0时,
a3+b3>a2b+ab2;
②当aa3+b39.
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答案
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(1)∵a>b>c>d,∴a>b,-d>-c,
∴a-d>b-c>0,则<.
(2)∵a>b>0,c-d>0,
∴a-c>b-d>0,b-a<0,c-d<0,
则==>0,
∴>.
10.
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12
一、单项选择题
1.若a=(x+1)(x+3),b=2(x+2)2,则下列结论正确的是
A.a>b B.aC.a≥b D.a,b的大小关系不确定

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知识过关
答案
因为b-a=2(x+2)2-(x+1)(x+3)=2x2+8x+8-(x2+4x+3)=x2+4x+5=(x+2)2+1>0,所以a11
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2.已知a>b,则下列不等式一定成立的是
A.< B.2a>2b
C.a2>b2 D.|a|>|b|
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取a=1,b=-2,满足a>b,显然有>,a2指数函数y=2x为增函数,若a>b,则必有2a>2b,B正确.
答案

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3.(2024·沈阳模拟)已知a>b>c,且a+b+c=0,则下列结论一定正确的是
A.bc>c2 B.>0
C.ab2>cb2 D.<0

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由题知a>b>c且a+b+c=0,则有a>0,c<0,b>c,则bcb-c>0,因为b与0的大小关系未知,不能确定>0,B选项错误;
a>c,当b=0时,ab2=cb2,C选项错误;
a-b>0,c<0,<0,D选项正确.
答案
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4.(2024·北京大兴统考)在一次调查中,某班甲、乙、丙、丁四名同学在社区服务的月总时长之间有如下关系:甲、丙服务时长之和等于乙、丁服务时长之和,甲、乙服务时长之和大于丙、丁服务时长之和,丁的服务时长大于乙、丙服务时长之和,则这四名同学按照服务时长从大到小的顺序排列为
A.甲、丁、乙、丙 B.丁、甲、乙、丙
C.丁、乙、丙、甲 D.乙、甲、丙、丁
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答案

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答案
设甲、乙、丙、丁四名同学的服务时长分别为a,b,c,d,a≥0,b≥0,c≥0,d≥0,
根据题意得
显然d>b,d>c,②+①可得a>d,
由②-①可得b>c,
故a>d>b>c,
即这四名同学按服务时长从大到小的顺序排列为甲、丁、乙、丙.
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二、多项选择题
5.已知c>b>a,则下列结论正确的是
A.c+b>2a B.>
C.> D.<

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答案

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答案
对于选项A,因为c>b>a,所以c+b>2a,故选项A正确;
对于选项B,因为c>b>a,所以c-a>c-b>0,所以>>0,故选项B正确;
对于选项C,取a=-3,b=-2,c=-1,满足c>b>a,此时=-2,=-<,故选项C错误;
对于选项D,当c=1,b=-1,a=-2时,=2,=->,故选项D错误.
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6.(2025·洛阳联考)设实数a,b满足1≤ab≤4,4≤≤9,则
A.2≤|a|≤6 B.1≤|b|≤3
C.4≤a3b≤144 D.1≤ab3≤4

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答案

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答案
1≤ab≤4,4≤≤9,两式相乘得4≤a2≤36,所以2≤|a|≤6,A正确;
由题意得≤≤,又1≤ab≤4,两式相乘得≤b2≤1,所以≤|b|≤1,B错误;
因为1≤a2b2≤16,4≤≤9,所以两式相乘得4≤a3b≤144,C正确;
因为1≤a2b2≤16,≤≤≤ab3≤4,D错误.
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三、填空题
7.已知0<β<α<,则α-β的取值范围是     .
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答案
∵0<β<,∴-<-β<0,
又0<α<,∴-<α-β<,
又β<α,∴α-β>0,即0<α-β<.
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8.已知a,b为实数,则2a2+b2+1   ab+2a.(填 “>”“<”“≥”或“≤”)
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答案

由题知,
-(ab+2a)=a2-ab+b2+a2-2a+1=+(a-1)2
≥0,当且仅当a=1且b=2时,取等号.
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四、解答题
9.(2024·岳阳联考)已知指数函数y=在定义域内单调递减,二次函数y=ax2+bx的图象顶点的横坐标为x0.
(1)求2x0+1的取值范围;
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答案
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答案
∵y=在定义域R上单调递减,
∴0<<1,
又∵二次函数y=ax2+bx顶点的横坐标x0=-,∵0<<1,
∴-<-<0,即-∴-1<2x0<0,∴0<2x0+1<1,
∴2x0+1的取值范围为(0,1).
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(2)比较a3+b3与ab2+a2b的大小.
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答案
∵a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),
又∵0<<1,∴a>b>0或a①当a>b>0时,a3+b3>a2b+ab2;
②当a11
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10.证明下列不等式:
(1)已知a>b>c>d,求证:<;
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答案
∵a>b>c>d,∴a>b,-d>-c,
∴a-d>b-c>0,则<.
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(2)已知a>b>0,c.
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答案
∵a>b>0,c∴-c>-d>0,
∴a-c>b-d>0,b-a<0,c-d<0,
则=>0,
∴>.
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11.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足b+c≤3a,则的取值范围为
A.(1,+∞) B.(1,3)
C.(0,2) D.(0,3)
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答案
能力拓展
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答案
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由已知及三角形三边关系得
所以
两式相加得0<<4,
所以0<<2.
12.已知实数x,y满足-2≤x+2y≤3,-2≤2x-y≤0,则3x-4y的取值范围为     .
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答案
11
[-7,2]
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答案
设3x-4y=m(x+2y)+n(2x-y),m,n∈R,则
解得
所以3x-4y=-(x+2y)+2(2x-y),
因为-2≤x+2y≤3,-2≤2x-y≤0,
所以-3≤-(x+2y)≤2,-4≤2(2x-y)≤0,
所以-7≤3x-4y≤2.
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11§1.3 等式性质与不等式性质
课标要求 1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质,并能简单应用.
                
1.两个实数比较大小的方法
作差法 (a,b∈R).
2.等式的性质
性质1 对称性:如果a=b,那么b=a;
性质2 传递性:如果a=b,b=c,那么a=c;
性质3 可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c;
性质4 可乘性:如果a=b,那么ac=bc;
性质5 可除性:如果a=b,c≠0,那么=.
3.不等式的性质
性质1 对称性:a>b b性质2 传递性:a>b,b>c a>c;
性质3 可加性:a>b a+c>b+c;
性质4 可乘性:a>b,c>0 ac>bc;a>b,c<0 ac性质5 同向可加性:a>b,c>d a+c>b+d;
性质6 同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0 ac>bd;
性质7 同正可乘方性:a>b>0 an>bn(n∈N,n≥2).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a(2)若>1,则b>a.( × )
(3)同向不等式具有可加性和可乘性.( × )
(4)若>,则b2.(多选)下列命题为真命题的是(  )
A.若ac2>bc2,则a>b
B.若a>b>0,则a2>b2
C.若aD.若a
答案 ABD
解析 C中,若a=-2,b=-1,则a2>ab>b2,故C错误.
3.设M=2a2-4a+7,N=a2-3a+6,则有(  )
A.MC.M>N D.无法确定
答案 C
解析 因为M=2a2-4a+7,N=a2-3a+6,
所以M-N=(2a2-4a+7)-(a2-3a+6)=a2-a+1=+>0,所以M>N.
4.若实数a,b满足0答案 (-1,2)
解析 ∵01.a>b,ab>0 <.
2.若a>b>0,m>0,则:<;>.
题型一 数(式)的大小比较
例1 (1)(多选)下列不等式中正确的是(  )
A.x2-2x>-3(x∈R)
B.+≥+(a>0,b>0)
C.a2+b2>2(a-b-1)
D.<(b>a>0)
答案 ABD
解析 ∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0,
∴x2-2x>-3,故A正确;
+-=+=,又a,b均为正实数,∴a+b>0,(a-b)2≥0,∴≥0,∴+≥+,故B正确;
∵a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0,
∴a2+b2≥2(a-b-1),故C错误;
用作差法比较-=,
∵b>a>0,∴>0,
∴<,故D正确.
(2)若a>0,b>0,则p=与q=abba的大小关系是(  )
A.p≥q B.p≤q
C.p>q D.p答案 A
解析 由题知p>0且q>0,
===,
若a>b>0,则>1,a-b>0,
∴>1,即p>q;
若b>a>0,则0<<1,a-b<0,
∴>1,即p>q;
若a=b,则=1,∴p=q,
综上,p≥q.
思维升华 比较大小的常用方法
(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.
(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.
(3)构造函数,利用函数的单调性比较大小.
跟踪训练1 (1)已知c>1,且x=-,y=-,则x,y之间的大小关系是(  )
A.x>y
B.x=y
C.xD.x,y的关系随c而定
答案 C
解析 由题设,易知x>0,y>0,又==<1,∴x(2)已知a,b∈(0,1),记M=ab,N=a+b-1,则M与N的大小关系是    .
答案 M>N
解析 因为M-N=ab-a-b+1=(b-1)(a-1),且a,b∈(0,1),所以b-1<0,a-1<0,
所以M-N>0,即M>N.
题型二 不等式的基本性质
例2 (1)(多选)(2025·常州模拟)已知实数a,b,c,d满足aA.a+cC.a2d2>b2c2 D.>
答案 ACD
解析 由a由ab2>0,d2>c2>0,
再利用不等式的同向同正可乘性得a2d2>b2c2,故C正确;
由a-b>0,d>c>0,
再利用不等式的同向同正可乘性得-ad>-bc,
两边同除以正数-bd得>,故D正确.
(2)(多选)(2025·常德模拟)已知a>b>0,则下列不等式正确的是(  )
A.a2>ab B.>
C.a+b+ln(ab)>2 D.a->b-
答案 ABD
解析 对于A,∵a>b>0,∴a2>ab,故A正确;
对于B,∵a>b>0,∴<,∴1+<1+,即0<<,∴>,故B正确;
对于C,令a=1,b=,则a+b+ln(ab)=1++ln =<2,故C错误;
对于D,易得y=x-(x>0)为增函数,且a>b>0,故a->b-,故D正确.
思维升华 判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证.
(2)利用特殊值法排除错误选项.
(3)作差法.
(4)构造函数,利用函数的单调性.
跟踪训练2 (1)(2024·西安模拟)已知a>b,c>d>0,则(  )
A.< B.a-c>b-d
C.> D.<
答案 A
解析 对于A,-=,因为c>d>0,所以d-c<0,所以-=<0,即<,故选项A正确;
对于B,a>b,c>d>0,取a=4,b=3,c=2,d=1,则a-c=b-d,故选项B错误;
对于C,a>b,c>d>0,取a=2,b=1,c=6,d=3,则=,故选项C错误;
对于D,a>b,取a=1,b=-1,则>,故选项D错误.
(2)(多选)若a>b>0,c>d>0,则下列结论正确的是(  )
A.ad>bc
B.a(a+c)>b(b+d)
C.<
D.ac+bd>ad+bc
答案 BCD
解析 对于A,取a=2,b=1,c=2,d=1,则ad=bc,故A错误;
对于B,由a>b>0,c>d>0,得a+c>b+d>0,则a(a+c)>b(b+d),故B正确;
对于C,由a>b>0,c>d>0,得ac>bd,
且<等价于<,
等价于>,等价于ac>bd,故C正确;
对于D,(ac+bd)-(ad+bc)=(ac-ad)+(bd-bc)=a(c-d)+b(d-c)=(c-d)(a-b)>0,
则ac+bd>ad+bc,故D正确.
题型三 不等式性质的综合应用
例3 (1)(多选)(2025·大庆模拟)已知实数x,y满足1A.3B.-1C.2D.<<6
答案 CD
解析 因为2因为2因为1因为2所以<<6,故D正确.
(2)(2024·辽宁县域重点高中协作体模拟)公园的绿化率是指公园内的绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为a m2,绿化面积为b m2(0A.变大 B.变小
C.不变 D.不确定
答案 D
解析 原来公园的绿化率为,扩建后公园的绿化率为,
则-==,
所以与的大小与a,2b的大小有关,故扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率的变化情况不确定.
思维升华 利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点
(1)必须严格运用不等式的性质.
(2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围,解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系,然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
跟踪训练3 (1)已知2A.[6,7] B.(2,5) C.[4,7] D.(5,8)
答案 D
解析 由题意可知4<2a<6,1<-b<2,所以5<2a-b<8.
(2)手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中一个重要参数,其值通常在(0,1)之间.设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量,升级为一款新的手机外观,则该手机“屏占比”和升级前比(  )
A.不变 B.变小
C.变大 D.变化不确定
答案 C
解析 设原来手机屏幕面积为b,整机面积为a,
则屏占比为(a>b>0),设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为m(m>0),升级后屏占比为,
∵a>b>0,∴-==>0,即该手机“屏占比”和升级前比变大.
课时精练
(分值:80分)
一、单项选择题(每小题5分,共20分)
1.若a=(x+1)(x+3),b=2(x+2)2,则下列结论正确的是(  )
A.a>b
B.aC.a≥b
D.a,b的大小关系不确定
答案 B
解析 因为b-a=2(x+2)2-(x+1)(x+3)=2x2+8x+8-(x2+4x+3)=x2+4x+5=(x+2)2+1>0,所以a2.已知a>b,则下列不等式一定成立的是(  )
A.< B.2a>2b
C.a2>b2 D.|a|>|b|
答案 B
解析 取a=1,b=-2,满足a>b,显然有>,a2指数函数y=2x为增函数,若a>b,则必有2a>2b,B正确.
3.(2024·沈阳模拟)已知a>b>c,且a+b+c=0,则下列结论一定正确的是(  )
A.bc>c2 B.>0
C.ab2>cb2 D.<0
答案 D
解析 由题知a>b>c且a+b+c=0,则有a>0,c<0,b>c,则bcb-c>0,因为b与0的大小关系未知,不能确定>0,B选项错误;
a>c,当b=0时,ab2=cb2,C选项错误;
a-b>0,c<0,<0,D选项正确.
4.(2024·北京大兴统考)在一次调查中,某班甲、乙、丙、丁四名同学在社区服务的月总时长之间有如下关系:甲、丙服务时长之和等于乙、丁服务时长之和,甲、乙服务时长之和大于丙、丁服务时长之和,丁的服务时长大于乙、丙服务时长之和,则这四名同学按照服务时长从大到小的顺序排列为(  )
A.甲、丁、乙、丙 B.丁、甲、乙、丙
C.丁、乙、丙、甲 D.乙、甲、丙、丁
答案 A
解析 设甲、乙、丙、丁四名同学的服务时长分别为a,b,c,d,a≥0,b≥0,c≥0,d≥0,
根据题意得
显然d>b,d>c,②+①可得a>d,
由②-①可得b>c,
故a>d>b>c,
即这四名同学按服务时长从大到小的顺序排列为甲、丁、乙、丙.
二、多项选择题(每小题6分,共12分)
5.已知c>b>a,则下列结论正确的是(  )
A.c+b>2a B.>
C.> D.<
答案 AB
解析 对于选项A,因为c>b>a,所以c+b>2a,故选项A正确;
对于选项B,因为c>b>a,所以c-a>c-b>0,所以>>0,故选项B正确;
对于选项C,取a=-3,b=-2,c=-1,满足c>b>a,此时==-2,==-<,故选项C错误;
对于选项D,当c=1,b=-1,a=-2时,=2,==-,此时>,故选项D错误.
6.(2025·洛阳联考)设实数a,b满足1≤ab≤4,4≤≤9,则(  )
A.2≤|a|≤6 B.1≤|b|≤3
C.4≤a3b≤144 D.1≤ab3≤4
答案 AC
解析 1≤ab≤4,4≤≤9,两式相乘得4≤a2≤36,所以2≤|a|≤6,A正确;
由题意得≤≤,又1≤ab≤4,两式相乘得≤b2≤1,所以≤|b|≤1,B错误;
因为1≤a2b2≤16,4≤≤9,所以两式相乘得4≤a3b≤144,C正确;
因为1≤a2b2≤16,≤≤,所以两式相乘得≤ab3≤4,D错误.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知0<β<α<,则α-β的取值范围是      .
答案 
解析 ∵0<β<,∴-<-β<0,
又0<α<,∴-<α-β<,
又β<α,∴α-β>0,即0<α-β<.
8.已知a,b为实数,则2a2+b2+1     ab+2a.(填 “>”“<”“≥”或“≤”)
答案 ≥
解析 由题知,
-(ab+2a)=a2-ab+b2+a2-2a+1=+(a-1)2≥0,当且仅当a=1且b=2时,取等号.
四、解答题(共28分)
9.(13分)(2024·岳阳联考)已知指数函数y=在定义域内单调递减,二次函数y=ax2+bx的图象顶点的横坐标为x0.
(1)求2x0+1的取值范围;(6分)
(2)比较a3+b3与ab2+a2b的大小.(7分)
解 (1)∵y=在定义域R上单调递减,
∴0<<1,
又∵二次函数y=ax2+bx顶点的横坐标x0=-,∵0<<1,
∴-<-<0,即-∴-1<2x0<0,∴0<2x0+1<1,
∴2x0+1的取值范围为(0,1).
(2)∵a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),
又∵0<<1,∴a>b>0或a①当a>b>0时,a3+b3>a2b+ab2;
②当a10.(15分)证明下列不等式:
(1)已知a>b>c>d,求证:<;(7分)
(2)已知a>b>0,c.(8分)
证明 (1)∵a>b>c>d,∴a>b,-d>-c,
∴a-d>b-c>0,则<.
(2)∵a>b>0,c∴-c>-d>0,
∴a-c>b-d>0,b-a<0,c-d<0,
则-=
==>0,
∴>.
每小题5分,共10分
11.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足b+c≤3a,则的取值范围为(  )
A.(1,+∞) B.(1,3)
C.(0,2) D.(0,3)
答案 C
解析 由已知及三角形三边关系得
所以则
两式相加得0<<4,
所以0<<2.
12.已知实数x,y满足-2≤x+2y≤3,-2≤2x-y≤0,则3x-4y的取值范围为      .
答案 [-7,2]
解析 设3x-4y=m(x+2y)+n(2x-y),m,n∈R,则
解得
所以3x-4y=-(x+2y)+2(2x-y),
因为-2≤x+2y≤3,-2≤2x-y≤0,
所以-3≤-(x+2y)≤2,-4≤2(2x-y)≤0,
所以-7≤3x-4y≤2.

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