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第三章 函数
第13讲 二次函数的图像与性质
（思维导图+4考点+3命题点19种题型（含3种解题技巧））
试卷第1页，共3页
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 二次函数的相关概念
考点二 二次函数的图像与性质
考点三 二次函数与各项系数之间的关系
考点四 二次函数与方程、不等式
04题型精研·考向洞悉
命题点一 二次函数的图像与性质
题型01 根据二次函数解析式判断其性质
题型02 根据二次函数的图像与性质求解
题型03 求二次函数解析式
题型04 画二次函数的图像
题型05 以开放性试题的形式考查二次函数的图像与性质
题型06 二次函数的平移变换问题
题型07 二次函数的对称变换问题
题型08 根据二次函数的对称性求参数取值范围
题型09 二次函数的最值问题
题型10 根据二次函数的最值求参数/取值范围
题型11 根据二次函数的增减性求参数的取值范围
题型12 根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围
命题点二 二次函数的图像与各项系数之间的关系
题型01 二次函数的图像与各项系数符号
题型02 根据二次函数的图像判断式子符号
题型03 函数图像综合
命题点三 二次函数与方程、不等式
题型01 已知一元二次方程根的分布情况求参数
题型02 二次函数与坐标系交点问题
题型03 二次函数与方程、不等式
题型04 二次函数与三角形相结合的应用方法
01考情透视·目标导航
中考考点 考查频率 新课标要求
二次函数的图像对称性与增减性 ★★ 能画二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图像形状和对称轴的关系； 会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值.
二次函数图像的有关判断 ★★
二次函数的图像变换 ★★
二次函数的图像与系数 ★★★
二次函数解析式的确定 ★★★
二次函数与方程结合 ★ 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.
二次函数与不等式结合 ★
【考情分析1】二次函数是初中阶段的重点内容、难点内容，也是中考的必考内容，对于二次函数图像和性质的简单考查常以非解答题的形式出现，经常考查二次函数的对称性、增减性与其解析式中的二次项系数、一次项系数及常数项之间的关系. 【考情分析2】二次函数与方程，不等式主要考查二次函数与一次函数结合，考查图像交点个数与函数各项系数间的关系，试题形式多样，难度一般，单独命题较少，一般都是问题中的某一部分，,其中函数图像与x轴的交点个数与对应的一元二次方程有关，相应不等式也可依靠函数图像求解. 【备考建议】二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分，预计2025年各地中考还会考. 出题形式多样，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习.
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 二次函数的相关概念
二次函数的定义：一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数).
二次函数的3种特殊形式：1)当b＝0时，
2)当c＝0时，
3)当b＝0且c＝0时，
二次函数的常见表达式：
名称 解析式 前提条件 相互联系
一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2) 一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法.
顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式.
交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式.
1．（2024·上海宝山·三模）下列函数中是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的概念和解析式的形式，知识点简单，比较容易掌握．整理后根据二次函数的定义和条件判断即可．
【详解】A. 是反比例函数，不符合题意；
B. ，是一次函数，不符合题意；
C. ，右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；
D. 是二次函数，符合题意
故选：D．
2．（2023·北京·模拟预测）线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系
C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系
【答案】C
【分析】根据题意列出函数关系式，即可判断函数的类型．
【详解】解：由题意，得
，属于正比例函数关系，
，属于二次函数关系，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数关系式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
3．（2024·山东菏泽·一模）若二次函数经过原点，则的值为（ ）
A． B．4 C．或4 D．无法确定
【答案】B
【分析】此题考查二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，注意二次函数的二次项系数不能为0，这是容易出错的地方．
由题意二次函数的解析式为：知，则，再根据二次函数的图象经过原点，把代入二次函数，解出的值．
【详解】解：二次函数的解析式为：，
∴，
，
二次函数的图象经过原点，
，
或，
∵，
．
故选：B．
4．（2023·四川南充·一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于 ．
【答案】3
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，将其代入中即可求出结论．
【详解】解：点在函数的图象上，
，
，
则代数式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
考点二 二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质
图像特征 二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
基本形式
图像 a>0
a<0
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=
顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，)
最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值；
a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.
【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）.
增
减
性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.
a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.
易错 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围.
二、二次函数的图象变换
1）二次函数的平移变换
平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀
向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减
向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减
补充：
① 二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关.
② 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位.
③ 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式.
④ 求函数图像上某点平移后的坐标口诀与图像平移口诀相同.
⑤ 对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.
2）二次函数图象的对称变换
变换方式 变换后 口诀
关于x轴对称 x不变，y变-y
关于y轴对称 y不变，x变-x
关于原点对称 x变-x，y变-y
1．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可．
【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上，
∴当时， y随x的增大而增大，
∵点都在二次函数的图象上，且，
∴，
故选∶A．
2．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可．
【详解】解：抛物线向下平移2个单位后，
则抛物线变为，
∴化成顶点式则为 ，
故选：A．
3．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：∵，
∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，
∴关于对称轴对称的点坐标为，
∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，
∴，
解得，，
故选：C．
4．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时， ．

【答案】4
【分析】与抛物线与x轴相交于点、点，可得抛物线的对称轴为直线，由轴，可得，关于直线对称，可得，从而可得答案．
【详解】解：∵抛物线与x轴相交于点、点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵当时，，即，
∵轴，
∴，关于直线对称，
∴，
∴；
故答案为：4
【点睛】本题考查的是利用抛物线上两点的坐标求解对称轴方程，熟练的利用抛物线的对称性解题是关键．
6．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解．
【详解】解：把点 ，点代入抛物线得，
，
解得，
∴抛物线，
令，得，
解得或，
∴，
∴；
故答案为：．
考点三 二次函数与各项系数之间的关系
① 二次函数的图像与a，b，c的关系
字母 字母的符号 图像特征 备注
a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)．
a<0 开口向下
b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0
a，b同号 对称轴在y轴左侧，即
a，b异号 对称轴在y轴右侧，即
c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置．
c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
与x轴有两个交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数
与x轴有唯一交点
与x轴没有交点
【补充】
1）若两条抛物线的形状与开口方向相同时，则它们的二次项系数a必相同；
2）由a的符号与对称轴x=的位置共同确定b的符号；
【小技巧】通过给x赋值，结合图像即可判断特殊函数值的正负.
1．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，再根据二次函数的图象特点即可得．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴，即，
∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，即，
∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线，
故选：D．
2．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．(为任意实数)
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键；
由图象可知：，，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断选项A、B、C，由当时，函数有最大值，可判断选项D．
【详解】解：A、抛物线开口往下，
，
抛物线与y轴交于正半轴，
抛物线的与x轴的交点是：和
∴对称轴为，
，
，
，故选项A错误．
∵，
∴，故选项B错误（否则可得，不合题意）．
，，
∴，故选项C错误．
抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
当时，函数值最大为，
当时，，
，
，故选项D正确．
故选：D．
3．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ）
①；
②；
③；
④若方程两根为，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断②错误；将c和b用a表示，即可得到，即可判断③正确；结合抛物线和直线与轴得交点，即可判断④正确．
【详解】解：由图可知，
∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
∴，，
则，
∵抛物线与轴的交点在，之间，
∴，
则，故①错误；
设抛物线与轴另一个交点，
∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
∴，解得，
则，故②错误；
∵，，，
∴，解得，故③正确；
根据抛物线与轴交于点和，直线过点和，如图，
方程两根为满足，故④正确；
故选：B．
4．（2023·四川·中考真题）已知抛物线（，，是常数且）过和两点，且，下列四个结论：；；若抛物线过点，则；关于的方程有实数根，则其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由抛物线过和两点得到对称轴为直线，且，所以得到，进而判断的符号，得到，；抛物线过点和，代入可得和，解得，又由，得；对称轴为直线，，开口向下，所以有最大值为，且，无法判断关于x的方程是否有实数根．
【详解】解：已知抛物线过和两点，则对称轴为直线，
∵，所以，即，，则，
当时，，则，所以，故结论①错误；
因为，所以，，即，故结论②正确；
抛物线过和两点，代入可得和，两式相减解得，由可得，解得，故结论③正确；
对称轴为直线，，开口向下，
∵，
∴所以有最大值为，
∵不一定成立，
∴关于x的方程有实数根无法确定，故结论④错误．
故选：B
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据题意判断a，b，c与0的关系，再借助点的坐标得出结论．
5．（2023·山东青岛·中考真题）如图，二次函数的图象与正比例函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的方程的两根为，；④．其中正确的是 ．（只填写序号）
【答案】①③
【分析】依据题意，根据所给图象可以得出，，再结合对称轴，同时令，从而由根与系数的关系，逐个判断可以得解．
【详解】解：由图象可得，，，又，
．
．
①正确．
由题意，令，
．
又二次函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，已知点的横坐标为，点的横坐标为2，
的两根之和为，两根之积为．
，．
．
又，
．
．
②错误，③正确．
，，
．
④错误．
故答案为：①③．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
考点四 二次函数与方程、不等式
1. 二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数
图像 与x轴的交点坐标 根的情况
△＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 2个交点
△＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 1个交点
△＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 0个交点
二、二次函数与不等式的关系
二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）：
图像 有两个交点 有1个交点 无交点
判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0
或 的全体实数 全体实数 无解 无解
或 无实根 或 无实根
无解 无解 或 的全体实数 全体实数
1．（2023九年级下·江苏·专题练习）如表是部分二次函数的自变量x与函数值y的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y 0.04 0.59 1.16
那么方程的一个根在（　　）范围之间．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二次函数和一元二次方程的关系．
【详解】解：观察表格可知：当时；当时，，
∴方程的一个根在范围是．
故选：B．
【点睛】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时，自变量的取值即可．
2．（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线交轴于，，则下列判断错误的是（ ）
A．抛物线的对称轴是直线
B．当时，随的增大而减小
C．一元二次方程的两个根分别是1和3
D．当时，
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，从图象中有效的获取信息，利用对称性，增减性和二次函数与一元二次方程的关系，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵抛物线交轴于，，
∴抛物线的对称轴是直线，故A选项正确；
一元二次方程的两个根分别是1和3，故C选项正确；
由图象可知：当时，随的增大而减小，故B选项正确；
当时，或，故D选项错误；
故选D．
3．（2024·山西大同·模拟预测）已知，若关于x的方程 的解为，关于x的方程 的解为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，把，看做是直线与抛物线交点的横坐标，把，看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．
【详解】解：如图所示，设直线与抛物线交于两点，直线与抛物线交于两点，
∵，若关于的方程的解为，关于的方程的解为，
∴，，，分别是的横坐标，
∴根据图象可知：，
故选：．
4．（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围．
此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．
【详解】解：将抛物线向下平移k个单位长度得，
∵与x轴有公共点，
∴，
即，
解得，
故答案为：．
5．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．

(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【答案】(1)，顶点坐标为；
(2)
【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标；
（2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和．
∴，解得：，
∴抛物线为，
∴顶点坐标为：；
（2）当时，，
∴
解得：，，

如图，当时，
∴．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
04题型精研·考向洞悉
命题点一 二次函数的图像与性质
题型01 根据二次函数解析式判断其性质
1．（2023·辽宁沈阳·中考真题）二次函数图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】根据抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限．
解：，
顶点坐标为，
顶点在第二象限．
故选：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2023·四川甘孜·中考真题）下列关于二次函数的说法正确的是( )
A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与轴没有交点
C．当时，随增大而增大 D．图象的顶点坐标是
【答案】D
【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，与轴的交点个数，由此解答即可．
【详解】解：A、，图象的开口向上，故此选项不符合题意；
B、 ，
，
即图象与轴有两个交点，
故此选项不符合题意；
C、抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，随增大而减小，
故此选项不符合题意；
D、 ，
图象的顶点坐标是，
故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
3．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解．
【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，
该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，
∵，，，
而，，，
∴点离对称轴最近，点离对称轴最远，
∴；
故选：D．
4．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
【答案】D
【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值．
【详解】解：将代入二次函数解析式得：，解得：，，
∵二次函数，对称轴在轴左侧，即，
∴，
∴，
∴，
∴当时，二次函数有最小值，最小值为，
故选：．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键．
5．（2023·湖南·中考真题）已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据对称轴公式可判断①；当时，，可判断②；根据抛物线的增减性，分两种情况计算可判断③；利用对称点的坐标得到，可以判断④．
【详解】解：∵抛物线（a是常数，，
∴，
故①正确；
当时，，
∴点在抛物线上，
故②正确；
当时，，
当时，，
故③错误；
根据对称点的坐标得到，
，
故④错误．
故选B．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
题型02 根据二次函数的图像与性质求解
1．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ）
A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线
【答案】D
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：由题意得，解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；
图象的对称轴是直线，故选项D符合题意；
当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意；
∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下，
∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；
故选：D．
2．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：
①；
②方程有两个不相等的实数根；
③；
④；
⑤．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；由当时，，可判断①，由函数的最小值，可判断②，由抛物线的对称轴为直线，且，可判断③，由时，，当时，，可判断④，由根与系数的关系可判断⑤；
【详解】解：①抛物线开口向上，，，
∴当时，，故①不符合题意；
②∵抛物线过点，
∴函数的最小值，
∴有两个不相等的实数根；
∴方程有两个不相等的实数根；故②符合题意；
③∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，且，
∴，而，
∴，
∴，故③不符合题意；
④∵抛物线过点，
∴，
∵时，，
即，
当时，，
∴，
∴，
∴，故④符合题意；
⑤∵，，
∴，
由根与系数的关系可得：，，
∴
∴，
∴，故⑤符合题意；
故选：C．
3．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）．
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，一次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据平移的规律顶点平移后的函数解析式即可判断①；确定抛物线与直线没有交点，且开口向上即可判断②；利用函数的性质即可判断③；求得顶点坐标即可判断④．
【详解】解：将二次函数是常数）的图象向下平移3个单位长度后得到，
当时，，
平移后的函数的图象经过原点，
故①正确；
当时，则，
令，即，
，
抛物线与直线没有交点，
抛物线开口向上，
当时，这个函数的图象在函数图象的上方；
故②正确；
二次函数是常数），
开口向上，对称轴为直线，
当时，函数值随自变量增大而增大，
故③错误；
，
顶点为，
，
故④正确．
故答案为：①②④．
4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）关于抛物线（是常数），下列结论正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
①当时，抛物线的对称轴是轴；
②若此抛物线与轴只有一个公共点，则；
③若点，在抛物线上，则；
④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于．
【答案】①④/④①
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．①把代入解析式，即可判断；②利用一元二次方程根的判别式，即可判断；③把抛物线解析式化为顶点式可得抛物线的对称轴为直线，再由二次函数的性质，即可判断；④根据题意可得抛物线的顶点坐标在直线上，即可判断．
【详解】解：当时，，此时抛物线的对称轴是轴，故①正确；
∵此抛物线与轴只有一个公共点，
∴方程的有两个相等的实数根，
∴，
解得：，故②错误；
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴离对称轴距离越远的点的纵坐标越大，
∵点，在抛物线上，且，
∴，故③错误；
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线的顶点坐标在直线上，
如图，过点A作直线于点B，则点，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，即抛物线的顶点到直线的距离都等于，故④正确．
故答案为：①④
5．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
(1)求b的值；
(2)点在抛物线上，点在抛物线上．
（ⅰ）若，且，，求h的值；
（ⅱ）若，求h的最大值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）3；（ⅱ）
【分析】题目主要考查二次函数的性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）根据题意求出的顶点为，确定抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2，即可求解；
（2）根据题意得出， ，然后整理化简；（ⅰ）将代入求解即可；（ⅱ）将代入整理为顶点式，即可得出结果．
【详解】（1）解：，
∴的顶点为，
∵抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1，
∴抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2，
∴，
∴；
（2）由（1）得
∵点在抛物线上，点在抛物线上．
∴， ，
整理得：
（ⅰ）∵，
∴，
整理得：，
∵，，
∴，
∴；
（ⅱ）将代入，
整理得，
∵，
∴当，即时，h取得最大值为．
题型03 求二次函数解析式
1）已知抛物线上任意三点坐标，可设
2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设
3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可设
4）已知抛物线过点时，可设（纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，则抛物线的对称轴可表示为直线h=）
【注意事项】
1)二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式；
2)任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即时，抛物线才可以用交点式表示，二次函数解析式的这三种形式可以互化.
1．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D．
【详解】解∶ ∵二次函数的顶点坐标为，
∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误；
∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误；
∵抛物线开口向下， 对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
设二次函数解析式为，
把代入，得，
解得，
∴，
当时，，
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确，
故选D．
2．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解．
【详解】解：把，，代入，
得，
解得，
∴，
把代入，
得，
∴，
∴，
故答案为：．
3．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．

【答案】或
【分析】根据题意求得点，，，根据题意分两种情况，待定系数法求解析式即可求解．
【详解】由，当时，，
∴，
∵，四边形是矩形，
∴，
①当抛物线经过时，将点，代入，
∴
解得：
②当抛物线经过点时，将点,代入，
∴
解得：
综上所述，或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，理解新定义，最小矩形的限制条件是解题的关键．
4．（2024·吉林长春·模拟预测）二次函数的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如表：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 0 …
有如下结论：
①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴是直线；③抛物线与y轴的交点坐标为；④由抛物线可知的解集是．其中正确的是 ．
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数的性质：熟练掌握二次函数 的性质是解决问题的关键.也考查了待定系数法求抛物线解析式.
利用交点式求出抛物线的解析式为则根据二次函数的性质可对①②进行判断；利用 时， 可对③进行判断；利用抛物线与轴的交点坐标为，则写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断.
【详解】∵抛物线经过点，
∴设抛物线的解析式为
把代入得 解得
∴抛物线解析式为即
，
∴抛物线开口向上，所以①正确；
抛物线的对称轴是直线 所以②正确；
抛物线与轴的交点坐标为所以③错误；
∵抛物线与轴交于点， 且抛物线开口向上，
∴当时， ，
的解集是所以④正确.
故答案为： ①②④.
5．（2024·四川成都·二模）已知二次函数图像与x轴相交于点，且，若二次函数经过点，则二次函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及根于系数的关系，熟练掌握待定系数法及根与系数的关系是解题关键．
利用根与系数的关系得出，再将点C代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
将三点代入到中，得：，
∴，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：．
题型04 画二次函数的图像
1．（2023·江苏泰州·中考真题）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．
小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式的解集？ 通过思考，小丽得到以下3种方法： 方法1 方程的两根为，，可得函数的图像与x轴的两个交点横坐标为、，画出函数图像，观察该图像在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式的解集． 方法2 不等式可变形为，问题转化为研究函数与的图像关系．画出函数图像，观察发现：两图像的交点横坐标也是、3；的图像在的图像下方的点，其横坐标的范围是该不等式的解集． 方法3 当时，不等式一定成立；当时，不等式变为；当时，不等式变为．问题转化为研究函数与的图像关系…
任务：
(1)不等式的解集为_____________；
(2)3种方法都运用了___________的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）；
A.分类讨论 B.转化思想 C.特殊到一般 D.数形结合
(3)请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像作出解答．
【答案】(1)
(2)D
(3)图像见解析，不等式的解集为
【分析】（1）如图1，作的图像，由方法1可知，不等式的解集为；
（2）由题意知，3种方法都运用了数形结合的数学思想方法；
（3）如图2，作函数与的图像，由图像可得，的解集为，或，进而可得的解集．
【详解】（1）解：如图1，作的图像，

由方法1可知，不等式的解集为，
故答案为：；
（2）解：由题意知，3种方法都运用了数形结合的数学思想方法，
故选：D；
（3）解：如图2，作函数与的图像，

由图像可得，的解集为，或，
综上，的解集为．
【点睛】本题考查了数形结合求一元二次不等式的解集，作二次函数、一次函数、反比例函数的图像．解题的关键在于理解题意并正确的作函数图象．
2．（2024·甘肃·模拟预测）已知抛物线与y轴的交点为A，且y与x的部分对应值如表：
x …… 0 1 2 5 ……
y …… 0 m 8 9 0 ……
(1)抛物线的对称轴为直线 ，点A的坐标为 ，并画出函数的图象；
(2)设点P为抛物线上的一个动点，连接，取的中点．猜想点构成的曲线是什么函数的图象，求此函数的解析式，并在网格中画出该函数的大致图象．
【答案】(1)，；图见解析
(2)二次函数，，图见解析
【分析】（1）根据表中数据和函数的对称性可以求出函数的对称轴，再令，则求出点坐标；根据表中数据描点、连线画出函数图象；
（2）根据（1）中数据可以求出抛物线的解析式，再设点坐标为，根据中点坐标公式求出，令，则，把代入中即可得出点运动的函数解析式，并根据函数解析式画出点的图象．
本题考查动点问题的函数图象，解题关键是求出函数的解析式．
【详解】（1）解：根据当和5时，，得出抛物线的对称轴是：直线，
抛物线与轴的交点为，
时，，则点，
故答案为：，；
由表中数据可画出二次函数图象，如图：
（2）解：点构成的曲线是抛物线．
抛物线过，，
，
解得，
二次函数的解析式为：，
设点坐标为，
点坐标为，是中点，
，，
令，则，
，
图象如图所示：
3．（2024·河南安阳·模拟预测）操作与探究：已知点P是抛物线上的一个动点．
(1)在如图的平面直角坐标系中画出函数的图象；
(2)仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题：
①当函数值时，自变量x的取值范围是 ；
②方程的根是 （结果保留一位小数）；
③当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ；
④当时，函数值，直接写出n的取值范围 ．
【答案】(1)见解析
(2)①；②或；③；④
【分析】（）利用画函数图象的步骤即可求解；
（）根据二次函数的图象及性质逐一解答即可；
此题考查了二次函数的图象及性质和画二次函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）列表：
描点，连线，如图，
（2）根据图象可知，当函数值时，自变量x的取值范围是，
故答案为：；
由得，，
方程的根可以看作是函数与x轴交点，
通过图象可知函数与x轴交点近似为，
或，
故答案为：或；
根据图象可知，当时，随的增大而增大，
当时，y随x的增大而增大，
则m的取值范围是，
故答案为：；
根据图象可知，
则的取值范围是．
题型05 以开放性试题的形式考查二次函数的图像与性质
1．（2024·江苏无锡·模拟预测）某个函数同时满足两个条件：①图象过点、；②当时，随的增大而减小．这个函数表达式可以是 ．（只要写出一个符合愿意的答案即可）
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式．设此函数的解析式为，再把点，代入求出、的值即可．
【详解】解：设此函数的解析式为，
图象过点、，
，
解得，
这个函数表达式可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
2．（2023·上海·中考真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定，对称轴，，从而确定答案．
【详解】解：∵二次函数的对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向上，即，
∵二次函数的顶点在y轴正半轴上，
∴，即，，
∴二次函数的解析式可以是（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的关键．
3．（2023·江苏泰州·中考真题）二次函数的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 （填一个值即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据根与系数的关系即可求解．
【详解】解：设二次函数的图象与轴交点的横坐标为、，
即二元一次方程的根为、，
由根与系数的关系得：，，
一次函数的图象与轴有一个交点在轴右侧，
，为异号，
，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用．
4．（2024·上海松江·二模）平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线的表达式可以是 ．（只需写出一个符合条件的表达式）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移．根据题意可设平移后的抛物线的解析式为，可得该抛物线的顶点坐标为，再由顶点在第四象限，可得，即可．
【详解】解：根据题意可设平移后的抛物线的解析式为，
∵，
∴该抛物线的顶点坐标为，
∵顶点在第四象限，
∴，
即，
∴平移后的抛物线的解析式为．
故答案为：（答案不唯一）．
题型06 二次函数的平移变换问题
1．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“＞”或“＜”）；
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线的解析式为，再利用二次函数图象的性质可得出答案．
【详解】解：，
∵二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
故答案为：．
2．（2023·西藏·中考真题）将抛物线通过平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是（ ）
A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
【答案】D
【分析】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，
而点向左平移2个，再向下平移3个单位可得到，
所以抛物线向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=x2+2x+3．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式；二是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式．
3．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可．
【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为：
，
令，则，
或，
解得：或，
，
故答案为：1．
4．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
【答案】2或4/4或2
【分析】先求出抛物线向下平移1个单位长度后与的交点坐标，然后再求出新抛物线经过原点时平移的长度．
【详解】解：抛物线向下平移1个单位长度后的解析式为，
令，则，
解得，，
∴抛物线与的交点坐标为和，
∴将抛物线向右平移2个单位或4个单位后，新抛物线经过原点．
故答案为：2或4．
【点睛】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．
5．（2024·贵州遵义·模拟预测）抛物线可以由抛物线平移得到，通常先求出的顶点坐标，再根据的顶点坐标，可发现其图象的平移过程．请根据你对函数图象平移的理解，完成下列问题．
【初步感知】
（1）将抛物线向_______平移_______个单位长度，再向_______平移_______个单位长度可得的图象；
【深入探究】
（2）将的图象平移，使得平移后的图象始终过点，且对任意的自变量的值，所对应的函数值都不大于10，则最多将的图象向右平移多少个单位长度？
【拓展提升】
（3）将的图象平移后得到的图象，且使得的图象与直线在轴上方只有一个交点，直接写出的取值范围．
【答案】（1）上， 3，右，2；
（2）右平移3个单位长度；
（3）的取值范围为，，或．
【分析】(1)根据抛物线顶点，向右平移2个单位长度、再向上平移3个单位长度可得抛物线，顶点得出结论；
(2)设将的图象向右平移个单位长度、向上平移个单位长度，则平移后的抛物线为，再由已知可得: ，由“x为任意实数”可得，从而得出结论；
(3)把代入，得到，从而得到: 的图象与直线有交点时b的取值范围及交点的坐标，再由已知条件“在x轴上方只有一个交点”得出结论．
【详解】解：（1）抛物线的顶点是，抛物线的顶点为，而点向右平移2个单位长度、再向上平移3个单位长度可得点，
将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得的图象，
故答案为：上，3，右，2；
（2）设将的图象向右平移个单位长度、向上平移个单位长度，则平移后的抛物线为，
将的图象平移，使得平移后的图象始终过点且对任意的自变量的值，所对应的函数值都不大于10，，
整理，得，，
为任意实数，
，，
，
，
最多将的图象向右平移3个单位长度；
（3）①当平移后两个图象相切，只有一个交点时，，
即：，
两函数图象相切，
，
解得：，，
当时，两图象交于点，
当时，两图象交于点，
，都在轴上方，
当或，两图象在轴上方只有一个交点，
（2）当平移后两个图象不相切，在轴上方只有一个交点时，
与轴的交点为，
时，二次函数的值为：，
过点为，
过点为，
当时，两图象在轴上方只有一个交点，另一个交点在轴上.
解得：，
两图象在轴上的交点坐标为或，另一个交点在轴上方，.
与轴的交点为，
的对称轴为.
与轴的交点横坐标小于大于0，
的对称轴大于，
两个图象的一个交点在第四象限，一个交点在第一象限，，
与轴的交点为，
的对称轴为，
与轴的交点横坐标大于小于0，
的对称轴小于，
两个图象的一个交点在第三象限，一个交点在第二象限.
当或是，两图象在轴上方只有一个交点，
综上所述：的取值范围为，，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，掌握平移规律是解题的关键．
题型07 二次函数的对称变换问题
1．（2023·四川自贡·中考真题）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
【答案】B
【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出，求得抛物线解析式，根据抛物线与轴有交点得出，进而得出，则，求得的横坐标，即可求解．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线
∵抛物线经过两点
∴，
即，
∴，
∵抛物线与轴有交点，
∴，
即，
即，即，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的对称性，与轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知二次函数（为常数，且）的图象经过，，，四点，且点B在点A的右侧，则d的值不可能是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质．求得抛物线的对称轴为直线，得到点关于直线的对称点为，求得，根据抛物线开口向下，即可求解d的取值范围，据此即可判断．
【详解】解：∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点关于直线的对称点为，
∵，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴或，
观察四个选项，d的值可能为，，4，不可能是，
故选：B．
3．（2024·福建莆田·一模）坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点、皆在轴上，且有一水平线与两图像相交于、、、四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，线段长度的相关计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由，，的长度以及根据二次函数的对称性可以知道，和，和，和横坐标的差，从而推出和的横坐标之差，得到的长度．
【详解】由、、、四点在同一水平线，可以知道四点纵坐标相同
，，，
，
又
．
故选：B．
4．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数的对称轴是直线，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的对称性，求出二次函数图象与x轴的两个交点坐标，利用抛物线的对称性即这两个交点关于对称轴对称，即可求得．
【详解】解：令，解得：，
即抛物线与x轴的两个交点坐标为，
由于抛物线的对称轴是直线，即，
解得：
故答案为：．
题型08 根据二次函数的对称性求参数取值范围
1．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【分析】本题考查的二次函数的图象与性质，能确定出抛物线的开口方向与对称轴是解题的关键．
根据题意先确定出抛物线的开口方向及对称轴,再根据开口向上的抛物线上的点离对称轴距离越大对应的函数值越大得到关于m的不等式组,求解即可得答案．
【详解】解：∵当时， 或，
∴抛物线开口向上，且对称轴是直线，
∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小，
∵，
又， 是抛物线上的两点， 且，
∴，
∴，
∴，
，
故选： A．
2．（2024·浙江·一模）已知点，，均在抛物线的图象上，且，点和也在此抛物线上，则下列说法正确的是（ ）
A．若恒成立，则 B．若恒成立，则
C．若恒成立，则 D．若恒成立，则
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，主要利用了二次函数的增减性与对称性，根据顶点的纵坐标最大确定出抛物线开口方向是解题的关键．先判断出抛物线开口方向下，求出对称轴范围即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
，即，
解得：，
，，
，
，
，，
抛物线的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
点和也在此抛物线上，
若恒成立，则；
若恒成立，则；
故选：A．
3．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数，点均在该二次函数的图象上，且，则k的取值范围为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据点，可得二次函数图象的对称轴，从而得到点关于对称轴的对称点为，再分两种情况：当点在对称轴的左侧时；当点在对称轴的右侧时，即可求解．
【详解】解：∵点均在该二次函数的图象上，且关于对称轴对称，
∴二次函数图象的对称轴为直线，
∴点关于对称轴的对称点为，
当时，，
∴二次函数的图象与y轴的交点为，
∵，
当点在对称轴的左侧时，；
当点在对称轴的右侧时，，且，
解得：；
综上所述，k的取值范围为或．
故答案为：或．
4．（2024·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两点（，不重合）．
(1)若，求的值；
(2)若点在抛物线上，且对于，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图像上的点的坐标特征，解题的关键是掌握时，离对称轴越近的点，其纵坐标越小，再分类讨论可得答案；
（1）由可得对称轴是直线，解得：；
（2）由，可知离对称轴水平距离越近的点，其纵坐标越小，再分类讨论可得答案；
【详解】（1）解：由题意得，
，点，是抛物线上的两点，
对称轴是直线，
，
（2）抛物线，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
点在抛物线上，且对于，
点在对称轴右侧，
点关于对称轴的对称点为，
当时，
，
，
当时，
，则，不符合题意；
综上所述，的取值范围是
5．（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为．
(1)当时，求的值；
(2)若，求a的取值范围及的取值范围．
【答案】(1)2；
(2)a的取值范围为，的取值范围为．
【分析】（1）根据题意可得点关于抛物线对称轴对称，据此求解即可；
（2）先求出点在抛物线上；再分当时，则离对称轴越远函数值越大，当时，则离对称轴越远函数值越小，两种情况根据二次函数的性质列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：∵点在抛物线上，且，
∴抛物线对称轴为直线，即；
（2）解：在中，当时，，
∴点在抛物线上；
当时，则离对称轴越远函数值越大，
∵，
∴，
∴，即，此时不等式组无解，
∴此种情况不成立；
当时，则离对称轴越远函数值越小，
∴，
∴，即，
解得即，
综上所述，a的取值范围为，的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
题型09 二次函数的最值问题
1．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最值即可．
【详解】解：由题意得，，
即，
当时，函数的最小值为．
故选：B．
2．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
【答案】D
【分析】将代入二次函数解析式，进而得出的值，再利用对称轴在轴左侧，得出，再利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值．
【详解】解：将代入二次函数解析式得：，解得：，，
∵二次函数，对称轴在轴左侧，即，
∴，
∴，
∴，
∴当时，二次函数有最小值，最小值为，
故选：．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出的值是解题关键．
3．（2023·辽宁大连·中考真题）已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】D
【分析】把抛物线化为顶点式，得到对称轴为，当时，函数的最小值为，再分别求出和时的函数值，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴对称轴为，当时，函数的最小值为，
当时，，当时，，
∴当时，函数的最大值为2，
故选：D
【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，，点分别为边上的动点，连接，，若，，则面积的最大值为 ．
【答案】6
【分析】该题主要考查了勾股定理，解直角三角形，二次函数最值求解等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
由题意可知，即可得，证明，在中，勾股定理算出，即可得出，设．则，根据，得出，即可得，，即可得出 ，据此即可求解；
【详解】解：由题意可知，
，
∴在中，，
又，
，
在中，，
，
设．则，．
∵，
，
，
，
，
∵，
当时，取得最大值6，
故答案为：6．
题型10 根据二次函数的最值求参数/取值范围
1．（2024·湖北·模拟预测）已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小．且当时，有最大值2．则的值为（ ）
A． B．1 C． 1 D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先求出对称轴，根据增减性确定的符号，再根据最值求出的值即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
∵当时，随的增大而减小，
∴抛物线的开口向上，
∴，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，，
∴当时，有最大值为，
解得：或（舍去）；
故选B．
2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最大值与最小值的差为9，则的值为（ ）
A．－6 B．4 C．或0 D．0或
【答案】D
【分析】根据题意可知二次函数，故该函数的对称轴为直线 函数的最大值为2，然后根据对称轴所在的位置进行分类讨论计算即可．
本题考查了二次函数的图象与性质，准确了解当时，函数的最值会发生变化，从而结合方程解决问题是关键．
【详解】解：二次函数
∴该函数的对称轴为直线， 函数的最大值为2，
当时，
时， 函数有最大值，
时，函数有最小值，
∵当时，函数的最大值与最小值的差为9，
，
解得：(舍去)，
当 时，
时，函数有最大值，
时，函数有最小值，
∵当 时，函数的最大值与最小值的差为9，
，
解得：(舍去) ，
当时，时，函数有最小值，函数有最大值，
，
解得：或(舍去)，
当时，时，函数有最小值，函数有最大值，
，
解得或4(舍去)，
或，
故选：D．
3．（2023·吉林长春·模拟预测）已知二次函数，当时，函数的最大值为，则m的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】计算当时，，根据当时，函数的最大值为，列得，即可求出m的取值范围．
【详解】解：∵，
∴图象开口向下，顶点坐标为，
∵当时，函数的最大值为，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，正确理解二次函数的性质是解题的关键．
4．（2024·云南昆明·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过坐标原点O和点，其中．
(1)当时，求y关于x的函数表达式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少
(2)当时，在范围内，y是否存在最大值10 若存在，求出相应的a和x的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，当时，有最大值，最大值为2
(2)当的值为5，的值为4时，取得最大值10
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是分类讨论思想的应用．
（1）依据题意，当时，，再把，代入计算求出，即可得解析式，化成顶点式即可判断得解；
（2）依据题意，二次函数的图象经过原点O和点，可得，从而可得解析式为，进而可得抛物线的对称轴为直线，从而分类讨论即可判断得解．
【详解】（1）解：当时，，
把，代入得：，
∴．
∴关于的函数表达式为，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为2．
（2）在范围内，存在最大值10，理由如下：
∵二次函数的图象经过原点O和点，，
∴．
∴．
∴．
∴抛物线的对称轴为直线．
∵，
∴，
①当，即时，
∴当时，取得最大值．
∴，
解得：．
∴当的值为5，的值为4时，取得最大值10；
②当，即时，
∴当时，取得最大值．
∴．
解得：（小于0，舍去）或（大于4，舍去），
综上所述，当的值为5，的值为4时，取得最大值10．
5．（2024温州市三模）已知二次函数（a为常数）．
(1)若，当时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
(2)若二次函数在时有最大值3，求a的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是运用数形结合思想和分类讨论思想．
（1）由可知抛物线开口向上，求得对称轴为直线，根据二次函数的性质得到，即可求解；
（2）分两种情况讨论，得到关于a的方程，解方程即可．
【详解】（1）解∶抛物线的对称轴为直线，
抛物线开口向上，当时，二次函数随的增大而减小，
时，此二次函数随着的增大而减小，
，
即；
（2）由题意得∶，
二次函数在时有最大值3，
当时，开口向上，
当时，有最大值，
，
；
当时，开口向下，
当时，有最大值，
，
，
综上，或．
题型11 根据二次函数的增减性求参数的取值范围
1．（2023温州市一模）已知点、是二次函数图象上的两个点，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据点A、B是该二次函数图象上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线，再根据开口向上，时，y随x的增大而减小，可得，据此即可求解．
【详解】解：∵点、是二次函数图象上的两个点，
∴该二次函数图象的对称轴为直线，且开口向上，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧，
，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，得到该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧是解决本题的关键．
2．（2023·山东临沂·二模）已知点，、，是二次函数图象上的两个点，若当时，随的增大而减小，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】首先根据点、是该二次函数图象上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线，再根据开口向上，时，随的增大而减小，可得 ，据此即可求解．
【详解】解：∵点，、，是二次函数图象上的两个点，
∴对称轴为直线，开口向上，
∵当时，随的增大而减小，
∴该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧，
∴
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，得到该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧是解决本题的关键．
3．（2023·安徽芜湖·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线绕点旋转，当时，y随x的增大而减小，则k的范围是 ．
【答案】
【分析】先确定旋转后抛物线的开口方向和对称轴，再由题意列出关于k的不等式进行求解．
【详解】解：∵，，
∵原抛物线的开口向上，对称轴是直线，
∵将该抛物线绕点旋转后开口向下，
∵旋转后的对称轴为直线，开口向下，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质的应用能力，关键是掌握二次函数的图象和性质．
4．（2023·贵州铜仁·模拟预测）若实数使得关于的分式方程有正整数解，且使二次函数当时，随增大而增大，则满足以上所有条件的整数的和为 ．
【答案】3
【分析】题考查二次函数的性质、分式方程的解，把a看作已知数解分式方程，求出符合条件的a的值，用a表示出二次函数的对称轴，根据，y随必增大而增大，得出二次函数的对称轴在的左侧，求出满足a的取值范围，进而求出a的所有值即可求和
【详解】解：由分式方程得，
∵关于x的二次函数在时，随增大而增大，
∴，
解得：，
∵分式方程有正整数解，
∴，1，2，
∴满足以上所有条件的整数的和为3．
故答案为：3．
题型12 根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围
1．（2024汕头市一模）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
则当时，x的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据表格数据可知：利用二次函数的对称性判断出对称轴，在对称轴的左边y随着x的增大而减小，在对称轴的右边y随着x的增大而增大，进一步得出时，，然后写出时，x的取值范围即可．
【详解】解：由表格可知，和时的函数值相同，
∴对称轴为直线，
∵当时的函数值小于时的函数值，
∴二次函数开口向上，
∴在对称轴由此y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小，
∵时，，
∴时，，
∴当时，x的取值范围是，
故答案为：．
2．（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知二次函数，顶点坐标是( )，当时，则函数的取值范围
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．把抛物线解析式化为顶点式可求得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，然后根据二次函数的性质可得出答案．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为．
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
当时，；
当时，；
∴当时，二次函数的函数值y的取值范围为．
故答案为：，．
3．（2023·湖南邵阳·二模）已知如图，平面直角坐标系中，一条直线与抛物线相交于、两点，求当时的x的取值范围是 ．

【答案】或
【分析】根据图象结合A，B两点的坐标求解即可．
【详解】解：∵、，
由图象可得，
当或时，．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想，熟练掌握数形结合思想是解本题的关键．
4．（2023·广西梧州·二模）如图，直线与抛物线相交于A，B两点，点B在y轴上，当时，x的取值范围是 ．

【答案】/
【分析】求得A，B两点的横坐标，再根据图象得出取值范围即可．
【详解】解：因为直线与抛物线分别交于A，B两点，
令，则，
∴B点坐标为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
解方程，
得，，
∴A，B两点的横坐标分别为，0，
∴当时，，
故答案为：．
【点睛】此题考查二次函数与不等式，关键是根据图象得出取值范围．
5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知二次函数（a是常数，且），
（1）若点在该函数的图象上，则a的值为 ；
（2）当时，若，则函数值y的取值范围是 ．
【答案】 2
【分析】本题考查了待定系数法，抛物线的对称轴，增减性，解不等式，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
（1）把代入函数解析式计算即可；
（2）根据抛物线开口向，结合对称轴，利用函数的增减性列出不等式计算即可．
【详解】解：（1）∵点在二次函数的图象，
∴，
解得；
（2）当时，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，y有最大值4，
又当时，，
当时，．
∴当时，函数值y的取值范围是．
命题点二 二次函数的图像与各项系数之间的关系
题型01 二次函数的图像与各项系数符号
1．（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（ ）
①；②抛物线的顶点坐标为；
③；④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根与系数的关系、根的判别式、抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
依据题意，由有两实根，，可得，即可得，故可判断①又抛物线的对称轴是直线，进而抛物线的顶点为c)，再结合，可得，故可判断②；依据题意可得，又，进而可得，从而可以判断③；由，故，即对于函数，当时的函数值小于当时的函数值，再结合，抛物线的对称轴是直线，从而根据二次函数的性质即可判断④．
【详解】解：由题意，∵有两实根，
．
∴得，．
∴，故①正确．
，
∴抛物线的对称轴是直线．
∴抛物线的顶点为．
又，
∴，即．
∴．
∴．
∴顶点坐标为，故②正确．
∵，
∴．
又，
，
∴，故③错误．
，
，
∴对于函数，当时的函数值小于当时的函数值．
∵，抛物线的对称轴是直线，
又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
，
，
∴，故④错误．
综上，正确的有①②共2个．
故选：B．
2．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．①根据图像分别判断，，的符号即可；②将点代入函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与轴的另一个交点的横坐标为5，即可得到；④由，得到，，将代入函数得，从而推出当时，该抛物线与直线的图象无交点，即可判断．
【详解】解：由题图可知，，
，故①正确；
当时，，即，故②正确；
二次函数与轴的一个交点的横坐标为，对称轴为直线，
二次函数与轴的另一个交点的横坐标为5，
多项式，故③错误；
当时，有最大值，即，
当时，抛物线与直线的图象无交点，
即关于x的方程无实数根，故④正确．
综上，①②④正确．
故选：C．
3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：
① ②（m为任意实数） ③
④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据对称性可得即可判段④，即可求解．
【详解】解：∵二次函数图象开口向下
∴
∵对称轴为直线，
∴
∴
∵抛物线与轴交于正半轴，则
∴，故①错误，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线,
∴当时，取得最大值，最大值为
∴（m为任意实数）
即，故②正确；
∵时，
即
∵
∴
即
∴，故③正确；
∵、是抛物线上不同的两个点，
∴关于对称，
∴即故④不正确
正确的有②③
故选：B
4．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【分析】根据抛物线的顶点公式可得，结合，，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④．
【详解】解：根据题意可得：，
，
，
即，
，
，
的值可正也可负，
不能确定的正负；故①错误；
，
抛物线开口向下，且关于直线对称，
当时，随的增大而减小；故②正确；
，
抛物线为，
，
，故③正确；
抛物线，
将向左平移1个单位得：，
抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误；
正确的有②③，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键．
题型02 根据二次函数的图像判断式子符号
1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性；
2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）.
3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性.
4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性.
5）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性.
6）特殊点代入确定a，b，c的关系.例：当x=±1时，；
7）根据抛物线的顶点，判断的大小.
1．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）．
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设两点横坐标与对称轴的距离为，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断．
【详解】解：①∵抛物线的顶点的坐标为，
∴，
∴，即，
由图可知，抛物线开口方向向下，即，
∴，
当时，，
∴，故①正确，符合题意；
②∵直线是抛物线的对称轴，
∴，
∴，
∴
由图象可得：当时，，
∴，即，故②正确，符合题意；
③∵直线是抛物线的对称轴，
设两点横坐标与对称轴的距离为，
则，，
∴，
根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，
∴，故③错误，不符合题意；
④如图，
∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，故④正确，符合题意．
故答案为：①②④
2．（2024·山东青岛·中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第二象限，据此可得答案．
【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴，
∴，
∵对称轴是直线，
∴，
∴，
∴，
∴在x轴正半轴上；
∵二次函数顶点在第二象限，
∴当时，，
∵二次函数与x轴无交点，
∴，
∴点在第二象限，
∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
3．（2024·四川·中考真题）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据图象与轴交点在轴负半轴，可得，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为，由于对称轴为，可得，故②正确；当时，二次函数图象位于轴下方，即当，所对应的，故③正确．
【详解】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴负半轴，即，故①正确，符合题意；
②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意；
③根据图象可知，当时，图象位于轴下方，即当，所对应的，故③正确，符合题意；
综上所述，①②③结论正确，符合题意．
故选：D．
4．（2023·湖南娄底·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则．其中正确的结论是（ ）

A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【答案】D
【分析】由抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，可得，， ，故①不符合题意；当与时的函数值相等，可得，故②符合题意；当时函数值最大，可得，故③不符合题意；由点和点在该图象上，而，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，可得④符合题意．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的左边，
∴，，，
∴，
∴，故①不符合题意；
∵对称轴为直线，
∴当与时的函数值相等，
∴，故②符合题意；
∵当时函数值最大，
∴，
∴；故③不符合题意；
∵点和点在该图象上，
而，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，
∴．故④符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟记二次函数的开口方向，与y轴的交点坐标，对称轴方程，增减性的判定，函数的最值这些知识点是解本题的关键．
题型03 函数图像综合
1．（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案．
【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；
位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小，
当时，，均随着的增大而减小，
故选：D．
2．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：
，
解得：，
∴的取值范围是，
故选：C．
3．（2022·湖北襄阳·中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＜0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线＞0，
∴b＞0，
∵与y轴的负半轴相交，
∴c＜0，
∴y=bx+c的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数y=图象在第二四象限，
只有D选项图象符合．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．
4．（2023·四川自贡·模拟预测）二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数，二次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．准确选择数量关系解得的值，简单的图象最少能反映出个条件：开口向下；对称轴的位置即可确定的取值范围．由已知二次函数的图象开口方向可以知道的取值范围，对称轴可以确定的取值范围，然后就可以确定反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象．
【详解】解：二次函数的图象开口方向向下，
，
对称轴在轴的右边，
、异号，即．
反比例函数的图象位于第二、四象限，
正比例函数的图象位于第一、三象限．
观察选项，C选项符合题意．
故选：C．
命题点三 二次函数与方程、不等式
题型01 已知一元二次方程根的分布情况求参数
1．（2023·四川南充·中考真题）抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是( )
A． B． 或
C． D．或
【答案】B
【分析】根据抛物线有交点，则有实数根，得出或，分类讨论，分别求得当和时的范围，即可求解．
【详解】解：∵抛物线与x轴有交点，
∴有实数根，
∴
即
解得：或，
当时，如图所示，

依题意，当时，，
解得：，
当时，，解得，
即，
当时，
当时，，
解得：
∴

综上所述， 或，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2023·四川泸州·中考真题）已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（　　）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】首先根据题意求出对称轴，然后分两种情况：和，分别根据二次函数的性质求解即可．
【详解】∵二次函数，
∴对称轴，
当时，
∵当时对应的函数值均为正数，
∴此时抛物线与x轴没有交点，
∴，
∴解得；
当时，
∵当时对应的函数值均为正数，
∴当时，，
∴解得，
∴，
∴综上所述，
当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为或．
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是分两种情况讨论．
3．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与轴有2个交点，开口向上，而且与轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可．
【详解】解：二次函数图象经过第一、二、四象限，
设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为，由题意可得
解得．
故选：A．
4．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线.
(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（）把代入，转化成顶点式即可求解；
（）分 和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解；
本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：把代入得，，
∴抛物线的顶点坐标为；
（2）解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线；
当时，如图，此时，
∴，
又∵，
∴；
当时，如图，此时，
解得，
又∵，
∴；
综上，当或，都有．
5．（2023·江苏南京·中考真题）已知二次函数（a为常数，．
(1)若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点．
(2)若，求证：当时，．
(3)若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，则的取值范围是．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
（1）证明即可解决问题．
（2）将代入函数解析式，进行证明即可．
（3）先求得对称轴为直线，顶点坐标为，再对和进行分类讨论即可．
【详解】（1）证明：因为，
又因为，
所以，，
所以，
所以该函数的图象与轴有两个公共点．
（2）证明：将代入函数解析式得，
，
所以抛物线的对称轴为直线，开口向下．
则当时，
随的增大而增大，
又因为当时，，
所以．
（3）对称轴为直线，顶点坐标为，
①当时，抛物线开口向上，要保证二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴下方，时，，时，，
即，解得：
②当时，抛物线开口向下，要保证二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），则只需保证顶点在x轴上方，时，，时
即，解得，
综上，当或时，二次函数与x轴两个交点在与之间（不包含这两点），
故答案为：或．
题型02 二次函数与坐标系交点问题
1．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键．
由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点，
∴没有实数根，
∴，．
故答案为：．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与y轴的交点坐标是 ．
【答案】
【分析】与轴的交点的特点为，令，求出的值，即可求出抛物线与轴的交点坐标．
【详解】令抛物线中，
即，
解得，
故与轴的交点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了抛物线与y轴的交点坐标，解题的关键是令，求出的值．
3．（2024·四川眉山·二模）若抛物线经过和两点，开口向上，且与轴有两个交点，则的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点问题，待定系数法将二次函数的解析式转化为只含参数的解析式，根据抛物线的开口向上，与轴有两个交点，列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：∵抛物线经过和两点，
∴，解得：，
∴，
∵抛物线的开口向上，且与轴有两个交点，
∴，解得：或；
故答案为：或．
4．（2024·河南南阳·三模）已知抛物线
(1)当 时，求抛物线与x轴的交点坐标；
(2)已知点，，连接，若抛物线与线段只有一个公共点，求m的取值范围．
【答案】(1)和
(2)或
【分析】（1）当 时，抛物线解析式为．由求出x的值，即可得抛物线与x轴的交点坐标．
（2）当抛物线的顶点在线段上时，抛物线与线段只有一个公共点，此时顶点坐标为，由此可求出m的值．再分别求出抛物线经过B点和A点时m的值，即可得m的取值范围．
【详解】（1）当时，抛物线解析式为，
由，
得，
解得，，
∴时，求抛物线与x轴的交点坐标为和．
（2）∵点和点纵坐标相同，
∴轴，
当抛物线的顶点在线段上时，抛物线与线段只有一个公共点，
此时顶点坐标为，
，
解得；
当抛物线经过点时，
，
解得；
当抛物线经过点时，
，
解得．
∴当时，抛物线与只有一个交点；
当时，抛物线与有两个交点；
当时，抛物线与只有一个交点．
综上，若抛物线与线段只有一个公共点，则 m的取值范围为或．
【点睛】本题考查了求二次函数与x轴的交点坐标，以及根据二次函数与线段的交点坐标，求字母的取值范围．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合法是解题的关键．
5．（2024·云南昆明·一模）已知抛物线
(1)求证：抛物线与x轴有两个不同的交点；
(2)当时，抛物线与x轴交于点A，B，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查的是抛物线和x轴的交点问题，涉及一元二次方程解法与根的判别式．
（1）证明，即可求解；
（2）将代入抛物线表达式，令，求出点A，B的坐标，根据两点间距离公式进而求解．
【详解】（1）证明：
，
故此抛物线与x轴有两个不同的交点；
（2）解：当时，，
令，则，
解得：或，
∴．
题型03 二次函数与方程、不等式
1．（2024·广东广州·模拟预测）如图，抛物线经过点和点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由二次函数的图象判断系数的符号，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键．根据图象及二次函数的性质判断即可
【详解】解：根据题意可得：抛物线与y轴交于正半轴，故，故A错误；
抛物线对称轴在y轴右边或左边，故无法确定，故B错误；
抛物线一定经过第一、二、四象限，故抛物线与x轴有2个交点，
故，故C正确、D错误；
故选：C．
2．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）设，下表列出了与的6对对应值：
根据表格能够发现一元二次方程的一个解的大致范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】当时，，，所以当在之间取某一个数时，，于是可对各选项进行判断．
【详解】解：∵当时，，，
∴当在之间取某一个数时，，
∴一元二次方程的一个解的大致范围为．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数与方程的解，熟练掌握方程的解是对应二次函数与轴的交点坐标是解题的关键．
3．（2024·浙江温州·三模）二次函数的部分对应值如下表所示，则当时，x的取值范围为（ ）
x 3 4
y m 0 m
A． B． C．或 D．或
【答案】C
第三章 函数
第13讲 二次函数的图像与性质
（思维导图+4考点+3命题点19种题型（含3种解题技巧））
试卷第1页，共3页
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 二次函数的相关概念
考点二 二次函数的图像与性质
考点三 二次函数与各项系数之间的关系
考点四 二次函数与方程、不等式
04题型精研·考向洞悉
命题点一 二次函数的图像与性质
题型01 根据二次函数解析式判断其性质
题型02 根据二次函数的图像与性质求解
题型03 求二次函数解析式
题型04 画二次函数的图像
题型05 以开放性试题的形式考查二次函数的图像与性质
题型06 二次函数的平移变换问题
题型07 二次函数的对称变换问题
题型08 根据二次函数的对称性求参数取值范围
题型09 二次函数的最值问题
题型10 根据二次函数的最值求参数/取值范围
题型11 根据二次函数的增减性求参数的取值范围
题型12 根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围
命题点二 二次函数的图像与各项系数之间的关系
题型01 二次函数的图像与各项系数符号
题型02 根据二次函数的图像判断式子符号
题型03 函数图像综合
命题点三 二次函数与方程、不等式
题型01 已知一元二次方程根的分布情况求参数
题型02 二次函数与坐标系交点问题
题型03 二次函数与方程、不等式
题型04 二次函数与三角形相结合的应用方法
01考情透视·目标导航
中考考点 考查频率 新课标要求
二次函数的图像对称性与增减性 ★★ 能画二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图像形状和对称轴的关系； 会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值.
二次函数图像的有关判断 ★★
二次函数的图像变换 ★★
二次函数的图像与系数 ★★★
二次函数解析式的确定 ★★★
二次函数与方程结合 ★ 知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.
二次函数与不等式结合 ★
【考情分析1】二次函数是初中阶段的重点内容、难点内容，也是中考的必考内容，对于二次函数图像和性质的简单考查常以非解答题的形式出现，经常考查二次函数的对称性、增减性与其解析式中的二次项系数、一次项系数及常数项之间的关系. 【考情分析2】二次函数与方程，不等式主要考查二次函数与一次函数结合，考查图像交点个数与函数各项系数间的关系，试题形式多样，难度一般，单独命题较少，一般都是问题中的某一部分，,其中函数图像与x轴的交点个数与对应的一元二次方程有关，相应不等式也可依靠函数图像求解. 【备考建议】二次函数作为初中三大函数中考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分，预计2025年各地中考还会考. 出题形式多样，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习.
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 二次函数的相关概念
二次函数的定义：一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
二次函数的一般式： (a≠0，其中a，b，c是常数).
二次函数的3种特殊形式：1)当b＝0时，
2)当c＝0时，
3)当b＝0且c＝0时，
二次函数的常见表达式：
名称 解析式 前提条件 相互联系
一般式 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2) 一般式化为顶点式，交点式，主要运用配方法，因式分解等方法.
顶点式 当已知抛物线的顶点坐标（h，k）或对称轴或最值等有关条件时，常用顶点式求其表达式.
交点式 当已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，常用交点式求其表达式.
1．（2024·上海宝山·三模）下列函数中是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·北京·模拟预测）线段，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（ ）
A．正比例函数关系，反比例函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系
C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，反比例函数关系
3．（2024·山东菏泽·一模）若二次函数经过原点，则的值为（ ）
A． B．4 C．或4 D．无法确定
4．（2023·四川南充·一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于 ．
考点二 二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质
图像特征 二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
基本形式
图像 a>0
a<0
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=
顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，)
最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值；
a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.
【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）.
增
减
性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大.
a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小.
易错 抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说，y随x 的增大而增大(或减小) 是不对的，必须附加一定的自变量x取值范围.
二、二次函数的图象变换
1）二次函数的平移变换
平移方式（n＞0) 一般式y=ax2+bx+c 顶点式y＝a(x–h) 2＋k 平移口诀
向左平移n个单位 y=a(x+n)2+b(x+n)+c y=a(x-h+n) 2+k 左加
向右平移n个单位 y=a(x-n)2+b(x-n)+c y=a(x-h-n)2+k 右减
向上平移n个单位 y=ax2+bx+c+n y=a(x-h)2+k+n 上加
向下平移n个单位 y=ax2+bx+c-n y=a(x-h)2+k-n 下减
补充：
① 二次函数图像平移的实质：点的坐标整体平移，在此过程中a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关.
② 根据平移规律，左右平移是给x加减平移单位，上下平移是给常数项加减平移单位.
③ 涉及抛物线的平移时，首先将表达式转化为顶点式的形式，因为二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，因此可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式.
④ 求函数图像上某点平移后的坐标口诀与图像平移口诀相同.
⑤ 对二次函数上下平移，不改变增减性，改变最值；对二次函数左右平移，改变增减性，不改变最值.
2）二次函数图象的对称变换
变换方式 变换后 口诀
关于x轴对称 x不变，y变-y
关于y轴对称 y不变，x变-x
关于原点对称 x变-x，y变-y
1．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当轴时， ．

6．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．

考点三 二次函数与各项系数之间的关系
① 二次函数的图像与a，b，c的关系
字母 字母的符号 图像特征 备注
a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向， a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)．
a<0 开口向下
b b=0 对称轴是y轴，即=0 左同右异中间0
a，b同号 对称轴在y轴左侧，即
a，b异号 对称轴在y轴右侧，即
c c=0 图像过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置．
c>0 与y轴正半轴相交
c<0 与y轴负半轴相交
与x轴有两个交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数
与x轴有唯一交点
与x轴没有交点
【补充】
1）若两条抛物线的形状与开口方向相同时，则它们的二次项系数a必相同；
2）由a的符号与对称轴x=的位置共同确定b的符号；
【小技巧】通过给x赋值，结合图像即可判断特殊函数值的正负.
1．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．(为任意实数)
3．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ）
①；②；③；④若方程两根为，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023·四川·中考真题）已知抛物线（，，是常数且）过和两点，且，下列四个结论：；；若抛物线过点，则；关于的方程有实数根，则其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023·山东青岛·中考真题）如图，二次函数的图象与正比例函数的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线．下列结论：①；②；③关于x的方程的两根为，；④．其中正确的是 ．（只填写序号）
考点四 二次函数与方程、不等式
1. 二次函数图像与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
求二次函数的图像与x轴的交点坐标，就是令y＝0，求中x的值的问题．此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：
判别式 二次函数 一元二次方程 与x轴交点个数
图像 与x轴的交点坐标 根的情况
△＞0 抛物线 与x轴交于， 两点 一元二次方程 有两个不相等的实数根 2个交点
△＝0 抛物线与x轴交于这一点 一元二次方程 有两个相等的实数根 1个交点
△＜0 抛物线 与x轴无交点 一元二次方程 在实数范围内无解（或称无实数根） 0个交点
二、二次函数与不等式的关系
二次函数与一元二次不等式及之间的关系如下(）：
图像 有两个交点 有1个交点 无交点
判别式 △＞0 △＝0 △＜0 △＞0 △＝0 △＜0
或 的全体实数 全体实数 无解 无解
或 无实根 或 无实根
无解 无解 或 的全体实数 全体实数
1．（2023九年级下·江苏·专题练习）如表是部分二次函数的自变量x与函数值y的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y 0.04 0.59 1.16
那么方程的一个根在（　　）范围之间．
A． B． C． D．
2．（2024·河南周口·模拟预测）如图，抛物线交轴于，，则下列判断错误的是（ ）
A．抛物线的对称轴是直线
B．当时，随的增大而减小
C．一元二次方程的两个根分别是1和3
D．当时，
3．（2024·山西大同·模拟预测）已知，若关于x的方程 的解为，关于x的方程 的解为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ．
5．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．

(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围．
04题型精研·考向洞悉
命题点一 二次函数的图像与性质
题型01 根据二次函数解析式判断其性质
1．（2023·辽宁沈阳·中考真题）二次函数图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023·四川甘孜·中考真题）下列关于二次函数的说法正确的是( )
A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与轴没有交点
C．当时，随增大而增大 D．图象的顶点坐标是
3．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
5．（2023·湖南·中考真题）已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型02 根据二次函数的图像与性质求解
1．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … 0 3 5 …
y … 0 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ）
A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线
2．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论：
①；
②方程有两个不相等的实数根；
③；
④；
⑤．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）．
4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）关于抛物线（是常数），下列结论正确的是 （填写所有正确结论的序号）．
①当时，抛物线的对称轴是轴；
②若此抛物线与轴只有一个公共点，则；
③若点，在抛物线上，则；
④无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于．
5．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
(1)求b的值；
(2)点在抛物线上，点在抛物线上．
（ⅰ）若，且，，求h的值；
（ⅱ）若，求h的最大值．
题型03 求二次函数解析式
1）已知抛物线上任意三点坐标，可设
2）已知抛物线上的顶点坐标（h，k），可设
3）已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可设
4）已知抛物线过点时，可设（纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，则抛物线的对称轴可表示为直线h=）
【注意事项】
1)二次函数的解析式求解，最后结果一般写成一般式或顶点式，不写成交点式；
2)任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即时，抛物线才可以用交点式表示，二次函数解析式的这三种形式可以互化.
1．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
2．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ．
3．（2023·浙江绍兴·中考真题）在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 ．

4．（2024·吉林长春·模拟预测）二次函数的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如表：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 0 …
有如下结论：
①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴是直线；③抛物线与y轴的交点坐标为；④由抛物线可知的解集是．其中正确的是 ．
5．（2024·四川成都·二模）已知二次函数图像与x轴相交于点，且，若二次函数经过点，则二次函数表达式为 ．
题型04 画二次函数的图像
1．（2023·江苏泰州·中考真题）阅读下面方框内的内容，并完成相应的任务．
小丽学习了方程、不等式、函数后提出如下问题：如何求不等式的解集？ 通过思考，小丽得到以下3种方法： 方法1 方程的两根为，，可得函数的图像与x轴的两个交点横坐标为、，画出函数图像，观察该图像在x轴下方的点，其横坐标的范围是不等式的解集． 方法2 不等式可变形为，问题转化为研究函数与的图像关系．画出函数图像，观察发现：两图像的交点横坐标也是、3；的图像在的图像下方的点，其横坐标的范围是该不等式的解集． 方法3 当时，不等式一定成立；当时，不等式变为；当时，不等式变为．问题转化为研究函数与的图像关系…
任务：
(1)不等式的解集为_____________；
(2)3种方法都运用了___________的数学思想方法（从下面选项中选1个序号即可）；
A.分类讨论 B.转化思想 C.特殊到一般 D.数形结合
(3)请你根据方法3的思路，画出函数图像的简图，并结合图像作出解答．
2．（2024·甘肃·模拟预测）已知抛物线与y轴的交点为A，且y与x的部分对应值如表：
x …… 0 1 2 5 ……
y …… 0 m 8 9 0 ……
(1)抛物线的对称轴为直线 ，点A的坐标为 ，并画出函数的图象；
(2)设点P为抛物线上的一个动点，连接，取的中点．猜想点构成的曲线是什么函数的图象，求此函数的解析式，并在网格中画出该函数的大致图象．
3．（2024·河南安阳·模拟预测）操作与探究：已知点P是抛物线上的一个动点．
(1)在如图的平面直角坐标系中画出函数的图象；
(2)仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题：
①当函数值时，自变量x的取值范围是 ；
②方程的根是 （结果保留一位小数）；
③当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ；
④当时，函数值，直接写出n的取值范围 ．
题型05 以开放性试题的形式考查二次函数的图像与性质
1．（2024·江苏无锡·模拟预测）某个函数同时满足两个条件：①图象过点、；②当时，随的增大而减小．这个函数表达式可以是 ．（只要写出一个符合愿意的答案即可）
2．（2023·上海·中考真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
3．（2023·江苏泰州·中考真题）二次函数的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是 （填一个值即可）
4．（2024·上海松江·二模）平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线的表达式可以是 ．（只需写出一个符合条件的表达式）
题型06 二次函数的平移变换问题
1．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“＞”或“＜”）；
2．（2023·西藏·中考真题）将抛物线通过平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是（ ）
A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
3．（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ．
4．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
5．（2024·贵州遵义·模拟预测）抛物线可以由抛物线平移得到，通常先求出的顶点坐标，再根据的顶点坐标，可发现其图象的平移过程．请根据你对函数图象平移的理解，完成下列问题．
【初步感知】
（1）将抛物线向_______平移_______个单位长度，再向_______平移_______个单位长度可得的图象；
【深入探究】
（2）将的图象平移，使得平移后的图象始终过点，且对任意的自变量的值，所对应的函数值都不大于10，则最多将的图象向右平移多少个单位长度？
【拓展提升】
（3）将的图象平移后得到的图象，且使得的图象与直线在轴上方只有一个交点，直接写出的取值范围．
题型07 二次函数的对称变换问题
1．（2023·四川自贡·中考真题）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知二次函数（为常数，且）的图象经过，，，四点，且点B在点A的右侧，则d的值不可能是（ ）
A． B． C．2 D．4
3．（2024·福建莆田·一模）坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点、皆在轴上，且有一水平线与两图像相交于、、、四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数的对称轴是直线，则的值为 ．
题型08 根据二次函数的对称性求参数取值范围
1．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则m的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．或
2．（2024·浙江·一模）已知点，，均在抛物线的图象上，且，点和也在此抛物线上，则下列说法正确的是（ ）
A．若恒成立，则 B．若恒成立，则
C．若恒成立，则 D．若恒成立，则
3．（2024·江苏无锡·二模）已知二次函数，点均在该二次函数的图象上，且，则k的取值范围为 ．
4．（2024·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两点（，不重合）．
(1)若，求的值；
(2)若点在抛物线上，且对于，都有，求的取值范围．
5．（2023·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为．
(1)当时，求的值；
(2)若，求a的取值范围及的取值范围．
题型09 二次函数的最值问题
1．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图像经过点，其对称轴在轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
3．（2023·辽宁大连·中考真题）已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．2
4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，，点分别为边上的动点，连接，，若，，则面积的最大值为 ．
题型10 根据二次函数的最值求参数/取值范围
1．（2024·湖北·模拟预测）已知关于的二次函数，当时，随的增大而减小．且当时，有最大值2．则的值为（ ）
A． B．1 C． 1 D．
2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数（为常数，且），当时，函数的最大值与最小值的差为9，则的值为（ ）
A．－6 B．4 C．或0 D．0或
3．（2023·吉林长春·模拟预测）已知二次函数，当时，函数的最大值为，则m的取值范围是 ．
4．（2024·云南昆明·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过坐标原点O和点，其中．
(1)当时，求y关于x的函数表达式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少
(2)当时，在范围内，y是否存在最大值10 若存在，求出相应的a和x的值；若不存在，请说明理由．
5．（2024温州市三模）已知二次函数（a为常数）．
(1)若，当时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
(2)若二次函数在时有最大值3，求a的值．
题型11 根据二次函数的增减性求参数的取值范围
1．（2023温州市一模）已知点、是二次函数图象上的两个点，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山东临沂·二模）已知点，、，是二次函数图象上的两个点，若当时，随的增大而减小，则的取值范围是 ．
3．（2023·安徽芜湖·三模）在平面直角坐标系中，将抛物线绕点旋转，当时，y随x的增大而减小，则k的范围是 ．
4．（2023·贵州铜仁·模拟预测）若实数使得关于的分式方程有正整数解，且使二次函数当时，随增大而增大，则满足以上所有条件的整数的和为 ．
题型12 根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围
1．（2024汕头市一模）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 10 5 2 1 2 …
则当时，x的取值范围是 ．
2．（2023·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知二次函数，顶点坐标是( )，当时，则函数的取值范围
3．（2023·湖南邵阳·二模）已知如右图，平面直角坐标系中，一条直线与抛物线相交于、两点，求当时的x的取值范围是 ．
4．（2023·广西梧州·二模）如下图，直线与抛物线相交于A，B两点，点B在y轴上，当时，x的取值范围是 ．

5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知二次函数（a是常数，且），
（1）若点在该函数的图象上，则a的值为 ；
（2）当时，若，则函数值y的取值范围是 ．
命题点二 二次函数的图像与各项系数之间的关系
题型01 二次函数的图像与各项系数符号
1．（2024·四川雅安·中考真题）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（ ）
①；②抛物线的顶点坐标为；
③；④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024·山东日照·中考真题）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中：
① ②（m为任意实数） ③
④若、是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
题型02 根据二次函数的图像判断式子符号
1）根据抛物线的开口方向判断a的正负性；
2）根据抛物线的对称轴判断b的正负性（左同右异中间0）.
3）根据抛物线与y轴的交点位置，判断c的正负性.
4）根据抛物线与x轴有无交点，判断的正负性.
5）根据抛物线的对称轴可得与±1的大小关系，可得2a±b的正负性.
6）特殊点代入确定a，b，c的关系.例：当x=±1时，；
7）根据抛物线的顶点，判断的大小.
1．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）．
2．（2024·山东青岛·中考真题）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024·四川·中考真题）二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．（2023·湖南娄底·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③（m为任意实数）；④若点和点在该图象上，则．其中正确的结论是（ ）

A．①② B．①④ C．②③ D．②④
题型03 函数图像综合
1．（2024·广东广州·中考真题）函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小．
A． B． C． D．
2．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖北襄阳·中考真题）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川自贡·模拟预测）二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
命题点三 二次函数与方程、不等式
题型01 已知一元二次方程根的分布情况求参数
1．（2023·四川南充·中考真题）抛物线与x轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是( )
A． B． 或
C． D．或
2．（2023·四川泸州·中考真题）已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围为（　　）
A． B．或
C．或 D．或
3．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线.
(1)当时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围.
5．（2023·江苏南京·中考真题）已知二次函数（a为常数，．
(1)若，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点．
(2)若，求证：当时，．
(3)若该函数的图象与轴有两个公共点，，且，则的取值范围是．
题型02 二次函数与坐标系交点问题
1．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是 ．
2．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与y轴的交点坐标是 ．
3．（2024·四川眉山·二模）若抛物线经过和两点，开口向上，且与轴有两个交点，则的取值范围是 ．
4．（2024·河南南阳·三模）已知抛物线
(1)当 时，求抛物线与x轴的交点坐标；
(2)已知点，，连接，若抛物线与线段只有一个公共点，求m的取值范围．
5．（2024·云南昆明·一模）已知抛物线
(1)求证：抛物线与x轴有两个不同的交点；
(2)当时，抛物线与x轴交于点A，B，求的长．
题型03 二次函数与方程、不等式
1．（2024·广东广州·模拟预测）如图，抛物线经过点和点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）设，下表列出了与的6对对应值：
根据表格能够发现一元二次方程的一个解的大致范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江温州·三模）二次函数的部分对应值如下表所示，则当时，x的取值范围为（ ）
x 3 4
y m 0 m
A． B． C．或 D．或
4．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知二次函数经过点和点，

(1)求该二次函数的解析式；
(2)如图，若一次函数经过B、C两点，直接写出不等式的解；
(3)点A为该二次函数与x轴的另一个交点，求的面积．
题型04 二次函数与三角形相结合的应用方法
解题方法：过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离a叫做△ABC的“水平宽”,中间的这条直线在△ABC内部的线段的长度h叫做△ABC的“铅垂高”，我们可得出一种计算三角形面积的新方法:，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
1．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点．
(1)求的值；
(2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标．
2．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、．
(1)求b、c的值；
(2)求的面积的最大值．
3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点C的坐标为，连接．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当的面积最大时，边上的高的值为______．

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