资源简介

第七章 图形的变化
第30讲 尺规作图与定义，命题，定理
（思维导图+2考点+2命题点18种题型）
试卷第1页，共3页
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 尺规作图
考点二 定义、命题、定理
04题型精研·考向洞悉
命题点一 尺规作图
题型01 作线段
题型02 作一个角等于已知角
题型03 尺规作角的和、差
题型04 过直线外一点作已知直线的平行线
题型05 作三角形
题型06 作角平分线
题型07 作垂线
题型08 作等腰三角形
题型09 画圆
题型10 过圆外一点作圆的切线
题型11 作正多边形
题型12 格点作图
题型13 无刻度直尺作图
题型14 最短路径问题
命题点二 定义、命题、定理
题型01 判断是否是命题
题型02 判定命题的真假
题型03 写成命题的逆命题
题型04 反证法
01考情透视·目标导航
中考考点 考查频率 新课标要求
尺规作图 ★★ 能用尺规作图
定义、命题、定理 ★ 通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义. 结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
【命题预测】本考点内容以考查尺规作图和真假命题为主，年年考查，是广大考生的得分点，分值为6分左右．预计2024年各地中考还将继续考查这两个知识点. 中考对尺规作图的考查涉及多种形式，不再是单一的对作图技法操作进行考查，而是把作图与计算、证明、分析、判断等数学思维活动有效融合，既体现了动手实践的数学思维活动，也考查了学生运用数学思考解决问题的能力，为避免丢分，学生应扎实掌握．
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 尺规作图
定义：最基本、最常用的尺规作图，通常称作基本作图,
五种基本作图：
1）作一条线段等于已知线段
已知 线段 a
求作 线段0A，使OA等于a
作法 1）任作一条射线OP； 2）以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA 即为所求
依据 圆上的点到圆心的距离等于半径.
2）作一个角等于已知角
已知 ∠AOB
求作 ∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB
作法 1）作射线O'A'； 2）以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点 D； 3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E； 4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F； 5）经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求.
依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线.
3）作已知角的角平分线
已知 ∠AOB
求作 射线OP，使∠AOP=∠BOP
作法 1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N； 2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； 3）作射线OP，射线OP即为所求.
依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线.
4）过一点作已知直线的垂线
已知 直线AB和AB上的一点M
求作 AB的垂线，使它经过点M
作法 作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线.
已知 直线AB和AB外一点M
求作 AB的垂线，使它经过点M
作法 1）任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁； 2）以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D； 3）分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E； 4）作直线EM，直线EM就是所求作的垂线.
依据 1）等腰三角形“三线合一”；
2）两点确定一条直线.
5）作线段的垂直平分线
已知 线段AB
求作 线段AB的垂直平分线
作法 1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N； 2）作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线.
依据 1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 2）两点确定一条直线.
尺规作图的关键:
1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；
2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题；
3)切记作图中一定要保留作图痕迹；
4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键.
1．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图：
①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；
②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点；
③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；
④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024·四川·中考真题）如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．则的大小为 度．
3．（2024·山东德州·中考真题）已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（ ）
A．B．C． D．
4．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，．
(1)尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形．
考点二 定义、命题、定理
1. 命题
定义：判断一件事情的语句，叫做命题.
组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．
2.真命题、假命题
内容 举例 注意
真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论
假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可
3.逆命题
逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题.
互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．
4.公理、定理
公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短.
定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．
5.互逆定理
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．
6.反证法
定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种证明的方法叫做反证法.
反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确．
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理 ．
2．（2024·山东潍坊·中考真题）下列命题是真命题的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．两个有理数的积仍为有理数
D．两个无理数的积仍为无理数
3．（2022·上海·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
4．（2022·黑龙江绥化·中考真题）下列命题中是假命题的是（ ）
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
04题型精研·考向洞悉
命题点一 尺规作图
题型01 作线段
1．（2023·山西太原·模拟预测）已知线段、、．

(1)用直尺和圆规作出一条线段，使它等于．（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕迹）
(2)若，，，点是线段的中点，求的长．
2．（2024·河北·模拟预测）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线分别交于点E，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
3．（2024·广东·模拟预测）如图，在等边中，为边上的高．
(1)实践与操作：利用尺规，以为边在下方作等边，延长交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹、不写作法，标明字母）
(2)应用与证明：在（1）的条件下，证明．
题型02 作一个角等于已知角
1．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
2．（2024·河南·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)证明（1）中得到的四边形是菱形
3（2021·山东青岛·中考真题）已知：及其一边上的两点，．
求作：，使，且点在内部，．
题型03 尺规作角的和、差
1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知及边上一点．
(1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
(3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的长．
2．（2022·江苏镇江·中考真题）操作探究题
(1)已知是半圆的直径，（是正整数，且不是3的倍数）是半圆的一个圆心角．
操作：如图1，分别将半圆的圆心角（取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
交流：当时，可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分吗？
探究：你认为当满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分？说说你的理由．
(2)如图2，的圆周角．为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
题型04 过直线外一点作已知直线的平行线
1．（2024·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形，E为边上一点．
求作：四边形内一点P，使，且点P到的距离相等．
2．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，两点，且直线与坐标轴分别交于P，Q两点．
(1)求m和n的值；
(2)已知点，请用无刻度的直尺和圆规过点M作直线的平行线（保留作图痕迹，不写作法）；
(3)若（2）中所作的平行线交x轴负半轴于点N，连接，求四边形的面积．
题型05 作三角形
1．（2022·广西贵港·中考真题）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n．求作，使．
2．（2023·江苏南京·中考真题）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作，顺，；若逆时针旋转，记作，逆，．
例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作，逆，．
(1)如图②，经过，顺，得到，用尺规作出．（保留作图痕迹）
(2)如图③，经过，逆，得到，经过，顺，得到，连接，．求证：四边形是平行四边形．
(3)如图④， 在 中， 若 经过（2） 中的变换得到的四边形是正方形．
①用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
②直接写出的长．
题型06 作角平分线
1．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ．
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ．
3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，．
(1)尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值）
题型07 作垂线
1．（2021·江苏南京·中考真题）如图，已知P是外一点．用两种不同的方法过点P作的一条切线．要求：
（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
题型08 作等腰三角形
1．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，，，是直线上一个动点，若是等腰三角形．
(1)用直尺和圆规作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)求的长．
题型09 画圆
1．（2023·内蒙古通辽·中考真题）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
2．（2024·甘肃·中考真题）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知和圆上一点M．作法如下：
①以点M为圆心，长为半径，作弧交于A，B两点；
②延长交于点C；
即点A，B，C将的圆周三等分．
(1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为______．
3．（2022·甘肃武威·中考真题）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：
原文 释义
甲乙丙为定直角． 以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧； 以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己； 再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚； 乙与己及庚相连作线． 如图2，为直角． 以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，； 以点为圆心，以长为半径画弧与交于点； 再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点； 作射线，．

(1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系．
题型10 过圆外一点作圆的切线
1．（2023·黑龙江绥化·中考真题）已知：点是外一点．

(1)尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数．
2．（2023·北京东城·模拟预测）下面是小明设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．
已知：及圆上一点．
求作：直线，使得为的切线，为切点．
小明的作法如下：
①连接并延长到点；
②分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点（点在直线上方）；
③以点为圆心，长为半径作；
④连接并延长，交于点，作直线．则直线就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，完成下列问题：
(1)使用直尺和圆规，完成作图；（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接．
点在上，是的直径．
．（___________）
________．
是的半径，
是的切线．（___________）
题型11 作正多边形
1．（2024·甘肃临夏·中考真题）根据背景素材，探索解决问题．
平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形
背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述．
已知条件 点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为
操作步骤 ①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆； ③以的长为半径，在上顺次截取； ④顺次连接，，，，，得到正六边形．
问题解决
任务一 根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）
任务二 将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标：______．
2．（2024·上海闵行·二模）沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动．
活动一：如图1，展示了一种用尺规作的内接正六边形的方法．
①在上任取一点，以为圆心、为半径作弧，在上截得一点； ②以为圆心，为半径作弧，在上截得一点；再如此从点逐次截得点、、； ③顺次连接、、、、、．
(1)根据正多边形的定义，我们只需要证明__________，________
（请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形是正六边形．
活动二：如图2，展示了一种用尺规作的内接正五边形的方法．
①作的两条互相垂直的直径和； ②取半径的中点；再以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点； ③以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截，得交点． 如此连续截取3次，依次得分点、、，顺次连接、、、、，那么五边形是正五边形．
(2)已知的半径为2，求边的长，并证明五边形是正五边形．
（参考数据：，，，，．）
题型12 格点作图
1．（2024·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点、均在格点上．
(1)在图①中，四边形面积为2；
(2)在图②中，四边形面积为3；
(3)在图③中，四边形面积为4．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．

(1)在方格纸中画出，且为钝角（点在小正方形的顶点上）；
(2)在方格纸中将线段向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到线段（点的对应点是点，点的对应点是点），连接，请直接写出线段的长．
3．（2021·湖北荆州·中考真题）如图，在的正方形网格图形中小正方形的边长都为1，线段与的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上．请在网格图形中画图：
(1)以线段为一边画正方形，再以线段为斜边画等腰直角三角形，其中顶点在正方形外；
(2)在（1）中所画图形基础上，以点为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形和面积之和，其它顶点也在格点上．
题型13 无刻度直尺作图
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆上的点均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹．
(1)在图中作出弧的中点D．
(2)连结，作出的角平分线．
(3)在上作出点P，使得．
2．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
(1)在图（1）中，画射线交于点D，使平分的面积；
(2)在（1）的基础上，在射线上画点E，使；
(3)在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转到点C，再画射线交于点G；
(4)在（3）的基础上，将线段绕点G旋转，画对应线段（点A与点M对应，点B与点N对应）．
3．（2023·湖北·中考真题）已知正六边形，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）．

(1)在图1中作出以为对角线的一个菱形；
(2)在图2中作出以为边的一个菱形．
题型14 最短路径问题
1．（2020·江苏南京·中考真题）如图①，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向同侧的A、B两个城镇分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
（1）如图②，作出点A关于的对称点，线与直线的交点C的位置即为所求， 即在点C处建气站， 所得路线ACB是最短的，为了让明点C的位置即为所求，不妨在直线上另外任取一点，连接，， 证明， 请完成这个证明．
（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由），
①生市保护区是正方形区域，位置如图③所示
②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．
2．（2024·广东·模拟预测）综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题．如图，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，请问怎样走才能使总路程最短？
【分析问题】
如图，取点关于河岸线的对称点，连接，，当三点共线时，点为饮马的地方，，此时所走的路程就是最短的．
【解决问题】
（）当三点共线时路程最短的依据是 ；
【迁移应用】
（）如图，两个村庄在河岸 的同侧，两村到河岸的距离分别为千米，千米，(千米，现要在河岸上建一水厂，从处向铺设管道以输送自来水，使得铺设所需的管道长度和最少．
①请在河岸上作出水厂的位置，并写出作图过程；
②若铺设水管的工程费用为元/千米，求出铺设水管最节省的总费用．
命题点二 定义、命题、定理
题型01 判断是否是命题
1．（2020·四川雅安·中考真题）下列四个选项中不是命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．如果，那么
2．（2023·广西南宁·模拟预测）下列语句中，不是命题的是（ ）
A．如果，那么 B．对顶角相等
C．两点之间，线段最短 D．过一点作已知直线的垂线
3．（2023·广东揭阳·二模）下列句子中哪一个是命题（ ）
A．你的作业完成了吗？ B．美丽的天空．
C．猴子是动物． D．过直线l外一点作l的平行线．
题型02 判定命题的真假
1．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”）
2．（2024·湖南·中考真题）下列命题中，正确的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等
C．正五边形的外角和为 D．直角三角形是轴对称图形
3．（2023·内蒙古通辽·中考真题）下列命题：
①；
②；
③圆周角等于圆心角的一半；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是必然事件；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差也增加4．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型03 写成命题的逆命题
1．（2022·江苏无锡·中考真题）请写出命题“如果，那么”的逆命题： ．
2．（2022·浙江湖州·中考真题）“如果，那么”的逆命题是 ．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）《原本》是古希腊数学家欧几里得的著作，它以公理和原名为基础推演出更多的结论，是流传最广、影响最大的一部世界数学名著．请写出命题“如果，那么”的逆命题： ．
题型04 反证法
1．（2023·湖南·中考真题）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
2．（2024·山西长治·三模）请阅读以下关于“圆的切线垂直于过切点的半径”的证明过程．
已知：直线与相切于点．
求证：与直线垂直．
证明：如图，假设与直线不垂直，过点作直线于点．
∴，即圆心到直线的距离小于的半径．
∴直线与相交．
这与已知“直线与相切”相矛盾．
∴假设不成立．
∴与直线垂直．
这种证明方法为（　　）
A．综合法 B．归纳法 C．枚举法 D．反证法
3．（2024·江苏南京·模拟预测）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”第一步应假设直角三角形中 ．第七章 图形的变化
第30讲 尺规作图与定义，命题，定理
（思维导图+2考点+2命题点18种题型）
试卷第1页，共3页
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 尺规作图
考点二 定义、命题、定理
04题型精研·考向洞悉
命题点一 尺规作图
题型01 作线段
题型02 作一个角等于已知角
题型03 尺规作角的和、差
题型04 过直线外一点作已知直线的平行线
题型05 作三角形
题型06 作角平分线
题型07 作垂线
题型08 作等腰三角形
题型09 画圆
题型10 过圆外一点作圆的切线
题型11 作正多边形
题型12 格点作图
题型13 无刻度直尺作图
题型14 最短路径问题
命题点二 定义、命题、定理
题型01 判断是否是命题
题型02 判定命题的真假
题型03 写成命题的逆命题
题型04 反证法
01考情透视·目标导航
中考考点 考查频率 新课标要求
尺规作图 ★★ 能用尺规作图
定义、命题、定理 ★ 通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义. 结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.
【命题预测】本考点内容以考查尺规作图和真假命题为主，年年考查，是广大考生的得分点，分值为6分左右．预计2024年各地中考还将继续考查这两个知识点. 中考对尺规作图的考查涉及多种形式，不再是单一的对作图技法操作进行考查，而是把作图与计算、证明、分析、判断等数学思维活动有效融合，既体现了动手实践的数学思维活动，也考查了学生运用数学思考解决问题的能力，为避免丢分，学生应扎实掌握．
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 尺规作图
定义：最基本、最常用的尺规作图，通常称作基本作图,
五种基本作图：
1）作一条线段等于已知线段
已知 线段 a
求作 线段0A，使OA等于a
作法 1）任作一条射线OP； 2）以点0为圆心，a的长为半径画弧，交0P于点A，则线段OA 即为所求
依据 圆上的点到圆心的距离等于半径.
2）作一个角等于已知角
已知 ∠AOB
求作 ∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB
作法 1）作射线O'A'； 2）以点0为圆心，任意长为半径画弧，交0A于点C，交OB于点 D； 3）以点0'为圆心，0C的长为半径画弧，交O'A'于点E； 4）以点E为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点F； 5）经过点F作射线O'B',ㄥA'0'B'即为所求.
依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线.
3）作已知角的角平分线
已知 ∠AOB
求作 射线OP，使∠AOP=∠BOP
作法 1）以点0为圆心，适当长为半径画弧，交0A于点M，交0B于点N； 2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； 3）作射线OP，射线OP即为所求.
依据 1）三边分别相等的两个三角形全等； 2）全等三角形的对应角相等； 3）两点确定一条直线.
4）过一点作已知直线的垂线
已知 直线AB和AB上的一点M
求作 AB的垂线，使它经过点M
作法 作平角ㄥACB的平分线MF.直线MF就是所求作的垂线.
已知 直线AB和AB外一点M
求作 AB的垂线，使它经过点M
作法 1）任意取一点P，使点P和点M在AB的两旁； 2）以点M为圆心，MP的长为半径作弧，交AB于点C和点D； 3）分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E； 4）作直线EM，直线EM就是所求作的垂线.
依据 1）等腰三角形“三线合一”；
2）两点确定一条直线.
5）作线段的垂直平分线
已知 线段AB
求作 线段AB的垂直平分线
作法 1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N； 2）作直线MN，直线MN就是线段AB的垂直平分线.
依据 1）到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； 2）两点确定一条直线.
尺规作图的关键:
1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；
2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题；
3)切记作图中一定要保留作图痕迹；
4）无刻度直尺作图通常会与等腰三角形的判定，三角形中位线定理，矩形的性质和勾股定理等几何知识点结合，熟练掌握相关性质是解题关键.
1．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图：
①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；
②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点；
③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；
④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了作一个角等于已知角，平行线的性质和判定，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出．
【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意；
B．∵，
∴，
∴一定成立，故B不符合题意；
C．∵是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴一定成立，故C不符合题意；
D．不一定成立，故D符合题意．
2．（2024·四川·中考真题）如图，在中，，，按如下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，作射线交于点G．则的大小为 度．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的尺规作法，熟练掌握等腰三角形的性质和角平分线的尺规作法是解题的关键．根据，，由等边对等角，结合三角形内角和定理，可得，由尺规作图过程可知为的角平分线，由此可得．
【详解】解： ，，
，
根据尺规作图过程，可知为的角平分线，
，
故，
故答案为：．
3．（2024·山东德州·中考真题）已知，点P为上一点，用尺规作图，过点P作的平行线．下列作图痕迹不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查作图-复杂作图．作一个角等于已知角，作一个角的平分线，平分线的判定，菱形的判定和性质，据此判断即可．
【详解】解：A、由作图知，是的平分线，且，
∴，，
∴，
∴，故本选项不符合题意；
B、由作图知，是的平分线，且，
∴，，不能说明与相等，
∴与不平行，故本选项符合题意；
C、由作图知，，
∴四边形是菱形，
∴，故本选项不符合题意；
D、由作图知，，
∴，故本选项不符合题意；
故选：B．
4．（2024·广东广州·中考真题）如图，中，．
(1)尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）所作的图中，将中线绕点逆时针旋转得到，连接，．求证：四边形是矩形．
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，矩形的判定，平行四边形的判定与性质,旋转的性质；
（1）作出线段的垂直平分线EF，交于点O，连接，则线段即为所求；
（2）先证明四边形为平行四边形，再结合矩形的判定可得结论．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求；
（2）证明：如图，
∵由作图可得：，由旋转可得：，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形．
考点二 定义、命题、定理
1. 命题
定义：判断一件事情的语句，叫做命题.
组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．
2.真命题、假命题
内容 举例 注意
真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论
假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可
3.逆命题
逆命题：把原命题的结论作为命题的题设，把原命题的题设作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题.
互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．
4.公理、定理
公理：如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如：两点之间线段最短.
定理：如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．
5.互逆定理
互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．
6.反证法
定义：先假设原命题的结论不正确，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果，这种证明的方法叫做反证法.
反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确．
1．（2024·江苏宿迁·中考真题）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理 ．
【答案】同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查了逆定理的改写，根据题意，将题设与结论交换位置即可．
【详解】解：定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是同位角相等，两直线平行，
故答案为：同位角相等，两直线平行 ．
2．（2024·山东潍坊·中考真题）下列命题是真命题的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．两个有理数的积仍为有理数
D．两个无理数的积仍为无理数
【答案】AC
【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了等式及不等式的性质、无理数及有理数的积．利用等式及不等式的性质、无理数及有理数的积分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A、由等式的性质可得，若，则，原命题为真命题；
B、由不等式的性质可得，若，且，则，原命题为假命题；
C、两个有理数的积仍为有理数，原命题为真命题；
D、两个无理数的积不一定为无理数，比如，原命题为假命题．
故选：AC．
3．（2022·上海·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题
【答案】A
【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案．
【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；
B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；
D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．
4．（2022·黑龙江绥化·中考真题）下列命题中是假命题的是（ ）
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【答案】B
【分析】利用三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；
B. 如果两个角互为邻补角，那么这两个角不一定相等，故此选项是假命题，符合题意；
C. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，是真命题，故此选项不符合题意；
D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；
故选：B
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质．
04题型精研·考向洞悉
命题点一 尺规作图
题型01 作线段
1．（2023·山西太原·模拟预测）已知线段、、．

(1)用直尺和圆规作出一条线段，使它等于．（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕迹）
(2)若，，，点是线段的中点，求的长．
【答案】(1)作图见解析
(2)
【分析】（1）作射线，在射线上顺次截取，在线段上截取，则线段即为所求；
（2）由（1）中结论及已知条件，求得的长，再利用线段中点的性质即可解得的长．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求：

（2）如图，
，，，
点是线段的中点，
即的长．
【点睛】本题考查基本作图、线段的和差、线段的中点等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
2．（2024·河北·模拟预测）如图，在中，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线分别交于点E，若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了，作图等长线段，作图垂直平分线，勾股定理，解题的关键是：由作图方法得到等量关系式．根据取等长线段的做法，垂直平分线的做法，得到，，即可求出，在中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：根据作图可得：，为的垂直平分线，
，
，
，
，
，
故选：B．
3．（2024·广东·模拟预测）如图，在等边中，为边上的高．
(1)实践与操作：利用尺规，以为边在下方作等边，延长交于点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹、不写作法，标明字母）
(2)应用与证明：在（1）的条件下，证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作线段，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握作线段，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）如图，分别以为圆心，的长为半径画弧，交点为，连接，则等边即为所作，延长交于点，点即为所作；
（2）证明，进而可证．
【详解】（1）解：如图，分别以为圆心，的长为半径画弧，交点为，连接，则，等边即为所作，延长交于点，点即为所作；
（2）证明：∵为等边三角形，为边上的高，
∴，
∵等边，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
题型02 作一个角等于已知角
1．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.
（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ）
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【答案】A
【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可.
本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键.
【详解】解：根据上述基本作图，可得，
故可得判定三角形全等的依据是边边边，
故选A.
2．（2024·河南·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E．

(1)请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)证明（1）中得到的四边形是菱形
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是：
（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；
（2）先证明四边形是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出，最后根据菱形的判定即可得证．
【详解】（1）解：如图，
；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵在中，是斜边上的中线，
∴，
∴平行四边形是菱形．
3（2021·山东青岛·中考真题）已知：及其一边上的两点，．
求作：，使，且点在内部，．
【答案】见解析
【分析】先在∠O的内部作∠DAB=∠O，再过B点作AD的垂线，垂足为C点．
【详解】解：如图，Rt△ABC为所作．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
题型03 尺规作角的和、差
1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知及边上一点．
(1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
(3)在（1）、（2）的条件下，若，，求的长．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
(3)
【分析】（1）根据尺规作角等于已知角的方法即可求解；
（2）根据尺规作圆，作垂线的方法即可求解；
（3）根据作图可得是直径，结合锐角三角函数的定义可得的值，根据勾股定理可求出的值，在直角中运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
∴；
点O即为所求
（2）解：如图所示，
连接，以点为圆心，以为半径画弧交于点，以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接并延长交于点，
∵是直径，
∴，即，
根据作图可得，
∴，即，是点到的距离，
∵，
∴，
∴，
点即为所求点的位置；
（3）解：如图所示，
根据作图可得，，连接，
∴在中，，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
设，则，
∴在中，，
解得，（负值舍去），
∴，
在中，．
【点睛】本题主要考查尺规作角等于已知角，尺规作垂线，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
2．（2022·江苏镇江·中考真题）操作探究题
(1)已知是半圆的直径，（是正整数，且不是3的倍数）是半圆的一个圆心角．
操作：如图1，分别将半圆的圆心角（取1、4、5、10）所对的弧三等分（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
交流：当时，可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分吗？
探究：你认为当满足什么条件时，就可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分？说说你的理由．
(2)如图2，的圆周角．为了将这个圆的圆周14等分，请作出它的一条14等分弧（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】(1)作图见解析；交流：，或；
探究：正整数（不是3的倍数），理由见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）由操作可知，如果可以用与的线性表示，那么该圆弧就可以被三等分
（2）将圆周14等分就是把所对的圆周角所对弧三等分即可,给出一种算法：
【详解】（1）
操作：
交流：，或；
探究：设，解得（为非负整数）．
或设，解得（为正整数）．
所以对于正整数（不是3的倍数），都可以仅用圆规将半圆的圆心角所对的弧三等分；
（2）
【点睛】本题考查了用圆规作图的基本技能，需要准确理解题意，对于复杂图形的作图要学会将其转化成基本图形去作，本题第二问利用转化思想，转化为第一问的思路从而得以解决，这也是本题求解的关键．
题型04 过直线外一点作已知直线的平行线
1．（2024·山东青岛·中考真题）已知：如图，四边形，E为边上一点．
求作：四边形内一点P，使，且点P到的距离相等．
【答案】见解析
【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，解题的关键是掌握作角平分线和作一个角等于已知角的尺规作图方法．作的平分线，以E为顶点，为一边作，交于P，点P即为所求．
【详解】解：作的平分线，以E为顶点，为一边作，交于P，如图，点P即为所求．
2．（2024·河南新乡·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，两点，且直线与坐标轴分别交于P，Q两点．
(1)求m和n的值；
(2)已知点，请用无刻度的直尺和圆规过点M作直线的平行线（保留作图痕迹，不写作法）；
(3)若（2）中所作的平行线交x轴负半轴于点N，连接，求四边形的面积．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)8
【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，尺规作图：
（1）将代入可得n的值，将代入可得m的值；
（2）以M为顶点，y轴为角的一边，作一个角等于即可；
（3）先求出直线与坐标轴的交点坐标，可得为腰长是2的等腰直角三角形，再根据即可求解．
【详解】（1）解：一次函数经过点，代入解得，
∵在反比例函数的图象上，
∴；
（2）解：所作平行线如图所示：
（3）解：由（1）知反比例函数解析式为，
当时，，
当时，，
解得：，
则交坐标轴于，，
∴，，
∴，
∴为腰长是2的等腰直角三角形，
∴．
题型05 作三角形
1．（2022·广西贵港·中考真题）尺规作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知线段m，n．求作，使．
【答案】见解析
【分析】作直线l及l上一点A；过点A作l的垂线；在l上截取；作；即可得到．
【详解】解：如图所示：为所求．
注：（1）作直线l及l上一点A；
（2）过点A作l的垂线；
（3）在l上截取；
（4）作．
【点睛】本题考查作图——复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
2．（2023·江苏南京·中考真题）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点旋转一个角度，再将旋转后的多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，称这种变换为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作，顺，；若逆时针旋转，记作，逆，．
例如：如图①，先将绕点逆时针旋转，得到，再将以点为位似中心缩小到原来的，得到，这个变换记作，逆，．
(1)如图②，经过，顺，得到，用尺规作出．（保留作图痕迹）
(2)如图③，经过，逆，得到，经过，顺，得到，连接，．求证：四边形是平行四边形．
(3)如图④， 在 中， 若 经过（2） 中的变换得到的四边形是正方形．
①用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
②直接写出的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①见解析；②
【分析】（1）旋转，可作等边三角形，，从而得出点和点对应点，，进而作出图形；
（2）根据和位似，与位似得出，，，进而推出，从而，进而得出，同理可得：，从而推出四边形是平行四边形；
（3）要使是正方形，应使，，从而得出，从而得出，从而，于是作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法．
【详解】（1）解：如图1，
1．以为圆心，为半径画弧，以为圆心，为半径画弧，两弧在的上方交于点，分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，
2．延长至，使，延长至，使，连接，
则就是求作的三角形；
（2）证明：和位似，与位似，
，，，
，
，
，
，
，
同理可得：，
四边形是平行四边形；
（3）解：如图2，
1．以为边在上方作等边三角形，
2．作等边三角形的外接圆，作直径，连接，
3．作，，延长，交于，连接，，
则四边形是正方形，
证明：由上知：，，
，，，，
，
要使是正方形，应使，，
，，
，
，
，
作等边，保证，作直径，保证，这样得出作法；
，，，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，确定圆的条件，尺规作图等知识，解决问题的关键是较强的分析能力．
题型06 作角平分线
1．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出．
【详解】解：过F作于G，
由作图得：平分，，，
∴，
在中根据勾股定理得：，
，，
，
，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：
，
即：，
解得：，
，
在中根据勾股定理得：．
故答案为：．
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ．
【答案】/10度
【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出平分，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：因为，
所以，
根据题意得：平分，
所以，
因为为高，
所以，
所以,
所以，
故答案为：．
3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在中，．
(1)尺规作图：作的角平分线，在角平分线上确定点，使得；（不写作法，保留痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，，则的长是多少？（请直接写出的值）
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）作的角平分线和线段的垂直平分线相交于点D，即为所求．
（2）过点D作交与点E，过点D作交与点F，先利用角平分线的性质定理证明四边形为正方形，设，则，，以为等量关系利用勾股定理解出x，在利用勾股定理即可求出．
【详解】（1）解：如下图：即为所求．
（2）过点D作交与点E，过点D作交与点F，
则，
又∵
∴四边形为矩形，
∵是的平分线，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
设，
∴，，
在中，，
在中，，
∵
∴
∴
解得：，
∴．
【点睛】本题主要考查了作角平分线以及垂直平分线，角平分线的性质定理，正方形的判定以及勾股定理的应用，作出图形以及辅助线是解题的关键．
题型07 作垂线
1．（2021·江苏南京·中考真题）如图，已知P是外一点．用两种不同的方法过点P作的一条切线．要求：
（1）用直尺和圆规作图；
（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【答案】答案见解析．
【分析】方法一：作出OP的垂直平分线，交OP于点A，再以点A为圆心，PA长为半径画弧，交于点Q，连结PQ，PQ即为所求．
方法二：根据等腰三角形的性质三线合一作的切线，作射线，交于点，以为圆心，为半径作,以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接,交于点，则是等腰三角形，，则，即为所求．
【详解】
解：
作法：连结PO，分别以P、O为圆心，大于PO的长度为半径画弧，交于两点，连结两点交PO于点A；以点A为圆心，PA长为半径画弧，交于点Q，连结PQ，PQ即为所求．
作法：作射线，交于点，以为圆心，为半径作,以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接,交于点，则是等腰三角形，，则，即为所求．
【点睛】本题考查了作图——复杂作图，涉及垂直平分线的作法，角平分线的作法，等腰三角形的作法，圆的作法等知识点．复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合基本几何图形的性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
题型08 作等腰三角形
1．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，，，是直线上一个动点，若是等腰三角形．
(1)用直尺和圆规作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)或4或1或9
【分析】（1）分三种情形：，，，以顶角的点为圆心，腰长为半径画弧，依次画出图形即可；
（2）分三种情形求出的长即可．
本题考查作图复杂作图，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的射线解决问题．
【详解】（1）解：当时，点的位置如图1所示；
当时，点的位置如图2所示；
当时，点的位置如图3所示；
（2）解：如图2中，当时，；
如图1中，当时，设，则有，
解得，
；
如图3中，当时，，
或．
综上所述，的长为4或或1或9．
题型09 画圆
1．（2023·内蒙古通辽·中考真题）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【答案】D
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可．
【详解】解：作直线（两点确定一条直线），
连接，

∵由作图，，
∴且（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
∵，
∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴，
∴A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上．
∴为的外接圆．
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．（2024·甘肃·中考真题）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知和圆上一点M．作法如下：
①以点M为圆心，长为半径，作弧交于A，B两点；
②延长交于点C；
即点A，B，C将的圆周三等分．
(1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为______．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据尺规作图的基本步骤解答即可；
（2）连接，设的交点为D，得到，根据的半径为，是直径，是等边三角形，计算即可．
本题考查了尺规作图，圆的性质，等边三角形的性质，熟练掌握尺规作图的方法和圆的性质是解题的关键．
【详解】（1）根据基本作图的步骤，作图如下：
则点A，B，C是求作的的圆周三等分点．
（2）连接，设的交点为D，
根据垂径定理得到，
∵的半径为，是直径，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
3．（2022·甘肃武威·中考真题）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：
原文 释义
甲乙丙为定直角． 以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧； 以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己； 再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚； 乙与己及庚相连作线． 如图2，为直角． 以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，； 以点为圆心，以长为半径画弧与交于点； 再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点； 作射线，．

(1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）连接DF，EG，可得 和均为等边三角形，，进而可得．
【详解】（1）解：（1）如图：

（2）．
理由：连接DF，EG如图所示

则BD=BF=DF，BE=BG=EG
即和均为等边三角形
∴
∵
∴
【点睛】本题考查了尺规作图，根据题意正确作出图形是解题的关键．
题型10 过圆外一点作圆的切线
1．（2023·黑龙江绥化·中考真题）已知：点是外一点．

(1)尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】（1）①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画圆，两圆交于点两点，作直线交于点，②以点为圆心，为半径画圆，与交于两点，作直线，
（2）根据切线的性质得出，根据四边形内角和得出，进而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，

①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点两点，作直线交于点，
②以点为圆心，为半径画圆，与交于两点，作直线，
则直线即为所求；
（2）如图所示，点在上（点不与，两点重合），且，
∵是的切线，
∴，
∴，
当点在优弧上时，，
当点在劣弧上时，，
∴或．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．（2023·北京东城·模拟预测）下面是小明设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．
已知：及圆上一点．
求作：直线，使得为的切线，为切点．
小明的作法如下：
①连接并延长到点；
②分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点（点在直线上方）；
③以点为圆心，长为半径作；
④连接并延长，交于点，作直线．则直线就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图过程，完成下列问题：
(1)使用直尺和圆规，完成作图；（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接．
点在上，是的直径．
．（___________）
________．
是的半径，
是的切线．（___________）
【答案】(1)见详解
(2)，，直径所对的圆周角是，，过半径的外端且垂线于半径的直线是圆的切线
【分析】本题考查了作图的证明，掌握圆的切线的判定是解题的关键．
（1）根据上述描述的过程作图，即可作答．
（2）根据题中的过程，结合图形进行合情推理．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）证明：如图：连接，
点在上，是的直径．
（直径所对的圆周角是，
，
是的半径，
是的切线，（过半径的外端且垂线于半径的直线是圆的切线），
故答案为：，，直径所对的圆周角是，，过半径的外端且垂线于半径的直线是圆的切线．
题型11 作正多边形
1．（2024·甘肃临夏·中考真题）根据背景素材，探索解决问题．
平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形
背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述．
已知条件 点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上且坐标为
操作步骤 ①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆； ③以的长为半径，在上顺次截取； ④顺次连接，，，，，得到正六边形．
问题解决
任务一 根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）
任务二 将正六边形绕点顺时针旋转，直接写出此时点所在位置的坐标：______．
【答案】任务一：见解析；任务二：
【分析】本题考查尺规作图，弧、弦、圆心角的关系，旋转的性质．利用数形结合的思想是解题关键．
任务一：根据操作步骤作出，再根据弧、弦、圆心角的关系，分别作出，即得出，最后顺次连接即可；
任务二：由旋转的性质可知，即得出，即此时点所在位置的坐标为．
【详解】解：任务一：如图，正六边形即为所作；
任务二：如图，
由旋转可知，
∴，
∴．
故答案为：．
2．（2024·上海闵行·二模）沪教版九年级第二学期的教材给出了正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．同时还提到了一种用直尺和圆规作圆的内接正六边形和圆的内接正五边形的方法，但课本上并未证明．我们现开展下列探究活动．
活动一：如图1，展示了一种用尺规作的内接正六边形的方法．
①在上任取一点，以为圆心、为半径作弧，在上截得一点； ②以为圆心，为半径作弧，在上截得一点；再如此从点逐次截得点、、； ③顺次连接、、、、、．
(1)根据正多边形的定义，我们只需要证明__________，________
（请用符号语言表示，不需要说明理由），就可证明六边形是正六边形．
活动二：如图2，展示了一种用尺规作的内接正五边形的方法．
①作的两条互相垂直的直径和； ②取半径的中点；再以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点； ③以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截，得交点． 如此连续截取3次，依次得分点、、，顺次连接、、、、，那么五边形是正五边形．
(2)已知的半径为2，求边的长，并证明五边形是正五边形．
（参考数据：，，，，．）
【答案】(1)，
(2)，证明五边形是正五边形见详解
【分析】（1）各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，据此即可获得答案；
（2）首先结合题意并根据勾股定理解得，进而可得，易得，再在中，由勾股定理解得，即可确定的值；连接，，，，，结合为直径易得，利用三角函数可得，由圆周角定理可得，进而可得，然后利用全等三角形的性质可证明，，即可证明结论．
【详解】（1）解：根据正多边形的定义，我们只需要证明，，就可证明六边形是正六边形．
故答案为：，；
（2）解：根据题意，可得，，
∵点为半径的中点，
∴，
∴在中，，
∵以为圆心、为半径作弧，和半径相交于点，
∴，
∴，
∴在中，，
∵以点为圆心，以的长为半径作弧，与相截，得交点，
∴；
如下图，连接，，，，，
∵为直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴五边形是正五边形．
【点睛】本题主要考查了尺规作图、多边形的定义和性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、解直角三角形等知识，正确理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．
题型12 格点作图
1．（2024·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点、均在格点上．
(1)在图①中，四边形面积为2；
(2)在图②中，四边形面积为3；
(3)在图③中，四边形面积为4．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查网格作图、设计图案、轴对称的性质、平移的性质等知识点，根据轴对称的性质、平移的性质作图是解题的关键．
（1）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为2四边形即可．
（2）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为3四边形即可．
（3）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为4四边形即可．
【详解】（1）解：如图①：四边形即为所求；
（不唯一）．
（2）解：如图②：四边形即为所求；
（不唯一）．
（3）解：如图③：四边形即为所求；
（不唯一）．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．

(1)在方格纸中画出，且为钝角（点在小正方形的顶点上）；
(2)在方格纸中将线段向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到线段（点的对应点是点，点的对应点是点），连接，请直接写出线段的长．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析，
【分析】（1）找到的格点的，使得 ，且，连接，则即为所求；
（2）根据平移画出，连接，勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：如图所示，，即为所求；
．
【点睛】本题考查了平移作图，勾股定理与网格，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．（2021·湖北荆州·中考真题）如图，在的正方形网格图形中小正方形的边长都为1，线段与的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上．请在网格图形中画图：
(1)以线段为一边画正方形，再以线段为斜边画等腰直角三角形，其中顶点在正方形外；
(2)在（1）中所画图形基础上，以点为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形和面积之和，其它顶点也在格点上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是了解如何根据题意构造直角三角形并利用勾股定理．
（1）根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质和网格的特点画出图形即可；
（2）先计算出新正方形的面积，从而得出边长，根据勾股定理和网格的特点画出图形即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：∵新正方形的面积为正方形和面积之和，其它顶点也在格点上．
∴新正方形的面积为：，
∴新正方形的边长为：，
如图：正方形的边长为：，
∴正方形即为所求．
题型13 无刻度直尺作图
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆上的点均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹．
(1)在图中作出弧的中点D．
(2)连结，作出的角平分线．
(3)在上作出点P，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）连与网格线交于一格点，以O为端点，作射线与圆弧交于点D，
（2）作射线，则即是的角平分线，
（3）连结并延长，交的延长线于点与交于点F，连结并延长交于点P，则．
本题考查了无刻度直尺作图，垂径定理，圆周角定理，角平分线的性质定理，解题的关键是：熟练掌握无刻度直尺作图，与相关定理的结合．
【详解】（1）解：由格点可知为中点，根据垂径定理可得，点D为弧的中点，点D即为所求，
（2）解：∵点D为弧的中点，
根据圆周角定理，可得，即为所求，
（3）解：∵为直径，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，作图如下：
．
2．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
(1)在图（1）中，画射线交于点D，使平分的面积；
(2)在（1）的基础上，在射线上画点E，使；
(3)在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转到点C，再画射线交于点G；
(4)在（3）的基础上，将线段绕点G旋转，画对应线段（点A与点M对应，点B与点N对应）．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
(4)作图见解析
【分析】本题考查了网格作图．熟练掌握全等三角形性质，平行四边形性质，等腰三角形性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键．
（1）作矩形，对角线交于点D，做射线，即可；
（2）作,射线于点Q，连接交于点E，即可；
（3）在下方取点F，使，是等腰直角三角形，连接， ，交于点G，即可；
（4）作，交于点M，作，交于点N，连接，即可．
【详解】（1）如图，作线段，使四边形是矩形，交于点D，做射线，点D即为所求作；
（2）如图，作,作于点Q，连接交于点E，点E即为作求作；
（3）如图，在下方取点F，使，连接，连接并延长，交于点G，点F，G即为所求作；
（4）如图，作，交射线于点M，作，交于点N，连接，线段即为所求作．
3．（2023·湖北·中考真题）已知正六边形，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）．

(1)在图1中作出以为对角线的一个菱形；
(2)在图2中作出以为边的一个菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据菱形的性质对角线互相垂直平分即可作出图形．
（2）根据菱形的性质四条边平行且相等即可作出图形．
【详解】（1）解：如图，菱形即为所求（点，可以对调位置）：


（2）解：如图，菱形即为所求．
是菱形，且要求为边，
①当为上底边的时候，作，且，向右下偏移，如图所示，

②当为上底边的时候，作，且，向左下偏移如图所示，

③当为下底边的时候，作，且，向左上偏移如图所示，

④当为下底边的时候，作，且，向右上偏移如图所示，

【点睛】本题考查了作图-复杂作图，复杂作图是结合了几何图形的性质和基本作图的方法，涉及到的知识点有菱形的性质和判定，解题的关键在于熟悉菱形的几何性质和正六边形的几何性质，将复杂作图拆解成基本作图．
题型14 最短路径问题
1．（2020·江苏南京·中考真题）如图①，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向同侧的A、B两个城镇分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
（1）如图②，作出点A关于的对称点，线与直线的交点C的位置即为所求， 即在点C处建气站， 所得路线ACB是最短的，为了让明点C的位置即为所求，不妨在直线上另外任取一点，连接，， 证明， 请完成这个证明．
（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由），
①生市保护区是正方形区域，位置如图③所示
②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．
【答案】（1）证明见解析；（2）①见解析，②见解析
【分析】（1）连接，利用垂直平分线的性质，得到，利用三角形的三边关系，即可得到答案；
（2）由（1）可知，在点C处建燃气站，铺设管道的路线最短．分别对①、②的道路进行设计分析，即可求出最短的路线图．
【详解】（1）证明：如图，连接
∵点A、关于l对称，点C在l上
∴，
∴，
同理，
在中，有
∴；
（2）解：①在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD+DB（如图，其中D是正方形的顶点）．
②在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是（如图，其中CD、BE都与圆相切）．
【点睛】本题考查了切线的应用，最短路径问题，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握题意，正确确定点C的位置，从而确定铺设管道的最短路线．
2．（2024·广东·模拟预测）综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，“中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马问题．如图，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，请问怎样走才能使总路程最短？
【分析问题】
如图，取点关于河岸线的对称点，连接，，当三点共线时，点为饮马的地方，，此时所走的路程就是最短的．
【解决问题】
（）当三点共线时路程最短的依据是 ；
【迁移应用】
（）如图，两个村庄在河岸 的同侧，两村到河岸的距离分别为千米，千米，(千米，现要在河岸上建一水厂，从处向铺设管道以输送自来水，使得铺设所需的管道长度和最少．
①请在河岸上作出水厂的位置，并写出作图过程；
②若铺设水管的工程费用为元/千米，求出铺设水管最节省的总费用．
【答案】（）两点之间线段最短；（）①作图见解析；②元．
【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，两点之间线段最短，掌握轴对称的性质是解题的关键．
（）根据两点之间线段最短即可求解；
（）①如图，延长到点，使，连接交于点，点即为所求；②过点作的延长线于点，则，千米，千米，即得千米，利用勾股定理求出，即得到最短路线的长度，进而即可求解；
【详解】解：（）当三点共线时路程最短的依据是两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
（）①如图，延长到点，使，连接交于点，点即为所求；
②过点作的延长线于点，则，千米，千米，
∴千米，
∴千米，
∴最短路线千米，
∴铺设水管最节省的总费用为元．
命题点二 定义、命题、定理
题型01 判断是否是命题
1．（2020·四川雅安·中考真题）下列四个选项中不是命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．如果，那么
【答案】B
【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．
【详解】解：由题意可知，
A、对顶角相等，故选项是命题；
B、过直线外一点作直线的平行线，是一个动作，故选项不是命题；
C、三角形任意两边之和大于第三边，故选项是命题；
D、如果，那么，故选项是命题；
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．注意：疑问句与作图语句都不是命题．
2．（2023·广西南宁·模拟预测）下列语句中，不是命题的是（ ）
A．如果，那么 B．对顶角相等
C．两点之间，线段最短 D．过一点作已知直线的垂线
【答案】D
【分析】本题考查了命题，根据命题的概念逐项判断即可得出答案，熟练掌握判断一件事情的语句，叫做命题是解此题的关键．
【详解】解：A、如果，那么，是命题，不符合题意；
B、对顶角相等，是命题，不符合题意；
C、两点之间，线段最短，是命题，不符合题意；
D、过一点作已知直线的垂线，不是命题，符合题意；
故选：D．
3．（2023·广东揭阳·二模）下列句子中哪一个是命题（ ）
A．你的作业完成了吗？ B．美丽的天空．
C．猴子是动物． D．过直线l外一点作l的平行线．
【答案】C
【分析】需判定每个句子是否判断一件事情，若进行了判断，则为命题，反之，则不是命题；根据上述方法判断．
【详解】解：A、你的作业做完了吗？它是疑问句，不是命题，本选项不符合题意；
B、美丽的天空，它是描述性语言，不是命题，本选项不符合题意；
C、猴子是动物，是命题，本选项不符合题意；
D、过直线l外一点作l的平行线，它是描述性语言，不是命题，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查命题．正确记忆命题的定义是解题关键．
题型02 判定命题的真假
1．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【分析】本题主要考查了真假命题的判断以及不等式的性质，根据，可得出，进而可判断出若，则是假命题．
【详解】解：∵
∴，
∴若，则是假命题，
故答案为：假．
2．（2024·湖南·中考真题）下列命题中，正确的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等
C．正五边形的外角和为 D．直角三角形是轴对称图形
【答案】A
【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，解题的关键是掌握这些基础知识点．
【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意；
C、正五边形的外角和为，选项错误，是假命题，不符合题意；
D、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合题意；
故选：A．
3．（2023·内蒙古通辽·中考真题）下列命题：
①；
②；
③圆周角等于圆心角的一半；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是必然事件；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差也增加4．
其中真命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】运用同底数幂相乘法则可判定①；根据负数的绝对值越大，自身越小可判定②；根据圆周角定理可判定③；根据随机事件和方差的意义可判定④⑤．
【详解】解：①，故①是真命题；
②，故②是假命题；
③在同圆或等圆值，一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，故③是假命题；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是随机事件，故④是假命题；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差不变，故⑤是假命题．
综上，正确的只有①．
故选A．
【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘、无理数大小比较、圆周角定理、随机事件、方差等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
题型03 写成命题的逆命题
1．（2022·江苏无锡·中考真题）请写出命题“如果，那么”的逆命题： ．
【答案】如果，那么
【分析】根据逆命题的概念解答即可．
【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，
故答案为：如果，那么．
【点睛】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
2．（2022·浙江湖州·中考真题）“如果，那么”的逆命题是 ．
【答案】如果，那么
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，从而得出答案．
【详解】解：“如果，那么”的逆命题是：
“如果，那么”，
故答案为：如果，那么．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，掌握逆命题的定义．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）《原本》是古希腊数学家欧几里得的著作，它以公理和原名为基础推演出更多的结论，是流传最广、影响最大的一部世界数学名著．请写出命题“如果，那么”的逆命题： ．
【答案】如果，那么
【分析】本题考查了命题的逆命题，掌握逆命题的定义是解题的关键．
根据逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换即可．互逆命题的定义：如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件，那么这两个命题称为互逆命题，如把其中一个称为原命题，那么另一个称为它的逆命题．
【详解】“如果，那么”的逆命题是：如果，那么．
故答案为：如果，那么．
题型04 反证法
1．（2023·湖南·中考真题）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
【答案】A
【分析】根据反证法的步骤分析判断，即可解答．
【详解】解：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．
则三角形的三个内角的和大于，
这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．
所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．
以上步骤符合反证法的步骤．
故推理使用的证明方法是反证法．
故选：A．
【点睛】本题考查了反证法，解答此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
2．（2024·山西长治·三模）请阅读以下关于“圆的切线垂直于过切点的半径”的证明过程．
已知：直线与相切于点．
求证：与直线垂直．
证明：如图，假设与直线不垂直，过点作直线于点．
∴，即圆心到直线的距离小于的半径．
∴直线与相交．
这与已知“直线与相切”相矛盾．
∴假设不成立．
∴与直线垂直．
这种证明方法为（　　）
A．综合法 B．归纳法 C．枚举法 D．反证法
【答案】D
【分析】根据反证法的定义：先提出与命题结论相反的假设，然后通过推理得出矛盾从而证明原命题成立判断即可．本题考查了反证法的定义，掌握反证法的定义是解题的关键．
【详解】解：∵证明过程先做了假设“与直线不垂直”，最后得到一个与题目已知条件相矛盾的结论，即“假设不成立”，
∴本题运用的证明方法是反证法；
故选．
3．（2024·江苏南京·模拟预测）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”第一步应假设直角三角形中 ．
【答案】每个锐角都大于
【分析】此题考查了反证法，根据反证法的第一步是否定结论进行解答即可．
【详解】解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，
第一步假设直角三角形中每个锐角都大于，
故答案为：每个锐角都大于45°．

展开更多......

收起↑