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第三章 函数
第09讲 函数与平面直角坐标系
（思维导图+3考点+3命题点13种题型（含3种解题技巧））
试卷第1页，共3页
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 函数
考点二 平面直角坐标系的相关概念
考点三 点的坐标的有关性质
04题型精研·考向洞悉
命题点一 函数
题型01 函数的相关概念辨析
题型02 求自变量的取值范围
题型03 函数图象的识别
题型04 从函数图象上获取信息
题型05 根据实际问题列函数解析式
题型06 动点问题的函数图象
命题点二 坐标系内点的坐标特征
题型01 根据坐标系内点的坐标特征求解
题型02 坐标与图形变化
题型03 点坐标规律的探索
题型04 求坐标系中的图形面积
题型05 与图形面积有关的存在性问题
命题点三 坐标方法的简单应用
题型01 实际问题中用坐标表示位置
题型02 用方向角和距离确定物体的位置
01考情透视·目标导航
中考考点 考查频率 新课标要求
函数自变量的取值范围 ★★ 探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义; 了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例； 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值； 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义; 结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论.
函数解析式的确定 ★
函数图象的判断 ★★★
函数图象的分析 ★★★
点的坐标特征 ★★ 理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系; 在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标; 在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系; 能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系；
点的坐标变换 ★★
坐标与图形 ★★
坐标方法的简答应用 ★ 在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置. 在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置.
【命题预测】该专题内容是初中代数最重要的部分，是代数的基础，非常重要，年年都会考查，分值为10分左右.预计2025年各地中考还将出现，在选择、填空题中出现的可能性较大．
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 函数
1.变量与常量
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量.
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量.
【补充】变量和常量是相对而言的，判断的前提是“在同一个变化过程中”.当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变.
2.函数
定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数.
【注意】对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个，如函数y=|x|，当x=±1时，y的值都是1.
3.函数值
函数值：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值.
4.函数的表示方法
表示法 定义 优点 缺点
列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律
解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数解析式，用函数解析式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用解析式表示出来
图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系
【注意】并不是所有的函数都可以用这三种方法表示出来.例如气温与时间的函数关系，只能用列表法和图像法表示，而不能用解析式法表示，
1．（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（ ）
A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩
B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息
C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间
D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家
2．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（ ）
A．5 B．7 C． D．
3．（2024·湖北·中考真题）铁的密度约为，铁的质量与体积成正比例．一个体积为的铁块，它的质量为 ．
4．（2024·山东东营·中考真题）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为 cm，
5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
6．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
张华离开家的时间 1 4 13 30
张华离家的距离
②填空：张华从文化广场返回家的速度为______；
③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式；
(2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
考点二 平面直角坐标系的相关概念
1.有序数对
定义：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）.
2.平面直角坐标系
平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直，并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系.
x轴、y轴：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右方向为正方向；
竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向.
原点：两坐标轴交点为平面直角坐标系原点.
坐标平面：坐标系所在的平面叫做坐标平面.
象限：x轴和y轴把坐标平面分成四部分，每个部分称为象限.按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限.
【补充】
1）两条坐标轴不属于任何一个象限.
2）平面直角坐标系具有实际意义时，一般在横轴、纵轴的字母附上单位
3.点的坐标
点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)，如图.
【易错点】
1）坐标平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，有序数对（a，b）和（b，a）表示的是不同点的坐标.
2）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，即坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.
1．（2024·甘肃·中考真题）敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为，那么有序数对记为对应的田地面积为（　　）
A．一亩八十步 B．一亩二十步 C．半亩七十八步 D．半亩八十四步
2．（2024·湖北宜昌·模拟预测）电影院中的第a排b号位，简记为，那么（ ）
A．表示排a号 B．表示第b排a号位
C．表示b排或a号 D．与不可能代表同一个位置
3．（2023·江苏连云港·中考真题）画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点的坐标分别表示为，则点的坐标可以表示为 ．

4．（2023·湖北黄冈·二模）将一组数，2，，，，…按下列方式进行排列：
，2，，；
，，，4；
……
若2的位置记为，的位置记为 ，则的位置记为 ．
考点三 点的坐标的有关性质
1.点的坐标特征
点M（x，y）所处的位置 坐标特征
象限内的点 点M在第一象限 M（正，正）
点M在第二象限 M（负，正）
点M在第三象限 M（负，负）
点M在第四象限 M（正，负）
坐标轴上的点 点M在x轴上 在x轴正半轴上 M（正，0）
在x轴负半轴上 M（负，0）
点M在y轴上 在y轴正半轴上 M（0，正）
在y轴负半轴上 M（0，负）
点M在原点 M（0，0）
象限角平分线上的点 点M在第一、三象限角平分线上 M（x，y）且x＝y
点M在第二、四象限角平分线上 M（x，y）且x＝-y
两点连线与坐标轴平行 MN∥x轴（或MN⊥y轴） M、N两点纵坐标相等且横坐标不相等
MN∥y轴（或MN⊥x轴） M、N两点横坐标相等且纵坐标不相等
2.点的坐标变化
对于平面直角坐标系上任意一点P(x，y)
变换方式 具体变换过程 变换后的坐标
平移变换 （a＞0，b＞0） 向左平移a个单位 （x-a，y）
向右平移a个单位 (x+a，y)
向上平移a个单位 (x，y+a)
向下平移a个单位 (x，y-a)
口诀：点的平移左减右加，上加下减.
变换方式 具体变换过程 变换后的坐标
对称变换 关于x轴对称 (x，-y)
关于y轴对称 (-x，y)
关于原点对称 (-x，-y)
口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变.
旋转变换 绕原点顺时针旋转90° （y，-x）
绕原点逆时针旋转90° （-y，x）
绕原点顺/逆时针旋转180° (-x，-y)
3.点到坐标轴的距离
在平面直角坐标系中，已知点P，则
1）点P到轴的距离为；
2）点P到轴的距离为；
3）点P到原点O的距离为P＝.
4、坐标系内点与点之间的距离
坐标系中有两点M与点N，则M，N两点之间的距离：
若AB∥x轴，则的距离为；
若AB∥y轴，则的距离为；
【易错易混】
1）原点既是x轴上的点，又是y轴上的点.
2）点的横坐标或纵坐标为0，说明点在y轴上或在x轴上.
3）已知点的坐标可以求出点到x轴、y轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值.
4）点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面：
①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；
②距离都是非负数，而坐标可以是负数.
5）因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小.
1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）点在第 象限．
3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ．
4．（2021·湖南湘潭·中考真题）在平面直角坐标系中，把点向右平移5个单位得到点，则点的坐标为 ．
5．（2021·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若轴，且，则点B的坐标是 ．
04题型精研·考向洞悉
命题点一 函数
题型01 函数的相关概念辨析
1．（2024·江苏泰州·一模）下列图像不能反映y是x的函数的是（ ）
A．B．C． D．
2．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）下列关于两个变量关系的四种表达式中，正确的是（ ）
①圆的周长C是半径r的函数；
②表达式中，y是x的函数；
③下表中，n是m的函数；
m 1 2 3
n 8 3 2
④图中，曲线表示y是x的函数．
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
3．（2022·广东·中考真题）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（ ）
A．2是变量 B．是变量 C．r是变量 D．C是常量
4．（2021·浙江嘉兴·中考真题）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米～80米为“中途期”（m/s）与路程之间的观测数据
（1）是关于的函数吗？为什么？
（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？
（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．
题型02 求自变量的取值范围
解题方法：
类型 举例 取值范围
整式型 全体实数
分式型 分母不能为零
二次根式型 开方式大于或等于零
负整数(零)指数幂型 底数不能为零
分式+根式型 开方式大于零 注意：分母不能为0
【补充】实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义，一般要大于0.
1．（2024·四川巴中·中考真题）函数自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ．
4．（2024·上海·模拟预测）函数的定义域为 ．
题型03 函数图象的识别
1．（2023·湖北·中考真题）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为（细实线）表示铁桶中水面高度，（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则随时间变化的函数图象大致为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·四川凉山·中考真题）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　）
A． B． C．D．
4．（2023·山东滨州·中考真题）由化学知识可知，用表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性．若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（　　）
A． B． C． D．
题型04 从函数图象上获取信息
根据图像读取信息时，要把握以下三个方面：
1）横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量；
2）关于图像上的某个点，可以过该点分别向横纵轴作垂线来求得该点的坐标；
3）在实际问题中，要注意图像与横、纵轴的交点代表的具体含义.
1．（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．( )
那么以下结论：
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为；
②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后；
④，两地之间的距离是．
其中正确的结论有：
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
2．（2024·青海·中考真题）化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高
B．未加入絮凝剂时，净水率为
C．絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等
D．加入絮凝剂的体积是时，净水率达到
3．（2024·河南·中考真题）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）
A．当时， B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
4．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)甲货车到达配货站之前的速度是　　　　，乙货车的速度是　　　　；
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式；
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．
5．（2023·湖南湘西·中考真题）如图（1）所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上食堂离小明家，图书馆离小明家．小明从家出发，匀速步行了去食堂吃早餐；吃完早餐后接着匀速步行了去图书馆读报；读完报以后接着匀速步行了回到家图（）反映了这个过程中，小明离家的距离与时间之间的对应关系．

请根据相关信息解答下列问题：
(1)填空：
①食堂离图书馆的距离为__________；
②小明从图书馆回家的平均速度是__________；
③小明读报所用的时间为__________．
④小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为__________．
(2)当时，请直接写出关于的函数解析式．
题型05 根据实际问题列函数解析式
1．（2024·甘肃·中考真题）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江·中考真题）有甲、乙两只大小不同的水箱，容量分别为升、升，且已各装有一些水，若将甲水箱中的水全倒入乙水箱，乙水箱只可再装升的水；若将乙水箱中的水倒入甲水箱，装满甲水箱后，乙水箱还剩升的水．则与之间的数量关系是 ．
3．（2024·江苏常州·中考真题）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为 ．
4．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了 千克糯米；设某人的付款金额为元，购买量为千克，则购买量关于付款金额的函数解析式为 ．
题型06 动点问题的函数图象
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·四川资阳·中考真题）如图，在平行四边形中，，厘米，厘米，点从点出发以每秒厘米的速度，沿在平行四边形的边上匀速运动至点．设点的运动时间为秒，的面积为平方厘米，下列图中表示与之间函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
命题点二 坐标系内点的坐标特征
题型01 根据坐标系内点的坐标特征求解
1．（2020·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2023·浙江衢州·中考真题）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为 ．

4．（2022·四川广安·中考真题）若点P（m+1，m）在第四象限，则点Q（﹣3，m+2）在第 象限．
5．（2023·山东日照·中考真题）若点在第四象限，则m的取值范围是 ．
6．（2023·山东淄博·中考真题）若实数，分别满足下列条件：
（1）；
（2）．
试判断点所在的象限．
题型02 坐标与图形变化
1．（2023·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ）

A． B． C． D．
2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是 ．
3．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．

4．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点坐标，连接，将绕点逆时针旋转，得到，则点的坐标为 ．
题型03 点坐标规律的探索
1．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
2．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是( )

A． B． C． D．
3．（2023·山东日照·中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数．记，如，即，即，即，以此类推．则下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．
4．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ．
5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点M的坐标为，是等边三角形，点B坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是 ．
5．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中A（﹣1，1）B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1），一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2021秒瓢虫在（ ）处．
A．（3，1） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（3，﹣2）
题型04 求坐标系中的图形面积
1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上．
(1)作出关于y轴对称的，并直接写出点的坐标；
(2)连接，，求四边形的面积．
2．（2024·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，．

(1)以点D为旋转中心，将旋转得到，画出；
(2)直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积；
(3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标．
3．（22-23八年级上·湖北鄂州·期中）三个顶点均在平面直角坐标系中网格的格点上，每一个小正方形的边长均为1．按下列要求画图（画图只能借助无刻度的直尺，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
(1)把沿直线翻折，画出翻折后的；
(2)找出格点并画出直线，使直线将分成面积相等的两部分；
(3)在轴上存在点，使的面积等于3，直接写出点的坐标．
题型05 与图形面积有关的存在性问题
1．（2022·江苏常州·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，现将线段先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段，其中点A对应点为C，点B对应点为D，连接，．
(1)请直接写出A，B两点的坐标；
(2)如图2，点M是线段上的一个动点，点N是线段的一个定点，连接，，当点M在线段上移动时（不与A，C重合），探究，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)在坐标轴上是否存在点P，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
2．（2024·宁夏银川·二模）如图，一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，已知，点B的纵坐标为3．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的一半，如果存在请直接写出点E的横坐标．
3．（2024银川外国语二模）如图，点，在反比例函数图象上，轴于点D，轴于点C，，连接．
(1)求出反比例函数的表达式及直线的函数表达式；
(2)在线段上是否存在一点E，使的面积等于10？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2023·河北石家庄·模拟预测）如图，在直角坐标系中，已知、、三点，其中a、b，c满足关系式．

(1)求a、b、c的值；
(2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积；
(3)在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由？
5．（22-23七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点且m，n满足，，

(1)直接写出m，n的值；
(2)求三角形的面积；
(3)若点P从点A出发在射线上运动（点P不与点A点B重合），
①过点P作射线轴，且点E在点P的右侧，请直接写出的数量关系_______；
②若点P的速度为每秒3个单位，在点P运动的同时，点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿x负半轴运动，连接是否存在某一时刻t，使的面积是的面积的2倍．若存在，请求出t值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
命题点三 坐标方法的简单应用
题型01 实际问题中用坐标表示位置
1．（2024·四川·中考真题）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为，则点C的位置可以表示为 ．
2．（2023·贵州·中考真题）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是，则龙洞堡机场的坐标是 ．

3．（2022·江苏泰州·中考真题）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为 .
4．（2024·山西朔州·模拟预测）我国水墨画发展有着悠远历史，相传始于唐代，成于五代，盛于宋元，明清及近代以来续有发展，重于意境优美，图为水墨画“早有蜻蜓立上头”，若将其放在平面直角坐标系中，点，，则点C坐标为 ．
5．（2024·吉林·二模）《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》是唐代大诗人李白的诗作，笑笑默写该诗如图所示．如果用表示“杨”字的位置，那么图中错别字的位置表示为 ．
4 杨 花 落 尽 子 规 啼 ，
3 闻 到 龙 标 过 五 溪 ．
2 我 寄 愁 心 与 明 月 ，
1 随 君 直 到 夜 郎 西 ．
1 2 3 4 5 6 7 8
题型02 用方向角和距离确定物体的位置
解题方法：在航海和地理测绘中，经常用方向角和距离来刻画平面内两个物体的相对位置
1）通常以北偏东(西)，或南偏东(西)来确定方向，用距离来确定两个物体相距的路程.
2）用方向角和距离表示平面内物体的位置时，和地图上的方向一致，按上北下南,，左西右东划分.
1．（2023·河北石家庄·二模）一艘海上搜救船在巡逻过程中发现点A处有一艘船发出求救信号，如图是搜救船上显示的雷达示意图，图上标注了以搜救船为中心的等距线（图中所示的同心圆，单位：海里）及角度，要让搜救船在第一时间抵达故障船所在的位置，应该将搜救船的航行方案调整为（　　）

A．向北偏西150°方向航行4海里 B．向南偏西120°方向航行3海里
C．向北偏西60°方向航行4海里 D．向东偏北150°方向航行3海里
2．（2022·河北石家庄·三模）某学校在某商城的南偏西方向上，且距离商城，则下列表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·河北·二模）如图，甲、乙二人同时从A地出发，甲沿北偏东50°方向行走200m后到达B地，然后立即向正东方向行走200m，二人恰好在C地相遇，若乙中途未改变方向，则乙的行走方向为（ ）
A．北偏东30° B．北偏东40° C．北偏东70° D．无法确定
4．（2020·河北·中考真题）如图，从笔直的公路旁一点出发，向西走到达；从出发向北走也到达．下列说法错误的是（ ）
A．从点向北偏西45°走到达
B．公路的走向是南偏西45°
C．公路的走向是北偏东45°
D．从点向北走后，再向西走到达第三章 函数
第09讲 函数与平面直角坐标系
（思维导图+3考点+3命题点13种题型（含3种解题技巧））
试卷第1页，共3页
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 函数
考点二 平面直角坐标系的相关概念
考点三 点的坐标的有关性质
04题型精研·考向洞悉
命题点一 函数
题型01 函数的相关概念辨析
题型02 求自变量的取值范围
题型03 函数图象的识别
题型04 从函数图象上获取信息
题型05 根据实际问题列函数解析式
题型06 动点问题的函数图象
命题点二 坐标系内点的坐标特征
题型01 根据坐标系内点的坐标特征求解
题型02 坐标与图形变化
题型03 点坐标规律的探索
题型04 求坐标系中的图形面积
题型05 与图形面积有关的存在性问题
命题点三 坐标方法的简单应用
题型01 实际问题中用坐标表示位置
题型02 用方向角和距离确定物体的位置
01考情透视·目标导航
中考考点 考查频率 新课标要求
函数自变量的取值范围 ★★ 探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义; 了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例； 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值； 能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义; 结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论.
函数解析式的确定 ★
函数图象的判断 ★★★
函数图象的分析 ★★★
点的坐标特征 ★★ 理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系; 在给定的平面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标; 在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系; 能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系；
点的坐标变换 ★★
坐标与图形 ★★
坐标方法的简答应用 ★ 在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置. 在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置.
【命题预测】该专题内容是初中代数最重要的部分，是代数的基础，非常重要，年年都会考查，分值为10分左右.预计2025年各地中考还将出现，在选择、填空题中出现的可能性较大．
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 函数
1.变量与常量
变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量.
常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量.
【补充】变量和常量是相对而言的，判断的前提是“在同一个变化过程中”.当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变.
2.函数
定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数.
【注意】对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个，如函数y=|x|，当x=±1时，y的值都是1.
3.函数值
函数值：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值.
4.函数的表示方法
表示法 定义 优点 缺点
列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，这种表示函数关系的方法叫做列表法 自变量和与它对应的函数值数据一目了然 列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律
解析法 两个变量之间的函数关系可以用等式来表示，这种表示两个变量之间函数关系的式子称为函数解析式，用函数解析式表示函数的方法叫做解析法 能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系 求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，有些函数不能用解析式表示出来
图像法 用图像来表示函数关系的方法叫做图像法 形象的把自变量和函数值的关系表示出来 图像中只能得到近似的数量关系
【注意】并不是所有的函数都可以用这三种方法表示出来.例如气温与时间的函数关系，只能用列表法和图像法表示，而不能用解析式法表示，
1．（2024·江苏徐州·中考真题）小明的速度与时间的函数关系如图所示，下列情境与之较为相符的是（ ）
A．小明坐在门口，然后跑去看邻居家的小狗，随后坐着逗小狗玩
B．小明攀岩至高处，然后顺着杆子滑下来，随后躺在沙地上休息
C．小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间
D．小明步行去朋友家，敲门发现朋友不在家，随后步行回家
【答案】C
【分析】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．
根据函数图象分析即可．
【详解】解：由图象可知速度先随时间的增大而增大，然后直接降为0，过段时间速度增大，然后匀速运动，
则小明跑去接电话，然后坐下来电话聊天，随后步行至另一个房间，符合题意．
故选：C．
2．（2024·四川广元·中考真题）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（ ）
A．5 B．7 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理，
由图象可知，面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解．
【详解】解：由图象可知，面积最大值为6
由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大，
∴，即，
由图象可知，当时，，此时点P运动到点B，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A
3．（2024·湖北·中考真题）铁的密度约为，铁的质量与体积成正比例．一个体积为的铁块，它的质量为 ．
【答案】79
【分析】本题考查了正比例函数的应用．根据铁的质量与体积成正比例，列式计算即可求解．
【详解】解：∵铁的质量与体积成正比例，
∴m关于V的函数解析式为，
当时，，
故答案为：79．
4．（2024·山东东营·中考真题）在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长12.5cm，当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长13.5cm．当所挂物体的质量为5kg时，弹簧的长度为 cm，
【答案】
【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式、由自变量求函数值的知识点，解答时求出函数的解析式是关键．设与的函数关系式为，由待定系数法求出解析式，并把代入解析式求出对应的值即可．
【详解】解：设与的函数关系式为，
由题意，得，
解得：，
故与之间的关系式为：，
当时，．
故答案为：．
5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可．
【详解】解：根据题意得，，且，
解得，，
故答案为：．
6．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
张华离开家的时间 1 4 13 30
张华离家的距离
②填空：张华从文化广场返回家的速度为______；
③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式；
(2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
【答案】(1)①；②0.075；③当时，；当时，；当时，
(2)
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）①根据图象作答即可；
②根据图象，由张华从文化广场返回家的距离除以时间求解即可；
③分段求解，，可得出，当时，；当时，设一次函数解析式为：，把，代入，用待定系数法求解即可.
（2）先求出张华爸爸的速度，设张华爸爸距家，则，当两人相遇时有，列一元一次方程求解即可进一步得出答案．
【详解】（1）解：①画社离家，张华从家出发，先匀速骑行了到画社，
∴张华的骑行速度为，
∴张华离家时，张华离家，
张华离家时，还在画社，故此时张华离家还是，
张华离家时，在文化广场，故此时张华离家还是．
故答案为：.
②,
故答案为：．
③当时，张华的匀速骑行速度为，
∴；
当时，；
当时，设一次函数解析式为：，
把，代入，可得出：
，
解得：，
∴，
综上：当时，，当时，，当时，．
（2）张华爸爸的速度为：，
设张华爸爸距家，则，
当两人从画社到文化广场的途中两人相遇时，有，
解得：，
∴，
故从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是．
考点二 平面直角坐标系的相关概念
1.有序数对
定义：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）.
2.平面直角坐标系
平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直，并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系.
x轴、y轴：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右方向为正方向；
竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向.
原点：两坐标轴交点为平面直角坐标系原点.
坐标平面：坐标系所在的平面叫做坐标平面.
象限：x轴和y轴把坐标平面分成四部分，每个部分称为象限.按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限.
【补充】
1）两条坐标轴不属于任何一个象限.
2）平面直角坐标系具有实际意义时，一般在横轴、纵轴的字母附上单位
3.点的坐标
点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)，如图.
【易错点】
1）坐标平面内点的坐标是有序实数对，当a≠b时，有序数对（a，b）和（b，a）表示的是不同点的坐标.
2）对于坐标平面内任意一点都有唯一的一对有序数对(x，y)和它对应,反过来对于任意一对有序数对，在坐标平面内都有唯一的一点与它对应，即坐标平面内的点与有序数对是一一对应的.
1．（2024·甘肃·中考真题）敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为，那么有序数对记为对应的田地面积为（　　）
A．一亩八十步 B．一亩二十步 C．半亩七十八步 D．半亩八十四步
【答案】D
【分析】根据可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，解答即可．
本题考查了坐标与位置的应用，熟练掌握坐标与位置的应用是解题的关键．
【详解】根据可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，
故对应的是半亩八十四步，
故选D．
2．（2024·湖北宜昌·模拟预测）电影院中的第a排b号位，简记为，那么（ ）
A．表示排a号
B．表示第b排a号位
C．表示b排或a号
D．与不可能代表同一个位置
【答案】B
【分析】本题考查了用有序数对表示位置，根据题意进行解答即可．
【详解】解：∵电影院中的第a排b号位，简记为，
∴表示第b排a号位，
故选：B．
3．（2023·江苏连云港·中考真题）画一条水平数轴，以原点为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为的射线，这样就建立了“圆”坐标系．如图，在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点的坐标分别表示为，则点的坐标可以表示为 ．

【答案】
【分析】根据题意，可得在第三个圆上，与正半轴的角度，进而即可求解．
【详解】解：根据图形可得在第三个圆上，与正半轴的角度，
∴点的坐标可以表示为
故答案为：．
【点睛】本题考查了有序实数对表示位置，数形结合，理解题意是解题的关键．
4．（2023·湖北黄冈·二模）将一组数，2，，，，…按下列方式进行排列：
，2，，；
，，，4；
……
若2的位置记为，的位置记为 ，则的位置记为 ．
【答案】
【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可．
【详解】解：数字可以化成：
，，，；
，，，；
……
∴规律为：被开方数为从2开始的偶数，每一行4个数，
∵，是第个偶数，而
∴的位置记为
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的规律问题，熟练掌握二次根式的运算法则是关键．
考点三 点的坐标的有关性质
1.点的坐标特征
点M（x，y）所处的位置 坐标特征
象限内的点 点M在第一象限 M（正，正）
点M在第二象限 M（负，正）
点M在第三象限 M（负，负）
点M在第四象限 M（正，负）
坐标轴上的点 点M在x轴上 在x轴正半轴上 M（正，0）
在x轴负半轴上 M（负，0）
点M在y轴上 在y轴正半轴上 M（0，正）
在y轴负半轴上 M（0，负）
点M在原点 M（0，0）
象限角平分线上的点 点M在第一、三象限角平分线上 M（x，y）且x＝y
点M在第二、四象限角平分线上 M（x，y）且x＝-y
两点连线与坐标轴平行 MN∥x轴（或MN⊥y轴） M、N两点纵坐标相等且横坐标不相等
MN∥y轴（或MN⊥x轴） M、N两点横坐标相等且纵坐标不相等
2.点的坐标变化
对于平面直角坐标系上任意一点P(x，y)
变换方式 具体变换过程 变换后的坐标
平移变换 （a＞0，b＞0） 向左平移a个单位 （x-a，y）
向右平移a个单位 (x+a，y)
向上平移a个单位 (x，y+a)
向下平移a个单位 (x，y-a)
口诀：点的平移左减右加，上加下减.
变换方式 具体变换过程 变换后的坐标
对称变换 关于x轴对称 (x，-y)
关于y轴对称 (-x，y)
关于原点对称 (-x，-y)
口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变.
旋转变换 绕原点顺时针旋转90° （y，-x）
绕原点逆时针旋转90° （-y，x）
绕原点顺/逆时针旋转180° (-x，-y)
3.点到坐标轴的距离
在平面直角坐标系中，已知点P，则
1）点P到轴的距离为；
2）点P到轴的距离为；
3）点P到原点O的距离为P＝.
4、坐标系内点与点之间的距离
坐标系中有两点M与点N，则M，N两点之间的距离：
若AB∥x轴，则的距离为；
若AB∥y轴，则的距离为；
【易错易混】
1）原点既是x轴上的点，又是y轴上的点.
2）点的横坐标或纵坐标为0，说明点在y轴上或在x轴上.
3）已知点的坐标可以求出点到x轴、y轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值.
4）点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两方面：
①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；
②距离都是非负数，而坐标可以是负数.
5）因为横轴向右为正，所以点向右平移时横坐标变大，向左平移时横坐标变小，同理向上平移时纵坐标变大，向下平移纵坐标变小.
1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为（ ）
A．14 B．11 C．10 D．9
【答案】D
【分析】本题考查了坐标与图形，过A作于M，过B作于N，根据A、B、C的坐标可求出，，，，，然后根据求解即可．
【详解】解∶过A作于M，过B作于N，
∵，，，，
∴，，，，
∴，，
∴四边形的面积为
，
故选：D．
2．（2024·江苏宿迁·中考真题）点在第 象限．
【答案】四
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：点的横坐标，纵坐标，
点在第四象限．
故答案为：四．
3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知，，，，，，，…，依此规律，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，据此可求得的坐标．
【详解】解：∵，，，，，，，…，，
∴可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，
∵，
∴的坐标为．
∴的坐标为
故答案为：．
4．（2021·湖南湘潭·中考真题）在平面直角坐标系中，把点向右平移5个单位得到点，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】把点向右平移5个单位，纵坐标不变，横坐标增加5，据此解题．
【详解】解：把点向右平移5个单位得到点，则点的坐标为，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查平面直角坐标系与点的坐标，涉及平移等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．（2021·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，若轴，且，则点B的坐标是 ．
【答案】或
【分析】由题意，设点B的坐标为(-2，y)，则由AB=9可得，解方程即可求得y的值，从而可得点B的坐标．
【详解】∵轴
∴设点B的坐标为(-2，y)
∵AB=9
∴
解得：y=8或y=－10
∴点B的坐标为或
故答案为：或
【点睛】本题考查了平面直角坐标系求点的坐标，解含绝对值方程，关键是抓住平行于坐标轴的线段长度只与两点的横坐标或纵坐标有关，易错点则是考虑不周，忽略其中一种情况．
04题型精研·考向洞悉
命题点一 函数
题型01 函数的相关概念辨析
1．（2024·江苏泰州·一模）下列图像不能反映y是x的函数的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】此题考查函数的概念和图象，关键是根据当x取一值时，y有唯一与它对应的值判断．
根据函数的概念解答即可．
【详解】解：A、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意；
B、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意；
C、当x取一值时，y有两个值与其对应，y不是x的函数，故本选项符合题意；
D、当x取一值时，y有唯一与它对应的值，y是x的函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）下列关于两个变量关系的四种表达式中，正确的是（ ）
①圆的周长C是半径r的函数；
②表达式中，y是x的函数；
③下表中，n是m的函数；
m 1 2 3
n 8 3 2
④图中，曲线表示y是x的函数．
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题主要考查了函数的概念，对于函数概念需要理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．根据函数的定义分别判断即可．
【详解】解：①∵，∴圆的周长是半径的函数，正确；
②表达式中，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，正确；
③是的函数，正确；
④如图中，对于的每一个取值，有不唯一确定的值与之对应，不是的函数．
故选：C．
3．（2022·广东·中考真题）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（ ）
A．2是变量 B．是变量 C．r是变量 D．C是常量
【答案】C
【分析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可．
【详解】解：2与π为常量，C与r为变量，
故选：C．
【点睛】本题考查变量与常量的概念，能够熟练掌握变量与常量的概念为解决本题的关键．
4．（2021·浙江嘉兴·中考真题）根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”，前30米称为“加速期”，30米～80米为“中途期”（m/s）与路程之间的观测数据
（1）是关于的函数吗？为什么？
（2）“加速期”结束时，小斌的速度为多少？
（3）根据如图提供的信息，给小斌提一条训练建议．
【答案】（1）是的函数，理由见解析；（2）“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s；（3）答案不唯一．例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩．
【分析】（1）根据函数的概念进行解答；
（2）通过识图读取相关信息；
（3）根据图像信息进行解答．
【详解】解：（1）是的函数．
在这个变化过程中，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应．
（2）“加速期”结束时，小斌的速度为10.4m/s．
（3）答案不唯一．例如：根据图象信息，小斌在80米左右时速度下降明显，建议增加耐力训练，提高成绩．
【点睛】本题考查通过函数图像读取信息，理解函数的概念，准确识图是解题关键．
题型02 求自变量的取值范围
解题方法：
类型 举例 取值范围
整式型 全体实数
分式型 分母不能为零
二次根式型 开方式大于或等于零
负整数(零)指数幂型 底数不能为零
分式+根式型 开方式大于零 注意：分母不能为0
【补充】实际问题中函数取值范围要和实际情况相符合，使之有意义，一般要大于0.
1．（2024·四川巴中·中考真题）函数自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围、二次根式的定义，熟练掌握二次根式的有意义的条件是解题关键．根据二次根式的有意义的条件建立不等式求解即可解题．
【详解】解：由题知，，
解得，
故答案为：C．
2．（2023·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．
【答案】C
【分析】本题考查了自变量的取值范围，根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，列式解答即可．
【详解】解：由题意可得且，
解得：且，
故选：C．
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，，
解得且，
故答案为：且．
4．（2024·上海·模拟预测）函数的定义域为 ．
【答案】且
【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据，二次根式有意义以及分式有意义的条件，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，解得：且；
故答案为：且．
题型03 函数图象的识别
1．（2023·湖北·中考真题）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为（细实线）表示铁桶中水面高度，（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则随时间变化的函数图象大致为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案．
【详解】解：根据图象知，时，铁桶注满了水，，是一条斜线段，，是一条水平线段，
当时，长方体水池开始注入水；当时，长方体水池中的水没过铁桶，水池中水面高度比之开始变得平缓；当时，长方体水池满了水，
∴开始是一段陡线段，后变缓，最后是一条水平线段，
观察函数图象，选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
2．（2024·四川凉山·中考真题）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数图象，根据容器最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大即可判断求解，正确识图是解题的关键．
【详解】解：由容器可知，最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大，所以一开始水面高度上升的很快，然后很慢，最后又上升的更快点，
故选：．
3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）下图是底部放有一个实心铁球的长方体水槽轴截面示意图，现向水槽匀速注水，下列图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（　　）

A． B． C．D．
【答案】D
【分析】根据蓄水池的横断面示意图，可知水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，进而求解即可．
【详解】解：由蓄水池的横断面示意图可得，
水的深度增长的速度由慢到快，然后再由快到慢，最后不变，
故选：D．
【点睛】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
4．（2023·山东滨州·中考真题）由化学知识可知，用表示溶液酸碱性的强弱程度，当时溶液呈碱性，当时溶液呈酸性．若将给定的溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映溶液的与所加水的体积之间对应关系的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，溶液呈碱性，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7，据此即可求解．
【详解】解：∵溶液呈碱性，则，随着加入水的体积的增加，溶液的浓度越来越低，的值则接近7，
故选：B．
【点睛】本题考查了函数的图象，数形结合是解题的关键．
题型04 从函数图象上获取信息
根据图像读取信息时，要把握以下三个方面：
1）横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量；
2）关于图像上的某个点，可以过该点分别向横纵轴作垂线来求得该点的坐标；
3）在实际问题中，要注意图像与横、纵轴的交点代表的具体含义.
1．（2024·山东淄博·中考真题）某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼．两人都从地匀速出发，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，驻足交流后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发，跑步到达地后立刻以原速返回，在返回途中与甲第二次相遇．下图表示甲、乙两人之间的距离与甲出发的时间之间的函数关系．( )
那么以下结论：
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为；
②甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后；
④，两地之间的距离是．
其中正确的结论有：
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】本题考查了函数图象以及二元一次方程组的应用；①由乙比甲晚出发及当时第一次为，可得出乙出发时两人第一次相遇，进而可得出结论①正确；②观察函数图象，可得出当时，取得最大值，最大值为，进而可得出结论②正确；③设甲的速度为 ，乙的速度为，利用路程速度时间，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的之，将其代入中，可得出甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，进而可得出结论③错误；④利用路程速度时间，即可求出，两地之间的距离是．
【详解】解：①乙比甲晚出发，且当时，，
乙出发时，两人第一次相遇，
既甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为，结论①正确；
②观察函数图象，可知：当时，取得最大值，最大值为，
甲出发时，甲、乙两人之间的距离达到最大值，结论②正确；
③设甲的速度为，乙的速度为，
根据题意得：，
解得：，
∴，
甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后，结论③错误；
④，
，两地之间的距离是，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①②④．
故选：B．
2．（2024·青海·中考真题）化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高
B．未加入絮凝剂时，净水率为
C．絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等
D．加入絮凝剂的体积是时，净水率达到
【答案】D
【分析】本题考查从图像上获取信息，能从图像上获得信息是解题的关键，根据图像信息对选项进行判断即可
【详解】A、从图像上可以看到，加入絮凝剂的体积在达到最大净水率，之后净水率开始降低，不符合题意，选项错误；
B、未加入絮凝剂时，净水率为，故不符合题意，选项错误；
C、当絮凝剂的体积为时，净水率增加量为，絮凝剂的体积为时，净水率增加量为；故絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量不相等，不符合题意，选项错误；
D、根据图像可得，加入絮凝剂的体积是时，净水率达到，符合题意，选项正确；
故选：D
3．（2024·河南·中考真题）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）
A．当时， B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
【答案】C
【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可．
【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意；
根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意；
根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意；
根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意；
故选：C．
4．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地．如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
(1)甲货车到达配货站之前的速度是　　　　，乙货车的速度是　　　　；
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式；
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．
【答案】(1)30，40
(2)的函数解析式是
(3)经过1.5h或或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等
【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数图象表示的意义是解题关键．
（1）由图象可知甲货车到达配货站路程为，所用时间为，乙货车到达配货站路程为，到达后返回，所用时间为，根据速度=距离÷时间即可得；
（2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象结合已知条件可知和点，再利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案；
（3）分两车到达配货站之前和乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地后、甲货车卸货，半小时后继续驶往B地，三种情况与配货站的距离相等，分别列方程求出x的值即可得答案．
【详解】（1）解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km，所用时间为3.5h，所以甲货车到达配货站之前的速度是（）
∴乙货车到达配货站路程为，到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，总路程为240km，总时间是6h，
∴乙货车速度，
故答案为：30；40
（2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象可知和点
设
∴
解得：，
∴甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式
（3）设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等，
①两车到达配货站之前：，
解得：,
②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：，
解得：，
③甲货车在配货站卸货后驶往B地时：，
解得：，
答：经过或或甲、乙两货车与配货站的距离相等．
5．（2023·湖南湘西·中考真题）如图（1）所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上食堂离小明家，图书馆离小明家．小明从家出发，匀速步行了去食堂吃早餐；吃完早餐后接着匀速步行了去图书馆读报；读完报以后接着匀速步行了回到家图（）反映了这个过程中，小明离家的距离与时间之间的对应关系．

请根据相关信息解答下列问题：
(1)填空：
①食堂离图书馆的距离为__________；
②小明从图书馆回家的平均速度是__________；
③小明读报所用的时间为__________．
④小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为__________．
(2)当时，请直接写出关于的函数解析式．
【答案】(1)①；②；③；④或．
(2)
【分析】（1）①由图象中的数据，可以直接写出食堂离小明家的距离和小明从家到食堂用的时间；②根据图象中的数据，用路程除以时间即可得解；③用减去即可得解；④设小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为，分小明去时和小明返回时两种情况构造一元一次方程求解即可；
（2）根据图象中的数据，利用待定系数法分别求出当、和时三段对应的函数解析式即可．
【详解】（1）解：①，
∴小食堂离图书馆的距离为，
故答案为∶；
②根据题意，
∴小明从图书馆回家的平均速度是，
故答案为：；
③，
故答案为：；
④设小明离开家的距离为时，小明离开家的时间为，
当去时，小明离开家的距离为时，
∵，
∴小明到食堂时，小明离开家的距离为不足，
由题意得，
解得，
当返回时，离家的距离为时，根据题意，得，
解得；
故答案为：或．
（2）解：设时，
∵过，
∴，
解得，
∴时 ，
由图可知，当时，
设时，，
∵过，，
∴，
解得，
∴，
综上所述，当时，关于的函数解析式为．
【点睛】本题考查函数的图象、一元一次方程的应用以及待定系数法求一次函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
题型05 根据实际问题列函数解析式
1．（2024·甘肃·中考真题）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽列出对应的函数关系式即可．
【详解】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，
∴，
故选：B．
2．（2024·浙江·中考真题）有甲、乙两只大小不同的水箱，容量分别为升、升，且已各装有一些水，若将甲水箱中的水全倒入乙水箱，乙水箱只可再装升的水；若将乙水箱中的水倒入甲水箱，装满甲水箱后，乙水箱还剩升的水．则与之间的数量关系是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了列函数关系式，设甲、乙两个水桶中已各装了公升水，根据题意可得，，然后即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：设甲、乙两个水桶中已各装了公升水，
由甲中的水全倒入乙后，乙只可再装公升的水得：；
由乙中的水倒入甲，装满甲水桶后，乙还剩公升的水得：；
得：，
∴，
故答案为：．
3．（2024·江苏常州·中考真题）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】本题考查列函数解析式，根据三角形的周长等于三边之和，等腰三角形的两腰相等，列出函数关系式，即可．
【详解】解：由题意，得：；
故答案为：．
4．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了 千克糯米；设某人的付款金额为元，购买量为千克，则购买量关于付款金额的函数解析式为 ．
【答案】 3 /
【分析】根据题意列出一元一次方程，函数解析式即可求解．
【详解】解：，
超过2千克，
设购买了千克，则，
解得，
设某人的付款金额为元，购买量为千克，则购买量关于付款金额的函数解析式为：
，
∴
故答案为：3，．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列函数解析式，根据题意列出方程或函数关系式是解题的关键．
题型06 动点问题的函数图象
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当与重合时，及当时图象的走势，和当时图象的走势即可得到答案．
【详解】解：当与重合时，设，由题可得：
∴，，
在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴当时，，
∵，
∴图象为开口向上的抛物线的一部分，
当在下方时，设，由题可得：
∴，，
∵，,
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∵，
∴图象为开口向下的抛物线的一部分，
综上所述：A正确，
故选：A．
3．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键．
根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解．
【详解】解：由图象得：，当时，，此时点P在边上，
设此时，则，，
在中，，
即：，
解得：，
，
故选：B．
4．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解．
【详解】解：如图所示，设交于点，
∵菱形，，
∴
又∵，
∴是等边三角形，
∵，，
∴
∴
∴
当时，重合部分为，
如图所示，
依题意，为等边三角形，
运动时间为，则，
∴
当时，如图所示，
依题意，，则
∴
∴
∵
∴当时，
当时，同理可得，
当时，同理可得，
综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为一条线段，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线；
故选：D．
5．（2023·四川资阳·中考真题）如图，在平行四边形中，，厘米，厘米，点从点出发以每秒厘米的速度，沿在平行四边形的边上匀速运动至点．设点的运动时间为秒，的面积为平方厘米，下列图中表示与之间函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题,涉及平行四边形性质、三角形外角性质、三角形面积公式等知识．由平行四边形性质得到厘米，点速度为每秒厘米，则点在上时，时间满足的取值范围为，观察符合题意的、、的图象，即点在处时，的面积各不相同，求得此时的面积，即可找到正确选项．判断出点运动到点时的时间及此时的面积是解决本题的关键．
【详解】解：四边形是平行四边形，厘米，
厘米，
点从点出发以每秒厘米的速度，
点走完所用的时间为：秒，
当点在上时，；故排除；
当时，点在点处，过点作于点，如图所示：
，
，
，
厘米，
厘米，
厘米，
平方厘米，
故选：B．
命题点二 坐标系内点的坐标特征
题型01 根据坐标系内点的坐标特征求解
1．（2020·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系的第二象限内有一点P，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设点坐标为，根据第二象限点的横纵坐标的符号，求解即可．
【详解】解：设点坐标为，
∵点在第二象限内，
∴，，
∵点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，
∴，，
∴，，
即点坐标为，
故选：D
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
2．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题主要考查同类项和确定点的坐标，根据同类项的性质求出的值，再确定点的位置即可
【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式，
∴单项式与单项式是同类项，
∴，
解得，，
∴点在第四象限，
故选：D
3．（2023·浙江衢州·中考真题）在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为 ．

【答案】作图见解析，
【分析】根据点A、B的坐标可确定原点的位置，再作平面直角坐标系即可，从而可确定点C的坐标．
【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示：

∴点C的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查平面直角坐标系、在坐标系中确定点的坐标，根据点A、B的坐标确定原点的位置是解题的关键．
4．（2022·四川广安·中考真题）若点P（m+1，m）在第四象限，则点Q（﹣3，m+2）在第 象限．
【答案】二
【分析】根据点P（m+1，m）在第四象限，可得到，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵点P（m+1，m）在第四象限，
∴，解得：，
∴，
∴点Q（﹣3，m+2）在第二象限．
故答案为：二
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，熟练掌握四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）是解题的关键．
5．（2023·山东日照·中考真题）若点在第四象限，则m的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】根据第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负进行求解即可。
【详解】解：∵点在第四象限，
∴，
解得，
故答案为：。
【点睛】本题主要考查了根据点所在的象限求参数，解一元一次不等式组，熟知第四象限内点的符号特点是解题的关键。
6．（2023·山东淄博·中考真题）若实数，分别满足下列条件：
（1）；
（2）．
试判断点所在的象限．
【答案】点在第一象限或点在第二象限
【分析】运用直接开平方法解一元二次方程即可；解不等式求出解题，在分情况确定，的符号确定点所在象限解题即可．
【详解】解：
或
，；
，
解得：；
∴当，时，，，点在第一象限；
当，时，，，点在第二象限；
【点睛】本题考查点在平面直角系的坐标特征，解不等式，平方根的意义，利用不等式的性质判断点的坐标特征是解题的关键．
题型02 坐标与图形变化
1．（2023·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点作，由题意可得：，，再利用含30度直角三角形的性质，求解即可．
【详解】解：过点作，如下图：

则
由题意可得：，，
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标为，
故选：B
【点睛】此题考查了旋转的性质，坐标与图形，含30度直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握相关基础性质．
2．（2024·山东淄博·中考真题）如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减．根据平移的性质，结合已知点，的坐标，知点的横坐标加上了1，纵坐标加1，则的坐标的变化规律与点相同，即可得到答案．
【详解】解：平移后对应点C的坐标为，
点的横坐标加上了4，纵坐标加1，
，
点坐标为，
即，
故答案为：．
3．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．

【答案】
【分析】根据折叠的性质得出，在中，勾股定理求得，进而得出，在中，勾股定理建立方程，求得的长，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵折叠，
∴，
在中，
∴，
∴设，则，
∵折叠，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
4．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点坐标，连接，将绕点逆时针旋转，得到，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】过点作轴于点A，过点作轴于点C，易证，即得出，，即．
【详解】解：如图，过点作轴于点A，过点作轴于点C，
∵将绕点逆时针旋转，得到，
∴，，
∴．　
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与图形，三角形全等的判定和性质．正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
题型03 点坐标规律的探索
1．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键．
先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照的反向运动理解去分类讨论：①先向右1个单位，不符合题意；②先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为．
【详解】解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况：
①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立；
②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为，
故选：D．
2．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是( )

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出在第三象限，与，，，…符合同一规律，探究出，，，...的规律即可．
【详解】解：由图得，，…
点C的位置每4个一循环，
，
∴在第三象限，与，，，…
符合规律，
∴坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键．
3．（2023·山东日照·中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到．人们借助于这样的方法，得到（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点，其中，且是整数．记，如，即，即，即，以此类推．则下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用图形寻找规律，再利用规律解题即可．
【详解】解：第1圈有1个点，即，这时；
第2圈有8个点，即到；
第3圈有16个点，即到，；
依次类推，第n圈，；
由规律可知：是在第23圈上，且，则即，故A选项不正确；
是在第23圈上，且，即，故B选项正确；
第n圈，，所以，故C、D选项不正确；
故选B．
【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．
4．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ．
【答案】
【分析】直线直线可知，点坐标为，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的序号之间的规律是解题的关键．
【详解】解：∵直线l：与x轴负半轴交于点，
∴点坐标为，
∴，
过，，作轴交x轴于点M，轴交于点D，交x轴于点N，

∵为等边三角形，
∴
∴，
∴
∴，
当时，，解得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，解得：，
∴；
而，
同理可得：的横坐标为，
∴点的横坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键.
5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点M的坐标为，是等边三角形，点B坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动方式，依次求出点A的对应点，，，的坐标，发现规律即可解决问题．
【详解】解：正方形顶点M的坐标为，
,
是等边三角形，点B坐标是，
等边三角形高为，
由题知，
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
继续滚动有，的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；不断循环，循环规律为以，，，，12个为一组，
，
的坐标与的坐标一样为，
故答案为：．
5．（2021·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中A（﹣1，1）B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1），一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2021秒瓢虫在（ ）处．
A．（3，1） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（3，﹣2）
【答案】A
【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出第2021秒是爬了第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
【详解】 A（﹣1，1）B（﹣1，﹣2），C（3，﹣2），D（3，1）
四边形ABCD是矩形
瓢虫转一周，需要的时间是 秒
，
按A→B→C→D→A顺序循环爬行，第2021秒相当于从A点出发爬了5秒，路程是：个单位，10=3+4+3，所以在D点 ．
故答案为：A
【点睛】本题考查了点的变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2021秒瓢虫爬完了多少个整圈的矩形，不成一圈的路程在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
题型04 求坐标系中的图形面积
1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上．
(1)作出关于y轴对称的，并直接写出点的坐标；
(2)连接，，求四边形的面积．
【答案】(1)图见解析，
(2)12
【分析】此题考查轴对称的作图、点的坐标、利用网格面积等知识．
（1）找到关于y轴的对称点，顺次连接得到，再写出点的坐标即可；
（2）利用梯形面积公式计算即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．则点的坐标为．
（2）解：四边形的面积
2．（2024·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，．

(1)以点D为旋转中心，将旋转得到，画出；
(2)直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积；
(3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标．
【答案】(1)见详解
(2)40
(3)(答案不唯一)
【分析】本题主要考查了画旋转图形，平行四边形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质等知识，结合网格解题是解题的关键．
（1）将点A，B，C分别绕点D旋转得到对应点，即可得出．
（2）连接，，证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质以及网格求出面积即可．
（3）根据网格信息可得出，，即可得出是等腰三角形，根据三线合一的性质即可求出点E的坐标．
【详解】（1）解：如下图所示：

（2）连接，，
∵点B与，点C与分别关于点D成中心对称，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（3）∵根据网格信息可得出，，
∴是等腰三角形，
∴也是线段的垂直平分线，
∵B，C的坐标分别为，，
∴点，
即．（答案不唯一）
3．（22-23八年级上·湖北鄂州·期中）三个顶点均在平面直角坐标系中网格的格点上，每一个小正方形的边长均为1．按下列要求画图（画图只能借助无刻度的直尺，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
(1)把沿直线翻折，画出翻折后的；
(2)找出格点并画出直线，使直线将分成面积相等的两部分；
(3)在轴上存在点，使的面积等于3，直接写出点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）找到点关于的对称点，连接、即可；
（2）过点作的平行线，取，作直线，由全等三角形的性质可知直线经过中点，将分成面积相等的两部分；
（3）设交轴于点，点为轴上一点，则有，根据面积公式计算可得，结合点坐标确定点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图，找到点关于的对称点，连接、即可；
（2）如图，过点作的平行线，取，作直线，则直线将分成面积相等的两部分；
（3）如图，设交轴于点，由图可知点，
设点到轴的距离为，点到轴的距离为，由图可知，，
则
∵的面积等于3，即，
解得，
∴点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、基本作图、轴对称、三角形面积等知识，熟练掌握基本作图方法及相关知识是解题关键．
题型05 与图形面积有关的存在性问题
1．（2022·江苏常州·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，现将线段先向上平移4个单位长度，再向右平移6个单位长度得到线段，其中点A对应点为C，点B对应点为D，连接，．
(1)请直接写出A，B两点的坐标；
(2)如图2，点M是线段上的一个动点，点N是线段的一个定点，连接，，当点M在线段上移动时（不与A，C重合），探究，，之间的数量关系，并说明理由；
(3)在坐标轴上是否存在点P，使三角形的面积与三角形的面积相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)，；
(2)，理由见解析
(3)存在点P，使三角形PBC的面积与三角形的面积相等，点P的坐标为或或或．
【分析】（）根据非负数的性质求出，，即可求出答案；
（）过点作直线，则，再判断出，即可得出结论；
（）先求出的面积，再分点在轴和轴上两种情况，根据三角形面积公式建立方程求解，即可得出答案．
【详解】（1）∵，
∴，，
∴，，
∴，；
（2），
理由：如图，过点作直线，
，
线段由线段平移得到，
，
，
，
，
，
，
∴；
（3）如图，依题意可得，，，，
，，，
，
当点在轴上时，设点，
则，
，
，
或；
②当点在轴上时，设点，
则，
，
，
或，
综上所述，存在点，使三角形的面积与三角形的面积相等，点的坐标为或或或．
【点睛】此题考查了非负数的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，坐标两点的距离公式，坐标平移的特征，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
2．（2024·宁夏银川·二模）如图，一次函数的图象与y轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象交于A，B两点，已知，点B的纵坐标为3．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在x轴上是否存在一点E，使得的面积是面积的一半，如果存在请直接写出点E的横坐标．
【答案】(1)反比例函数的表达式为：y＝
(2)
(3)存在，点E的横坐标或
【分析】（1）由，得，再将代入，得，可得出点B的坐标，代入即可得出反比例函数解析式；
（2）求出点A的坐标，再由即可求出的面积；
（3）先求出点D坐标，再算出面积，设点，根据列出方程，求出点E坐标即可．
【详解】（1）∵点C在y轴正半轴，，即，
把代入表达式，
∴，
∴一次函数解析式为．
将代入，得，
∴．
将点代入，得，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
（2）将代入，得，
∴点D的坐标是，
∴．
将代入，得，
解得，．
当时，，
∴点A的坐标是，
∵点B的纵坐标为3，
∴．
（3）在直线中，当时，，
∴
根据题意可知，
设点，
，
解得或，
∴点E的横坐标或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，数形结合是解答本题的关键．
3．（2024银川外国语二模）如图，点，在反比例函数图象上，轴于点D，轴于点C，，连接．
(1)求出反比例函数的表达式及直线的函数表达式；
(2)在线段上是否存在一点E，使的面积等于10？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)存在，点E的坐标为
【分析】（1）由题意可求出，设反比例函数的表达式为，将，代入，即可求出m和k的值，即得出反比例函数的表达式和点A、点B的坐标；再利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）设，则根据，结合三角形面积公式和梯形面积公式，可列出关于 t的方程，求出t的值即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴．
设反比例函数的表达式为，
∴，解得：，
∴反比例函数的表达式为，，．
设直线的函数表达式为，
∴，解得：，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：设，
∵，，
∴，，，，
∴，，．
∵，且，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查坐标与图形，求一次函数和反比例函数解析式，割补法求面积等知识．正确求出反比例函数解析式是解题关键．
4．（2023·河北石家庄·模拟预测）如图，在直角坐标系中，已知、、三点，其中a、b，c满足关系式．

(1)求a、b、c的值；
(2)如果在第二象限内有一点，请用含m的式子表示四边形的面积；
(3)在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形的面积与的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由？
【答案】(1)，，
(2)
(3)存在点使
【分析】（1）用非负数的性质求解；
（2）把四边形的面积看成两个三角形面积和，用来表示；
（3）先求出的面积，根据题意，列出方程即可解决问题．
【详解】（1）解：，
，，，
，，；
（2）解：，
，
，
即；
（3）解：，
，
则，
存在点使．
【点睛】本题考查了四边形综合题，属于掌握非负数的性质，三角形及四边形面积的求法，解决本题的关键是根据非负数的性质求出，，．
5．（22-23七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点且m，n满足，，

(1)直接写出m，n的值；
(2)求三角形的面积；
(3)若点P从点A出发在射线上运动（点P不与点A点B重合），
①过点P作射线轴，且点E在点P的右侧，请直接写出的数量关系_______；
②若点P的速度为每秒3个单位，在点P运动的同时，点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿x负半轴运动，连接是否存在某一时刻t，使的面积是的面积的2倍．若存在，请求出t值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②存在，值为或，点坐标为或．
【分析】（1）根据非负数的性质：两个非负数的和为零，每一个非负数都为零求解即可；
（2）结合图形，根据点得坐标，结合三角形面积公式计算即可；
（3）①根据平行线的性质和三角形内角和直接得到结论；
②过点作于，利用的面积可求出的长，分点在线段上和延长线上两种情况，根据点、点的速度用表示出、的长，根据列方程求出值即可得答案．
【详解】（1）
（2）过点B作交x轴于点H，

∵，
∴，
，
（3）（3）①，理由如下：
如图：

∴，
，
．
②如图，过点作于，
∵，，
∴，
解得：，

当点在线段上时，
∵点的速度为每秒3个单位，点的速度为每秒2个单位，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵点在轴负半轴上，
∴点坐标为，
如图，当点在延长线上时，

∵点的速度为每秒3个单位，点的速度为每秒2个单位，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴点坐标为，
综上所述：存在某一时刻t，使的面积是的面积的2倍，值为或，点坐标为或．
【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了非负数的性质，平行线的性质，三角形内角和定理以及三角形面积的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造平行线，运用分类讨论的思想计算求解．
命题点三 坐标方法的简单应用
题型01 实际问题中用坐标表示位置
1．（2024·四川·中考真题）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为，则点C的位置可以表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标确定位置，根据题意得到圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数是解题关键．根据题意可得：圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数，可得答案．
【详解】解：∵A，B的位置分别表示为．
∴目标C的位置表示为．
故答案为：
2．（2023·贵州·中考真题）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是，则龙洞堡机场的坐标是 ．

【答案】
【分析】根据题意，一个方格代表一个单位，在方格中数出洞堡机场与喷水池的水平距离和垂直距离，再根据洞堡机场在平面直角坐标系的第三象限即可求解．
【详解】解：如图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，
若贵阳北站的坐标是，
方格中一个小格代表一个单位，
洞堡机场与喷水池的水平距离有9个单位长度，与喷水池的垂直距离有4个单位长度，且在平面直角坐标系的第三象限，
龙洞堡机场的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，掌握在平面直角坐标系中确定一个坐标需要找出距离坐标原点的水平距离和垂直距离是解题的关键．
3．（2022·江苏泰州·中考真题）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为 .
【答案】
【分析】根据第一步马往外跳，第二步马再往回跳但路线不与第一步的路线重合，这样走两步后的落点与出发点距离最短．
【详解】解：如下图所示：
马第一步往外跳，可能的落点为A、B、C、D、E、F点，
第二步往回跳，但路线不与第一步的路线重合，这样走两步后的落点与出发点距离最短，
比如，第一步马跳到A点位置，第二步在从A点跳到G点位置，此时落点与出发点的距离最短为，
故答案为：．
【点睛】本题借助象棋中的“马走日”的规则考察了两点之间的距离公式，解题的关键是读懂题意．
4．（2024·山西朔州·模拟预测）我国水墨画发展有着悠远历史，相传始于唐代，成于五代，盛于宋元，明清及近代以来续有发展，重于意境优美，图为水墨画“早有蜻蜓立上头”，若将其放在平面直角坐标系中，点，，则点C坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了点的坐标，根据已知点的坐标，找出原点，建立平面直角坐标系，然后根据点的位置，写出点的坐标．解题关键是熟练掌握根据已知点的坐标，找出坐标原点．
【详解】解：如图所示，根据点，，建立坐标系，如图所示：
∴点坐标为：，
故答案为：．
5．（2024·吉林·二模）《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》是唐代大诗人李白的诗作，笑笑默写该诗如图所示．如果用表示“杨”字的位置，那么图中错别字的位置表示为 ．
4 杨 花 落 尽 子 规 啼 ，
3 闻 到 龙 标 过 五 溪 ．
2 我 寄 愁 心 与 明 月 ，
1 随 君 直 到 夜 郎 西 ．
1 2 3 4 5 6 7 8
【答案】
【分析】本题主要考查坐标与位置，先找出诗句中的错别字“到”，再确定位置即可
【详解】解：《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》诗句中的错别字是“闻到龙标过五溪”中的“到”，应为“道”，其坐标为，
故答案为：
题型02 用方向角和距离确定物体的位置
解题方法：在航海和地理测绘中，经常用方向角和距离来刻画平面内两个物体的相对位置
1）通常以北偏东(西)，或南偏东(西)来确定方向，用距离来确定两个物体相距的路程.
2）用方向角和距离表示平面内物体的位置时，和地图上的方向一致，按上北下南,，左西右东划分.
1．（2023·河北石家庄·二模）一艘海上搜救船在巡逻过程中发现点A处有一艘船发出求救信号，如图是搜救船上显示的雷达示意图，图上标注了以搜救船为中心的等距线（图中所示的同心圆，单位：海里）及角度，要让搜救船在第一时间抵达故障船所在的位置，应该将搜救船的航行方案调整为（　　）

A．向北偏西150°方向航行4海里 B．向南偏西120°方向航行3海里
C．向北偏西60°方向航行4海里 D．向东偏北150°方向航行3海里
【答案】C
【分析】
根据方向角的定义：以正南或正北为基准，到目标所在线形成的小于的角，进行判断即可．
【详解】
解：根据方向角的定义可知，搜救船的航行方案调整为向北偏西60°方向航行4海里，
故选：C．
【点睛】
本题考查利用方向角确定位置．熟练掌握方向角的定义，是解题的关键．
2．（2022·河北石家庄·三模）某学校在某商城的南偏西方向上，且距离商城，则下列表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据各选项的单位长度及图示可得到两地的距离均为1500m，从而将问题转化为判断两地的相对方向，再根据方向角的定义，即可解答．
【详解】解：A、某商城在某学校的南偏西方向上，且距离商城1500m，故A不符合题意；
B、某学校在某商城的南偏西方向上，且距离商城1500m，故B不符合题意；
C、某学校在某商城的南偏西方向上，且距离商城1500m，故C符合题意；
D、某商城在某学校的南偏西方向上，且距离商城1500m，故D不符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查了位置的确定，解题关键是掌握方向角的表示方法．
3．（2022·河北·二模）如图，甲、乙二人同时从A地出发，甲沿北偏东50°方向行走200m后到达B地，然后立即向正东方向行走200m，二人恰好在C地相遇，若乙中途未改变方向，则乙的行走方向为（ ）
A．北偏东30° B．北偏东40° C．北偏东70° D．无法确定
【答案】C
【分析】延长CB交AF于D，根据方位角得出∠DAB=50°，根据正东方向得出CD⊥AF，根据行走距离得出AB=BC，利用三角形外交性质得出∠ABC=∠DAB+∠ADB=50°+90°=140°，根据等腰三角形性质得出∠BAC=∠BCA=即可．
【详解】解：延长CB交AF于D，
∵甲沿北偏东50°方向行走200m后到达B地，然后立即向正东方向行走200m，二人恰好在C地相遇，
∴∠DAB=50°，CD⊥AF，AB=BC，
∴∠ABC=∠DAB+∠ADB=50°+90°=140°，
∴∠BAC=∠BCA=，
∴∠DAC=∠DAB+∠BAC=50°+20°=70°，
∴乙的行走方向为沿北偏东70°．
故选：C．
【点睛】本题考查方位角的应用，方位角之间关系，三角形外角性质，等腰三角形判定与性质，中掌握方位角的应用，方位角之间关系，三角形外角性质，等腰三角形判定与性质是解题关键．
4．（2020·河北·中考真题）如图，从笔直的公路旁一点出发，向西走到达；从出发向北走也到达．下列说法错误的是（ ）
A．从点向北偏西45°走到达
B．公路的走向是南偏西45°
C．公路的走向是北偏东45°
D．从点向北走后，再向西走到达
【答案】A
【分析】根据方位角的定义及勾股定理逐个分析即可．
【详解】解：如图所示，过P点作AB的垂线PH，
选项A：∵BP=AP=6km，且∠BPA=90°，∴△PAB为等腰直角三角形，∠PAB=∠PBA=45°，
又PH⊥AB，∴△PAH为等腰直角三角形，
∴PH=km，故选项A错误；
选项B：站在公路上向西南方向看，公路的走向是南偏西45°，故选项B正确；
选项C：站在公路上向东北方向看，公路的走向是北偏东45°，故选项C正确；
选项D：从点向北走后到达BP中点E，此时EH为△PEH的中位线，故EH=AP=3，故再向西走到达，故选项D正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了方位角问题及等腰直角三角形、中位线等相关知识点，方向角一般以观测者的位置为中心，所以观测者不同，方向就正好相反，但角度不变．

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