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跨学科主题学习《解密玩具汉诺塔——解题策略背后的算法》教学设计
课题 解密玩具汉诺塔——解题策略背后的算法 单元 跨学科主题学习 学科 信息科技 年级 五年级下
核心素养目标 信息意识：通过分析不同层数汉诺塔游戏的数据，明白这些数据对揭示游戏规律的价值，提升对数据的敏感度和洞察力。计算思维：依据汉诺塔移动规律，在分析、解决问题过程中逐步形成大胆尝试，积极寻求问题有效解决方法的意识，提升计算思维。数字化学习与创新：通过设计汉诺塔游戏算法及程序，鼓励学生发挥创造力，尝试不同方法和思路，探索最优解决方案，培养创新意识和实践能力。信息社会责任：在记录数据、分析规律、编写程序验证算法等过程中，养成细致、严谨、求实的科学态度，对信息的准确性和可靠性负责。
教学重点 完成汉诺塔的分析归纳总结，形成问题解决方案。
教学难点 进行汉诺塔游戏算法设计和验证，学会运用计算机程序去解决日常生活中的数学问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 板书课题。1、项目背景汉诺塔是一款大家喜爱的益智游戏。这个游戏看似简单，实则不然，世界上有很多数学家都研究过它。小智非常喜欢这个游戏，但是对于完成多层的汉诺塔却又束手无策。有什么办法可以帮助小智完成多层汉诺塔游戏呢？让我们一起发挥聪明才智，帮助小智完成多层汉诺塔游戏吧！2、项目目标1.在分析、解决问题过程中逐步形成大胆尝试，积极寻求问题有效解决方法的意识，提升计算思维。2.通过实践体验、数据收集、数据分析、归纳推理、类比猜想，总结汉诺塔游戏的规律，形成问题解决方案，提升跨学科知识应用能力。3.经历解决汉诺塔游戏的全过程，学会运用计算机程序去解决日常生活中的数学问题，体验获得成功的乐趣，养成细致、严谨、求实的科学态度。3、新知导入观看视频《汉诺塔的介绍和趣事》4、项目分析本项目围绕“揭秘汉诺塔游戏背后的算法”展开研究。为了确保项目顺利开展，可以按以下环节进行项目规划： 学习新知引入，观看教学视频。明确本课学习目标。 用提问的方式引入课题，增强课堂互动性。将学生的注意吸引到课堂。引导学生清晰所学重点。
讲授新课 新知讲解：一、项目实施建议：体验游戏，收集数据利用汉诺塔玩具，完成1~3层汉诺塔游戏，游戏过程中汉诺塔的移动次序是什么？所用最少步数又是多少呢？汉语塔游戏规则一次仅移动一个圆盘。小圆盘必须始终位于大圆盘之上，不可颠倒。目标：将所有圆盘从起始柱（如A柱）移动到目标柱（如C柱），可借助辅助柱（如B柱）。层数移动次序（按步骤顺序）最少步数1A→C12A→B, A→C, B→C33A→C, A→B, C→B, A→C, B→A, B→C, A→C7最优方案设计递归策略：将前 n 1n 1 个圆盘从起始柱移动到辅助柱（借助目标柱）。将第 nn 个圆盘从起始柱移动到目标柱。将 n 1n 1 个圆盘从辅助柱移动到目标柱（借助起始柱）。最少步数公式：最少步数=2n 1（n为圆盘层数）最少步数=2n 1（n为圆盘层数）二、项目实施建议：分析数据，挖掘游戏规律，总结游戏策略1.为了设计垃圾分类算法，小智先做了一个方案(图7-1-1)。你能理解他设计的方案，并帮他补充完整吗 汉诺塔游戏是否有规律？完成汉诺塔游戏有哪些策略？请分析收集到的数据，挖掘完成游戏的规律，验证规律，并总结完成汉诺塔游戏的策略。可将小组成员收集到的数据合并在一起进行分析。可重点分析移动次序的规律、完成游戏最少的步数。根据1~3层汉诺塔游戏规律，验证4~5层汉诺塔游戏。记录4~5层汉诺塔游戏次序，完成所需最少步数。总结汉诺塔移动次序规律、完成游戏所需最少步数的规律及游戏策略。规律：最少步数公式：最少步数=2n 1最少步数=2n 1（n为圆盘层数）移动次序规律：第 n层圆盘需在“前n 1 层移至辅助柱”后移动一次，最终形成递归链条。奇偶交替规律：奇数层第一步固定为最小圆盘移动到目标柱；偶数层第一步为最小圆盘移动到辅助柱。策略：递归策略和迭代策略。三、项目实施建议：建构数学模型，设计游戏算法是否可以通过数学模型表达最少步数规律？汉诺塔游戏的算法是什么？如何描述？请根据汉诺塔移动次序规律、最少步数规律及游戏策略，构建汉诺塔游戏最少步数数学模型，并采用流程图或自然语言等方式描述汉诺塔游戏的算法。小科提示：数学模型就是为了某种目的，用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。根据总结出的汉诺塔移动次序规律、最小步数规律及游戏策略，构建求最少步数数学模型。设计并描述汉诺塔游戏算法。最少步数数学模型汉诺塔最少步数数学模型为T(n)=2n 1，由递推公式T(n)=2T(n 1)+1推导得出，其中n为盘子数量，T(n)为最少步数。算法描述定义函数hanoi(n,source,target,auxiliary)，当n=1时，直接将盘子从起始柱移到目标柱；当n>1时，先把n 1个盘子从起始柱借助目标柱移到辅助柱，再把最大盘子移到目标柱，最后把n 1个盘子从辅助柱借助起始柱移到目标柱。四、项目实施建议：编写程序验证算法你设计的汉诺塔游戏算法是否正确？请根据算法流程图，编写并运行程序，验证算法。五、项目实施建议：成果展示将小组合作完成的成果进行展示。可以说一说解决汉诺塔问题所用到的方法。可以展示汉诺塔游戏的程序，验证设计的汉诺塔游戏算法。六、项目评价综合评价各小组设计的汉诺塔游戏算法、算法流程图、完整程序。评价自己对于本项目目标的达成度，以及自己和小组成员在学习过程中的表现。七、项目拓展1.小智上楼梯，从一楼到二楼一共10个台阶，小智每次可以走1个或者2个台阶，请问小智从一楼走到二楼共有几种走法？从1个台阶1种走法、2个台阶2种走法开始，通过分析后续台阶走法是前两种台阶走法之和，依次算出，最终得出10个台阶有89种走法。2.一般来说，免子在出生两个月后就具有繁殖能力。假设具有繁殖能力的一对兔子每个月都生一对兔子。那么，一对兔子经过一年的繁殖总共可以得到多少对兔子？从第一个月1对兔子、第二个月1对兔子起，依据每月兔子对数是前两月之和的规律，逐月计算，得到一年后有144对兔子。总结归纳汉诺塔规律时的重点和注意事项拆解步骤：将汉诺塔的移动过程逐步细分，从 1 - 3 层这种简单情况入手，清晰梳理每一步的操作。分析数据：详细记录不同层数汉诺塔的移动步数，像 1 层 1 步、2 层 3 步、3 层 7 步等，通过对比这些数据，找出步数随着层数增加而变化的规律，比如能发现移动步数满足2^n 1（n为层数）的数学关系。全面思考：考虑各种移动的可能性，不能只局限于常见的移动方式，确保找到的规律具有普适性。例如，不能仅依据一种特定的移动顺序就归纳规律，要涵盖所有可能的正确移动次序下的情况。验证规律：将总结出的规律套用到更多层数的汉诺塔移动中进行验证。比如用 4 层、5 层汉诺塔来检验总结的移动次序和最少步数规律是否正确，避免规律的片面性 。三、课堂练习完成教材25—27页相关课堂练习题。四、拓展延伸1、数学模型建立过程准备：了解实际问题背景目的，收集相关数据，如研究交通拥堵收集道路、车流等数据。假设：合理简化问题，突出主因，忽略次因，如自由落体忽略空气阻力。建立：选合适工具方法构建数学结构，如用微分方程描述人口增长。求解：用数学方法或计算机软件求模型解。分析：对解做误差、灵敏度等分析，评估可靠性合理性。检验：将结果与实际对比，不符则修改或重建模型。应用：把有效模型用于实际解决问题或辅助决策。2、游戏算法的常见类型常见类型包括寻路、碰撞检测、AI、渲染、随机数生成等算法。寻路算法：帮助角色找路径，A * 算法可快速规划较优路径。碰撞检测算法：判断游戏元素碰撞并确定处理方式，保证物理交互真实。AI 算法：用有限状态机或行为树等赋予角色决策和行为能力。渲染算法：处理画面绘制显示，提升画面质量和视觉效果。随机数生成算法：产生随机事件或分布，增加游戏随机性和重玩价值。 完成体验游戏，收集数据。进行分析数据，挖掘游戏规律，总结游戏策略。开展建构数学模型，设计游戏算法。开始编写程序验证算法。进行成果展示。开展项目评价。进行项目拓展。完成课堂练习。进行课外知识拓展。 体验游戏并收集数据，以便更好的清楚汉诺塔的游戏规则，锻炼学生的学习能力和总结思考的能力。初步引导学生思考进行分析数据，挖掘游戏规律，总结游戏策略进一步加强学生的分析总结能力。结合具体问题进行具体分析，设计出指向性明确的游戏算法，引导学生能够讲所学知识在生活中进行运用。能够学以致用。引导学生开始编写程序验证算法，提高算法的可实施性。在老师带领下，对自己设计的游戏算法进行反思和改进。促进学生对项目的认知和完善。利用相关拓展问题，引导学生加深对本节课的深入运用和思考，提升学生举一反三的能力。在课堂练习中强化所学知识内容。拓宽学生知识面。
课堂小结 解密玩具汉诺塔——解题策略背后的算法1、进行新知引入2、收集数据并分析归纳总结规律3、总结算法设计与验证算法4、完成课堂练习5、进行知识拓展 总结回顾 对本节课内容进行总结概括。
课后作业 1、请你写一份详细的介绍指南向你的朋友介绍汉诺塔，包括汉诺塔游戏的规则、如何入手探索规律、怎样构建最少步数的数学模型以及算法的自然语言描述。 布置作业 拓展学生的学习能力
课堂板书 观看板书 强调教学重点内容。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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